Studia magisterskie ENERGETYKA Jan A. Szantyr

Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów

Ćwiczenia 2

Wyznaczanie reakcji hydrodynamicznych I

Przykład 1

Z dyszy o średnicach D=80 [mm] i d=20 [mm] wypływa woda ze średnią prędkością c=15 [m/s]. Pomijając różnicę ciśnień obliczyć reakcję hydrodynamiczną wywieraną przez strumień wody na dyszę.

Reakcja R w ruchu ustalonym wynosi:

R = ρ ⋅ Q ⋅ ( c − c 1)

Natężenie przepływu Q oraz prędkość c1 obliczamy z równania ciągłości:

2

2

π ⋅ d

⋅ D

Q =

π

c ⋅

= c ⋅

4

1

4

Wobec tego mamy:

2

⋅ d

2

d

π d

d

2

⋅ 2 

2 

Q =

π

c ⋅

c = c ⋅

R = ρ ⋅ c ⋅

⋅1− 2 

4

1

2

D

4



D 

Po wstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy: π ⋅ 0

,

0 22 



2

0

,

0 22

R = 1000 ⋅15 ⋅

⋅ 1

 −

 = 6 ,

6 2

2

[5 N]

4



0

,

0 8 

Przykład 2

Strumień cieczy doskonałej o gęstości ρ

wypływa z dyszy i uderza w idealnie

gładką płytę o ciężarze G i długości l.

Płyta może obracać się wokół łożyska A

oddalonego o b od osi dyszy. Wiedząc,

że natężenie wypływającego strumienia

wynosi Q, a średnica dyszy D,

wyznaczyć składowe reakcji w łożysku

oraz kąt φ o jaki wychyli się płyta w

stanie równowagi.

Napór hydrodynamiczny R rozkładamy na składową normalną i składową styczną do płaszczyzny płyty:

R = R +

n

τ

R

W cieczy doskonałej składowa styczna jest równa zero, wobec czego całkowity napór reprezentuje tylko składowa normalna: Rn = R ⋅ cosϕ

Dalej mamy:

R = ρ ⋅ c ⋅ Q

2

4 ⋅ Q

4 ⋅ ρ ⋅ Q

c =

Rn =

⋅cosϕ

2

π ⋅ D

π

2

⋅ D

Składowe reakcji w łożysku wyznaczamy z równań rzutów sił

na osie x i y: ∑ P R

ϕ R

ix =

n ⋅ cos

− Ax = 0

∑ P R

G

R

iy =

Ay −

− n ⋅sinϕ = 0

Skąd otrzymujemy:

4 ⋅ ρ

2

⋅ Q

2

RAx =

⋅cos ϕ

π

2

⋅ D

4 ⋅ ρ

2

⋅ Q

2 ⋅ ρ

2

⋅

RAy = G +

⋅

Q

cosϕ ⋅sin ϕ = G +

⋅sin ϕ

π

2

⋅ D

π

2

2

⋅ D

Kąt nachylenia płyty w stanie równowagi wyznaczamy z równania momentów względem punktu A:

∑ M A = n ⋅ b

R

− ⋅ l

G

⋅sinϕ = 0

cosϕ

2

Otrzymujemy:

ϕ

2 ⋅ Rn ⋅ b

sin

= G⋅ l⋅cosϕ

Po podstawieniu zależności na reakcję mamy ostatecznie: 2

8 ⋅ ρ ⋅ Q ⋅ b

ϕ = arcsin

2

π ⋅ G ⋅ l ⋅ D

Przykład 3

Przez krzywak o średnicy D=80

[mm] przepływa woda z

natężeniem Q=0,08 [m**3/s].

Pomijając straty obliczyć napór

strumienia wody na krzywak.

Część dopływowa krzywaka

usytuowana jest pod kątem α=π/6

do poziomu, a część odpływowa

pod kątem π/3. W przekroju

dopływowym i odpływowym

panuje jednakowe ciśnienie

otoczenia pb.

Składowe naporu hydrodynamicznego wynoszą odpowiednio: R = ρ ⋅ Q ⋅ c − c

x

( 1 x 2 x)

R = ρ ⋅ Q ⋅ c − c

y

( 1 y 2 y)

Gdzie:

c

c x = − c ⋅ cos

2

β

x = c ⋅ co α

s

1

c

c y = c ⋅sin

2

β

y = c ⋅ sin

1

α

Co daje:

Rx = ρ ⋅ Q ⋅ c ⋅ (cosα + cos β ) Ry = ρ ⋅ Q ⋅ c ⋅(sinα − sin β )

4 ⋅ Q

Po podstawieniu:

c =

2

π ⋅ D

Otrzymujemy:

