Slajd 1
Fale elektromagnetyczne
Przyspieszony Å‚adunek emituje pola
elektryczne i magnetyczne propagujÄ…ce
się z prędkością światła c
Slajd 2
Widmo 2
Slajd 3
Równanie różniczkowe fali
elektromagnetycznej
rozpatrzmy prostokątny element nieskończonej powierzchni z prądem
powierzchniowym J [A/m]
Z uogólnionego prawa Ampera dla konturu w
kształcie prostokąta o bokach a, b
wyznaczmy indukcję w pobliżu powierzchni:
y v
J
r r r r
r 1 "E
B Å" ds = µo +" j Å" dS + Å" dS
+" +"
C S c2 "t
S
"E
r a 0 Ò! dS 0
r
b "t
B
B
r
r
B Å" ds = 2Bb = µoJb
0 +"
a
x µoJ
B =
2
µo
J = Jo cos É t Bz (0, t) = Jo cos Ét
2
z
Slajd 4
Wyznaczmy pole magnetyczne w punkcie P odległym od płaszczyzny
r r
r
E Å" dS = -+" EydS = -Eybdx
r +"
r 1 " E
B Å" ds = 0 + dS
+" +"
element powierzchni (b;dx) jest
C c2 " t
skierowany w kierunku ujemnych y
" Ey " Ey
1 1
(Bz + dBz )b - Bzb = - (bdx) dBz = - dx
c2 " t c2 " t
" Ey
dBz
ëÅ‚ öÅ‚ 1
=
ìÅ‚ ÷Å‚ -
dx
íÅ‚ Å‚Å‚ c2 " t
t =const
y
J
r
" Ey
r r " Bz 1
E
= -
E+dE
2
" x " t
h c
składową Ey wyznaczymy z prawa
r
r r P Faradaya dla konturu (h;dx)
r
B
r r
B B
r r
r "B
B+dB
b
b E Å" ds = dS
+" -+"
0
"t
rC r
dx
a
BÅ" dS = BzdS = Bzhdx
x +" +"
" Bz
(Ey + dEy )h - Eyh = - (hdx)
" t
" Bz ëÅ‚ dEy öÅ‚ " Bz
" Ey " Bz
dEy = - dx
ìÅ‚ ÷Å‚ - = -
=
ìÅ‚ ÷Å‚
z " t
dx " t " x " t
íÅ‚ Å‚Å‚
t =const
Slajd 5
Rozwiązując układ równań z dwiema niewiadomymi Bz i Ey otrzymujemy:
" Ey " Ey " Bz
" Bz 1
= - = -
" x " t " x " t
c2
" Ey " ëÅ‚ " Ey öÅ‚ " ëÅ‚ " Bz öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
" " Bz " 1
ëÅ‚ öÅ‚
= ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ =
ìÅ‚- ÷Å‚
ìÅ‚
" x " x " x " t
íÅ‚ Å‚Å‚ c2 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
" t " x " t " t
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"2Ey "2Ey "2Bz "2Bz 1 "2Bz
"2Bz 1
=
= - = -
2
" x2 c2 " t2
"x c2 "x"t " x " t " t2
" Ey " ëÅ‚ " Ey öÅ‚ " ëÅ‚ " Bz öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
" " Bz " 1
ëÅ‚ öÅ‚
= ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ =
÷Å‚
ìÅ‚
" t " x " t " t
íÅ‚ Å‚Å‚ c2 ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚- " t
íÅ‚ Å‚Å‚ " x " x " x
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"2Ey 1 "2Ey
"2Bz
"2Ey "2Ey
"2Bz 1
=
= -
= -
2
2
" t " x " x2 c2 " t2
" x
" t " x
c2 "t
"2y 1 "2y
Porównując ze znanym otrzymaliśmy różniczkowe
=
równaniem fali biegnącej
" x2 u2 " t2 równania Maxwella dla E,B
Slajd 6
r
r r
y
E
r
r E × B
n
n = r r
E × B
r x
Wnioski z
B
wokół płaszczyzny z prądem zmiennym w
czasie powstajÄ… pola magnetyczne i
elektryczne, spełniające równanie falowe,
