Liczby zespolone
Zadanie 1. Oblicz:
" "
( 3+i)(-1- 3i)
a)
1+i
(3+i)2(4i+1)-i
b)
(2+i)3
Zadanie 2. Zaznacz na płaszczyz
nie Gaussa zbiór:
a) {z : |z| > 3}
b) {z : |z - i| 1}
c) {z : 4 |z + 1 + i| < 9}
Zadanie 3. Wykaż, że suma z1z2 + z1z2 jest liczbą rzeczywistą.
Zadanie Przedstaw liczby w postaci trygonometrycznej:
"4. "
5+i
a) 5 - 5 3, b) , c) 3i, d) 5, e) -2, f) -1 - 3i
2+3i
Zadanie 5. Wyraz
: a) cos 5Ć, b) sin 5Ć jako funkcję sin Ć, cos Ć
Zadanie 6. Oblicz:
"
(-1+ 3i)15
a) , b) (1 + i)100
(1-i)20
Zadanie 7. Oblicz:

" " "
4
6
4
a) -2, b) 1, c) 1 + i 3
Zadanie 8. Rozwiąż równania:
a) x2 + x + 1 = 0
b) z2 + 2iz - 5 = 0
c) z4 + 1 = 8
d) z5 - i = 0
e) z3 + z = 0
f) z2 - (2 + i)z (-1 + 7i) = 0
"+
g) (2 + i)z2 - 5iz + 2 - i = 0
h) z2 + (2 + i)z + 2i - 4 = 0
i) z3 + z2 + z + 1 = 0
Całka oznaczona i zastosowania geometryczne
Zadanie 1. Obliczyć całki:

e
ln x
a) dx
1 x
Ä„
4
b) cos2 x sin xdx
0

2
3x - 7
c) dx
-2 x3 + x2 + 4x + 4

0
d) ln(1 - x)dx
-2

1
e) (e5x + 25x)dx
-1

4
dx
"
f)
0 4 - x

8
x
"
g) dx
0 - x2
8x
"

1
ln x
h) dx
0 x

3
xdx
"
i)
2 -x2 - 6x - 8
Ä„
2
j) ctg xdx
0

"
k) xe-3xdx
0

"
dx
l)
1 x4 + x2

0
m) e3xdx
-"

"
1
"
n) dx
1
x x2 - 1

"
arc tg x
"
o) dx
0
( 1 + x2)3

"
1
p) dx
2 x2 + x - 2
1

1
e- x
r) dx
0 x3

"
dx
s)
5x2
-" - 4x + 1

2
dx
"
t)
1 -x2 + 3x - 2

"
x2dx
u)
-" x3 + 8
Zadanie 2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi:
a)y = x2 - 4x + 3, y = 0
b)y = e-2x, y = e, x = 0
c)y = x3, y = 4x2 - 3x
d)y = | ln x|, y = 1

x = t - sin t
e) , y = 0 0 t 2Ä„
y = 1 - cos t

x = cos3t
f) , 0 t Ä„
y = sin3t

3t
x =
1+t3
g) , 0 t < "
3t2
y =
1+t3
Zadanie 3. Obliczyć długość łuku krzywej o równaniu:
a)y = x2, 0 1
"x
1
b)y = (x - 3) x, 0 x 1
3
"
"
"
"2+ x
" - 4 2x, 0 x 1
c)y = 4 ln
2- x

x = 2 cos t
d) , 0 t 2Ä„
y = 2 sin t

x = t - sin t
Ä„
e) , 0 t
2
y = 1 - cost
Zadanie 4. Obliczyć pole powierzchni bryły powstałej przez obrót do-
okoła osi Ox krzywej o równaniu:
"
a)y = x + 2, 1 x 2
Ä„
b)y = sin x, 0 x
2
c)y2 = 2x, 0 x 1
Zadanie 5. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi
Ox krzywej o równaniu:
"
a)y = x + 2, 1 x 2
Ä„
b)y = sin x, 0 x
2
c)y = ln x, 1 x e
"
d)y = x 9 - x, y = 0
Szeregi liczbowe
Zadanie 1. Zbadać zbieżność szeregu:
"

2 5
1) (n2 sin tg )
n n
n=1
"

1
2) ln(1 + )
n
n=1
"

n!Ä„
3) sin
6
n=1
" "
"

2n + 2 - n + 1
4)
n
n=1
"

2n + 3n
5)
6n
n=1
"

2nn!
6)
nn
n=1
"
"
"
7) ( n - n - 1)
n=1
"

3nn!
8)
nn
n=1
"

2 + (-1)n
9)
2n
n=1
"

n! + 2n
10)
n3 - n
n=2
"

1
11)
n ln n
n=1
"

n
12) (2 + (-1)n)
4n
n=1
"

3
13)
5n + 2
n=1
"

(n + 1)n
14)
nn+1
n=1
"

4
15)
5n2 + 2
n=1
"
"

(-1)n n
16)
n + 1
n=1
"

n + 1
17)
n2 - n
n=2
"

(-1)n
"
18) "
n + 1 - n
n=1
"

1 1
19) sin
n n
n=1
"

10n
20) (-1)n+1
n!
n=1
"

1 1
21) cos
n n
n=1
"
"

sin n n
22) "
n n
n=1
"

n2 + 1
23) ln
n2
n=1
"

(-1)n ln n
24)
n
n=1
"

1
25)
ln n
n=2
"

sin nÄ…
26)
(ln 10)n
n=1
Szeregi funkcyjne
Zadanie 1. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu:
"

1 2
1) (1 + )n xn
n
n=1
"

2) n!xn
n=1
"

xn
3)
n!
n=1
"

(x - 5)n
4) (-1)n-1
n3n
n=1
"

4n
5) x2n+1
n + 3
n=0
"

n(3n + 2)
6) x2n
3n
n=0
Zadanie 2. Wyznaczyć promień zbieżności i zbadać zbieżność tego sze-
regu na krańcach przedziału zbieżności
"

xn
1) "
n
n=1
"

