Warszawa, 20 listopada 2013
Zadania domowe Menum
Wydanie zadań: 20 listopada 2013 r do godz. 24:00
Zwrot prac domowych: tylko do dnia 18 grudnia 2013r do godz. 18:15
Forma prac: postać papierowa, wydruk komputerowy o wysokiej jakości
Zawartość pracy: 1) imię i nazwisko studenta, numer i treść zadania
2) opis metody lub metod numerycznych wykorzystanych do
rozwiązania zadania
3) program lub algorytm obliczeniowy realizujący każdą z
opisanych metod
4) prezentacja otrzymanych wyników numerycznych (najlepiej
w postaci graficznej)
5) dyskusja otrzymanych wyników (poprawność, błędy
numeryczne oraz inne)
Przyporządkowanie zadań: 1) student znajduje swój numer porządkowy (numer) na
załączonej liście dziekańskiej,
2) na liście zadań student znajduje zadnie o numerze Znumer
Uwagi: rozwiązanie zadania innego niż przydzielone albo zwrot
pracy domowej po wskazanym terminie oznaczają ocenę zero
punktów
**************************************
Z1. Dana jest macierz A i wektor b:
9 4.5 3 - 9
ł ł
ę ę ś
A = 56 - 28 -18ś b = 54
ę- ś ę ś
ę ś ę ś
60 30 19
- 57
a) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą eliminacji Gaussa oraz metodą
SOR z dokładnością 0.01.
b) Oblicz wartości własne oraz normę l1 macierzy A.
c) W macierzy A element a33 zastąp elementem a331=18.95. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
d) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a332=19.05. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z2. Dana jest macierz A i wektor b:
2 2 1 -1
ł ł
ę ę ś
A = 3 - 2 1ś b =
ę ś ę-10ś
ę ś ę ś
- 7
- 4 2 5
a) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą dekompozycji LU oraz metodą
SOR z dokładnością 0.005.
b) Oblicz wartości własne oraz normę lĄ macierzy A.
c) W macierzy A element a33 zastąp elementem a331=4.95. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
d) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a332=5.05. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
1
Warszawa, 20 listopada 2013
Z3. Dana jest macierz A i wektor b:
-1 0 2 - 7
ł ł
ę ę ś
A = 3 5 - 6ś b = 25
ę ś ę ś
ę ś ę ś
2 1 - 5
15
a) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą dekompozycji LU oraz metodą
Jacobiego z dokładnością 0.001.
b) Oblicz wartości własne oraz normę Euklidesową macierzy A.
c) W macierzy A element a33 zastąp elementem a331=-4.95. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
d) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a332=-5.05. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z4. Dana jest macierz A i wektor b:
4 - 2 0 14
ł ł
ę ś ę ś
A = 2 2 - 3 b =
ę- ś ę-11ś
ę ś ę ś
0 - 3 - 25 28
e) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą dekompozycji LLT oraz metodą
Gaussa-Seidla z dokładnością 0.001.
f) Oblicz odwrotność oraz wartości własne macierzy A.
g) W macierzy A element a22 zastąp elementem a221=1.95. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
h) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a222=2.05. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z5. Dana jest macierz A i wektor b:
0.04 0.01 - 0.01 - 0.05
ł ł
ę ś ę ś
A = 0.2 0.5 - 0.2 b = - 0.1
ę ś ę ś
ę ś ę ś
1 2 4 9
a) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą eliminacji Gaussa oraz metodą
Jacobiego z dokładnością 0.001.
b) Oblicz normy l1 oraz lĄ macierzy A.
c) W macierzy A element a11 zastąp elementem a331=0.03. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
d) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a112=0.06. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z6. Dana jest macierz A i wektor b:
4 -1 1 8
ł ł
ę2 ę ś
A = 5 2ś b = 3
ę ś ę ś
ę ś ę
1 2 4 11ś
a) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą eliminacji Gaussa-Jordana oraz
metodą Jacobiego z dokładnością 0.01.
b) Oblicz wartości własne i normy l1 oraz Euklidesową macierzy A.
c) W macierzy A element a33 zastąp elementem a331=3.99. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
2
Warszawa, 20 listopada 2013
d) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a332=4.01. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z7. Dana jest macierz A i wektor b:
16 4 - 4 0 - 24
ł ł
ę ę ś
4 10 - 4 0ś
ę ś ę-18ś
A = b =
ę ś ę ś
- 4 - 4 6 4 22
ę ś ę ś
0 0 4 8 20
a) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą Choleskiego-Banachiewicza
oraz metodą SOR z dokładnością 0.0001.
b) Oblicz wyznacznik i macierz odwrotną macierzy A.
c) W macierzy A element a44 zastąp elementem a441=8.02. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
d) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a442=7.98. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z8. Dana jest macierz A i wektor b:
64 8 16 64
ł ł
ę ś ę74ś
A = 8 37 8 b =
ę ś ę ś
ę ś ę
16 8 21 11ś
a) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą dekompozycji LLT oraz metodą
SOR z dokładnością 0.005.
b) Oblicz macierz odwrotną i wartości własne macierzy A.
c) W macierzy A element a33 zastąp elementem a331=20.97. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
d) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a332=21.03. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z9. Dana jest macierz A i wektor b:
4 1 2 4
ł ł
ę ę ś
A = 2 6 1ś b = 2
ę ś ę ś
ę ś ę
-1 1 4 -10ś
a) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą eliminacji Gaussa-Jordana.
