Autor opracowania: Marek Walesiak
EKONOMETRIA  ZADANIA
rok akademicki 2009/2010
III rok studiów niestacjonarnych I stopnia (kierunek Ekonomia)
TEMAT 1. EKONOMETRIA  ZAGADNIENIA WST
PNE
1.9. REGRESJA LINIOWA JEDNEJ ZMIENNEJ 1 godz.
Ć
Własności linii regresji jednej zmiennej objaśniającej ( w
= a1x + b1 i x = a2 y + b2 ):
1. Obie linie regresji przechodzą przez punkt o współrzędnych (x, y) .
2. Parametry kierunkowe a1 i a2 mają te same znaki. Zatem a1 �" a2 > 0 .
3. a1 �" a2 = 0 tylko wtedy, gdy oba parametry kierunkowe są równe 0 ( a1 = 0 i a2 = 0 ).
4. Parametry kierunkowe a1 i a2 spełniają warunek: a1 �" a2 d" 1.
2
2
�
�
2 2 2 2
5. R2 = rxy = ryx = a1 �" a2 = a1 x = a2 y ( R2  współczynnik determinacji; ryx = rxy  współczynnik korelacji li-
2 2
� �
y x
niowej Pearsona między zmiennymi x, y; � , �  odchylenie standardowe zmiennych odpowiednio x, y).
x y
Poz. [1]. Zad. 1.1 (s. 26-27). Na trzech wykresach narysowano po dwie linie proste. Na których na pewno nie są to
linie regresji? Odpowiedz
uzasadnić.
A B C
y y y
x x x
Poz. [1]. Zad. 1.2 (s. 27). Na którym wykresie zamieszczonym poniżej na pewno nie są przedstawione linie regresji: A
czy B? Odpowiedz
uzasadnić.
A B
y y
x x
Poz. [1]. Zad. 1.3 (s. 27). Na którym wykresie zamieszczonym poniżej na pewno nie są przedstawione linie regresji: A
czy B? Odpowiedz
uzasadnić.
A B
y y
x x
1/7
Autor opracowania: Marek Walesiak
Ć
Poz. [1]. Zad. 1.12 (s. 28). Oszacowano funkcję regresji opisującą zależność zmiennej X od Z: x = 0,1z + 0,8 . Jaką
wartość może przyjąć parametr kierunkowy linii regresji opisującej zależność Z od X?
Poz. [1]. Zad. testowe 1.1 (s. 29).
Spośród niżej wymienionych wskaż pary, które mogą być parami linii regresji:
1
Ć Ć
I) w
= 2x +1, x = 3y + 2 II) w
= x +1 , x = -2y +1
3
1 1
Ć Ć
III) w
= 2x +1, x = y +1 IV w
= 2x + 2 , x = y - 2
3 2
A) tylko I, III i IV, B) tylko II i IV,
C) tylko III i IV, D) tylko III,
E) żaden z powyższych wariantów.
Poz. [1]. Zad. testowe 1.2 (s. 29). Linie regresji Y względem X oraz X względem Y mogą być:
I) obie rosnące,
II) jedna rosnąca, a druga malejąca,
III) równoległe, ale nie pokrywające się,
IV) równoległe, ale pokrywające się,
A) tylko I i III, B) tylko I i IV,
C) tylko II i III, D) tylko II i IV,
E) żaden z powyższych wariantów.
Poz. [1]. Zad 2.10 (s. 36). W ciągu 50 miesięcy w pewnej firmie obserwowano zużycie dwóch surowców: X i Y, sto-
Ć
sowanych w produkcji. Oszacowano dwie linie regresji: w
= -0,454x +15,43 oraz x = -2,184y + 33,88 . Obliczyć i zin-
terpretować współczynnik korelacji rxy między zużyciem surowców X i Y.
Poz. [3]. Zad. 1.5 (s. 13). Dane są modele:
a) Yt = ą0 + ą1Xt + �t
b) Xt = �0 + �1Yt +�t
Estymacji parametrów dokonano KMNK. Co można powiedzieć o współczynnikach determinacji w obydwu mode-
lach?
Poz. [3]. Zad. 1.8 (s. 15). W wyniku estymacji otrzymano następujące oszacowania parametrów dwóch równań:
a) v
t = 11+ 0,48Ct
b) 
t = 0,8 + 0,1Yt
Oblicz wartość współczynnika korelacji liniowej Pearsona między zmiennymi Y i C.