2nxn
2)
n2
n=1
"

n4nxn
3)
5n
n=1
"

1
4) xn tg
n
n=1
"

3n+1
5) x2n
n4n
n=1
"

x2n
6)
(n + 1)(n + 2)3n
n=0
"

(2x + 1)n
7)
3n - 2
n=1
"

n5
8) (x + 5)2n+1
(n + 1)!
n=1
Zadanie 3. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcje:
a)f(x) = xe-x
b)f(x) = cos2 x
"
c)f(x) = ln(x + 1 + x2)
3x
d)f(x) =
2+x
x
e)f(x) =
1-4x2
f)f(x) = x arc sinx
Zadanie 4. Rozwinąć w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0 funkcje:
1
a)f(x) = , x0 = 1
x
1
b)f(x) = , x0 = -2
x2+4x+7
c)f(x) = ex, x0 = -3
Ä„
d)f(x) = cos x, x0 =
2
Zadanie 5. Rozwinąć w szereg Fouriera funkcje:
a)f(x) = |x|, x "< -Ä„, Ä„ >
b)f(x) = x, x " (-Ä„, Ä„)
c)f(x) = x2, x " (-Ä„, Ä„)
d)f(x) = | cos x|, x " (-Ä„, Ä„)

-3, dla x " (-Ä„, 0 >
e)f(x) =
x, dla x " (0, Ä„)
f)f(x) = x, x " (0, 2Ä„)
Zadanie 6. Rozwinąć funkcję f w szereg Fouriera wg sinusów:
a)f(x) = x, x "< 0, Ä„)
b)f(x) = 1 - x, x "< 0, Ä„ >
c)f(x) = 1, x " (0, Ä„)
d)f(x) = x, x " (-Ä„, 0)
Zadanie 7. Funkcje z zadania 6. rozwinąć w szereg Fouriera wg cosi-
nusów.
Krzywe stożkowe
Zadanie 1. Dana jest elipsa o równaniu 12x2 + 16x2 = 192. Znalez
ć
jej mimośród i równania kierownic.
Zadanie 2. Na elipsie znalez
ć punkty, których odległość od prawego
ogniska jest cztery razy większa od odległości od lewego ogniska. Rów-
nanie elipsy 36x2 + 100y2 = 3600.
Zadanie 3. W elipsę wpisano sześciokąt o równych bokach, którego dwa
wierzchołki leżą w końcach osi małej. Znalez
ć współrzędne pozostałych
wierzchołków sześciokąta, wiedząc, że elipsa ma równanie 36x2 + 4y2 =
144.
Zadanie 4. Napisz równania stycznych do elipsy 9x2 + 16y2 = 144
równoległych do prostej x + y - 1 = 0.
"
Zadanie 5. Dane są dwa punkty A(6, -1) i B(-8, 2 2) leżące ma hi-
perboli o ogniskach położonych na osi odciętych symetrycznie względem
początku układu. Wyznacz jej równanie.
Zadanie 6. Napisz równanie hiperboli o ogniskach leżących w wierz-
chołkach osi wielkiej elipsy 16x2 + 25x2 = 400 i kierownicach przecho-
dzÄ…cych przez ogniska danej elipsy.
Zadanie 7. Napisz równania stycznych do hiperboli poprowadzonych z
punktu A(1, 4). Równanie hiperboli 4x2 - y2 = 4.
Zadanie 8. Napisz równanie hiperboli mając dane jej asymptoty
y = ą1x i równanie jednej ze stycznych 5x - 6y - 8 = 0.
2
Zadanie 9. Znalez
ć ognisko F i równanie kierownicy paraboli
y2 = 12x.
Zadanie 10. Napisz równanie paraboli mając dane jej ognisko F (2, -1)
i równanie kierownicy x - y - 1 = 0.
Zadanie 11. Dane jest równanie paraboli x = -1y2 + y. Wyznaczyć
4
jej wierzchołek A, ognisko F i równanie kierownicy.
Zadanie 12. Napisz równania wspólnych stycznych do elipsy
20
4x2 + 9y2 = 180 i paraboli y2 = x.
3
Powierzchnie stopnia drugiego
Zadanie 1. Naszkicuj powierzchniÄ™:
"
a)z = 4 - x2 - y2
2
b)x2 + y2 + - x + y - 3z = 2
"z
c)z = 5 - 1 - x2 - y2
2
d)z2 = x2 +
"y
e)z = 2 - x2 + y2
f)z2 = 2x2 + 3y2
x2 y2
g)z = +
5 3
h)z = 5 - 2x2 - 2y2
2
y2 z2
i)x + + = 1
4 9 16
j)9x2 + 4y2 + 9z2 - 18x + 16y + 18z - 2 = 0
2
y2 z2
k)x + - = 1
4 9 16
2
y2 z2
l)x + - = -1
4 9 16
m)x2 + y2 = R2, z " R
2
n)x - y2 = 1, z " R
4
o)2z = x2 - y2
p)y2 = 4x
Zadanie 2. Jakie powierzchnie określają równania:
a)2x2 + 4y2 + 9z2 - 4x + 16y + 18z - 9 = 0
b)x2 + 9y2 - 2z2 + 2x - 18y - 12z - 26 = 0
c)9x2 + y2 + 72x - 4y - 18z + 112 = 0
Zadanie 3. Wyznacz przekroje hiperboloidy jednopowłokowej
4x2 + 36y2 - 9z2 - 36 = 0 płaszczyznami x = 2, y = 4, z = 3.
Zadanie 4. Wyznacz przekroje hiperboloidy dwupowłokowej
x2 + y2 - z2 = -1 płaszczyznami z = 3, x = 1, y = 2.
Zadanie 5. Wyznacz przekroje paraboloidy hiperbolicznej
x2 - 3y2 - 12z = 0 płaszczyznami z = 0, x = 1, y = 1.
Zadanie 6. Wyznacz przekroje stożka z2 = 2x2 + 2y2 płaszczyznami
y = x, z = -2, z = x + 2, x = 1.
Zastosowanie całki podwójnej
Zadanie 1. Znalez
ć obrazy obszarów płaskich w przekształceniu biegu-
nowym i naszkicować je:
a)D : x2 + y2 4
b)D : x2 + y2 2x
c)D : x2 + y2 2y
d)D : x2 + y2 + 9y 0
e)D : x2 + y2 - 2x + 4y + 4 0
f)D : 1 x2 + y2 4
g)D : 1 x2 + y2 4 '" y 0
h)D : 1 x2 + y2 4 '" 1 - x y x '" x > 0
x2 y2
i)D : + 1
a2 b2
Zadanie 2. Obliczyć objętośc bryły V ograniczonej powierzchniami:
a)z = x2 + y2 + 1, x = Ä…1, y = Ä…1, z = 0
b)x = y2 + z2, y = 2, y = z, y = 2z, x = 0
c)z = x + 2y + 1, y2 = x + 4, x = 5, z = 0
d)y = x2 + z2, y = 4
e)x2 + y2 = R2, x2 + y2 - z2 = 0, z = 0, z > 0

