Statystyka Strona 1 z 3 Zestaw 6
Zmienną losową nazywamy każdą funkcję mierzalną określoną na przestrzeni zdarzeo
elementarnych W� i przybierającą wartośd ze zbioru liczb rzeczywistych X : W� �� R
Zmienna losowa w wyniku doświadczenia może przyjąd wartośd ze zbioru liczb rzeczywistych
z określonym prawdopodobieostwem.
Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami np. S,T, Z, X ,Y a ich wartości (realizacje)
odpowiednimi małymi literami: s,t, z, x, y
Zmienną losową, której zbiór wartości jest przeliczalny lub skooczony nazywamy zmienną losową
skokową lub dyskretną (np. liczba dzieci w rodzinie). Zmienną losową nazywa się ciągłą, jeśli zbiór
jej możliwych realizacji jest nieskooczony i nieprzeliczalny (np. waga, wzrost).
ZMIENNA DYSKRETNA ZMIENNA CI
GA
A
Funkcja rozkładu prawdopodobieostwa Funkcja gęstości prawdopodobieostwa
F(�x +� D�x)�-� F(�x)�
P(�X =� xi)�=� pi
f (�x)�=� lim =�
D�x��0
D�x
Warunek unormowania pi =� 1
P(�x <� X <� x +� D�x)�
��
=� lim
i
D�x��0
D�x
xi x1 x2 x3 x4
+�Ą�
Warunek unormowania f (�x)�dx =� 1
pi p3
p1 p2 p4
��
-�Ą�
Dystrybuanta Dystrybuanta
x
F(�x)�=� P(�X <� x)�=� pi
��
F(�x)� =� f (�t)�dt
-�Ą�<� xi <� x
��
-�Ą�
0
�� -� Ą� <� x Ł� x1
��
p1 x1 <� x Ł� x2
ó�
F (�x)�=� f (�x)�
��
��
F(�x)� =� p1 +� p2 x2 <� x Ł� x3
��
��
p1 +� p2 +� p3 x3 <� x Ł� x4
��
0 x <� a
��
�� p1 +� p2 +� p3 +� p4 =� 1 x4 <� x <� +�Ą�
��
��
x
��
F(�x)� =� f (�t)�dt a Ł� x Ł� b
��
��
xi (�-� Ą�, x1 (�x1, x2 (�x2, x3 (�x3, x4 (�x4,+�Ą�)�
-�Ą�
��
��1
x >� b
pi p1 p1 +� p2 p1 +� p2 +� p3
0 ��
1
Prawdopodobieostwo Prawdopodobieostwo
b
P(�a <� X <� b)�=� pi
��
P(�a <� x <� b)�=� f (�x)�dx =� F(�b)�-� F(�a)�
a<� xi <�b
��
a
Statystyka Strona 2 z 3 Zestaw 6
WYKRESY
Przykład 1
Rozkład jednostajny dyskretny
Funkcja rozkładu prawdopodobieostwa Dystrybuanta
Przykład 2
Rozkład jednostajny ciągły
Funkcja gęstości prawdopodobieostwa Dystrybuanta
Statystyka Strona 3 z 3 Zestaw 6
ZADANIA
1. Dla poniższych zmiennych losowych:
- narysowad rozkłady/gęstości prawdopodobieostwa
- wyznaczyd i przedstawid graficznie dystrybuantę
xi
0 1 2 3
a) d) f (�y)� =� 0,5y dla 0 Ł� y Ł� 2
pi
1 8 3 8 3 8 1 8
0 x <�1
��
��0,1 1Ł� x <� 3
��
�� 1
b) f (�x)�=� e) f (�x)�=� dla 1 Ł� x Ł� 5
��0,5 3 Ł� x Ł� 4
4
��0,1 4 <� x Ł� 7
��
��0 x >� 7
��
xi -1 2 5
c) p�
f) f (�z)�=� 2sin z dla 0 Ł� z Ł�
pi
2 7 4 7 1 7
3
2. Dla jakiego k poniższe funkcje są rozkładami/gęstościami prawdopodobieostwa?
Sporządz
wykresy tych funkcji.
xi
0 1 2 3 4 5
a) c) f (�x)�=� kx dla 0 Ł� x Ł� 4
pi
0,16 0,20 0,30 0,20 0,10 k
xi
1 2 3 4
b) 1
d) f (�x)�=� x2 dla k Ł� x Ł� 3
pi 1 4 3 8 1 8
k
9
3. Dana jest dystrybuanta. Wyznacz funkcję rozkładu/gęstości prawdopodobieostwa.
0 t <� 0
�� 0 x Ł� 1
��
�� ��0,6
3
a) F(�t)�=� 0 Ł� t Ł� 1 c) F(�x)�=� 1 <� x Ł� 3
��t ��
��1 t >� 1 ��1 x >� 3
��
��
0 x Ł� -�5
��
0 x <� 0
��
��0,2 -� 5 <� x Ł� -�3
��
��
x2
�� ��
b) F(�x)�=� -� 3 <� x Ł� 0 d) F(�x)�=� 0 Ł� x Ł� 8
��0,5 ��
��0,75 0 <� x Ł� 1 ��64
�� ��
��1 x >� 8
��1 x >� 1
��
4. Oblicz prawdopodobieostwa:
a) P(�3,6 Ł� X Ł� 4,7)� dla funkcji z zadania 1-b e) P(�2 Ł� X Ł� 3)� dla funkcji z zadania 2-c
b) P(�1Ł� Y Ł� 2)� dla funkcji z zadania 1-d
f) P(�0 Ł� T Ł� 0,5)� dla funkcji z zadania 3-a
p� p�
��
c) Pć� Ł� Z Ł� dla funkcji z zadania 1-f
�� �� g) P(�-� 5 Ł� X <� -�1)� dla funkcji z zadania 3-b
6 4
Ł� ł�
h) P(�4 Ł� X Ł� 6)� dla funkcji z zadania 3-d
d) P(�X <� 2,5)� dla funkcji z zadania 2-a