6.2. Zmienna losowa
Rozpatrzmy zdarzenia, jak np. rzut kostkÄ…, losowanie wygranej (samochodu, nagrody
pieniÄ™\
nej) w pewnej loterii, rzut monetą. Wynikami tych zdarzeń są odpowiednio: zestaw
oczek otrzymanych na górnej ściance kostki, przedmiot wygranej, pojawienie się orła, reszki.
Często wynik doświadczenia losowego ma charakter jakościowy; aby łatwo te wyniki porów-
nywać (nadać im wymiar ilościowy) wygodnie je reprezentować liczbami rzeczywistymi. Na
przykład liczbą oczek; liczbą określającą wartość nagrody; liczbą 1, gdy pojawi się orzeł, 0,
gdy pojawi siÄ™ reszka.
W podobny sposób postępujemy z innymi doświadczeniami i zdarzeniami losowymi.
Takie przyporządkowania nazywamy zmiennymi losowymi, wartościami zmiennej losowej są
liczby.
D e f i n i c j a
Niech &! É É É
&! = {É1 , É2 , & , Én , & } bÄ™dzie zbiorem wyników pewnego doÅ›wiadczenia lo-
&! É É É
&! É É É
sowego, zaś P prawdopodobieństwem w przestrzeni (&!
&!, P). Funkcję określoną na zbiorze
&!
&!
wyników zbioru &!, której wartościami są liczby rzeczywiste nazywamy zmienną losową.
ZmiennÄ… losowÄ… mo\
e być w praktyce dowolny sposób przypisania liczb zdarzeniom
elementarnym. Zazwyczaj zmienna losowa jest liczbą charakteryzującą wyniki doświadczenia
(zdarzenia elementarne). Je\
eli np. doświadczenie losowe polega na rzucie kostką do gry, to
najprostszą zmienną losową jest liczba oczek na wierzchniej stronie kostki. Jeśli osoba loso-
wo wybiera jabłko, ze skrzyni pełnej jabłek, to zmienną losową mo\
e być liczba określająca
masę tego jabłka w gramach itp. Jeśli doświadczenie losowe polega na wyborze osoby z pew-
nej grupy osób, to ka\
dej osobie mo\
na przyporządkować liczbę określającą jego wiek w la-
tach (mo\
na równie\
przyporządkować liczbę liter jego nazwiska, liczbę złotych, którą ma
przy sobie, wzrost w cm).
D e f i n i c j a
ZmiennÄ… losowÄ… X nazywamy skokowÄ… (typu skokowego, dyskretnÄ…), je\
eli zbiór war-
tości funkcji X jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym (tzn. wartości zmiennej mo\
na
przedstawić jako ciąg liczbowy).
Przykład 1.
Firma produkujÄ…ca aparaty fotograficzne gromadzi informacje dotyczÄ…ce okresu bezawa-
ryjnego funkcjonowania tego wyrobu. Rozwa\
amy doświadczenie losowe polegające na lo-
sowym wyborze aparatu (wynik doświadczenia  zdarzenie elementarne). Ka\
demu zdarzeniu
elementarnemu przyporządkowujemy okres bezawaryjnej pracy w pełnych miesiącach. W ten
sposób definiujemy zmienną losową, która przyjmuje wartości będące liczbami naturalnymi,
poczÄ…wszy od zera. Teoretycznie ta zmienna mo\
e osiągać dowolnie du\
e wartości. Jest to
zmienna losowa typu skokowego o nieskończonej, przeliczalnej liczbie wartości.
Przykład 2.
Gra polega na rzucie trzema monetami. Wygrywamy 8 zł, gdy pojawią się trzy reszki,
wygrywamy 4 zł, gdy pojawią się dwie reszki. W pozostałych przypadkach przegrywamy 5
zł.
Model probabilistyczny tej gry definiujemy następująco:
(&! &! = { r r r, r r o, r o r , o r r , o o r , o r o, r o o, o o o},
&! , p), gdzie &!
&! &!
&! &!
p (r r r) = p (r r o) = p (r o r ) = p (o r r ) = p (o o r) = p (o r o ) = p (r o o) =
= p (o o o) = 0,125.
Zmienną losową X definiujemy następująco:
X (r r r) = 8; X (r r o) = X (r o r ) = X (o r r ) = 4;
X (o o r) = X (o r o ) = X (r o o) = X (o o o) = - 5.
