Zmienna losowa
zdarzenie losowe - wylosowanie pewnego elementu z populacji generalnej
zmienna losowa - parametr klasyfikujÄ…cy zdarzenie.
W kontekście pomiarów:
f&zdarzenie losowe  wykonanie pomiaru wielkości fizycznej,
f&zmienna losowa  wartość liczbowa miary wyniku pomiaru.
Zmienne losowe duże litery X,Y, ..., a wartości małe x, y, ... lub xi.
Zmienna losowa
skokowa ciągła
Każdemu zdarzeniu można przypisać pewne prawdopodobieństwo P(X=a).
Dystrybuanta F(x) jest łącznym prawdopodobieństwem uzyskania wyniku z
przedziału od -" do x. P(XDystrybuanta jest niemalejącą funkcją zmiennej losowej X.
Gdy x", to F(x)=1, gdy x-", to F(x)=0.
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej X która może
przyjmować wartości xi dla i=1 do n : P(X=xi)=pi
Dla ciągłej zmiennej losowej stosuje się gęstość prawdopodobieństwa f(x)
dF (x)
f (x) =
zmiennej losowej  pochodna dystrybuanty:
dx
Rozkład gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej nazywamy
zależność gęstości prawdopodobieństwa f(x) od wartości x zmiennej losowej
X.
Parametry rozkładu zmiennych losowych
Zwykle nie znamy pełnego rozkładu prawdopodobieństwa lub jego
znajomość nie jest dla nas interesująca, dlatego wystarcza nam wiedza o kilku
jego charakterystycznych parametrach.
f&wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna)
f&wariancja
f&odchylenie standardowe
f&momenty
f&kwantyle (fraktyle)
Wartość oczekiwana. Oznaczenia:
E(X)  obliczona z postaci analitycznej rozkładu
µ - dla caÅ‚ej populacji
x
- dla próby
+"
E(X ) = x p E(X ) = xf (x)dx
"
+"
Def.: i i (zm. skokowa) lub (zm. ciągła)
i
-"
E{H (X )} = H (x ) p
"
Dla dowolnej funkcji Y=H(X) zmiennej losowej X i i
i
Dla n-elementowej próby wartość oczekiwana sprowadza się do średniej
arytmetycznej.
Wartość oczekiwana µ nie jest zmiennÄ… losowÄ…, jest niÄ… natomiast Å›rednia
arytmetyczna z próby.
Wariancja. Oznaczenia:
D2(X) - obliczona z postaci analitycznej rozkładu
Ã2  wariancja w populacji
2
S
x - wariancja próby
Definicja: wartość oczekiwana kwadratu różnicy zmiennej losowej i jej
wartości oczekiwanej
2
2
D (X ) = E{X - E(X )}
Dla zmiennej losowej skokowej
2
2
D (X ) = {x - E(X )} p
"
co jest równoważne i i
2
2
D2(X ) = E(X )- E(X )
lub
Dla skończonej populacji o liczebności n można E(X) zastąpić wartością
1
2
2 2
D (X ) = (x - x) a" S
"
średnią i wtedy i x
n
Zatem wariancja jest średnią kwadratów odchyleń od wartości średniej
+"
2
2
D (X ) = {x - E(X )} f (x)dx
+"
Dla zmiennej losowej ciągłej
i
-"
Odchylenie standardowe. Oznaczenia:
à odchylenie standardowe w populacji
Sx- odchylenie standardowe próby
Definicja: pierwiastek kwadratowy z wariancji
2
2
S = S
à = Ã
x x
Odchylenie standardowe ma ten sam wymiar co X i jest przyjmowane jako
miara przypadkowej niepewności pomiarowej.
Kwantyle
Kwantyl rzędu q (0d"qd"1) stanowi wartość xq zmiennej losowej X, dla której
dystrybuanta F(x) jest równa rzędowi kwantyla.
F(x)
q
Najczęściej stosowane kwantyle:
kwartyl dolny q=0.25
mediana q=0.5
kwartyl górny q=0.75 xq x