![]() | Pobierz cały dokument lista1.v11.pdf Rozmiar 151 KB |
ZADANIE 1
a) 41 x=5
podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:
41 x=5 x⋅5 x
przechodzimy na system dziesiętny:
4x11=25
4x =24
x=6
ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 6.
b) 22 x=4
podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy:
22 x=4 x⋅4 x
przechodzimy na system dziesiętny:
2x12=16
2x =14
x=7
ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 7.
c) a 2=301 x
Zauważmy, że:
–
x3 ponieważ użyto cyfry “3” co oznacza, ze system musi posiadać przynajmniej cztery cyfry (0, 1, 2, 3...),
– a jest dwucyfrowe (gdyby było jednocyfrowe to podniesione do kwadratu mogłoby mieć co najwyżej 2 cyfry, gdyby miało 3 cyfry, po podniesieniu do kwadratu na pewno miałoby ich co najmniej 5),
– a jest liczbą całkowitą.
Przejdźmy na zapis dziesiętny:
a 2=3x21
a 2−1=3x2
a 2−1 = x 2
3
x= a 2−1
3
Używając naszych początkowych spostrzeżeń możemy zauważyć, że: x3
a 23 ⋅32 1
x∈ Z
a 228
oraz x=
∣
a 2−1
a∣28
3
a≥6
sprawdźmy kolejne liczby a:
a=6
a=7
x=36−1=35over3∉ Z x=
=
=16=4 ∈ Z
3
49−13 48 3
ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 4.
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
1
Zauważmy, że:
– x>5,
– b jest dwucyfrowe,
– pierwszą cyfrą b musi być 2.
Przejdźmy na system dziesiętny:
b 2=5x26x 2
2x a 2=5x26x2
4x 24xa a 2=5x26x 2
x 26x −4xa2− a 2=0
x 26−4a x 2− a 2=0
– a jest cyfrą jedności liczby b, więc a<x,
– a>1 ponieważ cyfrą jedności liczby z prawej strony nie jest 1 ani 0.
Po skorzystaniu z wzorów Viete'y, otrzymamy:
x 1 x 2=4a−6
x ⋅ x =2− a 2
1
2
Sprawdźmy kolejne a:
a=2
a=3
x
x
1 x 2= 2
1 x 2=6
x
x
1 ⋅ x 2=−2
1 ⋅ x 2=−7
x=2 6
x=7
Wykonajmy sprawdzenie:
L :2 ⋅732=172=289
P: 5 ⋅72 6 ⋅7 2 =289
L= P
ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 7.
ZADANIE 2
5 x 2
x
−50 125=0
x =5 , x =8
1
2
Ze wzorów Viete'y:
50
5
8=5
58=10
58=
=13
ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 13.
ZADANIE 4
Weźmy liczbę x jednocyfrową w systemie o podstawie x
Mamy wykazać, że suma cyfr liczby (w systemie naturalnym o podstawie ) x −1 jest stałe (niezależne od x): x −1 = x⋅− x = x −− x = x−1 − x
Sprowadziliśmy iloczyn do postaci liczby w systemie o podstawie , w której :
–
x−1 jest pierwszą cyfrą,
–
− x jest drugą cyfrą.
Suma cyfr tej liczby to oczywiście:
Krzysztof Adamski :: http://mr-k.namyslow.eu.org/
2
![]() | Pobierz cały dokument lista1.v11.pdf rozmiar 151 KB |