lista1 v11

Pobierz cały dokument lista1.v11.pdf Rozmiar 151 KB

Fragment dokumentu:

LISTA 1

ZADANIE 1

a)  41 x=5

podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:

41 x=5 x⋅5 x

przechodzimy na system dziesiętny:

4x11=25

4x =24

x=6

ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 6.

b) 22 x=4

podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:

22 x=4 x⋅4 x

przechodzimy na system dziesiętny:

2x12=16

2x =14

x=7

ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 7.

c) a 2=301 x

Zauważmy, że:

–

x3 ponieważ użyto cyfry “3” co oznacza, ze system musi posiadać przynajmniej cztery cyfry (0, 1, 2, 3...),

– a jest dwucyfrowe (gdyby było jednocyfrowe to podniesione do kwadratu mogłoby mieć co najwyżej 2 cyfry, gdyby miało 3 cyfry, po podniesieniu do kwadratu na pewno miałoby ich co najmniej 5),

– a jest liczbą całkowitą.

Przejdźmy na zapis dziesiętny:

a 2=3x21

a 2−1=3x2

a 2−1 = x 2

3

x= a 2−1

3

Używając naszych początkowych spostrzeżeń możemy zauważyć, że: x3

a 23 ⋅32 1

x∈ Z

a 228

oraz x=

∣

 a 2−1

a∣28

3

a≥6

sprawdźmy kolejne liczby a:

a=6

a=7

x=36−1=35over3∉ Z x=

=

=16=4 ∈ Z

3

49−13 48 3

ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 4.

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

1

d) b 2=562 x

Zauważmy, że:

– x>5,

– b jest dwucyfrowe,

– pierwszą cyfrą b musi być 2.

Przejdźmy na system dziesiętny:

b 2=5x26x 2

2x a 2=5x26x2

4x 24xa a 2=5x26x 2

x 26x −4xa2− a 2=0

x 26−4a x 2− a 2=0

– a jest cyfrą jedności liczby b, więc a<x,

– a>1 ponieważ cyfrą jedności liczby z prawej strony nie jest 1 ani 0.

Po skorzystaniu z wzorów Viete'y, otrzymamy:

x 1 x 2=4a−6

x ⋅ x =2− a 2

1

2

Sprawdźmy kolejne a:

a=2

a=3

x

x

1 x 2= 2

1 x 2=6

x

x

1 ⋅ x 2=−2

1 ⋅ x 2=−7

x=2 6

x=7

Wykonajmy sprawdzenie:

L :2 ⋅732=172=289

P: 5 ⋅72 6 ⋅7 2 =289

L= P

ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 7.

ZADANIE 2

5 x 2

x



−50 125=0

x =5 , x =8

1



2



Ze wzorów Viete'y:

50

5



8=5

58=10

58=

=13

ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 13.

ZADANIE 4

Weźmy liczbę x jednocyfrową w systemie o podstawie  x

Mamy wykazać, że suma cyfr liczby (w systemie naturalnym o podstawie  ) x −1 jest stałe (niezależne od x): x −1 = x⋅− x = x −− x =  x−1 − x

Sprowadziliśmy iloczyn do postaci liczby w systemie o podstawie  , w której :

–

 x−1 jest pierwszą cyfrą,

–

− x jest drugą cyfrą.

Suma cyfr tej liczby to oczywiście:

Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/

2

Pobierz cały dokument lista1.v11.pdf rozmiar 151 KB