Oblicz wartości własne macierzy A.
b) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą metodą Gaussa-Seidla z
dokładnością 0.011 dla dwóch różnych punktów początkowych x0=(1,1,1) oraz x1=(0,-1,0).
c) W macierzy A element a33 zastąp elementem a111=4.05. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
d) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a112=3.95. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z10. Dana jest macierz A i wektor b:
3 -1 1 6
ł ł
ę3 ę
A = 9 3ś b = 6ś
ę ś ę- ś
ę ś ę ś
1
2 - 2 5
a) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą eliminacji Gaussa oraz metodą
Gaussa-Seidla z dokładnością 0.001.
b) Oblicz normy l1 oraz lĄ macierzy A.
3
Warszawa, 20 listopada 2013
c) W macierzy A element a33 zastąp elementem a221=8.98. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
d) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a222=9.02. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z11. Dana jest macierz A i wektor b:
10 -1 0 - 6
ł ł
ę ę ś
A = 10 - 3ś b = 9
ę-1 ś ę ś
ę ś ę ś
0 -1 10 4
e) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą dekompozycji LLT oraz metodą
Jacobiego z dokładnością 0.0005.
f) Oblicz odwrotność i wartości własne macierzy A.
g) W macierzy A element a33 zastąp elementem a331=18.95. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
h) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a332=19.05. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z12. Wyznacz wielomiany interpolacyjne Lagrange a oraz Newtona dla funkcji określonej tablicą:
x -1 0 2 3 5 6 6.5
f(x) -3 1 3 2 5 6 4.5
Wyznacz i porównaj błędy interpolacji.
Z13. Wyznacz wielomiany interpolacyjne 4-go stopnia Lagrange a oraz Newtona dla funkcji
określonej tablicą:
x 0.0 0.1 0.3 0.6 1.0
f(x) -6.0000 -5.89483 -5.65014 -5.17788 -4.28172
Wyznacz i porównaj błędy interpolacji.
Z14. Wyznacz wielomiany interpolacyjne 6 go stopnia Lagrange a oraz Newtona dla funkcji
określonej tablicą:
x 0.1 0.2 0.4 0.9 1.0 1.25 1.45
f(x) -3 1 3 2 5 6 4.5
Wyznacz i porównaj błędy interpolacji.
Z15. [MARELENA DROBOT]
Dana jest belka sprężysta obciążona jak na Rys 1 o przekroju porzecznym jak na Rys 2.
4
Warszawa, 20 listopada 2013
1) Stosując program FEMAP wyznacz siły wewnętrzne, oraz wartości przemieszczeń w punkcie
przyłożenia siły. Dane: a=100mm, E=2,1 105MPa, v=0,3, q=10 N/mm, d=10mm, D=20mm.
2) Wyznacz równanie linii ugięcia belki stosując niejawną metodę Eulera do rozwiązania
zwyczajnego równania różniczkowego drugiego rzędu.
Z16. Dane są cztery punkty (1,0), (3,3), (4,1), (5,-1). Wyznacz wielomian interpolacyjny stopnia co
najmniej 7-go posiadający w każdym z tych punktów punkt ekstremalny.
Z17. [MARIUSZ GABREL]
Populacja ludności Kanady od 1930 do 2010 roku wynosiła w mln:
Rok 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010
Ludność 10,2 12,4 14,5 15,5 17,9 19,5 23,5 24,4 25,1
Używając powyższych danych wyznacz wielomiany interpolacyjne Lagrange a oraz Newtona
opisujące proces wzrostu populacji w badanym okresie. Wykorzystaj wyznaczone wielomiany do
oceny wielkości populacji w latach 1920, 1965, 2003 oraz 2020. Co można powiedzieć o dokładności
oceny populacji w każdym z tych lat?
Z18. Dane są cztery punkty (1,0), (3,3), (4,1), (5,-1). Wyznacz wielomian interpolacyjny stopnia co
najmniej 7-go posiadający w każdym z tych punktów punkt przegięcia.
Z19. Liczba odlewów produkowanych przez firmę K_na_ODLEW wynosiła w tysiącach sztuk na
koniec każdego roku:
rok 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Liczba odlewów 234 276 302 295 332 350 325
5
Warszawa, 20 listopada 2013
Wyznacz wielomiany interpolacyjne Lagrange a i Newton a 6-go stopnia używając powyższych
danych. Jaka była wielkość produkcji odlewów w czerwcu 2003 oraz w listopadzie 2006 roku i na
koniec 2010 roku? Jaka jest dokładność oceny wielkości produkcji?
Z20. [KRZYSZTOF GIŻYCSKI]
Ciało o masie m=2kg spoczywało połączone dwiema szeregowo zespolonymi sprężynami o
sztywnościach 2c1=c2=1000N/m. W chwili t0=0 s ciało wychylono z położenia równowagi statycznej o 4
cm w dół i puszczono bez prędkości początkowej. Sformułuj równanie ruchu masy m. Stosując
metodę różnic skończonych ( jawną oraz niejawną metodę Eulera) wyznacz trajektorię drgań masy m.
Wyznacz okres, amplitudę drgań oraz położenie ciała po czasie t=3s. Wyznacz i porównaj błędy
numeryczne obu metod.