4 ⋅ ρ

2

⋅

=

Q

Rx

⋅

+

2

(cosα cosβ)

π ⋅ D

4 ⋅ ρ

2

⋅

=

Q

Ry

⋅

−

2

(sinα sin β)

π ⋅ D

Napór wypadkowy wynosi:

Q

2

2

4 ⋅ ρ ⋅ 2

R = Rx + Ry =

⋅ 2⋅

2

[1+cos(α + β)]

π ⋅ D

π π π

Suma kątów wynosi:

α + β = + =

6

3

2

Wobec czego mamy:

2

4 ⋅ 2 ⋅ ρ ⋅ Q

R =

2

π ⋅ D

Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymujemy: 4 ⋅ 2 ⋅1000 ⋅ ,

0 082

R =

=180

2

[2 N]

1

,

3 415 ⋅ ,

0 08

Przykład 4

Strumień wody o natężeniu q=0,01

[m**3/s] wypływa z dyszy i uderza w

płaskie łopatki koła wodnego o

promieniu podziałowym r=1,0 [m].

Pomijając straty, obliczyć moc

użyteczną oraz sprawność koła, jeżeli

jego prędkość kątowa wynosi ω=5,0

[1/s], a pole przekroju poprzecznego

dyszy A=500 [mm**2]. Dla jakiej

prędkości obrotowej ω koło osiągnie

moc maksymalną?

Moc użyteczną koła wodnego określa zależność: Nu = M ⋅ω

Gdzie moment M wynika z zasady krętu:

M = ρ ⋅ Q ⋅ ( c − u)⋅ r N = ρ ⋅ Q ⋅

− ⋅ω ⋅

u

( c u)

Czyli:

r

Q

Gdzie z kolei mamy: u = ω ⋅ r c =

A

 Q



Co daje:

N = ρ ⋅ Q ⋅

−ω ⋅ r ⋅ω ⋅ r

u

 A



Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy:



0

,

0 1



N = 1000 ⋅ 0

,

0 1⋅

− 5⋅1⋅5⋅1 = 750

u

[ W]

 0

,

0 005



Z kolei moc doprowadzona do koła wyraża się wzorem: N = ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H

d

c 2

Gdzie wysokość rozporządzalna H wynosi:

H = 2⋅ g

Q

A ponadto:

c =

A

Co daje:

ρ ⋅ Q 3 1000⋅ 0

,

0 13

N =

=

= 2000

d

2

2

[ W]

2 ⋅ A

2 ⋅ 0

,

0 005

N

750

Sprawność koła wynosi więc: η =

u =

= 3

,

0 75

N

2000

d

W celu wyznaczenia prędkości kątowej odpowiadającej maksymalnej mocy koła należy równanie na moc użyteczną przekształcić i zróżniczkować względem prędkości kątowej N = ρ ⋅ c ⋅ A⋅

−ω ⋅ ⋅ω ⋅ = ρ ⋅ ⋅ ⋅ 2 ⋅ω − ⋅ 2

ω ⋅

u

( c

r )

r

A r ( c

c

r )

∂ Nu = ρ ⋅ A⋅ r⋅( 2 c −2⋅ c⋅ω⋅ r)= 0 Warunek ekstremum

∂ω

Po wstawieniu danych liczbowych otrzymujemy: c

Q

0

,

0 1

ω =

=

=

= [1

10 s ]

2 ⋅ r

2 ⋅ r ⋅ A

2 ⋅1⋅ 0

,

0 005

Przykład 5

Do koła Segnera o średnicy D

doprowadzona jest woda, której

natężenie przepływu wynosi Q.

Pomijając opory tarcia oraz straty

przepływu wyznaczyć prędkość

kątową wirowania ω. Przyjąć

średnicę dysz wylotowych równą d.

Założyć, że wypadkowy moment na

kole jest równy zero.

Koło Segnera obraca się w kierunku przeciwnym do wypływu wody, wobec czego absolutna prędkość wypływu c wynosi: c = w − u

D

5

,

0 ⋅ Q ⋅ 4

2 ⋅ Q

Gdzie:

u = ω ⋅

w =

=

2

2

2

π ⋅ d

π ⋅ d

Moment reakcji hydrodynamicznej z zasady krętu wynosi: D

D

M = ρ ⋅ Q ⋅

⋅ c = ρ ⋅ Q ⋅ ⋅( w − u) 2

2

Ponieważ pomijamy opory tarcia musi być M=0, co daje: w − u = 0 → w = u

Po podstawieniu do powyższego zależności na prędkości w i u otrzymujemy:

2 ⋅ Q

D

4 ⋅ Q

= ω ⋅ → ω =

π ⋅ d 2

2

π ⋅ d 2 ⋅ D