"
f)z = x2 + y2 + 1, z = 9 - (x2 + y2)
a)x = y2 + z2, y2 + z2 = 9y, x = 0
Zadanie 3. Obliczyć pole powierzchni S:
a)S : x2 + y2 + z2 = 9
"
b)S : z = 2 x, D = Sxy ograniczony jest liniami y2 = 4x, x = 1, x = 2
"
c)S : x = y2 + z2, dla 0 x 1
1
d)S : y = (x2 + y2) wyciętej przez powierzchnię x2 + z2 = 1
2
x2 y2
e)S : z = - , gdy D = Sxy : x2 + y2 3
2 2
"
f)S : z = 1- x2 + y2 wyciętej przez powierzchnię (x-3)2+(y-4)2 = 1
"
g)S : z = 9 - x2 - y2 wyciętej przez powierzchnię x2 + y2 - 9y = 0
Funkcje wielu zmiennych
Zadanie 1. Znalez
ć dziedzinę funkcji:
x
a)z = arc cos
y
"
b)z = arc sin(2x - 3) + 9 - x2 - y2
"ln(3+y)
c)z =
2
2x-y-x
y
d)z = 1 -
x2 2
+y +2y
e)z = 3x2 - 4 - |1 - y|

f)u = log(x2 + y2 + z2 - 1)
Zadanie 2. Znalez
ć pochodne cząstkowe I-go rzędu funkcji:
a)z(x, y) = log(y + ln x)
x
b)f(x, y) = arc ctg
y
c)f(x, y) = (sin x)ln y
z
d)f(x, y, z) = xy
"
e)f(x, y, z) = sin x2 tg y - esin z cos2 y

f)u = log(x2 + y2 + z2 - 1)
Zadanie 3. Znalez
ć pochodne cząstkowe II-go rzędu funkcji:
x+y
a)f(x, y) = arc tg
1-xy
b)f(x, y) = yln x
Zadanie 4. Wykazać, że funkcja u = xyyx spełnia równanie
"u
x"u + y = (x + y + ln u)u
"x "y
Zadanie 5. Wykazać, że funkcja u(x, t) = A sin(at+Ć) sin x spełnia
"2u
tzw. równanie struny drgającej = a2 "2u
"2t "x2
Zadanie 6. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji:
a)f(x, y) = x4 + y4 - 2x2 + 4xy - 2y2
"
b)f(x, y) = 1 - x2 + y2
x 1
c)f(x, y) = + + y
y x
d)f(x, y) = ex-y(x - y)2
Zadanie 7. Znalez
ć największą i najmniejszą wartość funkcji w obsza-
rze domkniętym D:
a)f(x, y) = (1-y)(x+y+2), D = {(x, y) : 0 x 1'"0 y 1-x}
b)f(x, y) = 2x2 - 2y2, D = {(x, y) : x2 + y2 4}

1 1 1 1
c)f(x, y) = 2 1 - x2 - y2, D = {(x, y) : x2 + y2 1}
4 9 4 9
Zadanie 8. Obliczyć y i y dla funkcji y = f(x) określonej równa-
niem:
a)F (x, y) a" yex x + 1 = 0
"-
y
b)F (x, y) a" ln x2 + y2 - arc tg = 0
x
c)F (x, y) a" xy + cos x - sin y - 1 = 0
Obliczyć wartość pierwszej i drugiej pochodnej funkcji uwikłanej w punk-
cie P0 = (0, 0)
Zadanie 9. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y = f(x) okre-
ślonej równaniem F (x, y) = 0
a)F (x, y) a" x2 - 2xy - 3y2 - 2x - 6y + 1 = 0
b)F (x, y) a" x3 + y3 + 3xy = 0
c)F (x, y) a" exy - xy + 2y - 3 = 0
Całka podwójna
Zadanie 1.