Z21. [DANIEL GÓRAL]
Dany jest złożony układ prętów jak na rysunku poniżej. Wyznacz siły przekrojowe i narysuj ich
wykres. Sformułowany układ równań liniowych rozwiąż metodą Gausa oraz metodą SOR. Wyznacz i
porównaj błędy obliczeniowe obu metod.
Z22. [PATRYK GRABOWSKI]
Mechanizm z podwójnym postojem opisany jest układem równań nieliniowych gdzie wektor
niewiadomych x=(j1, j2, j3, j4, j6, j7) spełnia układ równań:
F1=-r11-r1sinj1+r2sinj2+r3cosj3=0,
F2=r1cosj1 + r2cosj2-r3sinj3-r13=0,
F3=r3cos(p-a-j3)+r4cosj4 +(r5+r6)cosj6-r12-r10=0,
F4= r3sin(p-a-j3)-r4sinj4 +(r5+r6)sinj6-r9-r13=0,
F5=-r6cosj6+r7cosj7-r8cosj8+r10=0,
F6=-r6sinj6-r7sinj7-r8sinj8+r9=0.
6
Warszawa, 20 listopada 2013
Dane: r1=0.018, r2=0.052, r3=0.028, r4=0.046, r5=r6=0.022, r7=0.04, r8=0.014, r9=0.044, r10=r11=0.004,
r12=0.082, r13=0.038, a=p/3. Niech F=[F1, F2, F3, F4, F5, F6]. Wyznacz metodą bisekcji oraz metodą
stycznych rozwiązanie x układu równań nieliniowych:
F(x)=0
dla dwóch wartości parametru j8: a) j8 = 0 b) j8 = p/4. Wyznacz i porównaj błędy obliczeniowe obu
metod.
Z23. Dla funkcji f(x)=3xex e2x obliczyć wartość funkcji f(1.03) za pomocą wielomianu
interpolacyjnego Hermite a stopnia 5 przyjmując punkty węzłowe x0=1, x1=1.05, x2=1.07. Oszacuj błąd
obliczeniowy.
Z24. Wyznacz wielomiany interpolacyjne 6 go stopnia Lagrange a oraz Newtona dla funkcji
określonej tablicą:
x -1.2 -0.5 0.0 0.6 1.6 2.1 2.6
f(x) -3 1 3 2 5 6 4.5
Wyznacz i porównaj błędy interpolacji.
Z25. Wyznacz wielomiany interpolacyjne 6 go stopnia Lagrange a oraz Newtona dla funkcji
określonej tablicą
x 0.01 0.09 0.16 0.26 0.38 0.42 0.60
f(x) -3 1 3 2 5 6 4.5
Wyznacz i porównaj błędy interpolacji.
Z26. Dane są cztery punkty (-1,0), (2,3), (3,-3), (4,1). Wyznacz wielomian interpolacyjny stopnia co
najmniej 7-go posiadający w każdym z tych punktów punkt ekstremalny. Oszacuj błąd obliczeniowy.
Z27. Dane są cztery punkty (-1,0), (2,3), (3,-3), (4,1). Wyznacz wielomian interpolacyjny stopnia co
najmniej 7-go posiadający w każdym z tych punktów punkt przegięcia. Oszacuj błąd obliczeniowy.
Z28. W tabeli zebrano dane z pewnego eksperymentu:
Czas t w [s] 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000
Odległość d w [m] 0.1960 0.7850 1.7665 3.1405 4.9075
Okazuje się, ze dane z tabeli opisane są funkcją d=1/2gt2, gdzie d oznacza odległość w metrach a t to
czas mierzony w sekundach. Wyznacz wartość przyśpieszenia ziemskiego g. Oszacuj błąd
obliczeniowy.
Z29. W poniższej tabeli zestawiono wyniki badań eksperymentalnych dotyczących wpływu ilości
czynnika chłodzącego x na liczbę defektów powierzchniowych y:
x 0 7 15 21 35 49 64 70
y 99.48 83.93 66.02 56.83 45.60 32.46 21.76 19.11
Zakładając, że funkcja aproksymująca zadana jest wzorem y(x)=be-kx wyznacz estymaty parametrów
b i k tej funkcji przy założeniu następujących kryteriów błędu:
n n
a) J = - y)2 b) J = yi - y |
(yi |
i=1 i=1
7
Warszawa, 20 listopada 2013
Z30. Wyznacz wielomian aproksymacyjny stopnia czwartego dla następujących danych:
xi 1 1.5 2 2.5 3 4 4.5 5
yi 3 4.75 7 9.75 13 14.5 16.75 19.85
Następnie wyznacz ortogonalny wielomian aproksymacyjny stopnia czwartego z wykorzystaniem
wielomianów Grama. Porównaj oba otrzymane wielomiany. Oszacuj błąd obliczeniowy.
Z31. Wyznacz wielomian aproksymacyjny stopnia czwartego dla następujących danych:
xi 1 1.5 2 2.5 3 4 4.5 5
yi 1.5 -2.6 4.2 5.1 12.1 18.3 24.4 28.9
Następnie wyznacz ortogonalny wielomian aproksymacyjny stopnia czwartego z wykorzystaniem
wielomianów Legendre a. Porównaj oba otrzymane wielomiany. Oszacuj błąd obliczeniowy.
