Pochodna w matlab / octave

Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Eulera 1. Pochodna

Przybliżoną wartość pochodnej można obliczyć przez obliczenie różnic pomiędzy wartościami tych samych współrzędnych sąsiadujących punktów funkcji zadanej numerycznie. Korzysta się tu z definicji pochodnej funkcji:

y = y( x)

dy

y( x )− y( x ) y

− y

y

− y

i+1

i

i+1

i

i+1

i

y'=

= lim

= lim

= lim

(1)

x

→ x

x

→ x

x

dx

∆ →0

i +1

i

x

− x

i +1

i

x

− x

∆ x

i+1

i

i+1

i

x

∆ = x

− x

i+1

i

Założenie:

Bierzemy ∆ x „wystarczająco” małe, wtedy iloraz różnicowy y

− y

i+1

i

y '=

i

(2)

x

− x

i+1

i

Jest przybliżeniem pochodnej funkcji y( x) Druga i trzecia pochodna:

2

d y

d ( dy)

y''=

=

2

dx

( dx)2

(3)

y '− y '

i 1

y ''

+

i

=

i

( x − x )2

i 1

+

i

3

d y

d ( d ( dy))

y'''=

=

3

3

dx

dx

(4)

y ''− y ''

i 1

y '''

+

i

=

i

( x − x )3

i 1

+

i

Do wykonania tej operacji wykorzystuje się funkcję diff(), która oblicza różnice pomiędzy sąsiadującymi elementami wektora.

Przykład:

>> dxdy = diff(y)./diff(x) % y jest wektorem z wartościami funkcji w punktach x

Zadanie:

1. Napisz program main6.m, w którym oblicz 1, 2 i 3 pochodną funkcji y = x3

w przedziale <-2,2>

Wykorzystaj funkcję diff

2. Wyniki przedstaw graficznie

2. Równania różniczkowe

Metoda Eulera - metoda rozwiązywania równań różniczkowych opierająca się na interpretacji geometrycznej równania różniczkowego.

Zakładamy, że mamy dane równanie różniczkowe 1 rzędu y'= f ( x, y) (5)

gdzie

y = y( x)

x – zmienna niezależna,

z warunkiem początkowym

y = y( x )

0

0

y' = f → y' ( x ) = f ( x , y( x )) → y ' = f (6)

i

i

i

i

i

Korzystając ze wzoru 2:

y

− y

i+1

i = f

i

(7)

x

− x

i+1

i

dla małych przyrostów zmiennej x

∆ x = xi+1- xi , ∆ x ≈ 0

(8)

Przekształcając otrzymujemy wzór iteracyjny: y

= f ⋅ ∆ x + y

(9)

i+1

i

i

Zadanie:

1. W pliku dy_dx.m zdefiniuj funkcję dy

2

= − y

dx

2. Uzupełnij plik f_mEulera.m na podstawie wskazówek wewnątrz pliku.

3. Napisz program main7.m, w którym:

zdefiniuj przedział, w którym będziemy poszukiwać rozwiązania x ∈

1

,

0

krok = 0.1

warunek początkowy y0 = 1

dy

wywołaj funkcję reprezentującą metodę Eulera z pliku f_mEulera.m z parametrami: funkcja

, x, y0

dx

narysuj rozwiązanie równania w przedziale x ∈

1

,

0

przy pomocy metody Eulera (linia czerwona) oraz rozwiązanie ścisłe (linia zielona)

1

rozwiązanie ścisłe ma postać y( x) =

1 + x

4. Porównaj wyniki dla różnych wartości kroku; 0.01, 0.1, 0.5