a) ex dxdy; D : x = 0, y = 2, y = ex
D

x 1
b) dxdy; D : y = x2, y = x
x2 + y 2
D
c) x2(y - x) dxdy; D : x = y2, y = x2
D
d) (2x+3y+1) dxdy; D-trójkąt A(1, 3), B(-1, -1), C(2, -4)
D


x2 y2
x2 2
e) 1 - - dxdy; D-część elipsy +y 1, dla x 0, y 0(a > 0, b > 0)
a2 b2
a2 b2
D

f) R2 - (x2 + y2) dxdy; D- część koła x2+y2 Rx, dla y 0
D
g) (x2+y2) dxdy; D-obszar w I ćwiartce układu współrzędnych między okręgami
D
2 2
x2 + y2 = R1, x2 + y2 = R2(0 < R1 < R2)

y
h) arc tg dxdy; D- część koła x2+y2 R2 w I ćwiartce układu współrzędnych
D x

1
"
i) dxdy; D : x2 + y2 x
1 - x2 - y2
D

j) R2 - (x2 + y2) dxdy; D- obszar między okręgami
D
x2 + y2 = R2 - a2, x2 + y2 = R2 - b2(0 < a < b)
Zadanie 2. Znalez
ć pole obszaru płaskiego ograniczonego liniami:
a)y = 0; y = x; x2 + y2 - 2x = 0
b)xy = 1; xy = 4; y2 = x; y2 = 2x
c)y2 = 2x; y2 = x; x2 = 2y; x2 = y
Przebieg zmienności funkcji
Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
"
1) y = x ln x
1
2) y =
ln x
x
x-1
3) y = e
1
x
4) y = xe
x2 - 5x + 4
5) y =
x - 5
x3
6) y =
(x - 1)2
"
7) y = x x + 4

x - 1
8) y =
x + 1
9) y = arc tg(ln x)

10) y = (1 - x2)3
Geometria analityczna w R3

Zadanie 1. Dane sÄ… wektory jednostkowe i b. Oblicz:
a
a)[(2 + 3 × ( -
a b) b a)]2
b)| × ( + 2
a b a)|

Zadanie 2. Sprawdz
, czy wektory b i są współpłaszczyznowe, jeśli
a, c

p, i nie są współpłaszczyznowe, jeśli = -3 +2 -2 b = p-4 +
q r a p q r, q r
i = 4 + 2 - 6
c p q r
Zadanie 3. Znalez
ć kąt między przekątnymi równoległoboku zbudowa-

nego na wektorach = [6, 1, -3], b = [-2, 2, 4]
a
Zadanie 4. Znalez
ć wektor prostopadły do wektorów = [2, 3, -1],
a

b = [1, -2, 3] i speÅ‚niajÄ…cy równanie · [2, -1, 1] = -6
x
Zadanie 5. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach:
A = (2, -1, 0),B = (3, -3, 5),C = (4, 0, 7)
Zadanie 6. Sprawdz
, czy punkty:
A = (2, -1, 0), B = (3, -2, 1), C = (0, 2, 1), D = (1, -1, 2) leżą w
jednej płaszczyz
nie.
Zadanie 7. Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach:
A = (3, 1, 1), B = (1, 4, 1), C = (1, 1, 7), D = (3, 4, 9).
Zadanie 8. Wektor tworzy z osiami OX i OZ kÄ…ty odpowiednio 60o
a
i 45o. Znalez
ć kąt między wektorem a osią OY .
a
Całka nieoznaczona
Zadanie 1. Oblicz:

1) x(x2 + 3)10dx

2) x cos 7xdx

3) xe5xdx

ln4 x
4) dx
x

"
5) sin xdx

x3
"
6) dx
3
x2 + 1

x2
7) dx
1 + x6

1
8) dx
(3x + 2)5

2x - 5
9) dx
x2 + x + 4

x2 - 3x
10) dx
x2 + 6x + 5

x6
11) dx
x2 + 1

1
12) dx
(x2 + 6x + 9)2

x + 1
"
13) dx
x2 + 4x - 5

2x + 1
"
14) dx
1 - x - x2

x3 + 2
"
15) dx
x2 + 4x + 7


x + 2
16) dx
x - 1

"
17) x2 - 4dx

18) sin5 x cos2 xdx

sin3 x
19) dx
cos6 x

1
20) dx
sin4 x

1
21) dx
1 + cos x

"
22) exdx

x arc tg x
23) dx
(1 + x2)2

"
24) ln(x + x2 + 1)dx
Reguła de L Hospitala
Zadanie 1. Oblicz granice:
1) lim ln x arc tg x
x0+
1
sin
x
2) lim
x+"
arc ctg x
1
x2
e
3) lim
x0- ctg x
4) lim (ctg x)sin x
x0+
5) lim (arc tg x)sin x
x0+
2 1
x
6) lim( arc cos x)
x0
Ä„
-x
7) lim (ln x)e
x+"
1
x
8) lim [(x + 1)e - x]
x+"
9) lim(1 - tg x)ctg x
x0
1
10) lim ( - ln x)
x0+ arc tg x
1
x2
11) lim(cos 2x)
x0
12) lim (cos x)ctg x
x0+
etg x
13) lim
Ä„ +
x- cos2 x
2
tg x 1
x
14) lim( )
x0
x
1
15) lim [x - x2 ln(1 + )]
x"
x
x - cos x
16) lim
x+"
x + sin x
"
1-x
e - 1
17) lim
x1- sin(x - 1)
1 1
18) lim( - )
x0
x2 sin2 x
cos x ex
19) lim ( - )
x0+ x sin x
1 1
x
20) lim (x3e - x - x2 - x3)
x+"
2
Funkcje jednej zmiennej - pojęcia wstępne
Zadanie 1. 1. Znalez
ć dziedzinę funkcji:
1
"
a)y =
|x|+x
"
x+1
b)y = 9 - x2 + log
x-2