tzn. pola magnetyczne i elektryczne
rozchodzÄ… siÄ™ jak fala w kierunku osi x, z
prędkością fazową c
pola te są wzajemnie prostopadłe do
siebie i do kierunku rozchodzenia siÄ™ tych
pól w przestrzeni (kierunku propagacji
fali), tzn. Bz Ä„" Ey Ä„" Å„
1
c = = 3 Å" 108 m s
µoµo
Slajd 7
Postać Bz(x,t) i Ey(x,t)
"2Bz 1 "2Bz
µo
=
Warunek brzegowy Bz (0,t) = Jo cos Ét
" x2 c2 " t2 2
îÅ‚ x Å‚Å‚
öÅ‚
Bz (0, t) = Bo cos[Ét + Õ]
Bz (x, t) = Bo cosïÅ‚ÉëÅ‚t - ÷Å‚
+ Õśł Dla x=0
ìÅ‚
c
ðÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ ûÅ‚
µo
Bo = Jo, Õ = 0
µo x
öÅ‚ 2
Bz (x, t) = Jo cos ÉëÅ‚t - ÷Å‚
ìÅ‚
2 c
íÅ‚ Å‚Å‚
KorzystajÄ…c ze zwiÄ…zku:
" Ey "Bz " îÅ‚
x Å‚Å‚ x öÅ‚
öÅ‚
= - = - cos ÉëÅ‚t - ÷łśł ìÅ‚
ïÅ‚Bo ìÅ‚ c Å‚Å‚ûÅ‚ = ÉBo sin ÉëÅ‚t - ÷Å‚
" x " t " t c
ðÅ‚ íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚
x
öÅ‚dx = cBo cos ÉëÅ‚t - x
öÅ‚
Ey = ÉBo +" sin ÉëÅ‚t - ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
+ const const=0 bo Á=0
ìÅ‚
c c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
cµo x x
öÅ‚ öÅ‚
Ey = cBz = Jo cos ÉëÅ‚t - ÷Å‚ ìÅ‚
Ey (x, t) = Eo cos ÉëÅ‚t - ÷Å‚
ìÅ‚
2 c c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Eo = cBo
Slajd 8
r
y
E
x
r
z
B
x
öÅ‚
x öÅ‚
Bz (x, t) = Bo cos ÉëÅ‚t - ÷Å‚
ìÅ‚
Ey (x, t) = Eo cos ÉëÅ‚t - ÷Å‚
ìÅ‚
c
c íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
y
É 2Ä„ 2Ä„
E
B
c = , k = , É =
J
k  T
c
x
E B
z
Pole elektryczne i magnetyczne wokół płaszczyzny z sinusoidalnie zmieniającym
się prądem jest falą sinusoidalną rozchodzącą się w kierunku osi x z prędkością c
nazywanÄ… falÄ… elektromagnetycznÄ…
Slajd 9
Co będzie jeżeli prąd płynący przez
płaszczyznę nie będzie sinusoidalny?
J
n=1
Rozważmy przypadek, kiedy prąd
powierzchniowy określony jest funkcją
t
piÅ‚oksztaÅ‚tnÄ… o okresie Ä=2Ä„/É
" Ä
ëÅ‚ 1
F(t) = sin (n É t)öÅ‚
" ìÅ‚ ÷Å‚
n=2
n
n=1íÅ‚ Å‚Å‚
Rozkład Fouriera periodycznej funkcji F(t)
t
1 1
J = JoëÅ‚sin(É t) - sin(2É t) + sin(3É t)öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
n=3
2 3
íÅ‚ Å‚Å‚
"
1
t
J = Jo ëÅ‚ sin(nÉ t)öÅ‚
" ìÅ‚ ÷Å‚
n
n=1íÅ‚ Å‚Å‚
n=5
Å„Å‚ îÅ‚ üÅ‚
cµo 1 x Å‚Å‚
öÅ‚
E = cB = Jo òÅ‚sinïÅ‚nÉëÅ‚t - ÷łśł
" ìÅ‚
żł
2 nół ðÅ‚ íÅ‚ c
Å‚Å‚
ûÅ‚
þÅ‚
t
Pole w dowolnym punkcie przestrzeni ma
również piłokształtną zależność od czasu
Slajd 10
Wektor Poyntinga
Jedną z ważnych własności ruchu falowego jest zdolność przenoszenia
energii od punktu do punktu. Rozpatrzmy płaską falę elektromagnetyczną
padającą na przewodzącą płytkę o grubości "x indukując prąd I
j
I = jzo"x V = Eyo
Moc tracona na ciepło Joule a
dW
yo = I V = jE(yozo" x)
dt
Indukowany prÄ…d I promieniuje
Epad
