Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności - Studia Informatyczne

/**/






/**/











Analiza matematyczna 1/Wykład 7: Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności

From Studia Informatyczne
< Analiza matematyczna 1


Spis treści [schowaj]

1 Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności
2 Szeregi o wyrazach nieujemnych
3 Szeregi o wyrazach znakozmiennych
4 Liczba e

if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "pokaż"; var tocHideText = "schowaj"; showTocToggle(); }
[Edytuj]Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności
Niniejszy wykład jest kontynuacją poprzedniego wykładu
dotyczącego szeregów liczbowych.
Poznajemy tu dalsze kryteria zbieżności szeregów:
d'Alemberta, Cauchy'ego, Leibniza, Dirichleta
oraz asymptotyczne.
Na zakończenie pokazujemy, że liczna
jest sumą pewnego szeregu.
Na poprzednim wykładzie zostało wprowadzone
pojęcie szeregu (patrz definicja 6.1.).
Podany został warunek konieczny zbieżności szeregów
(patrz twierdzenie 6.3.) oraz
kryterium porównawcze zbieżności szeregów
(patrz twierdzenie 6.9.).
Poniżej podane zostaną inne ważne kryteria
(czyli warunki wystarczające) zbieżności szeregów.
Kryteria zbieżności szeregów pozwalają, badając zachowanie się
wyrazów szeregu , wnioskować o zbieżności
(lub rozbieżności) ciągu sum częściowych
(czyli zbieżności szeregu).

[Edytuj]Szeregi o wyrazach nieujemnych
Jean Le Rond d'Alembert (1717-1783)Zobacz biografię

Twierdzenie 7.1. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]


Jeśli
jest szeregiem o wyrazach dodatnich
(to znaczy dla ),
to
(1)
szereg  jest zbieżny
(2)
szereg  jest rozbieżny



Dowód 7.1.


(Ad (1))
Warunek dla oznacza, że



Zatem dla mamy



Oznaczając mamy



zatem wyrazy szeregu są oszacowane
(od pewnego miejsca) przez
wyrazy szeregu geometrycznego
który jest zbieżny
(gdyż ). Korzystając z kryterium porównawczego
(patrz twierdzenie 6.9.) wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny.

(Ad (2))
Z założenia wiemy, że istnieje takie, że



Wówczas dla dowolnego mamy



czyli


Zatem oczywiście

i stąd szereg nie spełnia warunku koniecznego
zbieżności szeregów
(patrz twierdzenie 6.3.), czyli jest rozbieżny.


Z powyższego kryterium można wywnioskować jego wersję słabszą,
ale częściej używaną w zastosowaniach. Mówi ona, że dla szeregów
o wyrazach dodatnich, jeśli granica ciągu ilorazów kolejnych wyrazów
szeregu istnieje i jest różna od jeden, to potrafimy
rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny.
Dowód tego wniosku oparty na twierdzeniu 7.1.
pozostawiamy jako proste (choć nadobowiązkowe) ćwiczenie.
Wniosek 7.2. [Kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów]


Przy powyższych założeniach:
(1)
Jeśli

to szereg jest zbieżny.
(2)
Jeśli

to szereg jest rozbieżny.
(3)
Jeśli

to kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy szereg
jest zbieżny.


Przykład 7.3.


Zbadać zbieżność szeregów:
(1)

(2)

(3)

(4)



Rozwiązanie showSHToggle("pokaż","schowaj",1)[pokażschowaj]

(1)
W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy



Zatem


czyli korzystając z kryterium a'Alemberta
(patrz wniosek 7.2. (1)),
otrzymujemy, że szereg

jest zbieżny.

(2)
W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy


Zatem


czyli korzystając z kryterium a'Alemberta
(patrz wniosek 7.2. (2)),
otrzymujemy, że szereg

jest rozbieżny.
(3)
W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy


Zatem


czyli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności tego
szeregu.
Ale zauważmy, że


zatem nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregów
(patrz twierdzenie 6.3.),
więc szereg

jest rozbieżny.

(4)
W celu zastosowania kryterium d'Alemberta obliczamy


Zatem


czyli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga o zbieżności tego
szeregu.
Zauważmy jednak, że


oraz szereg
jest zbieżny
(jako uogólniony szereg harmoniczny
z wykładnikiem ;
patrz przykład 6.15.)
zatem z kryterium porównawczego
(patrz twierdzenie 6.9.)
otrzymujemy, że szereg

jest zbieżny.

toggleSH(1)
Kolejne kryterium zbieżności szeregów bada zachowanie się ciągu
-tych pierwiastków z kolejnych wyrazów


Twierdzenie 7.4. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]


Augustin Louis Cauchy (1789-1857)Zobacz biografięJeśli
jest szeregiem o wyrazach nieujemnych
(to znaczy dla ),
to
(1) szereg   jest zbieżny

(2)  dla nieskończenie wielu  szereg   jest rozbieżny

Dowód 7.4.


