I EA Podstawy robotyki – laboratorium

II SERIA

5. Modelowanie dynamiki ramienia robota 

metodą Lagrange'a 

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z oddziaływaniami dynamicznymi, 

jakie   występują   w   parach   kinematycznych   robotów   wieloprzegubowych. 
Analiza dynamiki powinna być przeprowadzona na podstawie uproszczonego 
modelu matematycznego pojedynczego ramienia napędzanego w przegubie. 
Model   ten   powinien   być   wyprowadzony   metodą   równań   Lagrange'a   II 
rodzaju na podstawie  podanych danych i założeń upraszczających. Proces 
modelowania   dynamiki   może   być   wspomagany   za   pomocą   pakietu 
SYMBOLIC TOOLBOX Matlaba. Po wyznaczeniu równań dynamiki przegubu 
należy   wykonać   badania   symulacyjne   modelu   w   środowisku   Matlab   lub 
Matlab-SIMULINK. 

1. Dane   jest   ramię   robota   z   przegubem   uwzględniającym   jego   sztywność   i 

bezwładność (rys. 1). Model fizyczny ramienia stanowi masa skupiona M na 
jego końcu. Długość ramienia liczona od osi obrotu wynosi L. 

Rys. 1. Analizowany ramię robota

Rys. 1. Model fizyczny ramienia i przegubu robota: M – masa ramienia, L – długość 

ramienia, K -  sprężystość przegubu, J – moment bezwładności silnika i prze-

kładni, q1 – położenie przegubu, q2 – położenie ramienia, T – moment napędowy

2. Wiedząc, że energia kinetyczna jest równa

K =

1
2

J ˙

q

1

2

+

1
2

J

r

˙

q

2

2

,  

J

r

=

ML

2

,

a energia potencjalna wynosi

P=

1
2

K

(

q

1

−

q

2

)

2

+

M g Lsin (q

2

)

wyznaczyć funkcję Lagrange'a L=K-U układu.

3. Wyprowadzić   dynamiczne   równania   ruchu   układu   wyznaczając   wymagane 

pochodne i podstawiając je do równań Lagrange'a II rodzaju

d

d t

∂

L

∂ ˙q

i

−

∂

L

∂

q

i

=

T

i

, i=1,2 .

4. Przedstawić wyprowadzone równania w notacji macierzowej

D(q) ¨q+C (q , ˙q)+G(q)=T

 

gdzie:  D  – macierz bezwładności układu,  C  – macierz sił odśrodkowych i 
Coriolisa, G – wektor grawitacji, T – wektor momentów zewnętrznych.

5. Rozwiązać powyższy układ ze względu na przyspieszenia

¨q= D(q)

−

1

[

T −C (q , ˙q)−G (q)

]

a   następnie   poprzez   podstawienie  

˙

q

1

=ω

1,

˙

q

2

=ω

2

sprowadzić   do   układu 

czterech   równań   różniczkowych   I   rzędu.   Układ   taki   stanowi   podstawę   do 
zastosowania procedur całkowania numerycznego w Matlabie.

6. Zakodować   powyższy   model   w   postaci  m-funkcji   Matlaba    

dq=nazwa_ 

układu(t,q)

, gdzie:

 

q=[q

1

q

2

ω

1

ω

2

]

T

 - wektor współrzędnych, 

 

dq=[ ˙

q

1

˙

q

2

˙

ω

1

˙

ω

2

]

T

- wektor pochodnych po czasie wektora współrzędnych.

7. Stosując  procedurę całkowania numerycznego 

ode45

 lub złożony w postaci 

bloków w Simulinku schemat wykonać symulację zachowania się układu dla:

a) różnych przebiegów czasowych wymuszeń: moment stały, sinusoidalny, 

ramp, chirp;

b) dla różnych wartości współczynnika sprężystości: 0, 100, 1000, 10000.

c)  dla   dołączonego   do  modelu  tarcia   wiskotycznego   (proporcjonalnego  do 

prędkości, 

T

t i

=

k

v i

˙q

i

=

k

v i

ω

i

, i=1,2

).

L [m]

*)

M [kg]

J [kgm^2]

K 

[Nm/rad^2]

0,5

1,0

0,0025

100

*) 

Wartości parametrów mogą być zmienione przez prowadzącego.

8. Opracować wnioski z ćwiczenia; zamieścić otrzymane przebiegi symulacyjne.