Zmienna losowa dwuwymiarowa. Centralne twierdzenie graniczne
Zad. 0 Rzucamy kostką do gry. Zmienna losowa X przyjmuje wartość 1 gdy wypadnie
parzysta liczba oczek oraz wartość -1 gdy wypadnie nieparzysta liczba oczek.
Zmienna losowa Y przyjmuje wartość 3 gdy wypadnie liczba oczek podzielna przez 3 oraz 2
w przeciwnym przypadku.
Zbadać niezależność zmiennych losowych.
Zad. 1. Dane są niezależne zmienne losowe X, Y o rozkładach:
0 1 2 3
x -1 0 yi
j
0,5 0,1 0,3 0,1
pi
0,4 0,6
p
j
Znalez
ć rozkład, wartość średnią i wariancję następujących zmiennych losowych:
a) U =� 2X -� 4, b) U =� 2 -� 3Y , c) U =� X +� Y , d) U =� 2X -� 3Y
Zad.2 Zmienna losowa dwuwymiarowa (X ,Y) ma następujący rozkład:
P(X =� 1,Y =� 0) =� 0,3, P(X =� 1,Y =� 1) =� 0,1, P(X =� 2,Y =� 0) =� 0,4 , P(X =� 2,Y =� 1) =� C
a) Znalez
ć stałą C
b) Znalez
ć dystrybuantę zmiennej losowej X
c) Zbadać, czy zmienne losowe są niezależne.
Zad. 3 Zmienna losowa dwuwymiarowa (X ,Y ) ma następujący rozkład:
1 1 1
P(X =� -�1,Y =� 1) =� , P(X =� -�1,Y =� 2) =� , P(X =� -�1,Y =� 3) =� C , P(X =� 1,Y =� 1) =� ,
8 4 8
1 1
P(X =� 1,Y =� 2) =� , P(X =� 1,Y =� 3) =� .
8 4
a) Znalez
ć stałą C
b) Znalez
ć dystrybuantę zmiennej losowej Y
c) Zbadać, czy zmienne losowe są niezależne.
Zad. 4 20% sztuk pewnego produktu jest wadliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w
losowo wybranej próbie 225 sztuk tego produktu :
a) co najwyżej 50 będzie wadliwych
b) więcej niż 35 będzie wadliwych
c) wadliwych będzie więcej niż 35 i mniej niż 50.
Zad. 5 Towarzystwo ubezpieczeniowe posiada 1000 ubezpieczonych od włamania do garażu
w pewnym mieście. Prawdopodobieństwo włamania do garażu w tym mieście w ciągu roku
wynosi 0,1. Znalez
ć prawdopodobieństwo, że w ciągu roku co najwyżej 90 ubezpieczonych
zgłosi się do tego towarzystwa po wypłatę odszkodowania z tytułu włamania do garażu.
Zad. 6 Wiadomo, że 80% studentów lubi dodawać ketchup do kanapek. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej próbie 100 studentów co najwyżej 15 nie lubi
dodawać ketchupu do kanapek.
Zad. 7 10% osób wyraża zgodę na otrzymywanie przesyłek reklamowych na skrzynkę
mailową. Wysłano zapytanie ofertowe do losowo wybranej próby 500 osób.
Jakie jest prawdopodobieństwo, zgodę wyrazi co najwyżej 65 osób.
6
Zad. 8 Maszyna licząca dodaje 600 liczb rzeczywistych zaokrąglając każdą z nich do
najbliższej liczby całkowitej. Zakładamy niezależność błędów zaokrągleń i przyjmujemy, że
mają rozkład jednostajny na odcinku <-0,5,0,5>. Obliczyć prawdopodobieństwo, że błąd przy
sumowaniu nie przekroczy 3.
Zad. 9 Mamy ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie Poissona z
parametrem l� =� 9.
100 100 100
Obliczyć a) P( X <�920) , b) P( X ł� 929) , c) P(850 Ł� X <�884)
�� i �� i �� i
i=�1 i=�1 i=�1
Zad. 10 Mamy ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie
wykładniczym ze parametrem a =� 4 .
400 400 400
Obliczyć a) P( X <�90) , b) P( X ł�100) , b) P(95 Ł� X <�115)
�� i �� i �� i
i=�1 i=�1 i=�1
Odpowiedzi:
0) zmienne losowe są niezależne
Y rozkład
X 2 3 brzegowy
X
1 1 1
-1
3 6 2
1 1 1
1
3 6 2
Rozkład
2 1
brzegowy
1
3 3
Y
1) a) EU =� -�4,8 , D2u =� 0,96 1) b) EU =� -�1 , D2u =� 10,8
-1 0 1 2 3
ui
1) c) EU =� 0,6 , D2u =� 1,44 1c)
0,2 0,34 0,18 0,22 0,06
1) d) EU =� -�3,8 , D2u =� 14,64 pi
0 , x Ł� 1
��
��
0,4 , 1 <� x Ł� 2
��
2) a) C =� 0,2 , b) F(x) =� , , c) nie
��
1 , x >� 2
��
��
��
0 , y Ł� 1
��
��
0,25 , 1 <� y Ł� 2
��
��
3) a) C =� 0,125 , b) F(y) =� 0,625 , 3 <� y Ł� 3 , , c) nie
��
��
1 , x >� 3
��
��
��
4) a) 0,8212, b) 0,94295, c) 0,716 , 5) 0,1587 , 6) 0,1292 , 7) 0,9896 , 8) 0,6628
9) a) 0,7422, b) 0,17 , c) 0,25 , 10) a) 0,0228 , b) 0,5 , c) 0,84
7