ZADANIE 1
a) 41 x=5
podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:
41 x=5 x⋅5 x
przechodzimy na system dziesiętny:
4x11=25
4x =24
x=6
ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 6.
b) 22 x=4
podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:
22 x=4 x⋅4 x
przechodzimy na system dziesiętny:
2x12=16
2x =14
x=7
ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 7.
c) a 2=301 x
Zauważmy, że:
–
x3 ponieważ użyto cyfry “3” co oznacza, ze system musi posiadać przynajmniej cztery cyfry (0, 1, 2, 3...),
– a jest dwucyfrowe (gdyby było jednocyfrowe to podniesione do kwadratu mogłoby mieć co najwyżej 2 cyfry, gdyby miało 3 cyfry, po podniesieniu do kwadratu na pewno miałoby ich co najmniej 5),
– a jest liczbą całkowitą.
Przejdźmy na zapis dziesiętny:
a 2=3x21
a 2−1=3x2
a 2−1 = x 2
3
x= a 2−1
3
Używając naszych początkowych spostrzeżeń możemy zauważyć, że: x3
a 23 ⋅32 1
x∈ Z
a 228
oraz x=
∣
a 2−1
a∣28
3
a≥6
sprawdźmy kolejne liczby a:
a=6
a=7
x=36−1=35over3∉ Z x=
=
=16=4 ∈ Z
3
49−13 48 3
ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 4.
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
1
Zauważmy, że:
– x>5,
– b jest dwucyfrowe,
– pierwszą cyfrą b musi być 2.
Przejdźmy na system dziesiętny:
b 2=5x26x 2
2x a 2=5x26x2
4x 24xa a 2=5x26x 2
x 26x −4xa2− a 2=0
x 26−4a x 2− a 2=0
– a jest cyfrą jedności liczby b, więc a<x,
– a>1 ponieważ cyfrą jedności liczby z prawej strony nie jest 1 ani 0.
Po skorzystaniu z wzorów Viete'y, otrzymamy:
x 1 x 2=4a−6
x ⋅ x =2− a 2
1
2
Sprawdźmy kolejne a:
a=2
a=3
x
x
1 x 2= 2
1 x 2=6
x
x
1 ⋅ x 2=−2
1 ⋅ x 2=−7
x=2 6
x=7
Wykonajmy sprawdzenie:
L :2 ⋅732=172=289
P: 5 ⋅72 6 ⋅7 2 =289
L= P
ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 7.
ZADANIE 2
5 x 2
x
−50 125=0
x =5 , x =8
1
2
Ze wzorów Viete'y:
50
5
8=5
58=10
58=
=13
ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 13.
ZADANIE 4
Weźmy liczbę x jednocyfrową w systemie o podstawie x
Mamy wykazać, że suma cyfr liczby (w systemie naturalnym o podstawie ) x −1 jest stałe (niezależne od x): x −1 = x⋅− x = x −− x = x−1 − x
Sprowadziliśmy iloczyn do postaci liczby w systemie o podstawie , w której :
–
x−1 jest pierwszą cyfrą,
–
− x jest drugą cyfrą.
Suma cyfr tej liczby to oczywiście:
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
2
x−1− x = x−1− x = −1
a więc jest niezależne od x, co kończy dowód.
