Imi¸ i nazwisko: ....................................................................................................
e
Kierunek: ............................................. Numer albumu: .......................................
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIA ANALITYCZNA
¸ ¸
Egzamin, 7.02.2011 r.
1. a) Na plaszczyz
nie zespolonej narysować zbiór
A = {z " C : |z + 2 + 2i| d" |z + 1 - i| }.
b) Podać definicj¸ grupy. Czy powyższy zbiór A jest grup¸ ze zwyklym dodawaniem liczb
e a
zespolonych jako dzialaniem? (Odpowiedz
uzasadnić)
c) Przedstawić w postaci trygonometrycznej i narysować na plaszczyz
nie zespolonej wszystkie
elementy zbioru
"
4
-1 - 3 i.
-1 0 -2 1 2
2.
a) Niech A = i B = . Znalez
ć macierz X tak¸ że
a,
0 -2 1 1 4
2X + 3B = AAT + 4B-1.
b) Podać definicj¸ macierzy odwrotnej. Znalez
ć macierz odwrotn¸ do macierzy
e a
îÅ‚ Å‚Å‚
2 3 -2
ðÅ‚ ûÅ‚
C = 3 2 2 .
3 -2 3
c) Obliczyć wyznacznik macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
3 4 1 -1
ïÅ‚ śł
0 -1 2 1
ïÅ‚ śł
D = .
ðÅ‚ ûÅ‚
-2 2 -3 1
0 1 1 3
Ile jest równy rz¸ macierzy D ? (Odpowiedz
uzasadnić)
ad
e
3. a) Podać definicj¸ ukladu Cramera. Wyznaczyć wszystkie wartoÅ›ci parametru a " R, dla
których poniższy uklad równań liniowych jest ukladem Cramera:
2x1 + ax2 + x3 = a
3x1 + 4x2 + ax3 = a2 - 1
2x1 + 4x2 - 2x3 = a + 5
b) Metod¸ eliminacji Gaussa rozwiazać uklad równaÅ„ liniowych:
a ¸
x + 2y - 2z + t = 9
2x - 3y + 3z + 2t = -3
3x + y + z + t = 10
x - y - 2z + 4t = 3
c) OkreÅ›lić w zależnoÅ›ci od parametru a " R liczb¸ rozwiazaÅ„ ukladu równaÅ„ liniowych:
e ¸
2x1 + x2 + ax3 = a - 4
2x1 + x2 - 4x3 = 2a
3ax1 + 3x2 + 6x3 = 3a
e e
4. a) Podać definicj¸ bazy przestrzeni liniowej. Znalez
ć baz¸ przestrzeni liniowej
V = {(x, y, z, t) " R4 : 3x - z + 4t = 0}.
Znalezion¸ baz¸ uzupelnić do bazy przestrzeni R4.
a e
b) Niech v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 1, 0), v3 = (1, 0, 0), w1 = (0, 0, 1), w2 = (0, 1, 1), w3 = (1, 1, 1).
Wyznaczyć macierz przejścia z bazy {v1, v2, v3} do bazy {w1, w2, w3} przestrzeni R3.
c) Podać definicj¸ wymiaru przestrzeni liniowej. Znalez
ć baz¸ i wymiar obrazu przeksztalcenia
e e
liniowego Õ : R[x]2 R4 danego wzorem
Õ(ax2 + bx + c) = (3a + b + 2c, 2a + 2b + c, 5a - b + 4c, 4a + 8b + c).
1