Wstęp do ryzyka rynkowego
1. Rodzaje ryzyka rynkowego
Ryzyko rynkowe można zdefiniować jako ryzyko straty spowodowanej niekorzystnymi
zmianami cen. Wartość aktywów i pasywów może wrosnąć lub spaść, w zależności od sytuacji na
rynku. Ryzyko rynkowe dzieli siÄ™ na cztery podstawowe rodzaje. SÄ… to:
1) ryzyko stóp procentowych  wartości niektórych aktywów i pasywów są wrażliwe na zmiany
stóp procentowych; wzrost stóp procentowych sprawi, że wartość zarówno należności, jak i
zobowiązań spadnie (o ile spadek wartości zobowiązań jest dla nas korzystny, spadek
wartości aktywów jest stratą); z kolei spadek stóp procentowych spowoduje wzrost wartości
zobowiązań (wyemitowanych obligacji, zaciągniętych kredytów itd),
2) ryzyko kursu walutowego  w wyniku aprecjacji (wzrostu ceny) waluty obcej wzrośną
wartości zobowiązań denominowanych w tej walucie; deprecjacja (spadek ceny) obcej
waluty doprowadzi do spadku wartości wszystkich aktywów denominowanych w tej
walucie; ryzyko kursu walutowago dotyczy nie tylko transakcji handlowych, lecz także
wartości zagranicznych oddziałów i firm zależnych, ponieważ wartośśść ich aktywów jest
również denominowana w obcej walucie,
3) ryzyko cen akcji  rynki akcji są tworzone przez miliony inwestorów; każdy z uczestników
rynków akcji ma swoje oczekiwania, potrzeby gotówkowe i sposoby wyceny; różnorodność
cech charakteryzujących inwestorów oraz napływ nowych informacji prowadzą do wahań
cen akcji,
4) ryzyko cen towarów  wiele firm spoza sektora finansowego jest narażonych na zmiany cen
artykułów rolnych, surowców przemysłowych (metali, drewna itd.) oraz energii (zarówno
energii elektrycznej, jak i różnych nośników energii, takich jak ropa naftowa czy węgiel);
firmy przemysłowe najczęściej są narażone zarówno na zmiany cen kupowanych surowców,
jak i wytwarzanych produktów.
2. Miary ryzyka i zwrotu
2.1. Miary ryzyka
Każda inwestycja ma dwie cechy: stopę zwrotu i ryzyko. Stopę zwrotu  oczekiwaną lub
zrealizowaną  można dość łatwo zmierzyć. Aby możliwe było porównanie różnych inwestycji,
ryzyko również musi być wyrażone w postaci liczby. Do kwantyfikacji ryzyka służą tzw. miary
ryzyka. Najpopularniejsze z nich to:
1) miary zmienności, np. odchylenie standardowe stóp zwrotu  mierzą rozproszenie rozkładu
stóp zwrotu,
2) miary wrażliwości, np. współczynnik delta (dla akcji), efektywny czas trwania (dla
obligacji), współczynnik delta (dla opcji)  mierzą wrażliwość wartości instrumentu na
zmiany określonego parametru,
3) miary zagrożenia, m. in. Value at Risk (VaR, wartość narażona na ryzyko)  w tekście
skupimy siÄ™ na tych miarach.
AMB Consulting sp. z o. o., ul. Grabiszyńska 241B, 53-234 Wrocław,
tel. [phone], fax [phone],
www.ambconsulting.pl, [e-mail]
n
wariancja 2 Miara zmienności. Określa rozproszenie
1
( )
var = xi - x
"
wokół średniej. Jednostka: zł2, %2 itp.
n
i =1
odchylenie Miara zmienności. Określa rozproszenie
à = var
standardowe wokół średniej. Jednostka: zł, % itp.
n
odchylenie Podobne do odchylenia standardowego, ale
1
d = xi - x
"
przeciętne prawie zawsze mniejsze.
n
i =1
współczynnik à Również miara zmiennoÅ›ci.
v =
zmienności Niemianowana.
x
współczynnik Wrażliwość ceny akcji na zmianę stopy
r = Ä… + ²(rm - rf ) + rf + µ
beta zwrotu z portfela rynkowego.
efektywny "P Wrażliwość ceny instrumentu na zmianę
ED = -
czas trwania stopy procentowej.