TABLICZKI:
Aby ułatwić sobie obliczenia korzystamy z kilku własności:
– suma cyfr iloczynu największej cyfry i dowolnej innej jest stała i równa największej cyfrze (np. w systemie dziesiętnym 9*4=36 – suma cyfr wyniku to 9)
– kwadrat dowolnej liczby x wynosi (x-1)(x+1)+1 (np. w systemie dziesiętnym 42=3*5+1=15+1=16)
– aby uzyskać kolejną liczbę w rzędzie/kolumnie wystarczy dodać stałą różnicę w tym rzędzie równą mnożnikowi 3
1
2
5
1
2
3
4
7
1
2
3
4
5
6
9
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
1
1
2
3
4
1
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
2
11
2
2
4
11 13
2
2
4
6
11 13 15
2
2
4
6
8 11 13 15 17
3
3
11 14 22
3
3
6
12 15 21 24
3
3
6 10 13 16 20 23 26
4
4
13 22 31
4
4
11 15 22 26 33
4
4
8 13 17 22 26 31 35
5
5
13 21 26 34 42
5
5 11 16 22 27 33 38 44
6
6
15 24 33 42 51
6
6 13 20 26 33 40 46 53
7
7 15 23 31 38 46 54 62
8
8 17 26 35 44 53 62 71
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
2
2
4
6
8
A
11 13 15 17 19
2
2
4
6
8
A
C
11 13 15 17 19 1B
3
3
6
9
11 14 17 1A 22 25 28
3
3
6
9
C
12 15 18 1B 21 24 27 2A
4
4
8
11 15 19 22 26 2A 33 37
4
4
8
C
13 17 1B 22 26 2A 31 35 39
5
5
A
14 19 23 28 32 37 41 46
5
5
A
12 17 1C 24 29 31 36 3B 43 48
6
6
11 17 22 28 33 39 44 4A 55
6
6
C
15 1B 24 2A 33 39 42 48 51 57
7
7
13 1A 26 32 39 45 51 58 64
7
7
11 18 22 29 33 3A 44 4B 55 5C 66
8
8
15 22 2A 37 44 51 59 66 73
8
8
13 1B 26 31 39 44 4C 57 62 6A 75
9
9
17 25 33 41 4A 58 66 74 82
9
9
15 21 2A 36 42 4B 57 63 6C 78 84
A
A
19 28 37 46 55 64 73 82 91
A
A
17 24 31 3B 48 55 62 6C 79 86 93
B
B
19 27 35 43 51 5C 6A 78 86 94 A2
C
C 1B 2A 39 48 57 66 75 84 93 A2 B1
ZADANIE 5
Weźmy liczbę x jednocyfrową w systemie o podstawie x
Mamy wykazać, że suma cyfr liczby (w
systemie naturalnym o podstawie
)
x −1 k−1 k−1.. −1−1 (czyli inaczej liczby złożonej z samych najwyższych cyfr w danym systemie) jest stałe (niezależne od x):
x −1 k−1 k−1.. −1−1=
= x k1− k k− k−1 k−1− k−2..3 −22 −−1=
= x k1−1= x⋅ k1− x= x−1 k1 −1 k−1 k−1...− x
Sprowadziliśmy iloczyn do postaci liczby w systemie o podstawie , w której :
–
x−1 jest pierwszą cyfrą,
–
− x jest ostatnią cyfrą,
– pomiędzy nimi jest k-1 największych cyfr w danym systemie −1
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
3
Suma cyfr tej liczby to oczywiście:
x−1− x k −1 −1 = x−1− x k⋅− k −1 = k⋅− k a więc jest niezależne od x, co kończy dowód.
ZADANIE 6
mnożenie:
β=5
β=7
β=9
β=11
β=13
0, 3 2 4
0, 3 2 4
0, 3 2 4
0, 3 2 4
0, 3 2 4
2, 4 1
2, 4 1
2, 4 1
2, 4 1
2, 4 1
3 2 4
3 2 4
3 2 4
3 2 4
3 2 4
2 4 1 1
1 6 3 2
1 4 0 7
1 1 9 5
C 9 3
1 3 0 3
6 5 1
6 4 8
6 4 8
6 4 8
2, 1 0 2 3 4
1, 1 5 0 4 4
0, 7 8 3 0 4
0, 7 6 9 7 4
0, 7 4 7 5 4
dzielenie:
β=5
β=7
β=9
β=11
β=13
1, 2
1, 2 4
1, 3 2
1, 3 9
1, 4 6
4 3, 4
: 3 2
4 3, 4
: 3 2
4 3, 4
: 3 2
4 3, 4
: 3 2
4 3, 4
: 3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
1 1 4
1 1 4
1 1 4
1 1 4
1 1 4
1 1 4
6 4
1 0 6
9 6
C 8
0 0 0
2 0 0
0 0 7 0
2 9 0
1 9 0
1 6 1
6 4
2 6 7
1 5 C
0 0 6
0 5
0 2 4
0 3 1
Druga część zadania jest dla mnie niestety niezrozumiała.
