Kryteria zbieżności szeregów
1
Kryteria zbieżności szeregów
Kryteria zbieżności szeregów to grupa twierdzeń pozwalających ustalić, czy dany szereg jest zbieżny, czy nie.
Jeżeli szereg spełnia warunki podane w kryterium, to przesądza to o jego zbieżności lub rozbieżności. Większość
kryteriów dostarcza jedynie warunki konieczne na zbieżności lub rozbieżności szeregu (wyjątkiem jest warunek
Cauchy'ego dla szeregów). Oznacza to, że w pewnych sytuacjach kryteria nie dostarczają informacji pozwalającej na
ocenę zbieżności szeregów. Zaletą kryteriów zbieżności jest względna łatwość ich sprawdzenia i szerokie
zastosowanie praktyczne. Korzystając z kryteriów zbieżności, zwykle wyliczamy pomocnicze wielkości związane z
szeregiem i na tej podstawie wydajemy osąd.
Niech będzie szeregiem liczbowym, tzn. o wyrazach rzeczywistych lub zespolonych.
Warunek konieczny zbieżności
Podstawowym kryterium zbieżności szeregu jest warunek konieczny zbieżności. Pozwala on stwierdzić kiedy dany
szereg nie jest zbieżny. Badanie problemu zbieżności szeregu powinno się zaczynać od sprawdzenia tego kryterium,
a jeśli warunek konieczny jest spełniony przejść do kolejnych kryteriów.
Warunek konieczny zbieżności szeregu: Jeśli wyraz ogólny szeregu nie zbiega do 0, symbolicznie
, to szereg ten jest rozbieżny.
Przykład. Szereg jest rozbieżny, gdyż .
Jeśli , to warunek konieczny nie rozstrzyga, czy szereg jest zbieżny czy nie i trzeba użyć innego
kryterium. Na przykład szereg harmoniczny jest rozbieżny mimo, że .
Przykład. Aby wyznaczyć granicę rozważmy szereg . Korzystając z kryterium d'Alemberta
nietrudno pokazać, że szereg ten jest zbieżny. Zatem na mocy warunku koniecznego zbieżności szeregu
otrzymujemy, że .
Warunek Cauchy'ego zbieżności
Dla szeregów liczbowych zachodzi następujący warunek zbieżności, pochodzący od Cauchy'ego:
Szereg liczbowy jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy: Jest to
równoważne temu, że ciąg sum częściowych szeregu jest ciągiem Cauchy'ego.
Kryteria zbieżności szeregów
2
Zbieżność bezwzględna
Szereg nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg . Jeżeli dany szereg jest
zbieżny bezwzględnie, to jest on zbieżny również w zwykłym sensie.
Dowód. Załóżmy, że jest zbieżny. Spełnia on warunek Cauchy'ego, tzn. dla każdej liczby istnieje
liczba taka, że
dla dowolnych . Ponieważ , więc szereg także spełnia
warunek Cauchy'ego, czyli jest zbieżny.
Powyższe rozróżnienie jest istotne, może się bowiem zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny
bezwzględnie  mówimy wtedy, że szereg jest zbieżny warunkowo. Twierdzenie Riemanna mówi, że można tak
poprzestawiać wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać
dowolną, z góry zadaną liczbę (zobacz: szereg).
Wszystkie poniższe twierdzenia rozstrzygają o zbieżności bezwzględnej szeregu . Zauważmy, że zbieżność
szeregu jest równoważna zbieżności szeregu , gdzie jest dowolną liczbą naturalną. Oznacza to,
że zbieżność szeregu nie zależy od skończonej liczby jego wyrazów. Ta obserwacja pozwala na nieznaczne
wzmocnienie poniższych kryteriów, przez dopisanie, że pewne warunki zachodzą dla dostatecznie dużych n, tzn
istnieje liczba taka, że pewien warunek zachodzi dla . W kryteriach d'Alemberta i Raabego
wystarczy założyć, że zachodzi dla dostatecznie dużych n. W kryterium porównawczy wystarczy założyć,
że zachodzi dla dostatecznie dużych n. W kryterium całkowym wystarczy założyć, że jest funkcją
monotonicznie malejącą dla , gdzie jest pewną stałą.
Kryterium d'Alemberta
Kryterium d'Alemberta: Załóżmy, że dla każdego . Jeżeli , to szereg
jest zbieżny; jeżeli istnieje liczba taka, że nierówność zachodzi dla wszystkich
większych od , to szereg jest rozbieżny.
Kryterium nie przesądza o zbieżności lub rozbieżności szeregu w przypadku, gdy granica jest
równa 1. Warto zauważyć, że warunek (podobnie jak ) implikuje, że istnieje
taka, że nierówność zachodzi dla wszystkich , a zatem implikuje rozbieżność szeregu
.