"
c)y = cos x
d)y = log (3 sin2 x - 4)
2x
e)y = arc cos
x2+3
f)y = arc sin (1 - x) + ln (ln x)
Zadanie 2. Znalez
ć funkcję odwrotną do danej. Wykonać wykresy. Po-
dać dziedzinę i przeciwdziedzinę obu funkcji.
a)y = log3 x
b)y = 2x - x2, dla x 1
x+1
a)y =
x-1
Zadanie 3. Dla danych funkcji f, g utworzyć funkcje złożone f(g) oraz
g(f), gdzie:
"
a)f(x) = x, g(x) = ln x
1
"
b)f(x) = , g(x) = ln (-x)
x
Zadanie 4. Rozwiąż nierówność:
3 Ä„2
arc sin2 x - Ä„ arc sin x + < 0
4 8
Zadanie 5. Sprawdz
równości:
Ä„
a) arc sin x + arc cos x = , dla x "< -1, 1 >
2
Ä„
b) arc tg x + arc ctg x = , dla x " R
2
CiÄ…gi
2n-1
Zadanie 1. Wykaż, że ciąg o wyrazie ogólnym an = jest rosnący.
3n+1
Zadanie 2. Dane są ciągi o wyrazach ogólnych:
5n2
a)an =
n2+3
b)bn = (-1)n 2n sin n
n+1
c)cn = n cos Ä„n
Które z tych ciągów sa ograniczone, a które nieograniczone?
Zadanie 3. Wykaż, posługując się definicją granicy ciągu, że:
2n - 1
lim = 1
x"
2n + 1
Zadanie 4. Oblicz granice ciągów:
3n2 + n
a)an =
1 - 2n2
n - 1
b)an =
2n2 + 3
n3 - 1
c)an =
n - 1
" "
d)an = n2 + 1 - n2 + n + 2
"
e)an = n - 4n2 + 7
2
"
f)an =
n - n2 + n
"
3
g)an = n3 + 5n - n
2 · 6n-2 + 4
h)an =
6
"- 3 · 6n+3
n
i)an = 4n + 8n + 9n

"
1
n
n
k)an = 10100 -
10100

" "
l)an = n + n - n - n
1
m)an = (1 + )34
n
n2 + 4 2
n)an = ( )n +2
n2
3
ln (1 + )
n
o)an =
1
n
1 1
1 + + . . . +
2 2n-3
p)an =
1 1
1 + + . . . +
3 3n+1
1 1 1
" " "
r)an = + + . . . +
n2 + 1 n2 + 2 n2 + n
sin n
s)an =
n
n2 + 1 2
t)an = ( )n
2n2 + 3
Pochodna funkcji
Zadanie 1. Posługując się definicją pochodnej znalez
ć pochodne funk-
cji:
a)y = cos 2x, w dowolnym punkcie x " R
b)y = 5x2 - 2x, w punkcie x0 = 1
Zadanie 2. Zbadać różniczkowalność funkcji:
a)f(x) = | ln x|, w punkcie x = 1
Ä„
b)f(x) = | cos x|, w punktach x = + nĄ, n " C
2
Zadanie 3. Oblicz pochodne funkcji:
2x
a)f(x) = arc sin
1
"+ x2
b)f(x) = arc cos x
"
3
c)f(x) = 2ex + 2x + 1 + ln5 x
"
d)f(x) = ln (x + x2 + 1)

1
x
e)f(x) =
x
1
ln x
f)f(x) = x
x
f(x) = xx
x-8
Zadanie 4. W jakim punkcie styczna do linii f(x) = tworzy
x+1
Ä„
z osiÄ… OX kÄ…t .
4
Zadanie 5. Znalez
ć kąt pod jakim przecinają się krzywe:
1
a)y = x2, y =
x
b)y = cos x, y = sin x
Całka powierzchniowa niezorientowana
Zadanie 1. Oblicz całki:

5
a) ( x + 3y + z) dS,
S 2
gdzie S część płaszczyzny 2x+y +z -4 = 0 leżąca w I-ej ósemce układu
współrzędnych (x 0, y 0, z 0)


b) x dS, S : z = 1 - x2 - y2
S

dS
c) ( ) ,
S x2 + y2 + z2
gdzie S powierzchnia walca x2 + y2 = R2 wycięta płaszczyznami
z = 0, z = H(H > 0)

d) (x2 + y2 + z2) dS, S : x2 + y2 + z2 = R2
S
Zadanie 2. Oblicz masę powierzchni S, której gęstość określa funkcja:
a)Á(x, y, z) = x2 + y2 + z, S : z = x2 + y2, z "< 0, 9 >

b)Á(x, y, z) = xz+ 1 + 4y, S : y = x2 wyciÄ™ta powierzchniami z = 0, z = 2, y = 1
Granice i ciągłość funkcji
Zadanie 1. Posługując się definicją granicy funkcji wykazać, że:
3x + 1 1
lim =
x2
5x + 4 2
Zadanie 2. Wykaż, że nie istnieje granica:
lim sin x
x"
Zadanie 3. Obliczyć granice funkcji
"
3
x - 1
a) lim "
5
x1
x - 1
"
b) lim (x + x2 - 3x + 2)
x-"
arc cos x
c) lim
x1- 1 - x2
1
x
d) lim(1 + kx) k " R
x0
k
e) lim (1 + )x k " R
x"
x
1
x2-6x+5
f) lim(x - 4)
x5
1
g) lim arc tg
x0- x
h) lim ln sin arc tg x
x+"
-1
(x-2)2
i) lim 2
x2
"
1 - cos x
j) lim "
x0+ - cos x
1
Zadanie 4. Zbadać ciągłość funkcji:
Å„Å‚
1
ôÅ‚
dla x " (-", -1)
òÅ‚
x2
f(x) = arc cos x dla x "< -1, 1 >
ôÅ‚
ół
x2 - 1 dla x " (1, +")
Wykonać wykres tej funkcji.
Zadanie 5. Znalez
ć takie C, by funkcja:

tg 3x
dla x = 0

sin 2x
f(x) =
C dla x = 0
Ä„
była ciągła w przedziale (-Ą , ).
6 6
Prosta i płaszczyzna w R3
Zadanie 1. Znalez
ć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt
x-1 y z+5
P (2, -1, 3) i prostÄ… L : = =
2 -1 8
Zadanie 2. Znalez
ć odległość punktu P (1, -2, 3) od prostej
Å„Å‚
ôÅ‚ - 3x
x = 2
òÅ‚
L : y = 1 + t
ôÅ‚
ół
z = 2t
oraz od płaszczyzny Ą : 3x - 2y + 5z - 1 = 0
x-1 y z+2
Zadanie 3. Znalez
ć odległość między prostymi L1 : = =
2 1 3
x y-1 z+3
L2 : = =
5 7 4
Zadanie 4. Znalez
ć rzut prostokątny prostej