Z32. Przyśpieszenie ziemskie g w zależności od wysokości nad powierzchnią Ziemi h jest opisane
danymi:
h [m] 0 20000 40000 60000 80000
g [m/s2] 9.81000 9.7487 9.6879 9.6278 9.5682
Wyznacz wartość przyśpieszenia ziemskiego g na wysokości 55 000 m stosując:
a) model kwadratowy g(h) = a0+a1h+a2h2
b) model eksponencjalny g(h) = a0+a1exp(a2h)
c) model potęgowy g(h) = a0+a1ha2
Porównaj otrzymane wyniki. Oszacuj błąd obliczeniowy.
Z33. Zależność stopnia aktywności promieniowania radiowego dla pewnego układu podwójnego
gwiazd względem czasu przyjmuje postać okresową. W tabeli zestawiono wybrane obserwacje tej
wielkości:
xi
p/3 p/2 2p/3 p 4p/3 3p/2
yi -1 1 -1 1 -1 1
Rozwiąż zadanie aproksymacji średniokwadratowej przy zastosowaniu modelu zjawiska w postaci
następującej funkcji trygonometrycznej:
n
g(x) = a0 + sin(ix) + bi cos(ix), i=1,& ,n,
ai
i=1
Dla kolejnych n=1,2,& Jaka minimalna wartość n pozwoli na osiągnięcie błędu aproksymacji na
poziomie zerowym. Zilustruj wyniki odpowiednimi wykresami. Oszacuj błąd obliczeniowy.
Z34. W eksperymencie fizycznym wykonano pomiar ciężaru P w Niutonach wody wyciekającej z
cylindrycznego naczynia w zależności od czasu t w sekundach:
t [s] 1 6.06 11.12 16.18 21.23 26.29 31.35 36.41 41.47 46.53 51.59 56.64
P [N] 2.85 2.74 2.63 2.46 2.35 2.24 2.14 2.03 1.97 1.92 1.81 1.81
8
Warszawa, 20 listopada 2013
Wyznacz najlepszy w sensie metody najmniejszych kwadratów wielomian aproksymujący zależność P
od t w oparciu o dane z tabeli. Jaki jest ciężar wody w naczyniu w 30 sekundzie? Oszacuj błąd
obliczeniowy.
Z35. W eksperymencie pomiarowym zmierzono odległość d do przyrządu pomiarowego toczącej się
po równi pochyłej kulki w zależności od czasu t:
Wyznacz funkcję kwadratową aproksymującą powyższe dane stosując kryterium minimalizacji a)
błędu średniokwadratowego b) błędu maksymalnego. Wyznacz odległość w chwili t=2.02 s. Oszacuj
błąd obliczeniowy.
Z36. Wyznacz wielomian aproksymacyjny stopnia piątego dla następujących danych:
xi 1 1.5 2 2.5 3 4 4.5 5
yi 1.5 -2.6 4.2 5.1 12.1 18.3 24.4 28.9
Następnie wyznacz ortogonalny wielomian aproksymacyjny stopnia piątego z wykorzystaniem
wielomianów Czebyszewa. Porównaj oba otrzymane wielomiany.
Z37. Wykonaj zadanie regresji liniowej dla następujących danych:
xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
yi 2.9 2.8 2.7 2.3 2.1 2.1 1.7
stosując a) kryterium sumy kwadratów błędów b) kryterium sumy wartości bezwzględnych błędów.
Porównaj na wykresie uzyskane wyniki. Wyznacz wartość funkcji dla x=1.0. Oszacuj błąd
obliczeniowy.
Z38. Wyznacz współczynniki wielomianu aproksymującego 2, 3 i 5 stopnia dla następujących węzłów
aproksymacji:
xi -4.001671 -1.125367 1.342565 2.848676 4.147236 5.971023
yi 1.231469 -3.237849 7.910278 -2.923678 6.347865 8.346236
Oszacuj i porównaj błędy aproksymacji.
Z39. Wyznacz wielomian aproksymacyjny pierwszego stopnia oraz współczynniki funkcji wykładniczej
aproksymującej dane w tabeli:
xi 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.3
yi 750 1000 1400 2000 2700 3750
Oszacuj i porównaj błędy aproksymacji. Wyznacz wartość funkcji dla x=3.1.
Z40. Dana jest funkcja logistyczna postaci
a
y(t) = , a, b, c > 0.
1+ be-ct
9
Warszawa, 20 listopada 2013
Używając metody najmniejszych kwadratów wyznacz współczynniki a, b i c jeśli wiadomo, że:
t -3 -2 -1 0 1 2 3
y 0.001 0.005 0.0010 0.5 1.1 2.1 3.5
Oszacuj błąd obliczeniowy.
Z41. Zanurzenie x kuli o promieniu R=5.5 w wodzie opisane jest równaniem:
x3 - 0.165x2 + 3.993*10-4 = 0
Wyznacz głębokość na jaką zanurzy się kula czterema metodami. Porównaj wyniki i błędy w
poszczególnych iteracjach stosowanych metod. Opisz uzyskane wyniki.
Z42. Model równowagi masy dla koncentracji zanieczyszczeń w dobrze wymieszanym jeziorze można
zapisać w postaci równania:
dc
V = W - Qc - kV c
dt
Jeżeli objętość V=1*106 m3, przepływ Qc=1*105 m3/s, W=1*103 kg/s i k=6.325m0.5/kg0.5/s to ile wynosi
koncentracja c w stanie ustalonym? Wyznacz c czterema metodami. Porównaj wyniki i błędy w
poszczególnych iteracjach stosowanych metod. Opisz uzyskane wyniki.