W przypadku, gdy szereg ma wyrazy dodatnie kryterium d'Alemberta można zapisać w następującej
uproszczonej i łatwiejszej do zapamiętania formie:
Kryteria zbieżności szeregów
3
szereg jest zbieżny
szereg jest rozbieżny
kryterium nie rozstrzyga
Dowód: Załóżmy, że . Oznacza to, że istnieją liczby oraz takie, że dla
każdego mamy . Zatem dla każdego . Stąd otrzymujemy
dla każdego . Szereg
jest zbieżny, gdyż jest szeregiem geometrycznym o ilorazie . Jest on zbieżną majorantą szeregu
.
Na mocy kryterium porównawczego szereg jest zbieżny, co implikuje zbieżność szeregu .
Załóżmy teraz, że istnieje liczba taka, że nierówność zachodzi dla wszystkich większych od
. Oznacza to, że dla , czyli
To oznacza, że ciąg nie zbiega do zera. Zatem szereg nie jest zbieżny, bo nie spełnia warunku
koniecznego zbieżności szeregów.
Przykład 1. Kryterium d'Alemberta jest szczególnie pomocne, gdy wyraz ogólny szeregu zawiera
symbol silni. Rozważmy następujący przykład .
Wyraz ogólny tego szeregu jest postaci . Mamy
.
Zatem korzystając z faktu, że otrzymujemy , co dowodzi
zbieżności rozważanego szeregu.
Przykład 2. Kryterium d'Alemberta nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg jest zbieżny, gdy
. Aby to zilustrować rozważmy dwa szeregi i , gdzie i .
Wówczas . Jednak jest rozbieżny jako szereg harmoniczny, a jest
zbieżny, jako szereg harmoniczny rzędu 2.
Kryteria zbieżności szeregów
4
Kryterium Raabego
Jeżeli kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga czy dany szereg jest zbieżny lub rozbieżny, warto skorzystać z
kryterium Raabego:
szereg jest zbieżny
szereg jest rozbieżny
kryterium nie rozstrzyga
Należy zwrócić uwagę na fakt, że, aby szereg był zbieżny, granica z kryterium Raabego musi być większa od 1 
inaczej niż w przypadku kryterium d'Alemberta i Cauchy'ego.
Kryterium Kummera
Szereg dla którego dla dostatecznie dużych n jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją ciąg
liczb dodatnich i stała takie, że dla dostatecznie dużych n zachodzi:
Dla ciągu wynika stąd pierwsza część kryterium d'Alemberta.(bo )
Dla ciągu wynika stąd pierwsza część kryterium Raabego.(bo )
Kryterium Cauchy'ego
Kryterium Cauchy'ego (nazywane także kryterium pierwiastkowym Cauchy'ego dla odróżnienia od kryterium
całkowego Cauchy'ego): Jeżeli granica ciągu istnieje i jest mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny;
jeżeli granica ta jest większa od 1, szereg jest rozbieżny.
Jak w przypadku poprzedniego kryterium, jest to wersja uproszczona. Wersja subtelniejsza mówi, że jeśli granica
górna ciągu jest mniejsza od 1, to szereg jest zbieżny; jeżeli granica dolna jest większa od 1, to szereg jest
rozbieżny.
Dowód. Załóżmy, że . To oznacza, że istnieją liczby i takie, że
dla każdego . To oznacza, że dla , czyli
,
co dowodzi zbieżności bezwzględnej szeregu .
Załóżmy teraz, że
(1) istnieje liczba taka, że dla .
Wówczas dla , więc szereg jest rozbieżny, bo nie spełnia warunku koniecznego
zbieżności szeregów. Zauważmy, że warunki oraz implikują warunek (1) i
w konsekwencji implikują rozbieżność szeregu .
Kryteria zbieżności szeregów
5
Przykład 1. W zastosowaniach kryterium Cauchy'ego przydatna jest znajomość następujących granic:
oraz dla . Rozważmy szereg . Wówczas
Zatem na mocy kryterium Cauchy'ego szereg jest
zbieżny.
Przykład 2. Kryterium Cauchy'ego nie pozwala rozstrzygnąć czy szereg jest zbieżny, gdy
. Aby to zilustrować rozważmy dwa szeregi i , gdzie i .
Wówczas (korzystamy z faktu, że ). Jednak jest rozbieżny
jako szereg harmoniczny, a jest zbieżny, jako szereg harmoniczny rzędu 2.
Twierdzenie. Kryterium Cauchy'ego jest silniejsze niż kryterium d'Alemberta, tzn. jeśli szereg spełnia
warunek kryterium d'Alemberta, to spełnia też warunek Cauchy'ego, ale nie na odwrót.
Dowód. Załóżmy, że spełnia warunek kryterium d'Alemberta, tzn. . Wówczas
istnieją liczba oraz taka, że dla dowolnego . Wówczas
dla każdego . Zatem
.
