NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
Z MATEMATYKI
ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW.ZADANIA.INFO
POZIOM ROZSZERZONY
19 MARCA 2011
CZAS PRACY: 180 MINUT
ZADANIE 1 (4 PKT.)
Przez środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ABC poprowadzono prostą równo-
|DC|
ległą do boku BC i przecinającą bok AB w punkcie D. Oblicz iloraz .
|DB|
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
A
D
60o
C
B
a
Oznaczmy długość boku trójkąta równobocznego przez a. Wiemy, że środek trójkąta
równobocznego dzieli wysokość w stosunku 2 : 1, czyli
AD 1 a
= 2 �! DB = AB = .
DB 3 3
Możemy teraz z twierdzenia cosinusów wyliczyć długość odcinka DC. Liczymy
DC2 = BD2 + BC2 - 2 � BD � BC cos 60ć%
a2 a 1
DC2 = + a2 - 2 � � a �
9 3 2
10 a2 10 3 7
DC2 = a2 - = a2 - a2 = a2
"9 3 9 9 9
7
DC = a.
3
Materiał pobrany z serwisu
1
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Zatem
"
7
"
a
DC
3
= = 7.
a
DB
3
"
Odpowiedz
: 7
ZADANIE 2 (6 PKT.)
2
Dana jest funkcja f (x) = .
|x+3|-1
a) Naszkicuj wykres funkcji y = f (x) i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań
równania f (x) = m w zależności od parametru m.
b) Liczby x1 i x2 są różnymi pierwiastkami równania f (x) = m. Oblicz x1 + x2.
ROZWI
ZANIE
a) Zauważmy, że
2 2
= dla x -3
x+3-1 x+2
f (x) =
2 2
= - dla x < -3.
-x-3-1 x+4
2
Zatem na prawo od -3 mamy hiperbolę y = przesuniętą o 2 jednostki w lewo, a
x
2
na lewo od -3 hiperbolę y = - przesuniętą 4 jednostki w lewo. Teraz wykonujemy
x
szkicowy rysunek.
y
+5
+1
-5 -1 +5 x
-1
-5
Z wykresu odczytujemy liczbę rozwiązań równania f (x) = m.
ńł
�ł " (-2, 0
�ł0 dla m
1 dla m = -2
�ł
ół2 dla m
" (-", -2) *" (0, +").
Materiał pobrany z serwisu
2
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ńł
�ł " (-2, 0
�ł0 dla m
Odpowiedz
: 1 dla m = -2
�ł
ół2 dla m
" (-", -2) *" (0, +").
b)
Sposób I
Przekształćmy interesujące nas równanie
2
= m
|x + 3| - 1
2
= |x + 3| - 1
m
2
+ 1 = |x + 3|
m
2 2
x + 3 = + 1 (" x + 3 = - - 1
m m
2 2
x = - 2 (" x = - - 4.
m m
Zatem suma pierwiastków jest równa
2 2
x1 + x2 = - 2 - - 4 = -6.
m m
Sposób II
2
Zauważmy, że wykres funkcji y = f (x) powstaje z wykresu funkcji y = przez
|x|-1
2
przesunięcie o 3 jednostki w lewo. Funkcja y = jest funkcją parzystą, więc ma oś
|x|-1
symetrii x = 0. To oznacza, że wykres funkcji y = f (x) również ma oś symetrii  prostą
x = -3. Ponadto, z poprzedniego podpunktu wiemy, że jeżeli równanie f (x) = m
ma co najmniej dwa pierwiastki, to ma dokładnie dwa pierwiastki. W połączeniu z
symetrią wykresu oznacza to, że liczby x1 i x2 leżą symetrycznie względem prostej
x = -3. Zatem
x1 + x2
= -3 �! x1 + x2 = -6.
2
Sposób III
Materiał pobrany z serwisu
3
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Przekształćmy interesujące nas równanie
2
= m
|x + 3| - 1
2
= |x + 3| - 1
m
2
+ 1 = |x + 3| /()2
m
2
2
+ 1 = x2 + 6x + 9.
m
Zatem liczby x1 i x2 są pierwiastkami powyższego równania kwadratowego. Na mocy
wzorów ViŁte a mamy
x1 + x2 = -6.
Odpowiedz
: x1 + x2 = -6
ZADANIE 3 (5 PKT.)