Z43. Prędkość spadającego skoczka spadochronowego jest wyznaczona wzorem:
c
- t
mg
m
v = (1- e )
c
gdzie g=9.81m/s2. Dla współczynnika oporu c=14 kg/s oblicz masę skoczka m jeśli wiadomo, że
prędkość w chwili t=7s wynosiła v=35 m/s. Wyznacz m czterema metodami. Porównaj wyniki i błędy w
poszczególnych iteracjach stosowanych metod. Opisz uzyskane wyniki.
Z44. Rozwiąż układ równań nieliniowych stosując metodę iteracyjną Newtona:
2 2
1
x1 + x2 - 4 = 0 oraz ex = x2
Dokonaj wizualizacji układu równań i na tej podstawie oszacuj wartość pierwiastka. Następnie dla 4
wybranych punktów startowych (każdy w innej ćwiartce układu współrzędnych) wyznacz rozwiązanie
z dokładnością do 10-6. Wyznacz tabele kolejnych przybliżeń rozwiązania układu i przedstaw je w
postaci wykresu.
Z45. Rozwiąż układ równań nieliniowych stosując metodę iteracyjną Newtona:
2
sin(x1 + x2) = 1 oraz ex = x1 + x2
Dokonaj wizualizacji układu równań i na tej podstawie oszacuj wartość pierwiastka. Następnie dla 4
wybranych punktów startowych (każdy w innej ćwiartce układu współrzędnych) wyznacz rozwiązanie
z dokładnością do 10-6. Wyznacz tabele kolejnych przybliżeń rozwiązania układu i przedstaw je w
postaci wykresu.
Z46. [MARCIN MAJEWSKI]
Dany jest następujący zestaw wartości yi funkcji w punktach xi:
10
Warszawa, 20 listopada 2013
xi -0,3 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
yi 0,1 0,5 0,2 0,7 1,5 2,2 2,8
1. Wyznacz wielomiany aproksymacyjne stopnia pierwszego, drugiego i trzeciego metodą
najmniejszych kwadratów korzystając kolejno z:
a) bazy wielomianów w postaci naturalnej,
b) bazy wielomianów ortogonalnych np. Czebyszewa.
2. Wyznacz metodą najmniejszych kwadratów wielomian aproksymacyjny będący funkcją
wykładniczą o postaci y=a+becx.
3. Wyznacz maksymalny błąd aproksymacji w każdym z przypadków.
Z47. Rozwiąż układ równań nieliniowych stosując metodę iteracyjną Newtona:
2 2
1
x1 + x2 - 4 = 0 oraz ex = sin(x2)
Dokonaj wizualizacji układu równań i na tej podstawie oszacuj wartość pierwiastka. Następnie dla 4
wybranych punktów startowych (każdy w innej ćwiartce układu współrzędnych) wyznacz rozwiązanie
z dokładnością do 10-6. Wyznacz tabele kolejnych przybliżeń rozwiązania układu i przedstaw je w
postaci wykresu.
Z48. Koncentracja c składnika chemicznego w jednorodnym reaktorze opisana jest równaniem:
c = ctn(1- e-0.04t ) + c0e-0.04t
Jeśli koncentracja początkowa wynosi c0=4 a koncentracja dopływu ctn=10 to ile wynosi czas
potrzebny na osiągnięcie koncentracji równej 93% ctn? Wyznacz t czterema metodami. Porównaj
wyniki i błędy w poszczególnych iteracjach stosowanych metod. Opisz uzyskane wyniki.
Z49. Równanie Redlicha-Kwonga stanu gazu ma następującą formę:
RT a
p = -
V - b
V (V +1) T
gdzie R=0.518 (kJ/kg*K) oznacza uniwersalną stałą gazową, T temperatura absolutna w skali
Kelvina, p- ciśnienie w kPa, V objętość gazu na 1 kg (m3/kg). Współczynniki a i b można wyznaczyć
z zależności:
R2Tc5/ 2 Tc
a = 0.427 , b = 0.0866R gdzie pc= 4600 kPa i Tc= 191K.
pc pc
Wyznaczyć ilość metanu V która może być trzymana w zbiorniku o objętości 3 m3 w temperaturze -40
stopni C pod ciśnieniem 65 000 kPa. Wyznacz V czterema metodami. Porównaj wyniki i błędy w
poszczególnych iteracjach stosowanych metod. Opisz uzyskane wyniki.
Z50. Dwie ciecze o różnej temperaturze trafiają do mieszacza i wypływają w tej samej wspólnej
temperaturze. Pojemność cieplna Cp w [cal/(mol*K)] cieczy A i B wynosi odpowiednio:
2
Cp = 3.381+1.804*10-2T - 4.300*10-6T
oraz
2
Cp = 8.592 +1.290*10-1T - 4.078*10-5T
gdzie T jest temperaturą bezwzględną. Ciecz A wpływa do mieszacza w temperaturze 400 stopni C a
ciecz B w temperaturze 600 stopni C. Wiedząc, że w mieszaczu jest dwa razy więcej cieczy A niż B
oraz pamiętając, że ciepło oddane/pobrane można wyliczyć ze wzoru
11
Warszawa, 20 listopada 2013
T2
DH = dT
p
C
T1
wyznacz temperaturę T cieczy opuszczających mieszacz. Wyznacz T czterema metodami. Porównaj
wyniki i błędy w poszczególnych iteracjach stosowanych metod. Opisz uzyskane wyniki
Z51. Wielomiany Czebyszewa T(x) definiowane są rekurencyjnie w następujący sposób:
T-1=0, T0=1, Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x)
Wyznacz w przedziale [-1, 1] miejsca zerowe wielomianu T11(x), tj rozwiąż równanie
T11(x)=0.