P"r
n
czas trwania Średni czas otrzymania płatności z
tCt n Ct
D =
" "(1+ r) obligacji, ważony wartością płatności.
t t
Macaulay a
(1 + r)
t =1 t =1
zmodyfikowany D Dla zwykłych obligacji równy
MD =
czas trwania efektywnemu czasowi trwania.
1 + r
współczynnik Wrażliwość ceny opcji na zmianę ceny
"P
´ =
delta instrumentu bazowego.
"S
2
współczynnik Wrażliwość wsp. delta na zmianę ceny
" P
Å‚ =
gamma instrumentu bazowego.
2
"S
współczynnik "P Wrażliwość ceny opcji na zmianę
º =
vega (kappa) zmienności instrumentu bazowego.
"Ã
współczynnik "P Wrażliwość ceny opcji na zmianę czasu do
¸ = -
theta wygaśnięcia opcji.
"t
współczynnik "P Wrażliwość ceny opcji na zmianę stopy
Á =
rho procentowej wolnej od ryzyka.
"r
współczynnik Wrażliwość wsp. gamma na zmianę ceny
"3P
speed =
speed instrumentu bazowego.
3
"S
współczynnik "´ Wrażliwość wsp. delta na zmianÄ™ czasu do
charm =
charm wygaśnięcia opcji.
"t
współczynnik "ł Wrażliwość wsp. gamma na zmianę czasu
color =
color do wygaśnięcia opcji.
"t
n
wsp. asymetrii 3 Określa siłę i kierunek asymetrii rozkładu.
1
A = (xi - x)
"
(skośność) 3 Niemianowany.
nÃ
i=1
n
wsp. skupienia 4 Określa koncentrację obserwacji wokół
1
K = (xi - x)
"
(kurtoza) 4 średniej. Niemianowany.
nÃ
i=1
Żadna z miar zmienności i wrażliwości nie odpowiada na najważniejsze w zarządzaniu ryzykiem
pytanie: o ile może spaść wartość portfela w ciągu jednego dnia (tygodnia, miesiąca)? Innymi
słowy, ile tak naprawdę ryzykujemy? Znamy czas trwania obligacji oraz współczynnik beta akcji,
ale ile wynosi ryzyko portfela jako całości? VaR (Value at Risk, wartość narażona na ryzyko,
wartość zagrożona) pomoże nam odpowiedzieć na to pytanie. Zanim jednak przejdziemy do liczenia
VaR, musimy poznać niektóre własności stóp zwrotu, średnich oraz zmienności.
2.2. Własności stóp zwrotu
Stopy zwrotu możemy wyrażać na dwa sposoby. W zależności od metody kapitalizacji odsetek
mówimy o stopach zwrotu o kapitalizacji dyskretnej i o kapitalizacji ciągłej. Stopy zwrotu o
kapitalizacji dyskretnej (arytmetyczne stopy zwrotu) wyrażamy wzorem:
AMB Consulting sp. z o. o., ul. Grabiszyńska 241B, 53-234 Wrocław,
tel. [phone], fax [phone],
www.ambconsulting.pl, [e-mail]
P1 - P0
rA =
P0
P  cena na poczÄ…tku okresu
0
P  cena na końcu okresu
1
Ważną zaletą arytmetycznych stóp zwrotu jest to, że możemy łatwo policzyć stopę zwrotu z portfela
różnych instrumentów. Stopa zwrotu z portfela jest średnią ważoną stóp zwrotu z poszczególnych
instrumentów:
n
r = r1w1 + r2w2 + + rnwn = wi
"r
i
i=1
r  stopa zwrotu z i-tego instrumentu
i