D e f i n i c j a
Zmienną losową X nazywamy ciągłą (typu ciągłego), je\
eli zbiór wartości X mo\
na przed-
stawić jako przedział liczbowy (otwarty lub domknięty, ograniczony lub nieograniczony).
Inaczej mówiąc, zmienna losowa skokowa to taka, która mo\
e przyjmować skończoną
lub przeliczalną liczbę wartości, zaś zmienna ciągła mo\
e przyjmować ka\
dą z nieskończenie
wielu wartości nale\
ących do pewnego przedziału liczbowego
Przykład 3.
Doświadczeniem losowym jest wybór osoby z pewnej grupy dorosłych (np. studentów
określonego rocznika studiów, pewnej uczelni) . Zbiorem zdarzeń elementarnych (wyników)
tego doświadczenia jest zbiór osób. Jest wiele mo\
liwości określenia ró\
nych zmiennych lo-
sowych na takiej grupie, poniewa\
ka\
dej osobie mo\
na przypisać ró\
ne, charakteryzujÄ…ce jÄ…
liczby (wiek, nr buta itp.).
Niech np. zmienną losową będzie liczba, którą otrzymujemy następująco: bierzemy pod
uwagę pesel danej osoby, jego cyfry piszemy w odwrotnej kolejności; tworzymy ułamek,
którego kolejnymi cyframi dziesiętnymi są tak otrzymane cyfry, zaś częścią całkowitą jest 0,
gdy tÄ… osobÄ… jest kobieta, a 1, gdy jest mÄ™\
czyznÄ….
Jest to zmienna losowa ciągła, poniewa\
jej wartościami mogą być dowolne liczby z
przedziału (0, 2).
Ka\
de zdarzenie losowe zachodzi z odpowiednim prawdopodobieństwem, a poniewa\
w
przypadku zajścia określonych zdarzeń, zmienna losowa przyjmuje określoną wartość, to i
wartości tej przypisane jest odpowiednie prawdopodobieństwo.
Przykład 4.
W przypadku gry rozwa\
anej w przykładzie 2 mamy przyporządkowanie: wartościom
zmiennej losowej (są nimi liczby -5, 4, 8) prawdopodobieństwa otrzymania tej wartości.
8 4 -5
x " X
P(x) 0,125 0,375 0,5
To przyporządkowanie nazywamy rozkładem omawianej zmiennej losowej.
Zadania do samodzielnego rozwiÄ…zywania
Zadanie 1.
Futerały do okularów sprzedaje się w kolorach zielonym i brązowym, przy czym tych w kolo-
rze zielonym jest dwa razy więcej ni\
w kolorze brÄ…zowym. SÄ… one pakowane w foliÄ™ tak, \
e
nie da się bezpośrednio ustalić koloru futerału. Sprzedawca wyło\
ył na ladę 3 opakowania,
które wyjął z szuflady zawierającej 15 futerałów.
a) Określ prawdopodobieństwo, \
e wszystkie futerały są tego samego koloru.
b) Zmienną losową określamy, jako liczbę opakowań futerałów w kolorze zielonym.
Zadanie 2.
Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema rozró\
nialnymi kostkami do gry. Zdarzenia
elementarne to pary wylosowanych liczb, które są tak samo prawdopodobne. Definiujemy
zmienną losową X jako przyjmującą wartości równe sumie oczek na tych kostkach.
a) Określ zbiór wartości tej zmiennej.
b) Oblicz P(X = 2), czyli prawdopodobieństwo, \
e zmienna losowa przyjmuje wartość 2,
P(X = 5), P(5d" x < 8 ).
Zadanie 3.
W loterii finansowej obowiązują następujące reguły:
" rzucamy dwiema kostkami do gry,
" wygrywamy 12 złotych, je\
eli wylosujemy sumę oczek równą 12,
" wygrywamy 6 złotych, je\
eli wylosujemy sumę oczek równą 3,
" we wszystkich pozostałych przypadkach przegrywamy 1 zł.
a) Zdefiniuj doświadczenie losowe i zmienną losową związane z tą loterią.
b) Oblicz prawdopodobieństwo przyporządkowane poszczególnym wartościom tej zmiennej.