Wyznacz x czterema metodami. Porównaj wyniki i błędy w poszczególnych iteracjach stosowanych
metod. Opisz uzyskane wyniki.
Z52. Wielomiany Hermite a H(x) definiowane są rekurencyjnie w następujący sposób:
H0=1, Hn+1(x)=2xHn(x)-dHn-1(x)/dx
dHn-1(x)/dx oznacza pierwszą pochodną funkcji Hn-1(x) względem x. Wyznacz w przedziale [-1, 1]
miejsca zerowe wielomianu H10(x), tj rozwiąż równanie
H10(x)=0.
Wyznacz x czterema metodami. Porównaj wyniki i błędy w poszczególnych iteracjach stosowanych
metod. Opisz uzyskane wyniki.
Z53. Punkt materialny porusza się z prędkością v(t) równą:
v(t) = sin(2t + p / 4)e-2t+1
Wyznacz drogę jaką przebędzie punkt materialny w czasie od t0=0 do tk=30s. W chwili t0=0 ciało
znajdowało się w punkcie x(0)=1. Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona
i Gaussa). Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z54. Punkt materialny porusza się z prędkością v(t) równą:
v(t) = cos(t2 +1)e-3t+1
Wyznacz drogę jaką przebędzie punkt materialny w czasie od t0=0 do tk=35s. W chwili t0=0 ciało
znajdowało się w punkcie x(0)=-1.Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-
Newtona i Gaussa). Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z55. Punkt materialny porusza się z prędkością v(t) równą:
2t +1
v(t) = sin(2t + p / 4)
t2 +1
Wyznacz drogę jaką przebędzie punkt materialny w czasie od t0=0 do tk=25s. W chwili t0=0 ciało
znajdowało się w punkcie x(0)=-3.Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-
Newtona i Gaussa). Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z56. Punkt materialny porusza się z przyśpieszeniem a(t) równym:
a(t) = sin(2t2 + p / 8)(t2 - t)
Wyznacz prędkość punktu materialnego w czasie od t0=0 do tk=30s. Prędkość punktu w chwili
początkowej t0 wynosiła 5 m/s. Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i
Gaussa). Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
12
Warszawa, 20 listopada 2013
Z57. Punkt materialny porusza się z przyśpieszeniem a(t) równym:
a(t) = ln(2t2)e-2t+1
Wyznacz prędkość punktu materialnego w czasie od t0=0 do tk=30s. Prędkość punktu w chwili
początkowej t0 wynosiła 5 m/s. Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i
Gaussa). Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z58. Wyznacz pracę wykonaną przez siłę F(x) na drodze prostoliniowej od x1=0 do x2=2 m. Siła F(x)
zadana jest wzorem:
F(x)= x2 sin(x4+2)
Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa). Wyznacz i porównaj
błędy obliczeń.
Z59. Wyznacz pracę wykonaną przez siłę F(x) na drodze prostoliniowej od x1=0 do x2=1 m. Siła F(x)
zadana jest wzorem:
F(x)= ln(x2 +1) +2sin(x4+2)cos(x)
Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa). Wyznacz i porównaj
błędy obliczeń.
Z60. Wyznacz pracę wykonaną przez siłę F(x) na drodze prostoliniowej od x1=0 do x2=3 m. Siła F(x)
zadana jest wzorem:
F(x)= sin2(x4 +1)e-x+2
Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa). Wyznacz i porównaj
błędy obliczeń.
Z61. Wyznacz pracę wykonaną przez siłę F(x) na drodze prostoliniowej od x1=0 do x2=1.5 m. Siła F(x)
zadana jest wzorem:
F(x)= x5 sin(x4+2) + x3-x2+1
Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa). Wyznacz i porównaj
błędy obliczeń.
Z62. Wyznacz pracę wykonaną przez siłę F(x) na drodze prostoliniowej od x1=0 do x2=2.5 m. Siła F(x)
zadana jest wzorem:
x + 2
F(x)= e-4x+3
x2 +1
Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa) . Wyznacz i porównaj
błędy obliczeń.
Z63. Korzystając z metody Gaussa stopnia 2, 3 oraz 8 wyznacz wartość całki
1
1
dx
x +1
0
Oszacuj błąd i porównaj dokładność rozwiązań.
Z64. Oblicz co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa) pole pod krzywą
13
Warszawa, 20 listopada 2013
ex - e-x
y(x) = dla x [0,5]
2
Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z65. Oblicz co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa) pole pod krzywą
ex + e- x
y(x) = dla x [-1,1]
2
Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z66. Oblicz co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa) długość krzywej korzystając
ze wzoru
2
1
ć
ex + e-x
L = 1+ dx
2
Ł ł
-1
Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z67. Oblicz co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa) długość krzywej korzystając ze
wzoru
2
2
ć
ex - e-x
L = 1+ dx
2
Ł ł
-2
Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z68. Przebieg natężenia prądu u(t) w chwili włączania pewnego układu elektrycznego opisuje
równanie różniczkowe zwyczajne
du(t)
E = RC + u(t) , gdzie E=10V, R=2, C=0.01F.
