Portfel inwestycyjny zadania
Tabela 1
Wariant Wartość stopy Liczba ekspertów
(k) zwrotu (rk) (w%)
1 6 1
2 7 2
3 8 4
4 9 5
5 10 3
6 11 2
7 12 1
8 13 1
9 14 1
Zadanie:
Na podstawie danych zawartych w tabeli 1 wyznacz średnią roczną stopę zwrotu z lokaty
środków w akcje spółki X
E(R)  średnia oczekiwana stopa zwrotu
- oznacza k-tą wartość (k-ty wariant) stopy zwrotu, k =1,2,& .,n.
- prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa R przyjmie wartość
E(R)= 6 x 1/20+7 x 2/20+ 8 x 4/20+9 x 5/20 +& .= 9,4
średnia arytmetyczna
średnia geometryczna
Oblicz średnią arytmetyczną i geometryczną na podstawie danych. Okres r1= -10%, r2 =
20%, r3=5%
najniższy odsetek
1000zł
-10%
1 okres) 900 zł +20%
2 okres) 1080 zł +5%
3 okres) 1134 zł  1000 zł = 134 ą� 13,4%:3 = 4,47%
Portfel inwestycyjny zadania
W oparciu o tabele 1 wyznacz wariancje i odchylenie standardowe stopy zwrotu
Wariancja
Odchylenie standardowe
Tabela 2 Stopa zwrotu z akcji spółki X
Tydzień stopa zwrotu (rk)
(w%)
1 -1,5 -2,0 4,0
2 1,0 0,5 0,25
3 0,5 0 0
4 3,5 3,0 9,0
5 -1,0 -1,5 2,25
6 0,0 -0,5 0,25
7 4,5 4,0 16,00
8 -3,0 -3,5 12,25
Suma 44,00
Dane historyczne:
Estymacja wariancji i odchylenia standardowego stopy zwrotu
Wariancja
Odchylenie standardowe
Wariancja
Odchylenie standardowe
zakres <1,85;0,5;2,85>
Współzmienność stopy zwrotu z dwóch papierów wartościowych
Kowariancja ))
Korelacja =
12
Skośność
Portfel inwestycyjny zadania
Na podstawie danych zawartych w tabeli 1 wyznaczyć skośność stopy zwrotu
Skośność
Na podstawie danych zawartych w tabeli 1 wyznaczyć spłaszczenie stopy zwrotu
Spłaszczenie
Stopa zwrotu z akcji spółek U oraz W
Ru 6% 7% 8% 9%
Rw
8% 4
9% 6 4
10% 4 2
Suma 4 6 8 2
E(Ru) = 6 x 4/20 + 7 x 6/20 + 8 x 8/20 + 9 x 2/20 = 7,4
E(Rw) = 8 x 4/20 + 9 x 10/20 + 10 x 6/20 =9,1
D2(Ru)= (6-7,4)2*0,2+(7-7,4)2 x 0,3 +(8-7,4)2 x 0,4 + (9-7,4)2 x 0,01 = 0,84
D(Ru)=0,92
D2(Rw)= (-1,1)2*0,2+(-0,1)2 x 0,5 +(0,9)2 x 0,3=0,49
D(Rw)=0,7
odchylenie od -0,4 0,6 1,6
średniej
6-7,4=-1,4
8-9,1 = -1,1 1,54
0,2Ł�4/20
-0,1 0,04 -0,06
0,3=ą�6/20 0,2ą�4/20
0,9 0,54 1,44
0,2ą�4/20 0,1ą�2/20
covUW= 1,54*0,2+0,04x 0,3+(-0,06)x0,2+0,54x 0,2 + 1,44 x 0,1 = 0,56
korelacja UW = 0,56/0,92 x 0,7=0,87 korelacja dodatia
zakres korelacji <-1,1>
korelacja pełna -1 lub 1 wraz ze wzrostem wart. spółki A wzrasta spółka B (/spada)
0  brak korelacji
Portfel inwestycyjny zadania
Na podstawie danych zawartych w tabeli 2 oszacuj skośność rozkładu stopy zwrotu
Na podstawie danych zawartych w tabeli 2 oszacuj spłaszczenie rozkładu stopy zwrotu
Na postawie tabeli 3 oblicz kowariancję i korelację
Forma historyczna
Kowariancja
Korelacja =
12
Tydzień r1(w%) r2(w%)
1 -1,5 -0,5 -2,0 -0,5 1,0
2 1,0 2,0 0,5 2,0 1,0
3 0,5 1,0 0,0 1,0 0,0
4 3,5 1,0 3,0 1,0 3,0
5 -1,0 -1,0 -1,5 -1,0 1,5
6 0,0 -1,0 -0,5 -1,0 0,5
7 4,5 0,5 4,0 0,5 2,0
8 -3,0 -2,0 -3,5 -2,0 7,0
16
cov1,2 = 16/8 = 2
p1,2 = 2/ pierw 5,5x1,56 = 0,68
Oczekiwana stopa zwrotu z portfela
Portfel inwestycyjny zadania
Wariancja i odchylenie standardowe
Od jakiej kwoty otrzymano 15 zł odsetek za okres 2 miesięcy przy stopie procentowej
18% w skali roku.