2x - y + 3z + 1 = 0
L :
x + y + z + 2 = 0
na płaszczyznę Ą : 2x + 3y + 4z + 5 = 0.
Zadanie 5. Przez punkt P (2, -1, 3) przeprowadzono płaszczyzny, z
których jedna zawiera oś Ox, a druga oś Oy. Znalez
ć kąt pomiędzy
tymi płaszczyznami.
x-1 y+2 z
Zadanie 6. Dane sÄ…: punkt A(3, -1, 2), prosta L : = =
3 5 -1
oraz płaszczyzna Ą : 4x + 7y - z + 2 = 0. Znalez
ć punkty B, C, D
symetryczne do A względem odpowiednio: punktu P (1, -1, 3), prostej L
i płaszczyzny Ą.
Zadanie 7. Dany jest trójkąt ABC, gdzie A(2, -1, 3), B(1, 5, -4),
C(-3, 1, 7). Znalez
ć równania prostych leżących w płaszczyz
nie tego
trójkąta i będących:
a) środkową boku AB
b) symetralnÄ… boku
c) wysokością poprowadzoną z boku C
d) dwusiecznÄ… kÄ…ta przy boku A
Obliczyć pole i znalez
ć środek ciężkości tego trójkąta.
Monotoniczność, wypukłość, ekstrema, punkty przegięcia, asymptoty
Zadanie 1. Znalez
ć przedziały monotoniczności funkcji:
1 - x2
a) y =
2x
b) y = x ln2 x
1
x-2
c) y = xe
"
d) y = x 2 - x2
Zadanie 2. Znalez
ć przedziały wypukłości ku dołowi i ku górze funkcji
x3
a) y =
x2 - 1
ln x
b) y =
x
c) y = x4e-x
"
3
d) y = x x - 1
Zadanie 3. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji
x2 - 2x + 1
a) y =
x2 - 4
x
b) y =
ln x
c) y = x2e-x

d) y = x (1 - x2)3
Zadanie 4. Znalez
ć punkty przegięcia funkcji
x2 - 5x + 6
a) y =
x2 + 1
b) y = x ln x
c) y = (x2 - 3)ex

2 - x
d) y = x
2 + x
Zadanie 5. Znalez
ć największą i najmniejszą wartość funkcji w prze-
dziale domkniętym
2x
a) y = < -2, 2 >
x2 + 1
1
b) y = cos x + cos 2x < 0, 2Ä„ >
2
"
c) y = 5 - 4x < -1, 1 >
1
d) y = x2 ln x < , e >
e
Zadanie 6. Znalez
ć równania asymptot wykresów funkcji
a) y = x arc tg x
ln(1 + x)
b) y =
x
1
x
c) y = xe-
"
d) y = x x2 - 1
Całka potrójna
Zadanie 1. Oblicz całki:

a) z dxdydz, gdzie V jest postaci:
V
"
1
V = {(x, y, z) : 0 x , x y 2x, 0 z 1 - x2 - y2}
2

b) (2x + 3y - z) dxdydz, gdzie V ograniczony powierzchniami:
V
x = 0, y = 0, z = 0, z = 3, x + y = 2

xy
c) " dxdydz, gdzie V ograniczony powierzchniami:
V z
4z2 = x2 + y2, x = 0, y = 0, z = 1 (x 0, y 0, z 0)


d) z x2 + y2 dxdydz, gdzie V ograniczony powierzchniami:
V
x2 + y2 = 2x, y = 0, z = 0, z = a

e) x dxdydz, gdzie V jest postaci:
V
x2 y2 z2
V = {(x, y, z) : 1 + + 4}
9 4 16

f) y dxdydz, gdzie V ograniczony powierzchniami:
V
x2 + y2 + z2 = 2z, x2 + y2 = z2.
Zadanie 2. Oblicz masę sześcianu 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1 o
zmiennej gÄ™stoÅ›ci Á(x, y, z) = x + y + z.
Zadanie 3. Oblicz objętość bryły jaką z kuli o promieniu a wycina
stożek kołowy o wierzchołku w środku kuli i kącie rozwarcia 2ą, ą "
Ä„
(0, ).
2
Całka krzywoliniowa niezorientowana
Zadanie 1. Oblicz całki:

1) xydl K - brzeg kwadratu |x| + |y| = 1
K

dl
"
2)
K x2 + y2 + 4
K - odcinek prostej o początku A(-2, 3) i końcu B(3, -4)


3) x2 + y2dl
K

x = a(cos t + t sin t)
K : t "< 0, 2Ä„ >
y = a(sin t - t cos t)

4) xydl
K
x2 y2
K : + = 1, x 0, y 0
a2 b2

5) (x2 + y2)dl
K
K : x2 + y2 = 4x

dl
6)
x2 + y2 + z2
Å„Å‚K
ôÅ‚
x = a cos t
òÅ‚
Ä„
K : y = a sin t t "< 0, >
2
ôÅ‚
ół
z = bt

dl
7)
K x2 + y2 + z2
K - odcinek AB, A(5, 0, -1) B(2, 3, 4)