falÄ™ elektromagnetycznÄ…
cµo cµo
"E
"E
"E = - J = - j"x
2 2
" x
Straty mocy na jednostkÄ™ powierzchni wynoszÄ…
zo
2
1 dW
B
"PS =
pad "PS = = jE"x - E"E
cµo
yozo dt
Całkowita moc promieniowania z jednostki powierzchni równa
jest całkowitej mocy pochłoniętej w nieskończonej liczbie płytek
r r r
0
1
2
2 1 1
PS = - +" µo
EdE = Epad = EpadBpad PS = E × B
cµo cµo µo
Epad
Wektor Poyntinga
Slajd 11
Wektor Poytinga określa moc promieniowania
na jednostkÄ™ powierzchni i pokazuje kierunek
przepływu energii. Wektory E i B są chwilowymi
r r r
1
wartoÅ›ciami pola elektromagnetycznego PS = E × B
µo
Wyznaczmy gęstość energii pola elektromagnetycznego
padającego na powierzchnię A o grubości dx
dx
dt =
c
PS
dx
dW = PS A dt = PS A = dV
c c
E = cB
PS w = 1 EB
dW
w = =
cµo
dV c
2
B2 B2 B2 E B2
w = = + = +
µo 2µo 2µo 2µoc2 2µo
1
ëÅ‚
2
1 B2 öÅ‚
c =
w = µoE + ÷Å‚
ìÅ‚
2 µo Å‚Å‚
µoµo
íÅ‚
Znany wzór na gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego
Slajd 12
Oddziaływanie
promieniowania z materiÄ…
słaby przewodnik absorbuje energię i pęd fali i
prawie nie odbija (grafit, zjonizowany gaz)
bardzo dobry przewodnik odbija falę całkowicie
(srebro, nadprzewodniki)
w dielektryku fala rozchodzi siÄ™ z mniejszÄ…
prędkością niż w próżni i ulega dyspersji (szkło,
gaz)
w plazmie fala rozchodzi się z prędkością
większą od prędkości światła
Slajd 13
Pęd (ciśnienie) promieniowania
Ilość energii wydzielonej na ciepło Joule a
w elemencie o grubości "x wynosi:
J
dW = (jEdt)(yozo"x)
E = cB
dW = cjzo"xyoBdt
y
o
I = j(zo"x)
E
dW = cIyoBdt
F
m
c Na indukowany prąd działa siła magnetyczna
"x
zgodnie z kierunkiem padania fali
B z r r r
o
Fm = Iyo × B Fm = IyoB
1 PS
Z II zas. dynamiki Newtona dp = Fmdt = IyoBdt = dW dW = dV
c
c
r
Element objętości dV cechuje wektor pędu
r PS
dp = dV
Pomiar pędu strumienia świetlnego jest
2
c
utrudniony bo wartość 1/c jest mała
Slajd 14
Odbicie promieniowania od
przewodnika
Na płytkę z idealnego przewodnika (np. nadprzewodnika) pada fala
elektromagnetyczna. Indukowany prÄ…d powierzchniowy daje pole
promieniowania równe natężeniu fali padającej (bo nie ma strat).
"E = -Epad
r
J
r
Fala stojÄ…ca r
"E
" E
r
r r r
Epad
E = Epad + "E = 0
Fala odbita interferuje z padajÄ…cÄ… dajÄ…c
falę stojącą. Za płytką indukowane pole
znosi siÄ™ z falÄ… padajÄ…cÄ….
Slajd 15
Oddziaływanie promieniowania z
dielektrykiem
Elektrony w postaci chmury
elektronowej przesunięte pod wpływem
zewnętrznego pola elektrycznego
względem protonu (polaryzacja
e2
Éo =
elektronowa) zaczynają drgać z
3
4Ä„µoµr mer
czÄ™stoÅ›ciÄ… koÅ‚owÄ… drgaÅ„ wÅ‚asnych Éo
po usunięciu tego pola.