18:6 = 3%
100 zł ą� 3 zł
15=Ko*,18*1/6 ą� Ko=500 zł
Przy jakiej stopie procentowej przypada 4 zł odsetek od kwoty 200 zł za 30 dni
4=200 x r x 1/12
r = 24 %
1 okres
2%=4 zł
2 x 12 = 24 zł
Wzór na kapitał końcowy:
Wzór na kapitał końcowy, gdy odnosimy się do okresów rocznych:
Wpłacono do banku kwotę 850 zł wkład ten jest oprocentowany wg stopy procentowej 14%
w skali roku. Jaki będzie stan konta po dwóch latach
Po ilu latach kapitał początkowy w wysokości 750 zł złożony na 11% podwoi się
Portfel inwestycyjny zadania
Wzór na odsetki przy regularnych kwotach wpłat
K  kwota wpłaty
r  stopa procentowa
n  ilość wpłat
m  częstotliwość wpłat
Wzór na kapitał końcowy
Jaką wielkość należy wpłacać przez 3 kwartały, aby zgromadzić wraz z odsetkami kwotę
1500 zł, roczna stopa procentowa wnosi 10%
Kn =� 1500
n =� 3
m =� 4
r =� 10% =� 0,1
Kn =� O +� K *n
K *r n(n +�1)
Kn =� * +� K *n
m 2
Kn
K =�
r *n*(n +�1)
n +�
2m
1500
K =� =� 476
0,1*3*(3 +�1)
3 +�
2*4
Wyznaczyć wartość lokaty 10000 zł po upływie roku, jeżeli w pierwszych 5 miesiącach stopa
procentowa wynosiła 12% a w kolejnych siedmiu 10%
*ri 5*0,12 +� 7*0,1
��ti
rS =� =� =� 0,108 =�10,8%
5 +� 7
��ti
n =�1
Kn =� KO *(1+� r *n)
Kn =�10000*(1+� 0,108*1) =�11080
Portfel inwestycyjny zadania
Kupujesz urządzenie za 10000 zł zapłatę odroczono o 45 dni przy stopie procentowej, 27%
jaką kwotę zapłacisz regulując zobowiązanie
KO =� 10000
t =� 45
r =� 27% =� 0,27
t
Kn =� KO *(1+� r * )
T
45
Kn =� 10000*(1+� 0,27* ) =� 10337,5
360
Ulokowałeś 100 zł na 6 lat, stopa oprocentowania zmieniała się, co 2 lata i wynosiła
odpowiednio 17%, 15%, 13% jaką kwotę dysponujesz powyżej wymienionym okresie
utrzymywania lokaty
*ri 2*0,17 +� 2*0,15 +� 2*0,13
��ti
rS =� =� =� 0,15 =�15%
6
��ti
n =� 6
Kn =� KO *(1+� r *n)
Kn =�100*(1+� 0,15*6) =�190
Ulokowano w banku kwotę 600 zł w dniu 5 marca nominalna stopa procentowa 36%, jaką
kwotę pobierze lokato dawca w dniu 9 maja tego samego maja, jeśli odsetki nie są
kapitalizowane
t
Kn =� KO *(1+� r * )
T
64
Kn =� 600*(1+� 0,36* ) =� 638,4
360
Ile powinno się trzymać kapitał, aby wzrósł on, co najmniej 2,5 raz, ale nie więcej niż 3 razy
przy rocznej stopie procentowej 14%
3KO ł� Kn ł� 2,5KO
KO *(1+� r *n) Ł� 3KO : KO
KO *(1+� r *n) ł� 2,5KO : KO
1+� r *n Ł� 3
1+� r *n ł� 2,5
r *n Ł� 2
r *n ł� 1,5
2
n Ł�
1,5
0,14
n ł�
0,14
n Ł� 14,28
n ł� 10,71
n ��(�10,71;14,28)�
Portfel inwestycyjny zadania
Pod koniec każdego z 5 kolejnych miesięcy wpłacamy na rachunek bankowy 500 zł przy
oprocentowaniu, 10% jaką kwotę będziemy dysponować na koniec 5 miesiąca.
