2009-03-09
Wybrane rozkłady zmiennych
losowych
Matematyczne podstawy teorii ryzyka
i ich zastosowanie
Semestr letni 2008/2009
R. A
ochowski
Rozkłady dyskretne
" Rzeczywista zmienna losowa X ma rozkład
dyskretny jeżeli wartości które przyjmuje
można ponumerować liczbami naturalnymi
P X " x1,x2,... = 1
( { }
)
X = xi ,i = 1,2,...,
" Oznaczmy "pi = P( )
pi = 1,
wówczas oraz dla dowolnego zbioru
"
i=1
liczb rzeczywistych A
P X " A = pi
( )
"
xi "A
Przykłady rozkładów dyskretnych
" Rozkład 0-1:
P X = 0 = q,P X = 1 = p,p " 0,1 ,p +q = 1
( ) ( ) ( )
" Rozkład dwumianowy Bin(n,p):
ëÅ‚nöÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚
P X = k =
( ) ÷Å‚
ìÅ‚k ÷Å‚pkqn-k,k = 0,1,...,n
÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
" Rozkład geometryczny Geom(q)
P X = k = pqk,k = 0,1,...,"
( )
" Rozkład Poissona Poi()
k
P X = k = e- ,k = 0,1,...,"
( )
k !
1
2009-03-09
Podstawowe charakterystyki
rozkładów dyskretnych
" Wartość oczekiwana  średnia ważona
wartości, które przyjmuje zmienna z wagami
odpowiadającymi prawdopodobieństwom ich
"
przyjęcia
EX = xi
"p
i
i=1
" Wariancja i odchylenie standardowe:
2
"
D2X = pi xi - EX ,DX = D2X
( )
"
i=1
" Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję
rozkładu geometrycznego i rozkładu Poissona
Rozkład geometryczny i rozkład
ujemny dwumianowy
" Jeżeli X = liczba porażek w nieskończonym
schemacie Bernoulliego do uzyskania 1.
sukcesu, to X ma rozkład geometryczny
" Jeżeli Y = liczba porażek w nieskończonym
schemacie Bernoulliego do uzyskania r.
sukcesu, to X ma rozkład ujemny dwumianowy
NegBin(r,q)
ëÅ‚k +r -1öÅ‚
÷Å‚prqk,k = 0,1,...,"
ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚
P Y = k =
( ) ÷Å‚
ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚ k
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
" Zadanie: Uzasadnić powyższą równość
Charakterystyki ujemnego rozkładu
dwumianowego
" Jeżeli są niezależne i mają rozkład
X1,X2,...,Xr
Y = X1 + X2 + ...Xr
Geom(q), wówczas
ma rozkład NegBin(r, q), stąd
EY = rEX1 = rqp-1,D2Y = rD2X1 = rqp-2
" Uogólnienie rozkładu ujemnego
dwumianowego  r jest dowolnÄ… liczbÄ…
dodatniÄ… oraz
ëÅ‚k +r -1öÅ‚ r r + 1 Å"...Å" r +k -1
( ) ( )
÷Å‚
ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚
=
÷Å‚
ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚ k
ìÅ‚ ÷Å‚ k !
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2009-03-09
Rozkłady ciągłe
" Niektóre zmienne losowe mogą przyjmować
wszystkie wartości z pewnego przedziału liczb
îÅ‚a,bÅ‚Å‚,-" d" a rzeczywistych których
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
nie da się ponumerować za pomocą liczb
naturalnych
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚
" Jeżeli istnieje taka funkcja g a b 0 +" że
: , , ,
)
ïÅ‚ śł ïÅ‚
b ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
a d"c < d d"b
g x dx = 1 oraz dla
( )
+"
a
d
îÅ‚c,dÅ‚Å‚
P X " = g x dx,
( ) ( )
ïÅ‚ śł +"
ðÅ‚ ûÅ‚
c
to mówimy, że zmienna losowa X jest ciągła i ma
gęstość g
Przykłady rozkładów ciągłych i ich
gęstości
" Rozkład jednostajny na przedziale [a,b], U[a,b]
d -c 1
îÅ‚c,dÅ‚Å‚
P X " = ,a d"c ( ) ( )
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
b -a b -a
" Rozkład wykładniczy Exp()
îÅ‚c,dÅ‚Å‚
P X " =e-c -e-d,0 d"c ( ) ( )
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
" RozkÅ‚ad normalny N(ź,Ã)
îÅ‚c,dÅ‚Å‚
P X " = Åš d Åš c ,-" d"c ( ) ( )- ( )
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
2 2
2 2
a
x-µ / x-µ /
1 -( ) (2Ã )dx,g x = e-( ) (2Ã )
1
Åš a = e
( ) ( )
+"
-"
2Ä„Ã 2Ä„Ã
Charakterystyki rozkładów ciągłych
" Wartość oczekiwaną zmiennej o rozkładzie
ciągłym definiujemy za pomocą wzoru
b
EX = x Å"g x dx
( )
+"
a
" Wariancję zmiennej o rozkładzie ciągłym
definiujemy za pomocÄ… wzoru
b
2
D2X = x - EX Å"g x dx
( ) ( )
+"
a
" Zadanie: udowodnić, że
b
2
D2X = x2 Å"g x dx -( )
EX
( )
+"
a
3
2009-03-09
Rozkład gamma
" Jeżeli są niezależne i mają rozkład
X1,X2,...,Xr
Y = X1 + X2 + ...Xr
Exp(), wówczas o zmiennej
mówimy, że ma rozkład gamma z parametrami
 i r, “(r, ), o gÄ™stoÅ›ci
r
g x = xr-1e-x,0 d" x < +"
( )
r
( -1 !
)
" Uwaga: powyższa funkcja jest gęstością dla
dowolnego r>0, jeżeli zdefiniujemy
"
r
( -1 ! = “ r := xr-1e-xdx
) ( )
+"
0
Charakterystyki rozkładu gamma
" Zadanie: obliczyć wartość oczekiwaną i
wariancję rozkładu wykładniczego a następnie
wartość oczekiwanÄ… i wariancjÄ™ rozkÅ‚adu “(r, )
" Zadanie: obliczyć wartość oczekiwaną i
wariancjÄ™ rozkÅ‚adu “(r, ) korzystajÄ…c z
ogólnych wzorów na wartość oczekiwaną i
wariancję rozkładu ciągłego
4