Jednowymiarowa zmienna losowa
Zadanie 1
Zmienna losowa przyjmuje wartoÅ›ci 1, 0, 1 z prawdopodobieÅ„stwami równymi, odpowiednio, ź, ½ i
ź . Należy:
a) Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję tej zmiennej
b) Zdefiniować i przedstawić graficznie dystrybuantę zmiennej.
Zadanie 2
Mając daną dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej X:
0 dla x<0,5
1/3 dla 0,5d"x<1
F(x)=
2/3 dla 1d"x<5
1 dla xe"5
wyznacz:
a) moment zwykły rzędu pierwszego zmiennej X
b) P(Xd"0,5), P(0,5d"Xd"5), P(Xe"1), P(X>0,5).
c) Narysuj wykres funkcji prawdopodobieństwa i dystrybuantę.
Zadanie 3
Funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisują następujące wartości P(-4)=0,1, P(-2)=0,2,
P(0)=0,5, P(1)=0,1 i P(4)=0,1.
a) Przedstaw rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y=2X + 1.
b) Czy przekształcenie matematyczne zmiennej X w zmienną Y zgodnie z powyższą regułą
zmienia wartości dwóch podstawowych parametrów rozkładu, tj. wartość oczekiwaną i
wariancję zmiennej Y w stosunku do wartości parametrów zmiennej X. Udowodnij
odpowiedz.
Zadanie 4
Zmienna losowa X ma rozkład:
xi -1 0 1 2
P(xi) 0,1 0,4 0,2 0,3
a) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y=X2+1
b) Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Z=3X+1
Zadanie 5
Z wcześniejszych badań jakości produkcji wynika, że 20 partii produkcji na 100 nie spełnia przyjętych
norm i zostaje odrzucona. Jakie jest prawdopodobieństwo, że kontrola odrzuci 2 partie żarówek z 10
zbadanych?
Zadanie 6
Prawdopodobieństwo, że sprzęt zakupiony w pewnym sklepie AGD nie trafi w ustalonym terminie
pod wskazany adres wynosi 0,25. Ekipa transportowa ma dowiezć 6 lodówek do nowych właścicieli.
Obliczyć
a) jaka jest oczekiwana liczba lodówek dostarczonych w terminie na wskazany adres?
b) prawdopodobieństwo, że wszystkie lodówki trafią pod wskazany adres,
c) prawdopodobieństwo, że będą 2 pomyłki,
d) prawdopodobieństwo, że będą co najmniej 3 pomyłki.
Jakie założenia należy przyjąć w rozwiązaniu zadania?
Zadanie 7
Czas świecenia żarówki ma rozkład normalny z parametrami
µ= 2000 godz. oraz à = 200 godz. Jakie jest prawdopodobieÅ„stwo, że żarówka bÄ™dzie Å›wiecić:
a) od 1800 do 2200 godzin?
1
b) mniej niż 1600 godzin?
c) więcej niż 2600 godzin ?
d) dokładnie 2100 godzin?
e) Dla jakiej wartości czasu świecenia żarówki dystrybuanta w badanym rozkładzie przyjmuje
wartość 0,25? Proszę zinterpretować tę wielkość.
Zadanie 8
Waga kotów dachowców jest zmienną losową (X) o rozkładzie normalnym ze średnią równą 3 kg i
odchyleniu standardowym równym 0,5 kg. Waga psów podwórkowych jest zmienną losową (Y) o
rozkładzie normalnym N(6 kg; 1 kg). Co jest bardziej prawdopodobnbne: że waga losowo wybranego
kota będzie większa niż 2,5 kg, czy znalezienie psa, który będzie ważył więcej niż 7,5 kg. Zaznaczyć
wyniki na wykresie funkcji gęstości przed i po standaryzacji.
Zadanie 9
Zakładając, że czas oczekiwania w kolejce do banku na SGH ma rozkład normalny N(15, 5), określić,
jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie się stało w kolejce:
a) w czasie nie dłuższym niż 10 min?
b) w czasie krótszym niż 18 min ale dłuższym niż 12 min?
c) jaki procent klientów będzie oczekiwał w kolejce w czasie nie krótszym niż 18 min?