TEMAT 3. SPECYFIKACJA POSTACI ANALITYCZNEJ MODELU REGRESJI LINIOWEJ
Z JEDN
ZMIENN
OBJAŚNIAJ
C
2 godz.
Poz. [2]. Zadanie 4.2 (s. 65). Zaproponować postać analityczną modelu tendencji rozwojowej produkcji globalnej P
pewnej gałęzi gospodarki narodowej przy założeniu, że stosunek przyrostu produkcji do wielkości produkcji z roku
poprzedniego oscyluje wokół pewnej stałej liczby.
Poz. [2]. Zadanie 4.4 (s. 66)  szersza wersja. W pewnym zakładzie produkcyjnym robotnicy są wynagradzani we-
dług systemu akordu:
a) prostego,
b) progresywnego,
c) degresywnego.
Zaproponować postać analityczną modelu opisującego zależność funduszu płac robotników bezpośrednio produkcyj-
nych F od wielkości produkcji P w sytuacji a), b) i c).
Poz. [2]. Zadanie 4.5 (s. 66). Zaproponować postać analityczną modelu ekonometrycznego opisującego zależność plo-
nów Y od zużycia nawozów mineralnych X uwzględniając działanie tzw. prawa malejącej wydajności ziemi.
2/7
Autor opracowania: Marek Walesiak
Poz. [2]. Zadanie 4.6 (s. 66). Wraz ze wzrostem produkcji P przedsiębiorstwa o jednostkę następuje przyrost kosztów
całkowitych K, przy czym przyrost ten oscyluje wokół pewnej stałej liczby. Zaproponować postać analityczną mo-
delu kosztów całkowitych przedsiębiorstwa względem rozmiarów produkcji.
Poz. [2]. Zadanie 4.7 (s. 66). Jaką postać analityczną będzie miał model ekonometryczny kosztów jednostkowych K
j
względem rozmiarów produkcji P, jeżeli wiadomo, że model kosztów całkowitych względem rozmiarów produkcji
jest modelem liniowym.
Poz. [2]. Zadanie 4.9 (s. 66). Wiadomo, że wydatki na żywność na jednego członka rodziny wzrastają wolniej niż do-
chód na jednego członka rodziny. Zaproponować postać analityczną modelu wydatków na żywność W względem
dochodów D.
Poz. [2]. Zadanie 4.12 (s. 70). Zaproponować postać analityczną modelu v
= f (X ) mając następujące dane:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
yt
74 62 51 35 28 20 15 8 10
xt
2,2 2,2 2,3 2,4 2,6 2,9 3,2 3,6 4,0
Poz. [2]. Zadanie 4.13 (s. 71). Zaproponować postać analityczną trendu zmiennej Y mając następujące obserwacje w
15 kolejnych okresach:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
yt
45 53 62 64 64 68 65 68 67 66 70 70 71 77 80
Poz. [2]. Zadanie 4.14 (s. 71). Zaproponować postać analityczną modelu opisującego zależność zmiennej Y od zmien-
nej X mając następujące dane:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
yt
40 47 45 57 65 60 55 84 76 94 96
xt
30 33 40 43 46 49 55 56 58 59 63
Zadanie 1 (transformacja liniowa). Sprowadzić do postaci liniowej następujące modele (e  liczba Eulera):
a) w
= a0 + a1 ln x
a0x2
h) w
=
a1
1- a1x
0 x
b) w
= ea e
a1x2 + a2x
1
i) w
=
c) w
= ea x+a0
1- a0x
a1
d) w
= j) w
= a1 ln x - a2x ln x + a0
x2 + a0
1
1 k) w
= a1 ln x + a2 + a0
e) w
= a0xa
x
f) w
= a0a1x 1
l) w
= a0xa +a2 ln x
1
a1
1 2
m) w
= a0xa ea x
x
g) w
= a0e
0
n) w
= ea +a1x+a2x2
Poz. [1]. Zadanie 4.11 (s. 99). Na podstawie danych zamieszczonych w tabeli sprowadzić model do postaci liniowej
oraz obliczyć wartości zmiennej pomocniczej (lub zmiennych pomocniczych).
a) w
= (a1x + a0 )-1
a1
b) w
= + a0
x
c) w
= a1x2 + a0
y 2 4 8 10 10
x 0,2 0,4 1,0 0,5 2,0
3/7
Autor opracowania: Marek Walesiak
TEMAT 4. KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ JEDNEJ ZMIENNEJ OBJAŚNIAJ
CEJ
4.6. Estymacja i interpretacja parametrów modelu liniowego i nieliniowego sprowadzalnego do postaci liniowej
dla jednej zmiennej objaśniającej. Rozwiązywanie zadań 3 godz.