8) 2y2 + z2dl
K

y2 + x2 + z2 = 4
K okrÄ…g :
y = x

9) (2x - y + 3z)dl
K
y2 + x2 + z2 = 4
K :
z = 1
Pole wektorowe
Zadanie 1. Wyznacz gradient funkcji skalarnej

z
F (x, y, z) = arc tg + ln (x + y)2 + z2
x + y
Zadanie 2. Wyznacz długość i cosinusy kierunkowe gradientu funkcji
skalarnej
F (x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 + 2xy - 4x + 2y - 4z
w punkcie M(0, 0, 0)
Zadanie 3. Wyznacz dywergencjÄ™ i rotacjÄ™ pola wektorowego
w = (y2 + z2) + (z2 + x2) + (x2 + y2)
i j k
Zadanie 4. Wyznacz strumień wektora pola w = x + y + z przez
i j k
x2 y2 z2
powierzchniÄ™ S : + + = 1
4 9 16
Zadanie 5. Oblicz cyrkulację wektora pola w = y + z + x wzdłuż
i j k
krzywej K danej równaniem
Å„Å‚
ôÅ‚
x = R cos t
òÅ‚
K : y = R sin t t "< 0, 2Ä„ >
ôÅ‚
ół
z = 0
Zadanie 6. Oblicz strumień wektora pola w = x + y + z przez
i j k
"
górną stronę koła wyciętego stożkiem z = x2 + y2 z płaszczyzny z = h
(h > 0).
Zadanie 7. Oblicz cyrkulację wektora pola w = y - x + z wzdłuż
i j k
krzywej K danej równaniem

x2 + y2 + z2 = 4
K :
x2 + y2 = z2 z 0
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego
Zadanie 1. Rozwiąż równania
a) yy + 4x = 0
b) t(y2 - 1)dt + y(t2 - 1)dy = 0
y2 + 1
c) y = y(1) = -1
t2 + 1
Ä„
d) y sin t = y ln y y( ) = e
2
Zadanie 2. Rozwiąż równania
y y
a) y = + tg
x x
2y2 - xy
b) y =
x2 - xy + y2
c) (x + y)y - y = 0
Zadanie 3. Rozwiąż równania
a) y + y tg x = sin 2x
2y
b) y - = (x + 1)3, y(1) = 4
x + 1
c) (1 - x2)y + x(y - a) = 0
Zadanie 4. Rozwiąż równania
dy
a) + 2y = -2e6x
dx
b) y + y = 2x2 - 2x + 1
dy
c) = y + 2x sin x y(0) = 0
dx
dy
d) + y = (2x2 + 6x + 6)ex + 4e3x
dx
Zadanie 5. Rozwiąż równania
a) y + y + y2 sin x = 0
y " 2
b) + 4 yx = 2xe-x
"
y
x2 dy
c) ( - y3) = x, y(1) = 1
y dx
dy xy x
d) - =
dx 2(x2 - 1) 2y
Zadanie 6. Rozwiąż równania
x - y x + y
a) dx + dy = 0
x2 + y2 x2 + y2
b) (x2 + y)dx - xdy = 0
c) (sin x + ey)dx + cos xdy = 0
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Zadanie 1. Rozwiąż równania
a) y = -y tg x + sin 2x
b) y + 2xy = 0, y(0) = 0, y (0) = -1
c) y3y + 1 - y4 = 0
d) y = y 3 ln y
Zadanie 2. Rozwiąż równania
a) y - 3y + 2y = xe3x
ex - e-x
b) y - y =
ex + e-x
1
c) y + 4y =
cos 2x
d) y - a2y = ebx, a = 0, b = 0

e) y + 4y = sin x, y(0) = 1, y (0) = 1
f) 2y - 5y - 7y = e2x + sin x
Całka powierzchniowa zorientowana
Zadanie 1. Oblicz całki:

a) yzdydz + xzdzdx + xydxdy
S
S - zewnętrzna strona ostrosłupa ograniczonego płaszczyznami x + y +
z = 5, x = 0, y = 0, z = 0

b) (y2 + z2)dydz
S
S - zewnętrzna strona części paraboloidy x = a2 - y2 - z2 odcięta
płaszczyzną Y OZ

c) z2dxdy
S-
S : x2 + y2 + 2z2 = 2


4
d) x2 + y2dxdy
S
S - dolna strona koła x2 + y2 a2 leżącego w płaszczyznie Z = 0

e) x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
S
"
S - zewnętrzna strona powierzchni z = a2 - x2 - y2

f) (x2 cos Ä… + y2 cos ² + z2 cos Å‚) dS
S

x2 y2
S - zewnętrzna strona powierzchni z = b + , 0 z b
a2 a2

g) (x3 cos Ä… + y3 cos ² + z3 cos Å‚) dS
S
S - zewnętrzna strona powierzchni x2 + y2 + z2 = 3

h) x2dydz + y2dzdx + z2dxdy
S
S - zewnętrzna strona powierzchni sześcianu 0 x 2, 0 y 2,
0 z 2,
Całka krzywoliniowa zorientowana
Zadanie 1. Oblicz

xydx + (y - x)dy ,
K
gdzie K jest krzywą o równaniu:
a) y = x
b) y = x2
c) y2 = x
d) y = x3
od punktu A(0, 0) do punktu B(1, 1)
Zadanie 2. Oblicz

(y - x)dx + xdy ,
K
" "
gdzie K : x2 + y2 = 2 od punktu A(0, 2) do punktu B(0, - 2)
Zadanie 3. Oblicz

xydx - x2dy ,
K
gdzie K-łamana o wierzchołkach: A(-1, 0), B(4, 0), C(4, 3), D(1, 3), E(1, 2)
skierowna od punktu A do punktu E
Zadanie 4. Oblicz

xydx - x2dy ,
K
gdzie K - łamana zamknięta ABCDEA skierowana dodatnio stosując
twierdzenie Greena.
Zadanie 5. Oblicz

ydx - xdy
,
K x2 + y2
gdzie K : x2 + y2 = r2 skierowana dodatnio (Czy można stosować tw.
Greena?)
Zadanie 6. Oblicz
Å„Å‚
ôÅ‚
x = a cos t
òÅ‚
(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz , K : y = a sin t
ôÅ‚
K ół
z = bt od t = 0 do t = 2Ä„
Zadanie 7. Oblicz