ZADANIE 7
a) 674,58110= 2A2,94BC16 2A2,94BC16= 0010 1010 0010,10012
część całkowita
część ułamkowa
część ułamkowa
/16
reszta:
cyfra
*16
cyfra
*2
674
2
0,
581
0,
94BC
42
A
9
296
1
2978
2
2
4
736
0
52F0
0
B
776
0
A5E0
C
416
1
4BC0
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
4
b) 0CD,1216 = 1100 1101,00012 = 1 + 4 + 8 + 64 + 128 + 1/16 = 205,062510
część ułamkowa
cyfra
*2
0,
12
0
24
0
48
0
90
1
20
c) 3,0128=0011,02=316
część ułamkowa
cyfra
*2
0,
012
0
024
0
050
0
120
0
240
d) 34,5610 * 2-5 = 10000102 *2-5 = 10,00012 = 2,116
część całkowita
część ułamkowa
/2
reszta:
cyfra
*16
34
0
0,
0001
17
1
1
0
8
0
4
0
2
0
1
0
0
1
e) 102,213*5-2=21,10435 :1005=0,2115
część całkowita
część ułamkowa
/12
reszta:
cyfra
*12
102
1
0,
21
2
2
1
01
0
0
0
12
4
11
3
02
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
5
0BACA16*5-3=4781810*5-3=382,54410
część całkowita
/A
reszta:
BACA
8
12AD
1
01DE
8
002F
7
0004
4
0
0
g) 6745,81c20345,6217 = 2⋅743⋅724⋅75 6 2 1 = 4982 309 = 4982,9008
7
72
73
10
343
10
część całkowita
część ułamkowa
/7
reszta:
cyfra
*7
6745
5
0,
81
0870
4
6
27
0122
3
2
14
0015
0
1
11
0002
2
0
77
0
h) 0AA,1211 = 10⋅1110 1 1
= 120 13 = 120,1074 = 143,0862
11 121
10
121
10
9
część całkowita
część ułamkowa
/9
reszta:
cyfra
*9
120
3
0,
1074
13
4
0
9666
1
1
8
6994
0
0
6
2946
2
6514
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
6
i) 102,21 ×15−2=102,21 ×3−2×5−2=1,0221 ×5−2 = 1,0334 ×5−2=0,0103
3
3
3
5
5
część ułamkowa
cyfra
*12
0,
0221
0
2022
10
2111
10
2102
11
0001
34
11001
j)
7 =
2 =0,1001
56
101001
2
7
2
licznik
mianownik
0,
1
0
0
1
/2
reszta:
/2
reszta:
1
1
0
0
12 :
1
0
1
0
0
12
34
1
56
1
1
1
0
0
1
0
15
0
26
0
1
0
1
0
0
1
6
0
13
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
3
1
5
1
1
0
1
0
0
1
1
1
2
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
23456
23222
63110
k) 234,56
9− 2349
9
7
9=
=
=
=511,4552
88
88
143
7
9
9
7
5
1 1,
4
5
5
2
licznik
mianownik
6
3
1
1 07
:
1
4 37
/7
reszta:
/7
reszta:
6
1
1
23222
0
88
3
0
2
0
1
03028
1
12
4
1
4
3
00381
1
01
1
0
2
5
0
00050
3
0
1
4
3
00006
6
1
0
5
0
0
6
3
5
1
1
2
0
1
0
1
1
0
1
0
6
0
1
0
1
1
0
0
4
6
0
3
1
6
1
4
1
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
7
12345
12222
742⋅732⋅722⋅72 3201
12,345
7 −1237
7
7 =
=
=
=
=9,5267
660
660
336
10
7
7
6⋅726⋅7
9,5267 =9,588
10
11
część ułamkowa
cyfra
*11
0,
5267
5
7937
8
7307
8
0377
0
4147
ZADANIE 9
27
3
a) 0, 27
10
10
10=
=
=0,3
99
11
11
10
10
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 11.
101
5
b) 0,101
2
10
2 =
=
=0,5
111
7
7
2
10
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 7.
32
29
c) 1−0,56
9
10
gdzie X to 29-ta cyfra w systemie o podstawie 80
9 =0, 89 −0, 569=0, 32 9=
=
=0, X
88
80
80
9
10
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 80.
11
3
1
d) 0,00011
2
10
10
2=
=
=
=0,1
11110
30
10
10
2
10
10
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 10.