Zad. 1.
Na podstawie następujących obserwacji (tabelka obok) oszacowano y 0 3 2 4,5 7
liniowy model ekonometryczny zmiennej Y względem X , który ma
x 1 2 3 4 5
postać: w
= -1,35 +1,55x . Obliczyć reszty tego modelu. Podać inter-
pretację parametrów strukturalnych modelu.
Poz. [1]. Zad. testowe 3.1 (s. 74). W standardowym modelu liniowym reszty mają następujące własności:
I) suma reszt jest zawsze równa zeru IV)liczba reszt dodatnich jest zawsze równa liczbie reszt ujemnych
II) suma kwadratów reszt jest zawsze równa zeru V) liczba reszt dodatnich może być równa liczbie reszt ujemnych
III) reszty mogą być tylko nieujemne
A) tylko III, B) tylko I i IV,
C) tylko I, D) tylko I i V,
E) tylko II i V, F) żaden z powyższych wariantów.
Poz. [1]. Zad. testowe 3.6 (str. 75). W standardowym modelu liniowym T = 5 , wektor reszt oraz macierz obserwacji
zmiennych objaśniających mają postać:
1 0 1 0 1
Ą# ń#
eT = [1 0 e3 -1 e5], XT =
ó#1 1 1 1 1Ą#
Ł# Ś#
Może być prawdą, że:
I) e3 = e5 , III) e3 =1 , e5 = -1
II) e3 = 5 , e5 = -5 IV) e5 > e3
A) tylko I lub II, B) tylko I lub II lub IV,
C) tylko III lub IV, D) tylko IV,
E) żaden z powyższych wariantów.
Zad. 2. Kontynuując zad. 1 obliczyć i zinterpretować:
a) wartość współczynnika determinacji oraz skorygowanego współczynnika determinacji,
b) standardowy błąd oceny,
Ć
c) błędy estymatorów parametrów strukturalnych: S(bj ) = �Ć d ,
jj
d) przedziały ufności dla parametrów strukturalnych bj ( j = 0,1) wykorzystując wzór (dla ą = 0,10
Ć Ć Ć Ć
tą 2,T -2 = 2,353 ): bj - tą 2,T -2S(bj ) d" bj d" bj + tą 2,T -2)S(bj )
Zad. 3. Reszty modelu wynoszą:  1, 2,  1,  5,  5, 10, a wariancja zmiennej objaśnianej równa się 500. Ile wynosi
wartość współczynnika determinacji?
2
Poz. [1]. Zad 6.1 (s. 135). W modelu liniowym (z wyrazem wolnym) niech � oznacza współczynnik zbieżności, a
R2 współczynnik determinacji. Wówczas zawsze zachodzi
I) �2 d" R2 , III) R2 -�2 = 1 ,
2
II) �2 + R2 < 1 , IV) nie istnieje związek między � i R2 .
A) tylko I, B) tylko IV,
C) tylko I i II, D) tylko I i III,
E) żaden z powyższych wariantów.
2
Poz. [1]. Zad. 6.2 (s. 135). Dla modelu liniowego (z wyrazem wolnym) niech � oznacza współczynnik zbieżności, a
R2 współczynnik determinacji. Wówczas może być prawdą, że
I) �2 < R2 , II) �2 > R2 ,
III) �2 + R2 = 0,7 IV) �2 - R2 = 0
4/7
Autor opracowania: Marek Walesiak
A) tylko I i II, B) tylko I i IV,
C) tylko I, II i IV, D) tylko III i IV,
E) żaden z powyższych wariantów.
Zad. 4. Dane są obserwacje na zmiennych: X, Y, Z, V, S. Utworzyć wektor y i macierz X w celu oszacowania modeli:
Ć
a) v = b1s + b0 ,
x y z v s
b) x = b1z2 + b0 + e , 2 1 4 3 13
0 10 6 6 16
c) w
= b0b1s ,
1 25 5 11 21
d) z = b0 + b1 ln v + e
1 77 2 15 25
2 98 8 16 25
Zad. 5.
Model ekonometryczny y = ą + �x + � oszacowano dwiema metodami: klasyczną
a) w
= 2 + 3x ,
metodą najmniejszych kwadratów (KMNK) i inną metodą.
b) w
= 3+ 5x .