(x - y)dx + (z + x)dy + xdz ,
K
gdzie K-odcinek prostej od punktu A(2, 3, -1) do punktu B(-1, -2, -3)
Zadanie 8. Oblicz

xydx + yzdy + zxdz ,
K
gdzie K-łuk okręgu OA położony po tej stronie płaszczyzny XOZ, gdzie
y > 0

x2 + y2 + z2 = 2Rx
z = x
Zadanie 9. StosujÄ…c twierdzenie Greena oblicz

a) ex(1 - cos y)dx - (1 - sin y)dy,
K
gdzie K - dodatnio zorientowany brzeg obszaru D = {(x, y) : 0 x
Ä„, 0 y sin x}

b) (xy + x + y)dx + (xy + x - y)dy,
K
gdzie K zorientowany dodatnio:
2
y2
a)x + = 1, b)x2 + y2 = ax, c)x2 + y2 = x + y,
a2 b2
Zadanie 10. Znalez
ć funkcję F (x, y) dla której wyrażenie P (x, y)dx +
Q(x, y)dy jest różniczką zupełną (po sprawdzeniu, że wyrażenie to jest
różniczką zupełną).
2x(1 - ey) ey
a) dx + dy
(1 + x2)2 1 + x2
dx dy
b) +
x + y x + y
c) (2x + 3y)dx + (3x - 4y)dy
xdx + ydy + zdz
"
d)
x2 + y2 + z2
Zadanie 11. Oblicz całki

(6,4,8)
a) xdx + ydy - zdz
(1,0,-3)

(2,3,5)
b) yzdx + zxdy + xydz
(1,1,1)
1
(2,3, )
6 yzdx + xzdy + xydz
c)
(1,1,1) xyz

(2,1)
ydx - xdy
d)
(1,2) y2

(3,0)
e) (x4 + 4xy3)dx + (6x2y2 - 5y4)dy
(-2,-1)

(1,1)
f) (x + y)(dx + dy)
(0,0)
Algebra
Zadanie 1. Wyznacz wszystkie wartości parametru p " R dla których
prawdziwa równość
2
1 0 1 2 1 4
p + =
0 1 0 1 0 1
Zadanie 2. Oblicz wyznacznik macierzy AB - C, jeżeli
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 -2 -3 -2

ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 2 , B = 1 3 -2 , C = -2 5 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
3 3 9 -7
v
Zadanie 3. Wyrażenie zapisać w postaci algebraicznej, jeżeli
1-i


1 1 1 1


1
-1 1 -1

v =

1 i -1 -i


1 -i -1 i
Zadanie 4. Oblicz wyznaczniki


1 3 4 5


3 0 0 2

a)

5 1 2 7


3 0 1 2


-1 2 1 0 1


3 2 -1 1 0


b) 1 6 1 1 2


2 -4 -2 0 -1


3 -1 2 1 0


0 7 0 0 6


0 5 0 0 5


c) 7 6 2 1 4


9 4 0 1 8


3 8 0 0 4
Zadanie 5. Wyznacz rzÄ…d macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚
2 1 -3 5 -1
ïÅ‚ śł
2 1 -3 5 -1
ïÅ‚ śł
a) ïÅ‚ śł
ðÅ‚ -1 2 3 1 ûÅ‚
1
0 0 0 1 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
-1 2 -1 3
ïÅ‚ śł
1 -1 0 -1
ïÅ‚ śł
ïÅ‚ śł
b) ïÅ‚ 1 0 -1 1 śł
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 -1 2 -3
2 -1 -1 0
Zadanie 6. Dla jakich wartości parametru ą układ równań jest ukła-
dem Cramera
Å„Å‚
ôÅ‚
x + y + Ä…z = 1
òÅ‚
x - Ä…y + z = -11
ôÅ‚
ół
x - y + z = Ä…
Zadanie 7. Rozwiąż układy równań
Å„Å‚
ôÅ‚
x + y + z + t = 5
òÅ‚
a) x + 2y - z + t = 2
ôÅ‚
ół
3x + 3z + t = 8
Å„Å‚
ôÅ‚ x + 2y - z - t = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
2x - y + z - 2t = 2
b)
ôÅ‚
3x + y - 3t = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
5x + z - 5t = 5
Å„Å‚
x + 2y + z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
3x + 7y + 6z = 3
òÅ‚
c) x + 3y + 4z = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
2x + 3y - z = 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x + 4y + 7z = 1
Zadanie 8. Metodą Gaussa rozwiąż układy równań
Å„Å‚
ôÅ‚ 3x - 2y - 5z + t = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
2x - 3y + z + 5t = -3
a)
ôÅ‚
x + 2y - 4t = -3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x - y - 4z + 9t = 22
Å„Å‚
ôÅ‚ x + y + z + 2t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + y - z + 2t = 1
b)
ôÅ‚ - y + z - 2t = 4
x
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
-x + y - z + 2t = -4
Zadanie 9. Znalez
ć zbiór liczb zespolonych z dla których maierz
îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 z
ïÅ‚ śł
A = 0 1 + z 0
ðÅ‚ ûÅ‚
z 0 1
jest nieosobliwa. Oblicz A-1 dla z = i.
Zadanie 10. Rozwiąż równania macierzowe
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 -3 0 1 0 1 -2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) 3 2 -4 · Y + -5 -1 -3 = 5 1 4
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 -1 0 -4 -3 -3 6 4 5
îÅ‚ Å‚Å‚

1 0 0
0 -1
ïÅ‚ śł -1 0 0
b) · B · 1 1 0 =
ðÅ‚ ûÅ‚
1 0 2 2 1
1 1 0
îÅ‚ Å‚Å‚

2 2 -1
5 5 2
ïÅ‚ śł
c) Y · 2 -1 2 =
ðÅ‚ ûÅ‚
5 8 -1
-1 2 2
Zadanie 11. Znalez
ć wartości własne oraz wektory własne macierzy
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 3 -2 5 6 -3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
a) A = 1 -2 0 b) B = -1 0 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
1 1 -1 1 2 -1
îÅ‚ Å‚Å‚
2 -1 2
ïÅ‚ śł
c) C = 5 -3 3
ðÅ‚ ûÅ‚
-1 0 -2