Między liczby -5 i 49 wstaw dwie liczby tak, aby trzy pierwsze tworzyły ciąg arytmetyczny,
a trzy ostatnie ciąg geometryczny.
ROZWI
ZANIE
Oznaczmy pierwsze trzy liczby przez a = -5, b = -5 + r, c = -5 + 2r, a trzy ostatnie
przez
b = -5 + r, c = (-5 + r)q, d = (-5 + r)q2.
W szczególności
-5 + 2r = (-5 + r)q
(-5 + r)q2 = 49.
Jeżeli r = 5, to drugie równanie przyjmuje postać 0 = 49, co oczywiście nie jest możliwe.
-5+2r
Zatem r = 5 i z pierwszego równania możemy wyliczyć q = . Podstawiamy tę wartość
-5+r
do drugiego równania.
(-5 + r)q2 = 49
(-5 + 2r)2
(-5 + r) � = 49 / � (-5 + r)
(-5 + r)2
(-5 + 2r)2 = 49(-5 + r)
25 - 20r + 4r2 = -245 + 49r
4r2 - 69r + 270 = 0
" = 692 - 16 � 270 = 441 = 212
69 - 21 48 69 + 21 45
r = = = 6 (" r = = .
8 8 8 4
Materiał pobrany z serwisu
4
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Mamy wtedy odpowiednio
b = -5 + r = 1 '" c = -5 + 2r = -5 + 12 = 7
45 25 45 35
b = -5 + r = -5 + = '" c = -5 + 2r = -5 + = .
4 4 2 2
25 35
Odpowiedz
: Należy wstawić liczby 1 i 7 lub i
4 2
Podobają Ci się nasze rozwiązania?
Zadania.info
Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!
ZADANIE 4 (4 PKT.)
Wierzchołki A i B kwadratu ABCD leżą na paraboli y = x2 - 6x + 19, przy czym odcinek
AB jest równoległy do osi Ox. Wykaż, że jeżeli odległość punktu A od osi Ox jest liczbą
całkowitą to pole kwadratu ABCD również jest liczbą całkowitą.
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
y
D C
+20
y=m
A B
+10
m
+2
-10 -2 +3 +10 x
Powiedzmy, że wierzchołki A i B mają współrzędne A = (x1, m) i B = (x2, m). Zatem
punkty A i B są punktami wspólnymi danej paraboli i prostej y = m. To oznacza, że liczby
x1 i x2 są pierwiastkami równania
x2 - 6x + 19 = m
x2 - 6x + 19 - m = 0.
Obliczenie x2 i x1 nie jest zbyt przyjemne, ale my nie potrzebujemy tych liczb  potrzebne
nam jest tylko pole kwadratu, czyli
2 2
AB2 = (x2 - x1)2 = x1 + x2 - 2x1x2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2.
Materiał pobrany z serwisu
5
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Teraz wystarczy skorzystać ze wzorów ViŁte a.
AB2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 36 - 4(19 - m).
Teraz widać, że jeżeli m jest liczbą całkowitą, to całkowite jest też pole kwadratu ABCD.
ZADANIE 5 (4 PKT.)
Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC o bokach długości |AB| = 8, |BC| = 6, |AC| = 10
jest styczny do boków AC i BC w punktach D i E. Proste DE i AB przecinają się punkcie F.
Oblicz pole trójkąta EBF.
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.
C
4 ą
D
4
E
6
S
2
2
ą
A
F
6 B
2
Zacznijmy od wyliczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Ze wzoru na pole
z promieniem okręgu wpisanego mamy
a + b + c 1
� r = S = � ab
2 2
ab 8 � 6 48
r = = = = 2.
a + b + c 8 + 6 + 10 24
Zatem EC = BC - r = 4.
Na narysowanym obrazku jest sporo trójkątów prostokątnych  w tym interesujący nas
trójkąt EBF. Kluczowe do rozwiązania zadania jest zauważenie, że niektóre z nich są po-
dobne. Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy BFE = ą to
DEC = BEF = 90ć% - ą.
Stąd
SCE = 90ć% - DEC = 90ć% - (90ć% - ą) = ą.
To oznacza, że trójkąty EBF i SEC są podobne. W obu z nich długość przyprostokątnej le-
żącej naprzeciw kąta ą jest równa 2, więc trójkąty te są przystające. Zatem BF = EC = 4 i
interesujące nas pole jest równe
1
SEBF = � 2 � 4 = 4.