Wyniki proszę zilustrować graficznie.
Zadanie 60
Janek biega ze średnią prędkością 6 km. na godz. z odchyleniem standardowym wyników 2 godz.,
rzuca młotem zaś, średnio na 30 m, z odchyleniem standardowym 15 m. Dziś Janek przebiegł dystans
z prędkością 7 km na godz. i rzucił młotem na 32 m. Jeśli przyjąć, że wyniki sportowe Janka mają
rozkład normalny, to:
a) Jaki procent wyników Janka w bieganiu jest gorszych od dzisiejszego?
b) Jaki procent wyników w rzucie młotem jest lepszych od dzisiejszego?
c) Jakie wyniki Janka należą do 5% najlepszych w bieganiu?
d) Jakie wyniki Janka należą do 10% najgorszych w rzucie młotem?
Zadanie 11
Średnia waga produktu wynosi 21 kg a odchylenie standardowe 1 kg. Zakładając, że waga ma rozkład
normalny obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) losowo wybrany produkt waży nie mniej niż 21,2 kg,
b) losowo wybrany produkt waży więcej niż 20 kg.
Zadanie 12
Pewna zmienna losowa z wartością oczekiwaną 5 i wariancją 4 ma rozkład normalny. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że ta zmienna losowa przyjmie wartość ujemną.
Zadanie 13
Określić odchylenie standardowe przyrządu pomiarowego, o którym wiadomo, że z
prawdopodobieństwem 0,95 daje błąd nieprzekraczający 3 jednostek. Zakłada się ,że rozkład błędu
pomiaru jest normalny z wartością oczekiwaną równą zero.
Zadanie 14
Zmienna losowa X ma rozkład N(m, 30). Znalezć m wiedząc, że P( X < 80 ) = 0,6915.
Zadanie 15
Czas spóznień studentów na zajęcia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o wariancji 0,25.
a) Jakie jest średni czas spóznienia jeśli co piąte spóznienie było krótsze od 2 min.?
b) Jak często studenci spózniają się o dłużej niż średni czas spóznienia?
2
Zadanie 16
Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(5; 1,5). Obliczyć:
a) P(m-Ã < X < m+Ã)
b) P(m-2Ã < X < m+2Ã)
c) P(m-3Ã < X < m+3Ã)
Zadanie 17
Dane są następujące zmienne losowe: X<" N(2;1), Y<" N(5;2), Z<" N(3;0,5), U<" N(1;0). Obliczyć
P(X+Y+Z+U > 12).
Zadanie 18
Zmienna losowa t ma rozkład t-Studenta o 5 stopniach swobody. Obliczyć:
a) P( | t| < 1,48)
b) P( t < 2,5 )
c) P( t > 4,0 )
Zadanie 19
Zmienna losowa Ç2 ma rozkÅ‚ad chi-kwadrat o 10 stopniach swobody. Obliczyć:
a) P (Ç2 >18,3)
b) P (3,9 < Ç2 < 18,3)
Dodatkowe zadania do rozwiÄ…zania w domu:
Zbiór zadań: 1.1.1 -1.1.8, 1.1.11, 1.1.13, 1.1.17, 1.1.21, 1.2.1, 1.2.9 - 1.2.20, 1.2.26 1.2.29.
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
6 2 Zmienna losowazmienna losowa dwuwymiarowa CTGZmienna Losowa odpowiedzi 1zmienna losowa przykładzmienna losowa i jej rozklad3 zmienna losowa odpzmienna losowa6 czerwca Zmienna losowazmienna losowa metodologia wyk 1Wyklad ZMIENNA LOSOWA Biol 2012 wer stud3 zmienna losowa zadania29 30 Zmienna losowa jednowymiarowaZmienna Losowa odpowiedzi 26 zmienna losowaJaką wartość będzie miała zmienna09 funkcje zmiennej rzeczywistej 3 4 pochodna funkcjiwięcej podobnych podstron