w  udział i-tego instrumentu w portfelu
i
Niestety, stóp zwrotu o kapitalizacji dyskretnej nie możemy dodawać, jeśli chcemy policzyć stopę
zwrotu z kilku okresów. Należy wtedy skorzystać ze wzoru:
r = (1+ r1) (1+ r2 ) (1+ rn ) -1
r  stopa zwrotu z i-tego okresu
i
Stopy zwrotu o kapitalizacji ciągłej (logarytmiczne stopy zwrotu) liczymy ze wzoru:
ëÅ‚ öÅ‚
P1
ìÅ‚ ÷Å‚
rL = lnìÅ‚ ÷Å‚
P0
íÅ‚ Å‚Å‚
Zauważmy, że tak wyliczone stopy zwrotu możemy łatwo zamienić na stopy zwrotu o kapitalizacji
dyskretnej:
L
rA = er -1
r  arytmetyczna stopa zwrotu
A
r  logarytmiczna stopa zwrotu z tego samego okresu
L
Stopy zwrotu o kapitalizacji ciągłej łatwo dodawać w czasie, ale ciężko je policzyć dla całego
portfela. Aby dodać je w czasie, wystarczy je po prostu zsumować:
rL = r1 + r2 + + rn
r  logarytmiczna stopa zwrotu z n okresów
L
r  logarytmiczna stopa zwrotu z i-tego okresu
i
Żeby policzyć logarytmiczną stopę zwrotu dla portfela, musimy znalez
ć arytmetyczne stopy zwrotu
z poszczególnych aktywów, policzyć ich średnią ważoną i znależć logarytm naturalny tej średniej:
n
ëÅ‚
i
rL = lnìÅ‚1+ wi (er - 1)öÅ‚
÷Å‚
"
i=1
íÅ‚ Å‚Å‚
r  logarytmiczna stopa zwrotu z portfela n instrumentów
L
r  logarytmiczna stopa zwrotu z i-tego instrumentu
i
w  waga i-tego instrumentu w portfelu
i
W zarządzaniu ryzykiem rynkowym korzysta się najczęściej ze stóp zwrotu z krótkich okresów
(zwykle z jednego dnia). Jest bardzo mała różnica między jednodniowymi stopami zwrotu
wyrażanymi na dwa opisane wyżej sposoby. Dlatego praktycy najczęściej posługują się stopami
logarytmicznymi, ale przy obliczaniu stóp zwrotu z portfela dodają je tak, jakby to były stopy
arytmetyczne (liczą zwykłą średnią ważoną).
2.3. Własności odchylenia standardowego
Gdy znamy odchylenie standardowe (np. wartości indeksu) z jednego dnia, wiemy, jakiej
zmiany możemy się spodziewać w perspektywie nadchodzącej sesji. Ale co zrobić, jeśli interesuje
nas zmienność indeksu w okresie najbliższego miesiąca? Gdy znamy dzienne odchylenie
standardowe, możemy policzyć miesięczną zmienność. Musimy przyjąć następujące założenia:
1) zwroty z różnych okresów nie są skorelowane, czyli jutrzejsza zmiana indeksu nie zależy od
dzisiejszej zmiany (nie ma autokorelacji),
2) zmienność jest stała, czyli jeśli chcemy wyliczyć miesięczne odchylenie sdandardowe na
podstawie jednodniowego, przyjmujemy, że w ciągu tego miesiąca codziennie zmienność
AMB Consulting sp. z o. o., ul. Grabiszyńska 241B, 53-234 Wrocław,
tel. [phone], fax [phone],
www.ambconsulting.pl, [e-mail]
będzie taka sama (homoskedastyczność).