2
Odpowiedz
: 4
Materiał pobrany z serwisu
6
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 6 (5 PKT.)
Dane są punkty A = (2, 1), B = (4, 1), S1 = (-22, 1) i S2 = (8, 1). Odcinek CD jest obrazem
odcinka AB w jednokładności o skali dodatniej i środku S1, jak i w jednokładności o skali
ujemnej i środku S2. Oblicz współrzędne punktów C i D.
ROZWI
ZANIE
Wykonujemy szkicowy rysunek  niestety niewiele on nam pomoże, bo wszystkie podane
punkty leżą na jednej prostej.
S1 A B S2 C D
S1 A B S2 C D
|CD|
Oznaczmy przez k > 0 skalę podobieństwa odcinków CD i AB (tzn. k = ). W ta-
|AB|
kim razie jednokładność o środku S1 ma skalę k, a jednokładność o środku S2 ma skalę -k.
Jednocześnie, jeżeli pierwsza przekształca punkty A i B na C i D odpowiednio, to druga
przekształca A na D, a B na C. Te informacje pozwalają wyznaczyć współrzędne punktów
C i D.
Oznaczmy C = (c, 1) i D = (d, 1). Mamy zatem
ńł ńł
- - - -
�łS C k S1A �łS D
= � = -k � S2A
1 2
'"
- - - -
ółS1 ółS2C
D = k � S1B = -k � S2B.
[c + 22, 0] = k � [24, 0] [d - 8, 0] = -k � [-6, 0]
'"
[d + 22, 0] = k � [26, 0] [c - 8, 0] = -k � [-4, 0].
Otrzymujemy stąd układ równań.
ńł
+ =
�ł
�łc 22 24k
�ł
�łd 22 26k
+ =
�łd 8 6k
- =
�ł
�ł
ół
c - 8 = 4k
Odejmując od pierwszego równania ostatnie mamy
3
30 = 20k �! k = .
2
Zatem
3
c - 8 = 4 � = 6 �! c = 14
2
3
d - 8 = 6 � = 9 �! d = 17.
2
To oznacza, że C = (14, 1) i D = (17, 1).
Odpowiedz
: (14, 1) i (17, 1)
Materiał pobrany z serwisu
7
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 7 (3 PKT.)
W nieskończonym ciągu geometrycznym (an) o wyrazach dodatnich każdy wyraz począw-
szy od trzeciego, jest sumą dwóch poprzednich wyrazów. Oblicz iloraz tego ciągu.
ROZWI
ZANIE
Jeżeli oznaczymy trzy pierwsze wyrazy ciągu przez a1, a1q, a1q2 to mamy równanie
a1q2 = a1 + a1q / : a1
q2 = 1 + q
q2 - q - 1 = 0
" = 1 + 4 = 5
" "
1 - 5 1 + 5
q = (" q = .
2 2
"
1+ 5
Ponieważ ciąg ma mieć wyrazy dodatnie, musi być q = .
2
"
1+ 5
Odpowiedz
:
2
ZADANIE 8 (5 PKT.)
Wielomian W(x) = x5 - x3 + px2 + qx + r jest podzielny przez wielomian R(x) = x3 + x +
12. Wyznacz liczby p, q i r.
ROZWI
ZANIE
Sposób I
Można na początku spróbować rozłożyć wielomian R(x) = x3 + x + 12 na czynniki, ale nic
z tego nie wyjdzie  wielomian ten nie ma pierwiastków wymiernych.
Spróbujmy więc inaczej, skoro W(x) dzieli się przez R(x) to dla pewnego wielomianu
Q(x) mamy
W(x) = Q(x)R(x).
W dodatku trochę wiemy o Q(x) - musi mieć stopień 2 i musi mieć współczynnik 1 przy x2.
Szukamy więc wielomianu Q(x) = x2 + ax + b spełniającego równość
x5 - x3 + px2 + qx + r = (x2 + ax + b)(x3 + x + 12)
x5 - x3 + px2 + qx + r = x5 + ax4 + x3(1 + b) + x2(12 + a) + x(12a + b) + 12b.
Dwa wielomiany są równe jeżeli mają równe współczynniki, więc patrząc na współczynnik
przy x4 otrzymujemy a = 0, a patrząc na współczynnik przy x3 mamy b = -2. Porównując
pozostałe współczynniki dostajemy
p = 12 + a = 12
q = 12a + b = -2
r = 12b = -24.