Wektory reszt dla obu modeli podane są obok. Który model: a) czy b), nie został
Ą#-1 ń#
ń# Ą#- 2
oszacowany za pomocą KMNK? Odpowiedz
uzasadnić. ó#
0Ą# ó# 1Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
a) 1 , b) 3
ó# Ą# ó# Ą#
ó#-1Ą# ó#- 2Ą#
ó#
1Ą# ó# 0Ą#
Ł# Ś# Ł# Ś#
Poz. [1]. Zad 4.3 (str. 98).
Na podstawie danych przedstawionych w tabelce oszacować parametry
y 2 3 4 5
-1 2
strukturalne modelu: w
= a1x1 x2 + a0
x1 1 1 1 2
x2 0 1 1 2
Poz. [1]. Zad 4.12 (str. 99).
Na podstawie danych przedstawionych obok oszacować model
x y
a
0 0,5
w
=
x2 + b
1 1,0
3 0,1
2 0,2
bX
Ć
Zad.6. Oszacuj parametry modelu V = , jeśli po jego transformacji otrzymano następujący model � = 4Y + 8 .
a + X
Poz. [2]. Zad 4.30 (str. 84).
Na podstawie następujących obserwacji zmiennych Y , X1, X oszaco-
2
y 1 2 3 4 5
wać parametry strukturalne modelu: Y = � + ąX1X + e
2
x1 2 2 2 1 1
x2 3 3 2 2 2
Poz. [3]. Zad. 1.12. Dysponujemy jedynie pięcioma obserwacjami dotyczącymi pewnego zjawiska będącego przedmio-
tem zainteresowania: 1; 1/2; 1/3; 1/4; 1/5. Z uwagi na bardzo małą liczbę stopni swobody, jego analizę ograniczamy do
modelu z jedną zmienną objaśniającą, która w okresie próby przyjmuje następujące wartości: 1; 1; 1/2; 1/2; 1/2. Teoria
sugeruje, że najlepszą aproksymacją relacji jest:
ą0 xt2 ą0xt2 + et
a) yt = , b) yt =
xt + ą1 + ą0xt2et xt + ą1
Posługując się odpowiednią transformacją oszacuj KMNK parametry obydwu modeli.
5/7
Autor opracowania: Marek Walesiak
1
Zad. 7. Czy można metodą najmniejszych kwadratów oszacować parametry strukturalne modelu: lnY = b0 + b1X + e ?
Odpowiedz
uzasadnić.
Poz. [4]. Zad. 4.8. W modelu: w
t = 150 + 0,6xt (gdzie: yt  miesięczna wartość wydatków konsumpcyjnych w przeli-
czeniu na osobę w zł, xt  miesięczne dochody w rodzinie w przeliczeniu na osobę w zł, t = 1,K,T ) Se = 89,4 i
R2 = 66,3% .
Jak zmieni się odchylenie standardowe reszt i współczynnik determinacji, gdy:
a) zmienna objaśniająca wyrażona będzie w tys. zł, a zmienna objaśniana w zł?
b) zmienna objaśniająca wyrażona będzie w zł, a zmienna objaśniana w tys. zł?
c) zmienna objaśniająca i objaśniana wyrażone będą w tys. zł?
Poz. [3]. Zad. 7.2 (s. 135-136). Wyznacz prognozę zmiennej objaśnianej na 2003 rok, jeżeli w wyniku estymacji para-
metrów modelu (próba roczna 1991-2002): w
t = ą0 + ą1xt + et otrzymano następujące rezultaty cząstkowe:
40 12 20
Ą# ń# Ą# ń#
XT y = , XT X = , �Ć2 = . Należy jednocześnie oczekiwać, że zmienna objaśniana przyjmie w 2003
ó#66Ą# ó#20 34Ą# 8 14
Ł# Ś# Ł# Ś#
roku wartość 1. Wyznacz błąd średni prognozy. Czy można zaakceptować taką prognozę?
TEMAT 5. WERYFIKACJA MODELU REGRESJI LINIOWEJ JEDNEJ ZMIENNEJ OBJAŚNIAJ
CEJ
5.3. Weryfikacja modelu regresji liniowej jednej zmiennej objaśniającej. Rozwiązywanie zadań 2 godz.
 badanie normalności rozkładu składnika losowego
Poz. [2]. Zad. 5.14 (s. 96). Dla pewnego modelu otrzymano następujący ciąg reszt:  3, 2,  8,  9, 5,  7, 6,  11,  2,  5,
9, 9, 7, 3, 4. Przy poziomie istotności ą = 0,02 zweryfikować za pomocą testu Shapiro-Wilka hipotezę o normalności
rozkładu odchyleń losowych.