dt
Wyznacz co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu) przebieg natężenia prądu
u(t) dla t [0, 0.004] z krokiem 0.0001. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z69. Rozwiąż co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu) równanie różniczkowe
2
d x(t) dx(t) dx(0)
+ 3 + 2x(t) = 0 , x(0)=0, = 2
dt dt dt
w przedziale t [0, 10]. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z70. Rozwiąż co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu) równanie różniczkowe
2
d x(t) dx(t) dx(0)
+ 2 + 4x(t) = 0, x(0)=0, = -1
dt dt dt
w przedziale t [0, 5]. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z71. Rozwiąż co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu) równanie różniczkowe
14
Warszawa, 20 listopada 2013
2
d x(t) dx(t) dx(0)
2 + 3 + x(t) = 6 , x(0)=1, = -2
dt dt dt
w przedziale t [0, 5]. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z72. Rozwiąż co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu) równanie różniczkowe
2
d x(t) dx(t) dx(0)
+ + 3x(t) = 0 , x(0)=1, = 0
dt dt dt
w przedziale t [0, 5]. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z73. Rozwiąż co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu) równanie różniczkowe
2
d x(t) dx(t) dx(0)
+ 2 + 5x(t) = 0 , x(0)=3, = 0
dt dt dt
w przedziale t [0, 10]. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z74. Rozwiąż co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu) równanie różniczkowe
2
d x(t) dx(t) dx(0)
+ + 2x(t) = 4 , x(0)=1, = 0
dt dt dt
w przedziale t [0, 10]. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z75. Rozwiąż co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu) równanie różniczkowe
2
d x(t) dx(t) dx(0)
+ 4 +13x(t) = 0 , x(0)=1, = 0
dt dt dt
w przedziale t [0, 10]. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z76. Rozwiąż co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu) równanie
różniczkowe
2
d x(t) dx(t) dx(0)
+ 3 + 9x(t) = 0 , x(0)=0, = 1
dt dt dt
w przedziale t [0, 10]. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z77. Wyznacz linię ugięcia w(x) belki sprężystej obciążonej momentem M(x)=x3+x2-x+1 wykonanej z
materiału o module Younga E oraz momencie bezwładności J. Przyjmij x [0, 2]. Równanie
różniczkowe rozwiąż co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu). Wyznacz i
porównaj błędy obliczeń.
Z78. Dana jest macierz A i wektor b:
16 4 - 4 0 - 24
ł ł
ę ę ś
4 10 - 4 0ś
ę ś ę-18ś
A = b =
ę ś ę ś
- 4 - 4 6 4 22
ę ś ę ś
0 0 4 8 20
d) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą QR oraz metodą SOR z
dokładnością 0.0001.
15
Warszawa, 20 listopada 2013
e) Oblicz wyznacznik, normę lĄ i macierz odwrotną macierzy A.
f) W macierzy A element a11 zastąp elementem a111=16.02. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
g) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a112=15.98. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z79. Dana jest macierz A i wektor b:
16 4 - 4 0 - 24
ł ł
ę ę ś
4 10 - 4 0ś
ę ś ę-18ś
A = b =
ę ś ę ś
- 4 - 4 6 4 22
ę ś ę ś
0 0 4 8 20
h) Wyznacz rozwiązanie układu równań liniowych Ax=b metodą Choleskiego-Banachiewicza
oraz metodą Jacobiego z dokładnością 0.0001.
i) Oblicz wyznacznik, wartości własne i macierz odwrotną macierzy A.
j) W macierzy A element a33 zastąp elementem a331=6.5. Wyznacz ponownie rozwiązanie x1
układu równań liniowych Ax=b oraz wartości własne macierzy A. Oblicz błąd względny
rozwiązania | x- x1|/|x1|.
k) Powtórz obliczenia z punktu c) dla a332=5.5. Oblicz wskaznik uwarunkowania macierzy A.
Z80. Współczynnik tarcia f w trakcie turbulentnego przepływu cieczy przez rurę spełnia zależność:
1
= 2log10(Re f ) - 0.8
f
Przyjmując wartość stałej Reynoldsa Re=104 wyznacz co najmniej dwiema metodami wartość
współczynnika f. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z81. Rozwiąż co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-Kutty 2 i 4 rzędu) równanie
różniczkowe
2
d x(t) dx(t) dx(0)
- 8 +16x(t) = 0 , x(0)=1, = 1
dt dt dt
w przedziale t [0, 7]. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z82. Oblicz co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa) długość krzywej L korzystając
ze wzoru
2
2
2sin x ln x
ćcos
L = 1+ x ln2 x + dx
x
Ł ł
1
Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
16
Warszawa, 20 listopada 2013
Z83. Ruch tłoka opisuje następujące równanie różniczkowe:
2
d x(t) dx(t) dx(0)
- 2 +10x(t) = 2sin 2te-t , x(0)=0, = 2
dt dt dt
Rozwiąż powyższe równanie w przedziale t [0, 5] co najmniej dwiema metodami (Eulera i Runge-
Kutty 2 i 4 rzędu) z dwoma różnymi krokami. Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z84. Rys. poniżej przedstawia schemat chwytaka i odpowiadające mu wieloboki wektorów. Dane:
r0=0.04, r1=0.04, r2=0.01, r3=0.025, r4=0.015, r5=0.03, r6=0.015, r7=0.015, r8=0.015, r9=0.04.
