Podstawy obliczeń
i rachunek współrzędnych
wykłady z przedmiotu
 Geodezja i kartografia
Dr hab. inż. Andrzej Kobryń
Formy rachunkowe Hausbrandta
Podstawowym pojęciem w symbolice Hausbrandta jest forma
rachunkowa prosta (czteroelementowy zbiór liczb ujętych w
prostokÄ…tnÄ… tabelÄ™:
a b
f ºð
c d
Forma rachunkowa jest jedynie sposobem zapisu i nie określa
żadnych działań matematycznych.
Działania takie są możliwe jedynie po ustaleniu określonej funkcji
rachunkowej.
Forma rachunkowa złożona składa się z dwóch lub większej ilości
form rachunkowych prostych zapisanych obok siebie np.:
a1 b1 a2 b2 an bn
F ºð .....
c1 d1c2 d2 cn dn
Funkcje form rachunkowych
Funkcja pierwsza (iloczyn wyznacznikowy) jest to suma
wyznaczników drugiego stopnia obliczonych z poszczególnych
form rachunkowych prostych:
F1 =ð a1d1 -ð b1c1 +ð a2d2 -ð b2c2 +ð ...+ð andn -ð bncn =ð
=ð
åð(ða di -ð bici )ð
i
Funkcja druga (iloczyn kolumnowy) jest to suma iloczynów par
elementów znajdujących się w poszczególnych kolumnach formy
rachunkowej:
F2 =ð a1c1 +ð b1d1 +ð a2c2 +ð b2d2 +ð ...+ð ancn +ð bndn =ð
=ð
åð(ða ci +ð bidi )ð
i
Funkcje form rachunkowych (c.d.)
Funkcja zerowa (iloraz główny) jest to stosunek funkcji pierwszej
do drugiej:
F1
F0 =ð
F2
Funkcje względne proste stanowią ilorazy funkcji pierwszej lub
drugiej przez sumę elementów dolnego lub górnego wiersza
formy rachunkowej.
W zależności od tego, który wiersz podlega sumowaniu, symbol
funkcji (1) lub (2) umieszcza się u dołu lub u góry symbolu formy:
F1 F2
F(1) =ð ; F(2) =ð ;
Sð(ci +ð di ) Sð(ci +ð di )
F1 F2
F(1) =ð ; F(2) =ð
Sð(ai +ð bi ) Sð(ai +ð bi )
Funkcje form rachunkowych (c.d.)
Funkcje względne kwadratowe są ilorazami funkcji pierwszej lub
drugiej przez sumę kwadratów elementów dolnego lub górnego
wiersza formy.
Podobnie jak poprzednio w zależności od tego, czy sumujemy
kwadraty elementów dolnego, czy górnego wiersza, odpowiedni
symbol funkcji  jedynkę lub dwójkę w nawiasie kwadratowym lub
małym kwadracie  umieszczamy u dołu lub u góry symbolu
formy:
F1 F2
F[1] =ð ; F[2] =ð ;
Sð(ci 2 +ð di 2) Sð(ci 2 +ð di 2)
F1 F2
F[1] =ð ; F[2] =ð
Sð(ai 2 +ð bi 2) Sð(ai 2 +ð bi 2)
Orientacja pomiarów geodezyjnych
Azymut AAB boku AB:
kÄ…t poziomy, zawarty w
przedziale od 0 do 400g,
pomiędzy kierunkiem północy
wychodzÄ…cym z punktu A a
danym bokiem AB, liczony od
kierunku północy w prawo,
czyli zgodnie z ruchem
wskazówek zegara
ABA =ð AAB Ä…ð 200g
wyróżnia się kierunki północy:
¨ð geograficznej,
¨ð topograficznej
¨ð magnetycznej
Definicje kierunków północy
geograficzna
(kierunek północnej części południka
geograficznego, Å‚Ä…czÄ…cego ten punkt z
geograficznym biegunem północnym
Ziemi)
Wyznaczenie kierunku północy
geograficznej i azymutu przedmiotu
ziemskiego stanowiÄ… jedno z
ważniejszych zadań astronomii
geodezyjnej.
Dość dokładnie kierunek ten wskazuje
Gwiazda Polarna (að -Ursae Minoris)
w gwiazdozbiorze Małej Niedz
wiedzicy.
Definicje kierunków północy
topograficzna (kartograficzna)
(ściśle związana z przyjętym odwzorowaniem
kartograficznym oraz z zależnym od niego układem
współrzędnych prostokątnych)
Dodatni kierunek osi x układu pokrywa się
przeważnie z kierunkiem północy geograficznej
(południka geograficznego).
Dla punktów znajdujących się poza osią x, kierunek
północy topograficznej stanowi prostą równoległą
do półosi +x.
Południki wyznaczające północ geograficzną w
różnych punktach terenowych nie są jednak
równoległe, lecz zbiegają się w punkcie N 
biegunie północnym Ziemi.
