Egzamin z Matematyki.

Ak

ademia

Obron

y

Naro

do

w

ej,

SLZiD

I

rok.

17

zerw

a

2009

r.

Zadanie 1 - 18 pkt. Wydatki pana B na telekomunikację składają się z opłat za telefon, w wysokości 150 zł miesięcznie oraz z opłat za internet, w wysokości 90 zł miesięcznie.

Z początkiem roku abonament telefoniczny zdrożał o 6%, zaś internetowy o 12,5%.

a) O ile procent wzrosły wydatki pana B na telekomunikację?

b) Przypuśćmy, że ceny abonamentów rosną co roku wg stóp procentowych podanych powyżej. Niech S oznacza cenę abonamentu telefonicznego po n latach, zaś W niech n

n

S

oznacza cenę abonamentu internetowego po n latach. Oblicz lim n

(wynik uzasadnij).

n→∞ Wn

Zadanie 2 - 17 pkt. Oblicz pochodną funkcji 2 x 3

a)

− 5 x

f ( x) = 4 x 2 + 7

√

6

b)

g( x) = 3 x 5 ·

x − x

Z

2

Zadanie 3 - 10 pkt. Oblicz całkę oznaczoną (2 x 5 + 6 x 2 − 4) d x

− 1

Zadanie 4 - 16 pkt. Rozwiąż układ równań metodą macierzy odwrotnej:

 x

+ 2 y

−

4 z

= 3



3 x

−

3 y

+ 3 z

= 6

 2 x

−

z

= 5

Uwaga: za zrobienie zad. 4 metodą inną, niż wskazana w poleceniu, przyznaje się 14 pkt Zadanie 5 - 18 pkt. Dane są macierze B, R i Q:









1

0 3

5 2

− 2

3

B =

R =  2

− 2

1 

Q =  2

4 

− 1

4

1

4 0

− 2

0

Oblicz wyznaczniki macierzy B oraz R. Podaj macierz transponowaną do macierzy Q.

Znajdź macierze B ×Q, Q×B oraz R×Q (jeśli dany iloczyn macierzy nie jest zdefiniowany

- uzasadnij, dlaczego).

Zadanie 6 - 6 pkt. Określ ilość rozwiązań układu równań (samych rozwiązań, o ile nawet są, podawać nie trzeba). Odpowiedź uzasadnij:

 x

+ 2 y

−

6 z

=

− 9



x

+

y

+ 3 z

=

8

 3 x

+ 4 y

=

7

Zadanie 7. Uwaga: zad 7 jest w dwu wersjach, trudniejszej i prostszej. Rozwiązujemy tylko jedną wersję. Należy jednoznacznie określić, którą wersję się wybiera.

wersja T - 15 pkt. Wśród prostokątów o przekątnej długości 10 cm znaleźć taki, który ma największe pole powierzchni (podać długości boków).

wersja P - 6 pkt. Na rysunku jest wykres pewnej funkcji. Odczytaj z tego rysunku, w jakich przedziałach pochodna tej funkcji jest dodatnia, a w jakich ujemna.