13
14
7
e) 0,35
11
11 −0, 2 11=0, 1311=
=
−
=0,7
AA
120 60
60
11
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 60.
122
65
f) 0,123
7
gdzie X to 65-ta cyfra w systemie o podstawie 336
7 =
=
=0, X
660
336
33
7
ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 336.
ZADANIE A
Mamy pokazać, że w systemie naturalnym przeniesienie lub pożyczka w dodawaniu juz zawsze równe 0 lub 1.
Dodawanie i odejmowanie liczb w systemie naturalnym polega na dodawaniu lub odejmowaniu cyfr stojacych przy odpowiadających sobie wagach.
Rozważmy najpierw dodawanie (a więc występujące w nim przeniesienie). W “najgorszym” wypadku będziemy dodwawać dwie największe cyfry:
−1 −1=−1−1=2⋅−2=−2=1⋅−2
Jeśli więc dodamy dwie największe cyfry, otrzymamy największy wynik będący liczbą dwucyfrową, której pierwsza cyfra (przeniesienie) wynosi “1” a druga “β-2”. Oznacza to, że największą cyfrą przeniesienia może być “1”. Najmniejszą cyfrą przeniesienia jest “0”, która jest sumą najmniejszych cyfr czyli zer.
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
8
W przypadku odejmowania jest podobnie. Jako,że w systemie naturalnym nie ma ujemnych cyfr, wynik odejmowania musi być zawsze dodatni. Aby uzyskać największą cyfrę pożyczki musimy odjąć od cyfry najmniejszej cyfrę największą:
0− −1=−1 wynik musi być jednak dodatni więc musimy pożyczyć jeden : −1=1
Widać stąd, że zawsze wystarczy pożyczyć “1”. Pożyczka będzie równa “0” gdy będziemy odejmować od dowolnej cyfry, cyfrę od niej większą.
ZADANIE B
Liczby zakodowane w systemie znak-moduł (SM) składają się ze znaku (standardowo “0” to minus a “1” to plus) i modułu (czyli wartości bezwzględnej) liczby. Inaczej mówiąc polega to na zamianie znaków “+” i “-” na cyfry – odpowiednio “1” i
“0”.
Dodawanie i odejmowanie w systemach SM nie różni się więc niczym od tego znanego z podstawówki. Same działania wykonujemy na modułach, w zależności od cyfr znaku:
– jeśli dodajemy dwie liczby dodatnie (obie mają pierwszą cyfrę “0”) to dodajemy moduły i jako znak ustawiamy również cyfrę “0”,
– jeśli dodajemy liczbę ujemną (pierwsza cyfra “1”) i liczbę dodatnią to wykonujemy odejmowanie na modułach (od większego odejmujemy mniejszy) a jako znak ustawiamy znak większego z modułów dodawanych liczb,
– jeśli odejmujemy dwie liczby ujemne to postępujemy jak w przypadku dodawania ale znak ustawiamy na “1”,
– jeśli odejmujemy liczbę ujemną i dodatnią to postępujemy jak w przypadku dodawania liczby ujemnej i dodatniej.
ZADANIE D
a) system naturalny:
– najmniejsza liczba całkowita: 0
– największa liczba całkowita: βk-1
b) system negabazowy
– najmniejsza liczba całkowita:
• dla k parzystego:
k
−1⋅− k−1 −1⋅− k−3...−1 −=− k k−1− k−2 k−3...−2=∑ −1 i1⋅ i i=1
• dla k nieparzystego:
k−1
−1⋅− k−2 −1⋅− k−4...−1−=− k−1 k−2− k−3 k−4...−2=∑ −1 i⋅ i i=1
– największa liczba całkowita:
• dla k parzystego:
k −1
−1⋅− k−2 −1⋅− k−4...−1−2−1= k−1− k−2 k−3− k−4...−2−1=∑ −1 i1⋅ i i=0
• dla k nieparzystego:
k 1
−1⋅− k −1⋅− k−1... −1−2 −1= k1− k k−1− k−4...−1=∑ −1 i1⋅ i i=0
c) system z cyframi znakowanymi:
– najmniejsza liczba całkowita: -βk-1
– największa liczba całkowita: βk-1
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
9