x
öÅ‚
jeÅ›li na atom pada fala elektromagnetyczna postaci Epad = Eo cos ÉëÅ‚t - ÷Å‚
ìÅ‚
c
íÅ‚ Å‚Å‚
eEo x
öÅ‚
to ustalÄ… siÄ™ drgania wymuszone y = -
ìÅ‚ ÷Å‚
2
m(Éo - É2)cos ÉëÅ‚t - c
íÅ‚ Å‚Å‚
W płytce dielektryka o N elektronach w jednostce objętości indukuje się prąd
o gęstości j
dy Ne2ÉEo x
öÅ‚
j = N(-e) = -
ìÅ‚ ÷Å‚
2
dt
m(Éo - É2)sin ÉëÅ‚t - c
íÅ‚ Å‚Å‚
cµo
"E = - j"x
Pole promieniowania emitowane przez elektrony płytki
2
Slajd 16
cµoNe2É x öÅ‚ x Ä„ öÅ‚
öÅ‚
"E = = "EO cosëÅ‚ÉëÅ‚t - ÷Å‚ - ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ìÅ‚
o
2
2m(Éo - É2)E "x sin ÉëÅ‚t - c c 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ Å‚Å‚
"Eo
¸
¸
Wypadkowe pole elektryczne emitowanej fali jest superpozycjÄ… Epad i "E
Ä„
E' = Epad + "E E' = Eo cos ¸ + "Eo cos(¸ - )
2
Pole to jest przesuniÄ™te w fazie wzglÄ™dem Epad o kÄ…t Õ (dla "Eo << Eo)
y
Õ H" tg Õ = "Eo / Eo
Ä„/2
Przesunięcie fazowe wynika z mniejszej
Eo "Eo
prędkości u=c/n rozchodzenia się fali EM
Õ
w płytce o współczynniku załamania n
E o
¸ x
"x "x
öÅ‚
"x
Õ = ÉëÅ‚ - ÷Å‚ - 1)
= É(n
ìÅ‚
"Eo c
c / n c
íÅ‚ Å‚Å‚
Światło (fala EM) w ośrodku dielektrycznym
Ne2
ulega dyspersji: wiÄ™ksze É czyli krótsza fala
n = 1 +
2
to współczynnik zaÅ‚amania jest wiÄ™kszy  2µom(Éo - É2)
tzw. dyspersja normalna
Slajd 17
Współczynnik załamania związany jest z
przenikalnością dielektryczną i magnetyczną ośrodka
1 c c
u = = =
pryzmat
µoµr µoµr µr µr n
n
1
białe
Éo É
Dla wiÄ™kszoÅ›ci atomów Éo>É, gdzie É odpowiada
zakresowi widzialnemu światła. Przy przejściu od
zakresu czerwonego do fioletowego widma
współczynnik załamania wzrasta  rośnie również
odchylenie promieni przechodzÄ…cych przez pryzmat
Slajd 18
Promieniowanie elektromagnetyczne
w ośrodku zjonizowanym
W plazmie lub zjonizowanym gazie elektrony nie Ne2
n = 1 +
sÄ… zwiÄ…zane, wiÄ™c Éo=0 2
2µom(Éo - É2)
Ne2
n = 1 -
2µomÉ2
W tym przypadku współczynnik załamania n<1, co
oznacza, że prędkość fali jest większa od c (u=c/n).
Zjawisko to nosi nazwÄ™ dyspersji anomalnej.
Czynnikiem fizycznym powodującym pojawienie się prędkości
większej od prędkości światła są relacje fazowe pomiędzy siła
wymuszajÄ…cÄ… a przemieszczeniem oscylujÄ…cego Å‚adunku
(siła wyprzedza przemieszczenie)
Slajd 19
Promieniowanie Å‚adunku punktowego
(promieniowanie dipolowe)
Z równań Maxwella można pokazać, że w odległości r od ładunku punktowego q
poruszajÄ…cego siÄ™ z przyspieszeniem a powstaje pole promieniowania postaci
µoq
E = - a sin ¸
a
¸ 4Ä„r
Ps Polu temu towarzyszy pole magnetyczne
B=E/c, czyli Å‚adunek jest z
ródłem fali
elektromagnetycznej o wektorze Poytinga
1 µoq2
Ps = E Å" B = a2 sin2 ¸
W przypadku ruchu Wave.swf
µo 16Ä„2r 2c
harmonicznego a=-É2Acos Ét w
kierunku prostopadłym do
µoqAÉ2
drgaÅ„ otrzymujemy pole r µopoÉ2 r
öÅ‚ öÅ‚
E = cos ÉëÅ‚t - ÷Å‚ ìÅ‚
= cos ÉëÅ‚t - ÷Å‚
ìÅ‚
promieniowania oscylujÄ…cego
4Ä„r c 4Ä„r c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
dipolu elektrycznego o
momencie dipolowym po=qA
2
poÉ4
Dla ustalonej amplitudy oscylacji całkowita średnia
Ps =
moc wypromieniowania jest proporcjonalna do É4 12Ä„µoc3
Slajd 20
Rozpraszanie światła
fala elektromagnetyczna oddziaływują na elektrony
pobudza je do drgań, w których elektrony, zbliżając się do
jÄ…dra i oddalajÄ…c od niego, tworzÄ… oscylujÄ…ce dipole
elektryczne
dipole te stają się wtórnym z
ródłem promieniowania fal
EM, rozchodzÄ…cych siÄ™ we wszystkich kierunkach z takÄ…
samą częstością jak fala pierwotna  rozpraszanie
Rayleigha
moc promieniowania rozproszonego zależy od É4  stÄ…d
przewaga barwy niebieskiej w rozpraszanym świetle
słonecznym
oprócz rozpraszania czynnikiem osłabienia fali pierwotnej
jest absorpcja światła i dyspersja