(Ad (1))
Załóżmy, że dla czyli



Zatem wyrazy szeregu są oszacowane
(od pewnego miejsca) przez wyrazy szeregu geometrycznego
który jest zbieżny
(bo ).
Zatem z kryterium porównawczego
(patrz twierdzenie 6.9.),
wynika, że szereg jest zbieżny.
(Ad (2))
Jeśli dla nieskończenie wielu to
także

dla nieskończenie wielu

zatem
czyli nie jest spełniony warunek konieczny
zbieżności szeregów.


Podobnie jak w przypadku kryterium d'Alemberta, tak i w
przypadku kryterium Cauchy'ego podamy słabszą, ale bardziej
praktyczną wersję tego kryterium.
Mówi ona, że istnienie granicy pierwiastków -tego stopnia z
kolejnych wyrazów szeregu różnej od
rozstrzyga o zbieżności tego szeregu.
Wniosek 7.5. [Kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregów]


Przy powyższych założeniach:
(1)
Jeśli

to szereg jest zbieżny.
(2)
Jeśli

to szereg jest rozbieżny.
(3)
Jeśli

to kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga, czy szereg
jest zbieżny.


Przykład 7.6.


Zbadać zbieżność szeregów:
(1)

(2)

(3)



Rozwiązanie showSHToggle("pokaż","schowaj",2)[pokażschowaj]

(1)
W celu skorzystania z kryterium Cauchy'ego liczymy



(patrz na przykład ćwiczenie 5.2.).
Ponieważ
więc korzystając z kryterium Cauchy'ego
(patrz wniosek 7.5.),
otrzymujemy, że szereg

jest zbieżny.

(2)
W celu skorzystania z kryterium Cauchy'ego liczymy


Ponieważ

więc korzystając z kryterium Cauchy'ego
(patrz wniosek 7.5.),
otrzymujemy, że szereg

jest rozbieżny.

(3)
W celu skorzystania z kryterium Cauchy'ego liczymy


Zatem kryterium Cauchy'ego nie rozstrzyga o zbieżności tego
szeregu. Widzimy jednak, że szereg ten jest uogólnionym szeregiem
harmonicznym z wykładnikiem
(patrz przykład 6.15.),
zatem jest szeregiem rozbieżnym.


toggleSH(2)
Zachodzi pewien związek między
kryteriami Cauchy'ego i d'Alemberta.
Będzie on wynikał z następującego lematu
(który pozostawiamy tu bez dowodu).
Lemat 7.7.


Jeśli
jest ciągiem o wyrazach dodatnich,
to





Wykres ciągu

Wniosek 7.8.


(1)
Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze od kryterium d'Alemberta,
to znaczy, jeśli kryterium d'Alemberta rozstrzyga o zbieżności szeregu,
to kryterium Cauchy'ego także rozstrzyga.
Jeszcze inaczej można powiedzieć, że klasa szeregów do której
stosuje się kryterium Cauchy'ego, zawiera w sobie klasę szeregów,
do których stosuje się kryterium d'Alemberta.
Prosty dowód oparty na powyższym lemacie pozostawiamy jako
ćwiczenie.
(2) Klasa szeregów, dla których stosuje się kryterium
Cauchy'ego, jest istotnie większa od klasy szeregów, dla których
stosuje się kryterium d'Alemberta.
Aby to zobaczyć, rozważmy szereg

Ponieważ


zatem kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga, czy ten szereg jest
zbieżny.
Z kolei


zatem z kryterium Cauchy'ego wnioskujemy, że szereg
jest zbieżny.


Lemat 7.7. można wykorzystać do obliczania
granic pewnych ciągów.
Przykład 7.9.


Obliczyć granicę ciągu
gdzie



Rozwiązanie showSHToggle("pokaż","schowaj",3)[pokażschowaj]

Wykorzystamy lemat 7.7.
Niech

Obliczmy



Z lemat 7.7. wynika, że
jeśli istnieje granica
to także granica istnieje i są sobie równe,
to znaczy



toggleSH(3)
Kolejne kryterium, zwane kryterium asymptotycznym
(ilorazowym lub limesowym), jest odmianą kryterium porównawczego
i mówi, że jeśli granica ciągu ilorazów wyrazów dwóch szeregów
istnieje i jest liczbą dodatnią, to oba szeregi są jednocześnie
zbieżne lub jednocześnie rozbieżne.


Twierdzenie 7.10. [Kryterium asymptotyczne (ilorazowe, limesowe) zbieżności szeregów]


Jeśli
i są szeregami;

oraz

to
szereg jest zbieżny
wtedy i tylko wtedy, gdy
szereg

jest zbieżny.



Dowód 7.10.


Ustalmy dowolne
Ponieważ

więc z definicji granicy


czyli


Stosując kryterium porównawcze
(patrz twierdzenie 6.9.),
z pierwszej nierówności powyżej, wnioskujemy, że
zbieżność szeregu
implikuje zbieżność szeregu
a z drugiej nierówności powyżej wnioskujemy, że
zbieżność szeregu
implikuje zbieżność szeregu


Przykład 7.11.