Materiał pobrany z serwisu
8
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Sposób II
Dzielimy W(x) przez R(x) ignorując parametry  my zrobimy to grupując wyrazy.
x5 - x3 + px2 + qx + r = (x5 + x3 + 12x2) - x3 - 12x2 - x3 + px2 + qx + r =
= x2(x3 + x + 12) - 2(x3 + x + 12) + 2x + 24 + (p - 12)x2 + qx + r =
= (x2 - 2)(x3 + x + 12) + (p - 12)x2 + (q + 2)x + (r + 24).
Skoro wielomian W(x) ma się dzielić przez R(x) bez reszty, otrzymana reszta musi być
równa 0. Zatem p = 12, q = -2, r = -24.
Odpowiedz
: (p, q, r) = (12, -2, -24)
ZADANIE 9 (4 PKT.)
Wyznacz wszystkie liczby naturalne n spełniające równanie
n + 8 n + 6
= 6 � .
n + 3 n + 2
ROZWI
ZANIE
Korzystamy ze wzorów
n n
=
k n - k
n n(n - 1)(n - 2) � � � (n - k + 1)
= .
k k!
Mamy zatem
n + 8 n + 6
= 6 �
n + 3 n + 2
n + 8 n + 6
= 6 �
5 4
(n + 8)(n + 7)(n + 6)(n + 5)(n + 4) (n + 6)(n + 5)(n + 4)(n + 3)
= 6 � .
5! 4!
(n+6)(n+5)(n+4)
Skracamy teraz obie strony przez i otrzymujemy:
4!
(n + 8)(n + 7)
= 6(n + 3) / � 5
5
(n + 8)(n + 7) = 30(n + 3)
n2 + 15n + 56 = 30n + 90
n2 - 15n - 34 = 0
" = 225 + 136 = 361 = 192
15 - 19 15 + 19
n = = -2 (" n = = 17.
2 2
Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy n = 17.
Odpowiedz
: n = 17
Materiał pobrany z serwisu
9
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
ZADANIE 10 (5 PKT.)
Rzucamy 9 razy symetryczną 6-ścienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w
każdych trzech kolejnych rzutach otrzymamy trzy różne liczby oczek?
ROZWI
ZANIE
Za zdarzenia elementarne przyjmujemy 9-elementowe ciągi otrzymanych liczb oczek, czyli
|&!| = 69.
Policzmy ile jest zdarzeń sprzyjających. Na pierwszej kostce może być dowolna liczba oczek,
na drugiej musi być inna liczba oczek niż na pierwszej, na trzeciej inna niż na pierwszych
dwóch, na czwartej inna niż na poprzednich dwóch itd. W sumie jest więc
6 � 5 � 4 � 4 � � � 4 = 6 � 5 � 47
zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo wynosi
7
6 � 5 � 47 5 � 47 5 2
= = � .
69 6 � 67 6 3
7
5 2
Odpowiedz
: �
6 3
ZADANIE 11 (5 PKT.)
Odległość środka podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego od krawędzi bocznej
równa się a, a kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa równa się 2ą. Oblicz
wysokość ostrosłupa.
ROZWI
ZANIE
Rozpoczynamy od rysunku.
S
ą ą
b
h
b
G
D
C
a
E
A
B
F
Materiał pobrany z serwisu
10
  NAJWI
KSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAC
Z MATEMATYKI
Niech SE będzie wysokością ostrosłupa, SF wysokością ściany bocznej ABS, a G rzutem
punktu E na krawędz
AS. Oznaczmy ponadto długość krawędzi bocznej przez b, a długość
wysokości ostrosłupa przez h.
Z trójkąta prostokątnego AFS mamy
AF
= sin ą �! AF = b sin ą.
AS
Odcinek AE jest połową przekątnej kwadratu o boku 2AF, czyli
" " "
1
AE = � (2AF) 2 = AF 2 = 2b sin ą.
2
Teraz wystarczy skorzystać z podobieństwa trójkątów prostokątnych AES i EGS (inny spo-
sób to policzyć pole trójkąta AES na dwa sposoby). Mamy zatem
AE GE
=
AS SE
"
2b sin ą a
=
b h
a
h = " .
2 sin ą
a
"
Odpowiedz
:
2 sin ą
Materiał pobrany z serwisu
11