Zadanie 11.2. Belkę swobodnie podpartą obciążono siłą "2P nachyloną pod kątem 45�.
a) Wyznaczyć reakcje i sporządzić wykresy sił przekrojowych. b) Przeanalizować stan
naprężenia w najbardziej wytężonym przekroju. Jaki wpływ na wartość naprężeń ma
smukłości belki (stosunek długości belki do jej wysokości). c) Zaprojektować przekrój belki
wykonanej ze stali, dobrać profil dwuteownika i obliczyć wymiary przekroju prostokątnego.
Dane: P = 10 kN, a = 2m , kr = 250 MPa .
2P
"
HA P1
Ą 2
A ą
C
B
P2 = P sin = 2P = P
ą 4 2
x1
P2
P
a a
VB
VA
Ą 2
P1 = Pcos = 2P = P
4 2
x2
P
P
P
A B C
Zestawienie
obciążeń i reakcji
P/2 P/2
P
N
P/2
Ad. a) Niewiadome:
T
P/2
3 składowe reakcji HA, VA, VB - ?
Belka statycznie wyznaczalna.
M
Pa/2
Wyznaczenie reakcji:
ŁX1 : HA  P1 = 0, HA = P1, HA = P
ŁX2 : -VA  VB + P2 = 0, VA = P2 - VB , VA = P  P/2 = P/2
Ł MA : -P2�"a + VB�"2a = 0, VB = P2/2, VB = P/2
Sprawdzenie: Ł MB = -VA�"2a +P2�"a = - P/2 �" 2a + P�"a = 0 .
Ł
Ł
Ł
Funkcje sił przekrojowych:
Przedział AB , "< 0; >:
Mą
P A Ną = - , = 0,5 , = 1,5 ,
: 0 = 0 , : = .
xą
0.5P
Tą
Przedział CB , "< 0; >:
M�
C
= 0 , = -1,5 , = 1,5 ,
N�
0.5P
x� : 0 = 0 , : = 1,5 .
T�
1
Ad. b) Analiza stanu napręże
ężenia w przekroju najbardziej wytężonym.
Przekrój, w którym naprężenie ma największą wartość nazywa się przekrojem najbardziej
ężenie przekrojem najbardziej
wytężonym. W belkach największ ma zginanie, o wyborze
największy wpływ na wartość naprężenia ma zginanie, o wyborze
przekroju najbardziej wytężonego decyduje wartość momentu zginającego.
ężonego decyduje .
W rozwiązywanej belce najbardziej wyt na lewo od punktu
najbardziej wytężony przekrój znajduje się na lewo od punktu B,
x1=a- , gdzie moment ma wartość /2 i siła normalna
ma wartość M=Pa/2, siła porzeczna T=P/2 i siła normalna N = P.
Poniżej wykonano obliczenia napr =
bliczenia naprężeń dla przekroju dwuteowego 200: A = 33,5 cm2,
Jx3 =2140 cm4, W3=214 cm3 . W przekroju wyst ążenia.
W przekroju występuje złożony stan obciążenia.
M
M 1000 kNcm kN
�g = = = 4,67 = 46,7 MPa
- zginanie
W
W3
214cm3 cm2
N -10 kN kN
�r = = = -0,3 = -3,0 MPa
- ściskanie
A
33,5cm2 cm2
Położenie osi obojętnej, x2 = xo, obliczono z warunku �red = 0:
x
N J 10 kN 2140cm4
2140
M N
x3
xo = - �" = - �" = -0,64cm
� = � - �� = xo + = 0
red g
A M
J A 33,5cm2 1000 kNcm
x3
Obliczenie naprężeń stycznych:
ych:
5kN �"9 �"1,13�"9,43cm3 kN
�1 = = 0,025 = 0,25 MPa
MPa
1
2140 cm4 �"9cm cm2
2
5kN �"9 �"1,13�"9,43cm3 kN
C
�2 = = 0,3 = 3,0 MPa
2140 cm4 �" 0,75cm cm2
7,5
5 kN �" (9 �"1,13 �" 9,43 + 0,75 �"8,87 �" 4,43) cm3 kN
�C = = 0,39 = 3,9 MPa
0
C
2140 cm4 �" 0,75cm cm2
90
[mm]
�g �� �g + �� � [MPa]
46,7 43,7
3,0
5 kN
C x3
10 kN
3,9
xo
+ = o
10 kNm
46,7 49,7
49,7
x2
Wykresy naprężeń normalnych �g , �r , �red = �g + �r oraz � na rysunku.
normalnych na rysunku.
Uwagi: Zginanie ma największy udział w przenoszeniu obci . Wpływ
ększy udział w przenoszeniu obciążenia. Wpływ ściskania i
ścinania jest niewielki. Napręż przenoszone głównie przez górną i dolną
Naprężenia normalne są przenoszone głównie przez górn
półkę kształtownika, naprężenie styczne praktycznie w cało ci jest przeniesione przez
ężenie styczne praktycznie w całości jest przeniesione przez środnik.
2
11,3
88,7
200
200
Wpływ smukłości belki na warto
ci belki na wartość naprężeń.
Stan naprężenia określono dla trzech długości belki: a) L = 2m, b) L = 1m
ślono dla trzech 1m, c) L = 0,4m.