Jeśli zaakceptujemy te założenia, możemy skorzystać z następującej własności wariancji:
2 2 2
2
à = Ã12 + à + + à = nÃ
t 2 n
2
à wariancja w n okresach
t
2
à wariancja w i-tym okresie (1 d" i d" n)
i
2
Ã2  wariancja w jednym z okresów od 1 do n, równa Ã
i
Własność ta wynika z wniosku z centralnego twierdzenia granicznego Lindberga-Levy ego i
zostanie dokładniej omówiona póz
niej. Po obustronnym spierwiastkowaniu mamy:
à = nÃ
t
Jest to tzw. zasada pierwiastka kwadratowego czasu. W naszym przykładzie, gdzie znamy
jednodniowe odchylenie standardowe wartości indeksu, a chcemy poznać miesięczne:
à = 20Ã
m-c dzień
W miesiącu jest około 20 sesji, stąd pierwiastek z dwudziestu. Oczywiście, tę zasadę możemy
stosować również w drugą stronę: wtedy, gdy znamy zmienność miesięczną, a chcemy poznać
dzienną. Zasada ta jest bardzo naturalna, intuicyjna  im dłuższy czas, tym większe ryzyko (większa
zmienność)  i ma mocne podstawy w teorii statystyki.
2.4. Sposoby liczenia odchylenia standardowego
Odchylenie standardowe można liczyć przy użyciu dwóch różnych średnich: arytmetycznej i
wykładniczej. Średnia arytmetyczna, prostsza do policzenia, ma wady. Taką samą wagę przypisuje
pierwszej i ostatniej obserwacji z badanego przedziału czasu (np. sesji sprzed miesiąca i
wczorajszej), natomiast w ogóle nie uwzględnia wcześniejszych danych. Prowadzi to do
następującego zjawiska. Załóżmy, że liczymy wariancję indeksu na podstawie dwudziestu ostatnich
sesji. Jeśli 20 sesji temu doszło do dużej zmiany indeksu, jej skutki są takie same, jakby do tej
zmiany doszło wczoraj. Jeśli natomiast zmiana miała miejsce 21 sesji temu, w ogóle nie jest brana
pod uwagÄ™.
Średnia wykładnicza nie ma tych wad. Jest liczona według następującego wzoru:
n
2
2 n-1
à = (1- ) [xi - E(x)]
"
i =1
Ã2  wyliczona Å›rednia
  czynnik opóz
nienia (decay factor)
x  i-ta obserwacja (dla ostatniej obserwacji i = 1)
i
Wczorajsza obserwacja ma wagę 1  , przedwczorajsza (1  )*, jeszcze wcześniejsza (1 )*2
itd. A więc nie jest to średnia ze ściśle określonej liczby dni, ponieważ teoretycznie do jej
policzenia możemy użyć nieskończonej liczby obserwacji. Oczywiście, do jej policzenia korzysta
się ze skończonej liczby obserwacji, ponieważ żaden rynek nie istnieje nieskończenie długo; poza
tym znaczenie wcześniejszych obserwacji jest coraz mniejsze. Znaczenie poszczególnych
obserwacji zależy od czynnika : im mniejszy, tym większa waga ostatniej obserwacji, i tym samym
mniejsza waga obserwacji wcześniejszych. Średnią wykładniczą możemy również zapisać w postaci
rekurencyjnej:
2
2 2
à = à + (1- )[xt - E( x)]
t t -1
2
à średnia obliczona dla okresu t
i
x  ostatnia obserwacja
t
Taka postać ułatwia prognozowanie zmienności. Średnia wykładnicza jest używana do
modelowania parametrów, które nie mają własności powrotu do średniej (mean reversion), np. cen
akcji czy wartości indeksów. Są jednak wskaz
niki, np. realne stopy procentowe, które nie mogą
ciągle rosnąć lub spadać, i po pewnym czasie wracają do długoterminowej średniej. Do
prognozowania takich parametrów używa się modelu GARCH (generalized autoregressive
conditional heteroskedasticity; model, którego twórcami są Bollersev i Engle):
2 2
à = Ä…0 +Ä…1rt-12 + ²Ã
t t -1
AMB Consulting sp. z o. o., ul. Grabiszyńska 241B, 53-234 Wrocław,
tel. [phone], fax [phone],
www.ambconsulting.pl, [e-mail]
2
à wariancja w czasie t
t
2
à wariancja w czasie t - 1
t-1
2
r  zmiana badanego parametru w okresie t - 1
t-1
Przedstawiony tu wzór służy do prognozowania wariancji. Model GARCH wraca do średniej, gdy
Ä…1
+ ² < 1. Åšrednia, do której wraca, jest równa:
Ä…0
2
à =
średnia
1- Ä…1 - ²
Średnia wykładnicza jest taką odmianą modelu GARCH, gdzie ą0
= 0, Ä…1
= 1  , ² = .