Poz. [2]. Zad. 5.15 (s. 96). Dany jest następujący ciąg reszt pewnego modelu: 18,  1, 8,  2, 12,  4,  8,  10,  4,  9. Za
pomocą testu Shapiro-Wilka zweryfikować hipotezę o normalności rozkładu odchyleń losowych na poziomie istotności
ą = 0,05 .
Poz. [2]. Zad. 5.16 (s. 96). Mając następujący ciąg reszt pewnego modelu:  1,3; 0,9;  0,4; 0,8; 1,1;  0,2;  0,9; 2,3;
 1,0;  1,2;  0,1 zweryfikować za pomocą testu Shapiro-Wilka hipotezę o normalności odchyleń losowych na poziomie
istotności ą = 0,10 .
Poz. [4]. Zad. 5.10 (s. 101). W pewnym modelu, którego parametry zostały oszacowane na podstawie 14 obserwacji,
wartość statystyki Shapiro-Wilka dla reszt wynosi W = 0,923 . Czy na poziomie istotności ą = 0,05 należy odrzucić
hipotezę o normalności składnika losowego?
Poz. [4]. Zad. 5.11 (s. 101). Dany jest ciąg reszt pewnego modelu: 12,  2, 0,  1, 1, 0, 10,  4. Na podstawie testu Shapi-
ro-Wilka zweryfikować hipotezę o normalności rozkładu składnika losowego na poziomie istotności ą = 0,05 .
 badanie istotności współczynników regresji
Poz. [3]. Zad. 1.13 (s. 16). Zespół glacjologów pracujących w stacji na Antarktydzie zlecił obliczenia polegające na
analizie zależności między aktywnością badawczą polarników Y a wysokością temperatury powietrza X. Na podstawie
danych miesięcznych za rok 1994 otrzymano następujące rezultaty: v
t = 16,3 + 3,32Xt ( R2 = 0,75 ). Program kompute-
rowy był na tyle niedoskonały, że nie można było uzyskać ani informacji o odchyleniach standardowych estymatorów
parametrów, ani o wariancji resztowej. W jaki sposób na podstawie podanych informacji można ocenić, czy aktywność
polarników w istotny sposób determinują warunki atmosferyczne?
Zad. 8. Na podstawie 20 pomiarów oszacowano parametry strukturalne oraz wariancje ocen parametrów struktural-
2 2
Ć Ć
nych: v
t = 10 - 8Xt ; S (b0 ) = 9; S (b1) = 4 . Na poziomie istotności ą = 0,05 zweryfikować hipotezy o istotności
parametrów strukturalnych.
6/7
Autor opracowania: Marek Walesiak
Ć Ć
Zad. 9. Standardowe błędy szacunku parametrów strukturalnych modelu liniowego wynoszą: S(b0) = 0,5 ; S(b1) = 4 .
Wartości empirycznych statystyk t Studenta odpowiadających poszczególnym parametrom strukturalnym przyjęły war-
tości: t0 = 4,5 i t1 = 12 . Obliczyć wartości ocen parametrów strukturalnych.
Zad. 10 (por. [3] zad. 1.18, s. 19). Hurtownia owoców przeprowadziła analizę zależności popytu na jabłka od prze-
ciętnych dochodów mieszkańców pobliskiego miasta otrzymując następujące oszacowania parametrów modelu:
2
Ć
v
t = 4 + 0,5Xt ( S (b1) = 1 4 ). Czy z powodu znacznego wzrostu zamożności mieszkańców miasta hurtownia może
8 16
Ą# ń#
liczyć na istotnie wyższy zbyt swoich produktów? Informacja pomocnicza: XT X = .
ó#16 36Ą#
Ł# Ś#
LITERATURA
[1] Dziechciarz J. (red.) (2003), Ekonometria. Metody, przykłady, zadania, Wyd. AE, Wrocław.
[2] Nowak E. (2002), Zarys metod ekonometrii. Zbiór zadań, PWN, Warszawa.
[3] Welfe A. (red.) (2003), Ekonometria. Zbiór zadań, PWE, Warszawa.
[4] Borkowski B., Dudek H., Szczesny W. (2003), Ekonometria. Wybrane zagadnienia, PWN, Warszawa.
7/7