K =� 500
m =� 12
n =� 5
r =� 10%
K * r n(n +�1)
Kn =� * +� K *n
m 2
500*0,1 5(5 +�1)
Kn =� * +� 500*5 =� 2562,5
12 2
Ulokowałeś 100 zł na 6 lat, stopa oprocentowania zmniejszała się, co 2 lata i wynosiła
odpowiednio 17,15,13. Jaką kwotą dysponujesz po wyżej wymienionym okresie lokaty w
przypadku?
a) kapitalizacji rocznej
b) oprocentowania ciągłego
Kn =� KO *(1+� r)n
K2 =�100*(1+� 0,17)2 =�136,89
K4 =�136,89*(1+� 0,15)2 =�181,04
K6 =�181,04*(1+� 0,13)2 =� 231,16
Kn =� KO *en*r
K2 =� 100*e2*0,17
K2 =� 100*e0,34
K4 =� 100*e0,34 *e2*0,15
K4 =� 100*e0,34 *e0,3
K6 =� 100*e0,34 *e0,3 *e2*0,13
K6 =� 100*e0,34 *e0,3 *e0,26
K6 =� 100*e0,9 =� 245,96
Chcesz ulokować 1000 zł na 2 lata, cztery banki oferują poniższe warunki dla lokat
Bank A  oprocentowanie proste, r = 20%, kapitalizacja na koniec okresu
Bank B  oprocentowanie nominalne 19%, kapitalizacja kwartalna
Bank C  oprocentowanie efektywne 20,5%
Bank D  oprocentowanie nominalne 18,5%, kapitalizacja ciągła
Portfel inwestycyjny zadania
A: C :
Kn =� KO *(1+� r *n)
Kn =� KO *(1+� ref )n
Kn =�1000*(1+� 0,2*2) =�1400
Kn =�1000*(1+� 0,205)2 =� 1452,025
B :
D :
r
Kn =� KO *en*r
Kn =� KO *(1+� )n*m
m
Kn =�1000*e2*0,185
0,19
Kn =�1000*(1+� )2*4 =� 1449,54
Kn =�1000*e0,37 =� 1447,73
4
A :
Kn
ref =� 2 -�1
KO
1400
2
ref =� -�1 =� 0,183 =� 18,3%
1000
B :
r
ref =� (1+� )m -�1
m
0,19
ref =� (1+� )4 -�1 =� 0,2039 =� 20,39%
4
C :
ref =� 20,5%
D :
ref =� er -�1
ref =� e0,185 -�1 =� 0,2032 =� 20,32%
ref < r przy zastosowaniu rachunku odsetek prostych
ref > r przy zastosowaniu kapitalizacji m-razy (dziennej, miesięcznej lub kwartalnej)
ref > r przy zastosowaniu kapitalizacji ciągłej
Wpłacasz pewną kwotę na rachunek o stopie oprocentowania nominalnego 18% i kapitalizacji
półrocznej. Po jakim czasie kwota na rachunku będzie dwukrotnie większa
0,18
r
log 2 =� log(1+� )2n
Kn =� KO *(1+� )n*m
2
m
0,18
r
log 2 =� 2n*log(1+� )
2KO =� KO *(1+� )n*m : KO
2
m
log 2
r
n =�
2 =� (1+� )n*m
0,18
m
2log(1+� )
2
0,18
2 =� (1+� )2n
log 2
2
n =� =� 4,06
2log1,09
Portfel inwestycyjny zadania
Ilość pieniędzy złożonych na rachunku wzrasta po półtora roku o 50% przy kapitalizacji
miesięcznej. Jaka była by stopa nominalna i efektywna
r
Kn =� KO *(1+� )n*m
m
r
1,5KO =� KO *(1+� )n*m : KO
m
r
1,5 =� (1+� )n*m
m
r
1,5 =� (1+� )1,5*12
12
r
1,5 =� (1+� )18 18
12
r =� (181,5 -�1) *12 =� 0,2733 =� 27,33%
r
ref =� (1+� )m -�1
m
0,2733
ref =� (1+� )12 -�1 =� 0,31 =� 31%
12
Wpłacasz 100 zł na 5 lat. Jaka stopa efektywnego oprocentowania zapewni podwojenie