Dlatego odchylenie kierunku północy topograficznej
danego punktu A od północy geograficznej tego
punktu jest równe kątowi g, zwanemu zbieżnością
południków (rys. 8.2). Dodając kąt g do azymutu
topograficznego At, otrzymamy azymut
geograficzny.
magnetyczna
(kierunek jest wskazywany przez igłę magnetyczną
busoli, umieszczonej w punkcie poczÄ…tkowym A)
Podstawowe zwiÄ…zki
Przyrosty współrzędnych:
"xAB =ð XB -ð X
A
"y =ð YB -ð YA
AB
czyli:
"xAB =ð -ðDðxBA
"yAB =ð -ðDðyBA
Współrzędne końca linii:
XB =ð X +ð "xAB
A
YB =ð YA +ð "y
AB
Podstawowe zwiÄ…zki (c.d.)
przyrosty współrzędnych
"xAB =ð dAB ×ð cos AAB
"yAB =ð dAB ×ð sin AAB
zależności pomocnicze
DðyAB
tg AAB =ð
DðxAB
2 2
dAB =ð DðxAB +ð DðyAB
oraz:
"xAB
cos AAB =ð
dAB
"yAB
sin AAB =ð
dAB
Znaki przyrostów współrzędnych
znaki przyrostów współrzędnych są zależne od położenia końca linii
względem lokalnego układu współrzędnych z początkiem
znajdujÄ…cym siÄ™ w punkcie poczÄ…tkowym linii
Znaki przyrostów współrzędnych (c.d.)
Obliczenie azymutu i długości linii
ze współrzędnych
Obliczenie punktu przecięcia dwóch
prostych
Obliczenie kąta ze współrzędnych
I sposób
bð =ð ACP -ð ACL
II sposób
tg ACP -ð tg ACL
tg bð =ð tg (ðACP -ð ACL)ð =ð
1+ð tg ACP ×ð tg ACL
DðyCL DðyCP
; tg ACP =ð
tg ACL =ð
DðxCP DðxCP
DðyCP DðyCL DðxCL ×ð DðyCP -ð DðyCL ×ð DðxCP
-ð
DðxCP DðxCL DðxCL ×ð DðxCP
tg bð =ð =ð
DðyCP DðyCL DðxCL ×ð DðxCP +ð DðyCL ×ð DðyCP
1+ð ×ð
DðxCP DðxCL DðxCL ×ð DðxCP
czyli:
DðxCL ×ð DðyCP -ð DðxCP ×ð DðyCL
tg bð =ð
DðxCL ×ð DðxCP +ð DðyCL ×ð DðyCP
Obliczenie kąta ze współrzędnych
z użyciem form Hausbrandta
wzory obliczeniowe
DðxCL DðyCL
tg bð =ð
DðxCP DðyCP 0
czyli:
DðxCL ×ð DðyCP -ð DðxCP ×ð DðyCL
tg bð =ð
DðxCL ×ð DðxCP +ð DðyCL ×ð DðyCP
Transformacja współrzędnych
Transformacja współrzędnych (c.d.)
wzory transformacyjne (w ujęciu Hausbrandta)
kontrola obliczeń  za pomocą pierwszego wzoru dla różnic
współrzędnych między punktami dostosowania P i Q
Transformacja współrzędnych (c.d.)
Tok obliczeń:
obliczenie współczynników u oraz v
¨ð przeliczenie współrzÄ™dnych Dðx i Dðy na DðX i DðY
¨ð obliczenie współrzÄ™dnych wszystkich punktów w ukÅ‚adzie XY
(za pomocÄ… metody poligonowej)
kontrola obliczeń
¨ð m.in. przez transformacjÄ™ z ukÅ‚adu wtórnego na ukÅ‚ad pierwotny
Transformacja współrzędnych (c.d.)
poligon wyznaczający kolejność obliczeń transformowanych
współrzędnych punktów
Transformacja z wykorzystaniem
wzoru macierzowego
Transformacja z wykorzystaniem
wzoru macierzowego (c.d.)
współczynnik
zmiany
skali
kąt skrętu
Transformacja sposobem Helmerta
tzw. transformacja 4-parametrowa
ma zastosowanie, jeśli liczba punktów
dostosowania jest większa od 2
polega na wyrównaniu metoda najmniejszych
kwadratów różnic vx i vy między znanymi
współrzędnymi punktów dostosowania (X, Y) a
ich współrzędnymi po transformacji (Xt, Yt)
warunek
Sðvp2 = Sð(vx2+vy2) = minimum
Transformacja sposobem Helmerta
 procedura obliczeniowa
obliczenie współrzędnych bieguna B przekształcenia
Transformacja sposobem Helmerta
 procedura obliczeniowa (c.d.)
obliczenie w obu układach przyrostów współrzędnych między
poszczególnymi punktami dostosowania a biegunem
Transformacja sposobem Helmerta
 procedura obliczeniowa (c.d.)
zestawienie formy rachunkowej i obliczenie współczynników
przekształcenia
obliczenie w układzie pierwotnym przyrostów między
poszczególnymi parami sąsiednich punktów (rozpoczynając i
kończąc na biegunie) => suma przyrostów = 0
Transformacja sposobem Helmerta
 procedura obliczeniowa (c.d.)
obliczenie w układzie wtórnym przyrostów między poszczególnymi
parami sąsiednich punktów (ciąg rozpoczynający się i kończący na
biegunie) => suma przyrostów = 0
obliczenie w układzie wtórnym współrzędnych wszystkich punktów
Transformacja sposobem Helmerta
 inne kwestie
problem wyboru współrzędnych punktów dostosowania (podwójne
wartości  przed i po transformacji)
¨ð zwykle pozostawia siÄ™ współrzÄ™dne pierwotne
skutek - deformacja sieci przetransformowanych punktów
w celu minimalizacji tych deformacji  tzw. poprawki Hausbrandta
do współrzędnych pierwotnych wszystkich punktów (z wyjątkiem
punktów dostosowania)
Transformacja sposobem Helmerta
 inne kwestie (c.d.)
ilustracja obliczania wag
ostateczne wartości współrzędnych transformowanych punktów
sieci pierwotnej (z pominięciem punktów dostosowania)