Średnią wykładniczą oraz model GARCH można stosować nie tylko do obliczania wariancji,
lecz także m. in. do kowariancji:
covt ( A, B) = Ä…0 + Ä…1[rA,t-1 - E(rA )][rB,t -1 - E(rB )] + ² covt-1( A, B)
Zasadę działania średniej arytmetycznej, średniej wykładniczej oraz modelu GARCH
pokażemy na przykładzie spółki Boryszew, notowanej na giełdzie w Warszawie:
A B C D E F G H I J
1 VIII 16,00 -0,620 0,384 0,05 0,0344 0,0342 2,80 2,92 2,96
4 VIII 15,85 -0,938 0,879 0,05 0,0366 0,0376 2,72 2,84 2,85
5 VIII 15,95 0,631 0,398 0,05 0,0389 0,0413 2,73 2,76 2,74
6 VIII 16,20 1,567 2,457 0,05 0,0414 0,0454 2,75 2,70 2,67
7 VIII 16,55 2,160 4,668 0,05 0,0440 0,0499 2,79 2,67 2,63
8 VIII 16,70 0,906 0,821 0,05 0,0468 0,0549 2,78 2,60 2,54
11 VIII 17,55 5,090 25,906 0,05 0,0498 0,0603 3,01 2,81 2,83
12 VIII 19,90 13,390 179,300 0,05 0,0530 0,0662 4,24 4,27 4,66
13 VIII 20,00 0,503 0,253 0,05 0,0564 0,0728 4,24 4,14 4,46
14 VIII 20,00 0,000 0,000 0,05 0,0600 0,0800 4,24 4,01 4,26
Objaśnienia dla poszczególnych kolumn:
A  data sesji, 2003 rok
B  kurs zamknięcia
C  zmiana w % względem poprzedniego kursu zamknięcia
D  zmiana z kolumny C podniesiona do kwadratu
E  wagi przypisywane poszczególnym obserwacjom przy liczeniu średniej arytmetycznej na dzień
14 VIII
F  wagi przy liczeniu średniej wykładniczej na dzień 14 VIII
G  wagi przy liczeniu GARCH na dzień 14 VIII
H  średnia arytmetyczna wyliczona na dzień z kolumny A
I  średnia wykładnicza wyliczona na dzień z kolumny A
J  GARCH wyliczony na dzień z kolumny A
Wagi z kolumn F i G odnoszą się tylko do obliczeń na 14 VIII, czyli np. przy liczeniu
GARCH na dzień 14 VIII obserwacji z 13 VIII przypisujemy wagę 0,063. Dla modelu GARCH
przyjęliśmy parametry: ą0
= 0,08, Ä…1
= 0,08, ² = 0,91. Przy tych parametrach Å›redniÄ… (Å›rednim
odchyleniem standardowym), do której wraca GARCH, jest 2,83.
Widzimy tu wady średniej arytmetycznej. Popatrzmy na dwie ostatnie obserwacje: odchylenie
standardowe policzone na podstawie średniej arytmetycznej (kolumna H) jest stałe, mimo, że
powinno spaść, bo cena prawie się nie zmienia. Zjawisko jest spowodowane tym, że w dniach 13 i
14 VIII do liczenia tej średniej przestały być brane wcześniejsze obserwacje, sprzed dwudziestu
sesji, kiedy cena akcji również się prawie nie zmieniła. Starsze obserwacje, z 16 i 17 VII, zostały
zastąpione przez bardzo podobne, z 13 i 14 VIII. GARCH i średnia wykładnicza pokazują spadek
zmienności, natomiast średnia arytmetyczna nie reaguje. To zjawisko jest nazywane ghosting effect.
Adam A
ukojć
[e-mail]
AMB Consulting sp. z o. o., ul. Grabiszyńska 241B, 53-234 Wrocław,
tel. [phone], fax [phone],
www.ambconsulting.pl, [e-mail]