Twierdzenia tego nie da się odwrócić, co ilustruje następujący przykład.
Przykład 3. Rozważmy szereg
Wówczas ogólny wyraz tego szeregu jest postaci . Zauważmy, że
oraz . Zatem na mocy kryterium Cauchy'ego szereg jest
zbieżny. Z drugiej strony dla każdego , co pokazuje, że szereg nie spełnia warunku z
kryterium d'Alemberta.
Kryterium całkowe
Szereg o wyrazie ogólnym jest zbieżny, jeżeli jest funkcją monotonicznie malejącą i całka
niewłaściwa jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna, to szereg o wyrazie ogólnym
jest rozbieżny. Przy tym dolną granicę całkowania a należy tak obrać, żeby funkcja w przedziale
była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.
Kryteria zbieżności szeregów
6
Kryterium porównawcze
Niech i będą szeregami o wyrazach nieujemnych. Jeśli dla każdego , to
(i) jeśli jest zbieżny, to jest zbieżny;
(ii) jeśli jest rozbieżny, to jest rozbieżny.
Dowód: Na początek zauważmy, że implikacja (ii) wynika z (i) na mocy tautologii .
Pokażemy (i). W tym celu załóżmy, że jest zbieżny do pewnej liczby . Oznacza to, że
.
Skoro dla każdego , to dla każdego . Skoro ciąg
jest zbieżny, to jest ograniczony. Zatem ograniczony jest też ciąg . Pokażemy, że ciąg
jest monotoniczny. Niech . Wtedy . To pokazuje, że
jest niemalejący i ograniczony, a zatem zbieżny. To oznacza, że zbieżny jest szereg .
Implikacje (i) oraz (ii) te nie dają się odwrócić. Niech i dla każdego .
Wówczas oraz oraz . To pokazuje, że jeśli , to z
rozbieżności nie wynika rozbieżność , a ze zbieżności nie wynika zbieżność .
Warunek dla każdego można osłabić zakładając jedynie, że istnieje liczba taka, że dla
każdego mamy (mówimy wtedy, że nierówność zachodzi dla prawie wszystkich
).
Stosowanie tego kryterium wymaga pewnego zasobu szeregów, o których wiadomo, że są zbieżne. Często wygodnie
jest porównywać dany szereg z szeregiem harmonicznym lub geometrycznym.
Kryterium zagęszczania
Następujące proste kryterium również pochodzi od Cauchy'ego. Załóżmy, że szereg jest taki, że ciąg
jest malejący, a jest liczbą naturalną większą od 1. Jeżeli zbieżny jest szereg , to zbieżny
jest szereg .
Kryteria zbieżności szeregów
7
Kryterium ilorazowe (nazywane też kryterium porównawczym w postaci granicznej)
Jeżeli mamy szeregi , i jeden z nich jest zbieżny, oraz , to drugi również jest
zbieżny. Podobnie gdy jeden z szeregów jest rozbieżny, a granica ta jest skończona i dodatnia, możemy
wnioskować, że drugi również jest rozbieżny.
Ponadto:
Jeżeli i jest zbieżny, to jest zbieżny.
Jeżeli i jest zbieżny, to jest zbieżny.
Szeregi o wyrazach dowolnych
Kryterium Leibniza
Jeżeli ciąg spełnia następujące dwa warunki:
1. ,
2. ciąg jest nierosnący,
to szereg jest zbieżny.
Dowód: Z założenia wynika, że . Rozważmy podciąg ciągu sum częściowych
postaci . Pokażemy, że ciąg ten jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny.
Mamy
(ciąg jest niemalejący)
oraz
(ciąg
jest ograniczony).
Niech . Aby zakończyć dowód trzeba pokazać, że . Mamy
.
Kryterium Abela
Jeżeli szereg jest zbieżny, a ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to szereg jest zbieżny.
Kryterium Dirichleta
Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu jest ograniczony, a ciąg jest monotoniczny i
zbieżny do 0, to szereg jest zbieżny.
y
ródła i autorzy artykułu
8
y
ródła i autorzy artykułu
Kryteria zbieżności szeregów y
ródło: http://pl.wikipedia.org/w/index.php?oldid=33611121 Autorzy: 4C, Alef, B11Blanco, BartekChom, Beno, Blotowij, CiaPan, Googl, KNMPL, Katafrakt,
Kbsc, Konradek, Kuki, Majkelx, Markosek, Mik01aj, Milek80, Mitrandir77, Papageno, Pazabo, Pazdro, Petryk, Polimerek, Qblik, Robpal, Rosomak, Stepa, ToSter, Wiggles007, Wiktoryn,
WojciechSwiderski, Wojteks, Wolf359, Wzarebs, 42 anonimowych edycji
Licencja
Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported
//creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/