Edukator.pl - serwis edukacyjny http://www.edukator.pl/index.php?page=790
Zmienna losowa
Bardzo często ze zdarzeniami losowymi wią\
e się pewne wielkości liczbowe.
Niech para będzie przestrzenią probabilistyczną.
Ka\
dą funkcję określoną na zbiorze skończonym o wartościach rzeczywistych nazywamy zmienną losową przestrzeni
probabilistycznej , krótko zmienną losową.
Zmienne losowe będziemy oznaczać literami lub
Zdarzenie - zmienna losowa przyjmuje wartość oznaczać będziemy symbolem: , a
prawdopodobieństwo zdarzenia symbolem .
Zmienną losową skokową nazywamy zmienną losową, która ma skończony lub przeliczalny zbiór wartości.
Rozkład zmiennej losowej skokowej.
Dana jest zmienna losowa, której zbiorem wartości jest zbiór: . Zbiór wszystkich uporządkowanych par postaci
dla , a więc zbiór: , gdzie jest
prawdopodobieństwem, z jakim zmienna losowa przyjmuje wartość , nazywamy rozkładem zmiennej losowej .
Prawdopodobieństwa spełniają zale\
ność:
.
Zatem rozkład zmiennej losowej to zbiór uporządkowanych par, w których pierwszym elementem jest wartość zmiennej losowej
, a drugim jest prawdopodobieństwo, z jakim wartość ta jest przyjmowana przez zmienną losową .
Je\
eli zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości z prawdopodobieństwami odpowiednio , to zbiór
nazywamy rozkładem dwupunktowym.
Gdy oraz ( ), to zbiór
nazywamy rozkładem zerojedynkowym.
Je\
eli zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwami
, gdzie i , to zbiór:
1 z 3 2007-10-09 22:52
Edukator.pl - serwis edukacyjny http://www.edukator.pl/index.php?page=790
nazywamy rozkładem dwumianowym (Bernoulliego).
Je\
eli zmienna losowa przybiera wszystkie swoje wartości z takim samym prawdopodobieństwem, to mówimy, \
e ma ona rozkład
jednostajny.
Wartość oczekiwana zmiennej losowej.
Wartością oczekiwaną (wartością średnią, wartością przeciętną, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej o rozkładzie
nazywamy liczbę:
.
Własności wartości oczekiwanej.
1. , gdzie
2. , gdzie - zmienne losowe określone na tym samym zbiorze zdarzeń elementarnych .
Wariancja zmiennej losowej.
Wariancją zmiennej losowej o rozkładzie nazywamy liczbę:
,
gdzie jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej .
Wariancję zmiennej losowej mo\
na te\
obliczyć ze wzoru:
, gdzie .
Wariancja zmiennej losowej jest parametrem charakteryzującym rozrzut wartości zmiennej losowej względem wartości oczekiwanej.
Zawiera informację o tym, jak daleko od wartości oczekiwanej znajdują się wartości zmiennej losowej. Jeśli , to oznacza, \
e
zmienna losowa jest funkcją stałą o wartości równej wartości oczekiwanej .
Wariancje zmiennej losowej w niektórych rozkładach:
1. Rozkład dwupunktowy - .
2. Rozkład dwumianowy - .
Własności wariancji
1. Wariancja jest liczbą nieujemną.
2. , gdzie .
2 z 3 2007-10-09 22:52
Edukator.pl - serwis edukacyjny http://www.edukator.pl/index.php?page=790
Odchylenie standardowe zmiennej losowej
Liczbę , gdzie jest wariancją zmiennej losowej , nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej
losowej .
3 z 3 2007-10-09 22:52