oszczędności przy kapitalizacji kwartalnej
r
Kn =� KO *(1+� )n*m
r =� (20 2 -�1)*4 =� 0,1408 =�14,08%
m
r
r
ref =� (1+� )m -�1
2KO =� KO *(1+� )n*m : KO
m
m
0,1408
r
ref =� (1+� )4 -�1 =� 0,1484 =�14,84%
2 =� (1+� )n*m
4
m
r
2 =� (1+� )5*4
4
r
20
2 =� (1+� )20 :
4
Pewien kapitał złożono na procent składany, kapitalizacja odsetek następuje, co kwartał a
efektywna roczna stopa procentowa jest równa 33%. Ile wynosi zgodna stopa procentowa a
ile nominalna stopa
r
ref =� (1+� )m -�1
m
r
ref +�1 =� (1+� )m
m
r =� (m (ref +�1) -�1)*m
r =� (4 (0,33 +�1) -�1)*4 =� 0,2955 =� 29,55%
r 0,2955
rm =� =� =� 0,07389 =� 7,389%
m 4
Portfel inwestycyjny zadania
Na rachunku umieszczasz 100 zł, kapitalizacja kwartalna, stopa oprocentowania efektywnego
15%. Pieniądze wycofujesz po 8 miesiącach. Jaką kwotę otrzymasz
r
ref =� (1+� )m -�1
m
r
ref +�1 =� (1+� )m
m
r =� (m (ref +�1) -�1)*m
r =� (4 (0,15 +�1) -�1)*4 =� 0,1422 =� 14,22%
r
Kn =� KO *(1+� )n*m
m
8
*4
0,1422
Kn =�100*(1+� )12
4
0,1422
Kn =�100*(1+� )2,67 =� 109,77
4
Po 3 latach na rachunku jest 1000 zł. Jaką kwotę wpłacono przy nominalnej stopie
procentowej, 16% jeżeli kapitalizacja była?
a) roczna
b) ciągła
Kn =� KO *en*r
Kn
Kn =� KO *(1+� r)n
KO =�
en*r
Kn
KO =�
1000
(1+� r)n KO =�
e3*0,16
1000
KO =� =� 640,65 1000
KO =� =�
(1+� 0,16)3
e0,48
Wyznaczyć nominalną stopę procentową dla kapitału w wysokości 2000 zł, który po dwóch
latach przyniósł 500 zł odsetek przy rocznej stopie kapitalizacji.
Kn =� KO +� O =� 2000 +� 500 =� 2500
Kn =� KO (1+� r)n : KO
Kn
n
=� (1+� r)n :
KO
Kn
n =� 1+� r
KO
Kn
n
r =� -�1
KO
2500
2
r =� -�1 =� 0,118 =�11,8%
2000
Portfel inwestycyjny zadania
Wpłacasz 500 zł na 5 lat, jaka stopa oprocentowania efektywnego zapewni podwojenie
Twoich oszczędności przy kapitalizacji tygodniowej.
r
2KO =� KO (1+� )n*m : KO
m
r
n*m
2 =� (1+� )n*m :
m
r
n*m
2 =�1+�
m
r =� (n*m 2 -�1)*m
r =� (5*52 2 -�1)*52 =� 0,138 =� 13,8%
r
ref =� (1+� )m -�1
m
0,138
ref =� (1+� )52 -�1 =� 0,1486 =�14,86%
52
Bank zmienił oprocentowanie z 20% na 22%. Równocześnie wydłużył kapitalizacje z
kwartału na pół roku. Czy prawdziwa jest informacja banku, że zmiana ta nie pogorszy
sytuacji jego klientów.
r
ref =� (1+� )m -�1
m
0,20
ref =� (1+� )4 -�1 =� 0,2155 =� 21,55%
4
0,22
ref =� (1+� )2 -�1 =� 0,2321 =� 23,21%
2
Stopa efektywna w drugim przypadku przy stopie nominalnej 22% i kapitalizacji półrocznej
jest wyższa niż w przypadku pierwszym, tak więc sytuacja klienta nie została pogorszona.