Chwytak jest opisany układem równań nieliniowych gdzie z = (g1,g3,g ,g8) są szukanymi
4
niewiadomymi spełniającymi układ równań:
F1 = -x +r1 cosg1 - r8 sing8 = 0,
F2 = r0 - r1 sing1 - r8 cosg8 - r7 = 0,
F3 = -r9 + r1 +r2 cosg1 +r3 sing - r4 sing = 0
( )
3 4
,
F4 = r0 - r1 +r2 sing1 +r3 cosg - r4 cosg - r6 = 0
( )
3 4
.
F=[F1,F2,F3,F4]. Wyznacz metodą bisekcji oraz metodą stycznych rozwiązanie z układu równań
nieliniowych:
F(z)=0
dla dwóch wartości parametru x: a) x = 0.002 b) x = 0.02. Wyznacz i porównaj błędy obliczeniowe obu
metod.
Z85. Rozwiąż układ równań nieliniowych stosując metodę iteracyjną Newtona:
17
Warszawa, 20 listopada 2013
2 2 2 2
2x1 + x2 - 4 = 0 oraz x1 - x2 = 1
Dokonaj wizualizacji układu równań i na tej podstawie oszacuj wartość pierwiastka. Następnie dla 4
wybranych punktów startowych (każdy w innej ćwiartce układu współrzędnych) wyznacz rozwiązanie
z dokładnością do 10-6. Wyznacz tabele kolejnych przybliżeń rozwiązania układu i przedstaw je w
postaci wykresu.
Z86. Rys. poniżej przedstawia schemat chwytaka i odpowiadające mu wieloboki wektorów. Dane:
r1=0.025, r2=0.1, r3=0.1, r4=0.025, r5=0.13, r6=0.02, r7=0.08, r8=0.06, r9=0.12, r10=0,02. Chwytak jest
opisany układem równań nieliniowych gdzie z=(F2,F3,F7,F8) są szukanymi niewiadomymi
spełniającymi układ równań nieliniowych:
F1 = r1 cosF1 + r2 cosF2 + r3 cosF3 + r4 cosF4 - r5 = 0,
F2 = r1 sin F1 + r2 sin F2 - r3 sin F3 - r4 sin F4 = 0,
F3 = r1 cos F1 + (r2 + r6)cos F2 + r7 cos F7 - r8 sin F8 - r5 - r10 = 0,
F4 = r1 sin F1 + (r2 + r6)sin F2 + r7 sin F7 + r8 cos F8 - r9 = 0.
F=[F1,F2,F3,F4]. Wyznacz metodą bisekcji oraz metodą stycznych rozwiązanie z układu równań
nieliniowych:
F(z)=0,
zakładając, że korby F1 i F4 napędzane są przekładnią przez ten sam silnik w taki sposób, że F1=-
F, a F4=F/2, kąt F [0,2p]. Wyznacz i porównaj błędy obliczeniowe obu metod.
18
Warszawa, 20 listopada 2013
Z87. Punkt materialny porusza się z prędkością v(t) równą:
2
v(t) = sin(2t2 +1)e2t +1
Wyznacz drogę jaką przebędzie punkt materialny w czasie od t0=0 do tk=11s. W chwili t0=0 ciało
znajdowało się w punkcie x(0)=-1.Obliczenia wykonaj co najmniej dwiema metodami (Cotesa-
Newtona i Gaussa). Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z88. Oblicz co najmniej dwiema metodami (Cotesa-Newtona i Gaussa) długość krzywej korzystając ze
wzoru
2
2
2ln x
ć
L = 1+ dx
x
Ł ł
1
Wyznacz i porównaj błędy obliczeń.
Z89. W poniższej tabeli zestawiono wyniki badań eksperymentalnych dotyczących wpływu
temperatury x na liczbę defektów powierzchniowych y:
x 0 7 15 21 35 49 64 70
y 23 24 33 29 35 45 54 65
Zakładając, że funkcja aproksymująca zadana jest wzorem y(x)=a+be-kx wyznacz estymaty
parametrów a, b i k tej funkcji przy założeniu następujących kryteriów błędu:
n n
a) J = - y)2 b) J = yi - y |
(yi |
i=1 i=1
Z90. [KAMIL ŻYAKO]
Dana jest funkcja zadana poniższą tablicą:
xi -5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2
19
Warszawa, 20 listopada 2013
f(xi) 1,536098 2,318505 3,663004 6,12323 10,98901 21,59244 47,61905
xi -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
f(xi) 120,3008 333,3333 761,9048 1000 761,9048 333,3333 120,3008
xi 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
f(xi) 47,61905 21,59244 10,98901 6,12323 3,663004 2,318505 1,536098
gdzie xi jest argumentem funkcji a f(xi) jej wartością, i=1,& , 21. Wyznacz:
b) wielomiany interpolacyjne Newtona i Lagrange a szóstego stopnia w przedziale [-1.5 , 1.5],
c) wielomian interpolacyjny składający się z funkcji sklejanych trzeciego i/lub czwartego stopnia
na przedziale [-5, 5].
Przedstaw graficznie na jednym wykresie wielomiany z punktów a) i b). Porównaj błąd interpolacji w
przedziale [-1,5, 1,5].
20
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
praca domowa MENUM 18 12 2013 06 51Praca domowa 4 OgarnijTemat compraca domowa cw 3praca domowa 1Praca domowa 1(1) OgarnijTemat comJava praca domowaPraca domowaMIB Mat Finansowa 2016 zadania praca domowa nr 2Rozwiązana praca domowa 13praca domowa ćw 1Łysienie praca domowaPSYG lab Praca DomowaMSS Praca domowa nr 1Java praca domowawięcej podobnych podstron