Strumień Pola Elektrycznego
Strumień pola elektrycznego jest
proporcjonalny do liczby linii pola
elektrycznego przechodzÄ…cych przez
powierzchniÄ™
[NÅ"m2/C]
ÅšE =EA
uogólniona def. strumienia
v v
"ÅšE = Ei "Ai cos¸ = Ei Å" "Ai
r r
ÅšE = E Å" dA
+"
powierzchnia
Co będzie, jeśli pow. zamknięta otacza ładunek (z
ródło pola)?
wez
my pojedynczy Å‚adunek q i
otoczmy go symetrycznie
powierzchniÄ… sferycznÄ… o
promieniu r
" Ile wynosi strumień pola elektrycznego ŚE od
Å‚adunku 1.0 C umieszczonego w centrum pow.
sferycznej o promieniu 1.0 m?
Pytania:
Jak się zmieni strumień jeśli promień sfery
 zmniejszymy o połowę?
 zwiększymy dwukrotnie?
..liczymy strumień pola
elektrycznego wypływający
poprzez tÄ™ powierzchniÄ™
r r
ÅšE = E Å" dA = EdA
+" +"
Uogólniając na dowolną
ŚE = E dA powierzchnię zamkniętą...
+"
q
ÅšE = k (4Ä„r2)
r2
q
ÅšE = 4Ä„kq =
µ0
Prawo Gaussa
" Prawo Gaussa wiÄ…\
e strumień pola elektrycznego, ŚE przez
zamkniętą powierzchnię ( gausowską ) z wypadkowym ładunkiem
qwewn, który jest zamknięty wewnątrz tej powierzchni:
r r
qwewn
ÅšE = E Å" dA = = 4Ä„k qwewn
+"
µo
" ÅšE nie zale\
y od
" Poło\
enia ładunków wewnątrz powierzchni (gausowskiej).
" Kształtu zamknietej powierzchni (gausowskiej).
Powierzchnia zamknięta otaczająca dowolne ładunki
Ta powierzchnia otacza wypadkowy Å‚adunek qwewn=(-2q) + (+q)
-2q
+q
A
Wypadkowy strumień pola elektrycznego nie
zale\
y ani
od kształtu powierzchni zamykającej go, ani
q
od rozmieszczenia ładunku(ów) wewnątrz tej
powierzchni.
r r
qwewn
ÅšE = E Å" d A =
+"
µo
Czym jest prawo Gaussa?
Prawo Gaussa nie mówi nam nic nowego. Nie jest nowym
prawem fizyki, lecz jedynie nowym sposobem wyra\
enia
prawa Coulomba
Prawo Gaussa jest po prostu czasami Å‚atwiej u\
yć do
określenia analitycznej formy pola elektrycznego ni\

prawo Coulomba, szczególnie jeśli mamy do czynienia
bardzo symetrycznym rozkładem ładunków (sym.
sferyczna, walcowa, płaszczyzna sym., sym. liniowa).
StosujÄ…c prawo Gaussa
" mamy mo\
liwość wyboru dogodnej do obliczeń powierzchni
zamkniętej (pow. Gausowskiej).
" najwygodniej, jeśli powierzchnia gausowska odpowiada symetrii
problemu.
Przykład: sferyczne symetryczny rozkład
Å‚adunku
pow. Gaussa
(sfera)
pow. Gaussa
(sfera)
Przykład: cylindrycznie symetryczny rozkład
Å‚adunku
powierzchnia Gaussa
(cylinder)
Przykład: naładowana płaszczyzna izolatora
pow. Gaussa
(cylindryczna)
EA = 2Ä„Ã
Jednorodnie naładowana powierzchnia kuli
GÄ™stość powierzchniowa Ã
Ã
Ã
Ã
Dla punktów na zewnątrz sfery:
R
Dla punktów wewnątrz sfery:
E = 0
Jednorodnie naładowana kula
GÄ™stość objÄ™toÅ›ciowa Á
Á
Á
Á
R
r
Dla punktów wewnątrz kuli:
Jednorodnie naładowana kula
R
1 4
E Å" 4Ä„r2 = Å" Ä„R3 Å" Á
Å" Ä„ = Å" Ä„ Å" Á
Å" Ä„ = Å" Ä„ Å" Á
Å" Ä„ = Å" Ä„ Å" Á
µ0 3
µ
µ
µ
Dla punktów na zewnątrz kuli:
R3Á 1
Á
Á
Á
E = Å"
= Å"
= Å"
= Å"
3µ0 r2
µ
µ
µ
Pole Å‚adunku sferycznie-symetrycznego
Jednorodnie naładowana kula
Jednorodnie naładowana
powierzchnia kuli
Czy rzeczywiście p. Gaussa jest równowa\
ne p. Coulomba?
O rany! Nie pamiętam p. Coulomba!
Nie martw się, ja pamiętam p. Gaussa!
E Ą" A wszędzie
rozwa\
amy pow. sferyczną wokół ładunku Q o
q
promieniu r równym odległości między q i Q:
r
Q
Q Q
Åš =
Åš =| E | A = =| E | 4Ä„r2 =
µ0
µ0
Q µ0
czyli...
1 Q 1 Q
| E |= =
Coulomb!
4Ä„r2 µ0 4Ä„µ0 r2
1 qQ
F =
ale przecie\
... F=qE
4Ä„ µ0 r2
Przykład zastosowania p. Gaussa: Jak wygląda pole elektryczne w pobli\
u
naładowanej powłoki kulistej?
Åšzewn
Q
Ponownie rozwa\
am pow. sferycznÄ…
współśrodkową z naładowaną ładunkiem
Q powłoką kulistą:
Åšwewn
Q
Åšzewn =
Na zewnÄ…trz
µ0
...więc jak poprzednio
1 Q
| E |=
4Ä„µ0 r2
Å‚adunek wewnÄ…trz pow. sferycznej = 0
WewnÄ…trz
Åšwewn = 0 E = 0
Przewodniki a prawo Gaussa
" Strumień poprzez zewnętrzne denko cylindra
A wynosi EA, poniewa\
EÄ„"A (panuje
równowaga ).
" W konsekwencji, strumień przez ścianki
boczne cylindra jest ZERO
" Pole wewnÄ…trz przewodnika jest ZERO
(ładunki wypchnęły się na powierzchnię), więc i
strumień przez powierzchnię cylindra
wewnÄ…trz przewodnika jest ZERO
" W warunkach równowagi elektrostatycznej
pole elektryczne wewnÄ…trz przewodnika jest
ZERO
" A
adunek wypadkowy, jeśli jest, to znajduje
się na zewnętrznej powierzchni
przewodnika.
r r
" Pole elektryczne w bezpośredniej bliskości
qwewn
ÅšE = EdA = EA =
+"
przewodnika jest prostopadłe do jego
µo
powierzchni i proporcjonalne do gęstości
powierzchniowej Å‚adunku.
qwewn
" Gęstość ładunku jest największa w pobli\
u
qwewn Ã
A
E = = =
obszarów powierzchni o najmniejszym
Aµo µo µo
promieniu krzywizny.