Współczynnik smukłości ą definiuje się iloraz wysokości przekroju do długoś
definiuje si ci przekroju do długości belki
wys.przekroju h
ą = =
dłługosc belki L
Do analizy przyjęto przekrój o wysoko zkice belek zachowujące
to przekrój o wysokości h = 20 cm, L = 2a. Szkice belek zachowuj
proporcje wysokości i długości oraz smukłości przedstawiono na rysunku poni
ści przedstawiono na rysunku poniżej. W każdym
przypadku siły P są przyłożon
żone w środku długości przęsła.
a) �ą = 1/10
= 1/10
P
P
=
b) �ą =
c) ą = 1/2 P
P
1/5
P P
Wartości momentów zginających ściom belek wynoszą
ących M = Pa/2 odpowiadające długościom belek wynosz
odpowiednio: a) M = 5 kNm , Obliczenia wykonano dla
, b) M = 2,5 kNm , c) M = 1 kNm . Oblicze
dwuteownika 200. Wartości napr ciskania oraz naprężeń
ści naprężeń normalnych od zginania i ściskania oraz napr
stycznych zestawiono w tabeli. N rysunku zestawiono wykresy dla. smukłoś = 1/2 .
stycznych zestawiono w tabeli. smukłości � ą
max �g �r �g + �r �max �
h:L
[MPa] [MPa] [MPa] [MPa]
1:20 46,7 3,0 49,7 3,9
1:10 23,4 3,0 26,4 3,9
1:5 11,7 3,0 14,7 3,9
1:2 4,7 3,0 7,7 3,9
�g �� �g + �� � [MPa]
1,7
4,7 3,0
5 kN
xo
C
x3
10 kN
3,9
+ =
10 kNm
4,7 7,7
x2
Wykresy naprężeń normalnych �g , �r , �red = �g + �r oraz � :
normalnych
3
200
Uwagi:
1. Wartości naprężeń normalnych i stycznych nie zależą od długości przęsła.
2. Zmniejszanie smukłości powoduje zmniejszanie wartości naprężeń normalnych od
zginania. W przypadku � ą= 1/2 wartość naprężeń stycznych i normalnych od
ściskania są rzędu naprężeń normalnych od zginania.
3. Naprężenia styczne i naprężenia normalne od ściskania są istotne dla belek krępych,
dla których wysokość przekroju jest tego samego rzędu co rozpiętość belki.
Ad. c) Projektowanie przekroju poprzecznego belki.
W obliczeniach uwzględniono kryterium wytrzymałościowe,
�max d" kd , gdzie kd jest dopuszczalną wartością naprężenia normalnego,
�max d" kt , gdzie kt jest dopuszczalną wartością naprężenia stycznego.
Należy sprawdzić niezależnie warunki dla zginania i ściskania.
- zginanie, dobór przekroju na podstawie wartości wskaz
nika wytrzymałości:
M M 1000 kNcm
� = d" kr , W3 e" = = 40 cm3 .
g
W3 kr 25 kN
m2
- ściskanie, dobór przekroju na podstawie wielkości pola powierzchni:
N N 10 kN
� = d" kr , A e" = = 0,4 cm3 .
r
kN
A kr 25
m2
Z tablic inżynierskich, dobrano dwuteownik 120 , dla którego wskaz
nik W3 = 54,7 cm3,
oraz Jx3 = 328 cm4, A1 = 14,2 cm2 . Pole powierzchni A1 jest większe od minimalnego pola
obliczonego dla ściskania. Wartości naprężeń:
- naprężenia normalne:
M 1000 kNcm kN
� = = =18,3 = 183MPa
g
- zginanie
W3
54,7 cm3 cm2
N - 10 kN kN
� = = = -0.7 = -7 MPa
- ściskanie:
r
2
A
14,2 cm cm2
- naprężenia styczne
5kN �"5,8�" 0,77 �"5,62cm3 kN
1
�1 = = 0,066 = 0,66 MPa
2
328cm4 �"5,8cm cm2
C
5kN �"5,8�" 0,77 �"5,62cm3 kN
�2 = = 0,75 = 7,5MPa
328cm4 �" 0,51cm cm2
5,1
5kN �" (5,8�" 0,77 �"5,62 + 0,51�"5,23�" 2,62)cm3 kN
�C = = 0,96 = 9,6 MPa
328cm4 �" 0,51cm cm2
58
[mm]
4
7,7
52,3
120
Projektowaniu belek polega na doborze przekroju na podstawie wskaz
nika wytrzymałości.
Dla porównania dobrano wymiary przekroju prostokątnego, o takim samym wskaz
niku
wytrzymałości W3 = 54,7 cm3 oraz wysokości h H"2b:
bh2 b �" (2b)2
W3 = = =54,7cm3 , b = 4,34cm , h = 8,7 cm .
6 6
Dla obliczonych wymiarów przekroju: A2 = `37,8 cm2, Jx3 = 238,2 cm4, naprężenie normalne
�g jest takie jak dla dwuteownika, ze względu na taką samą wartość wskaz
nika W3:
N - 10 kN kN
� = = = -0.26 = -2,6 MPa
r
2
A
37,8cm cm2
8,7
5kN �" 4,34 �" 8,7 �" cm3
T �" S2 (x2 ) kN
2
�max = = = 0,789 = 7,9 MPa
J �" b
238,2cm4 �" 4,37 cm cm2
x3
Porównując zaprojektowanych przekrojów:
[mm]
- do wykonania przekroju ekonomicznego
(dwuteownika) potrzeba A1:A2 = 2,7 razy
mniej materiału,
- naprężenia styczne są tego samego rzędu.
- naprężenia normalne (ściskanie) w dwuteowniku
58 43,4
są większe, ale ich wartość jest dużo mniejsza od
naprężeń dopuszczalnych.
5
120
87