Zbadać zbieżność szeregu


Rozwiązanie showSHToggle("pokaż","schowaj",4)[pokażschowaj]

Ponieważ wiemy, że



(patrz twierdzenie 5.8. (7) o granicach specjalnych)
oraz wiemy już, że szereg harmoniczny
jest rozbieżny,
więc na mocy kryterium asymptotycznego
szereg
jest rozbieżny.

toggleSH(4)
[Edytuj]Szeregi o wyrazach znakozmiennych
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859)Zobacz biografię
W tym rozdziale podamy dwa kryteria dotyczące szeregów, których
wyrazy zmieniają znak.


Twierdzenie 7.12. [Kryterium Dirichleta zbieżności szeregów]


Jeśli
jest szeregiem, którego
ciąg sum częściowych
jest ograniczony,
jest ciągiem malejącym (słabo)
oraz zbieżnym do zera (to znaczy ),
to
szereg
jest zbieżny.



Dowód 7.12.


Oznaczmy przez ciąg sum częściowych szeregu
to znaczy



Z założenia wiemy, że ciąg jest ograniczony,
to znaczy



Ustalmy dowolne
Ponieważ więc



Dla mamy



Zatem


Zatem pokazaliśmy, że szereg
spełnia warunek Cauchy'ego,
a zatem jest zbieżny
(patrz twierdzenie 6.7.).


Szczególną wersją powyższego kryterium jest następujące
kryterium Leibniza dotyczące szeregów naprzemiennych.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)Zobacz biografię
Wniosek 7.13. [Kryterium Leibniza zbieżności szeregów]


Jeśli
jest ciągiem malejącym (słabo)
oraz zbieżnym do zera (to znaczy ),
to
szereg
jest zbieżny.


Dowód 7.13.


Wystarczy przyjąć

Ponieważ ciąg sum częściowych szeregu
jest postaci



a więc jest ograniczony,
zatem możemy zastosować kryterium Dirichleta i wywnioskować, że
szereg jest zbieżny.


Przykład 7.14.


Następujący szereg
zwany szeregiem anharmonicznym:



jest zbieżny. Jest to natychmiastowa konsekwencja kryterium
Leibniza.


Założenie, że zbieżność ciągu
do zera jest monotoniczna
(w kryteriach Dirichleta i Leibniza)
jest istotne.
Pokazuje to poniższy przykład.
Przykład 7.15.


Zbadać zbieżność szeregu



Rozwiązanie showSHToggle("pokaż","schowaj",5)[pokażschowaj]

Pokażemy, że szereg jest rozbieżny.
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że szereg jest zbieżny.
Weźmy szereg

Jest on zbieżny
(z kryterium Leibniza; patrz wniosek 7.13.).
Zatem suma obu szeregów jest szeregiem
zbieżnym. Ale suma ta wynosi





i jest szeregiem rozbieżnym
(gdyż jest to szereg harmoniczny),
sprzeczność.

Zauważmy, że chociaż to jednak zbieżność ta nie jest monotoniczna. Zatem nie mogliśmy tu stosować kryterium Leibniza.

toggleSH(5)
[Edytuj]Liczba e
Przypomnijmy, że liczba była zdefiniowana
jako granica pewnego ciągu
(patrz twierdzenie 5.1.).
Okazuje się, że liczbę tę można
także otrzymać jako sumę pewnego
szeregu liczbowego.
Dzięki tej własności będziemy także mogli wykazać niewymierność
liczby


Twierdzenie 7.16. [O liczbie ]


(1)
Szereg jest zbieżny oraz
;
(2)




Dowód 7.16.


(Ad (1))
Przypomnijmy, że


Niech


to znaczy jest ciągiem sum częściowych szeregu

Ze wzoru dwumianowego Newtona (patrz twierdzenie 1.40.),
dla dowolnego dostajemy


Zatem


Ustalmy dowolne
Wówczas dla dowolnego mamy


Przechodząc do granicy
z
po obu stronach powyższej nierówności, otrzymujemy:


Powyższa nierówność jest prawdziwa dla dowolnego
zatem możemy przejść do granicy z
i dostajemy


Zatem ostatecznie
dostajemy


co należało dowieść.
(Ad (2))
Oczywiście jest ciągiem rosnącym zbieżnym do
zatem


Z pierwszej części dowodu wynika, że


Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że
tzn.
gdzie oraz
Z powyższego oszacowania wynika w szczególności, że


Niech

Wówczas


Ale z definicji mamy
czyli
sprzeczność.





Źródło: "http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_7:_Szeregi_liczbowe._Kryteria_zbie%C5%BCno%C5%9Bci"







if (window.isMSIE55) fixalpha();

Nawigacja


Strona główna
Przedmioty
Uczelnie
O nas
MIMINF
MIMMAT





Szukaj



 



Napisz do nas

[e-mail]






Tę stronę ostatnio zmodyfikowano o 18:12, 7 mar 2007; Tę stronę obejrzano 16714 razy; O Wikipedii Disclaimers





_uacct = "UA-321791-4";
urchinTracker();