Wyprowadzanie równań ruchu w Maple’u

1. Równania Newtona

2. Równania Lagrange’a

3. Przykład

4. Idea wyprowadzania równań ruchu w Maple’u

5. Procedura wyznaczająca równania różniczkowe ruchu

Równania Newtona

)

(

,

F

g

M

t

d

K

d

F

t

d

p

d

O

O















Punkt materialny

Układ punktów materialnych

)

(

)

(

)

(

,

,

z

C

C

z

O

O

z

g

M

t

d

K

d

g

M

t

d

K

d

g

W

t

d

p

d



















Bryła sztywna

C

C

O

O

g

M

t

d

K

d

g

M

t

d

K

d

g

W

t

d

p

d



















,

,

Ruch postępowy

g

W

a

m

C







Ruch obrotowy

z

z

M

I









Ruch płaski













z

z

C

M

I

g

W

a

m









Równania Lagrange’a

U

E

L





n

i

Q

q

L

q

L

t

d

d

i

i

i

...

1

,





























L – funkcja Lagrange’a
E – energia kinetyczna
U – energia potencjalna

– współrzędne uogólnione
– prędkości uogólnione
– siły uogólnione

n – liczba stopni swobody

i

q

i

q

i

Q

Przykład

Newton

z

z

I

M

 

2

1

sin

3

2

l

ml

mg

  



2

3

1

l

m

I

z



m

G





l

O

C

2

1

1

sin

0

3

2

ml

mgl

 

 

Przykład

Lagrange

2

2

2

1

1

2

6

z

E

I

ml



 



2

2

1

cos

6

2

l

L

E U

ml

mg

  

 



2

2

1

1

sin ,

,

2

3

3

L

l

L

d

L

mg

ml

ml

d t











 

























0

d

L

L

d t

























cos

2

l

U

mg

 



2

1

1

sin

0

3

2

ml

mgl

 

 

m

G





l

O

C

Idea wyprowadzania równań ruchu w Maple’u

n

i

q

L

q

L

t

d

d

i

i

...

1

0





























)

(

),

(

),

,...

,

,

,

,...

,

,

(

3

2

1

3

2

1

t

r

r

t

q

q

r

r

r

r

q

q

q

q

L

L

i

i

i

i

n

n







n

i

Lq

q

L

i

i

..

1

,









 

n

i

Lrt

Lr

dt

d

q

L

dt

d

i

i

i

..

1

,

























n

i

Lq

Lrt

i

i

..

1

0







n

i

Lr

r

L

q

L

i

i

i

..

1

,

















)

,...

,

,

(

)

,...

,

,

,

,...

,

,

(

3

2

1

3

2

1

3

2

1

n

n

n

q

q

q

q

U

q

q

q

q

q

q

q

q

E

L













n

i

r

q

i

i

..

1

,







Procedura wyznaczająca równania różniczkowe ruchu

> lagrange:=proc(n,q,r,L)

local i,uzm_q,uzm_r,rel_r_q,Lq,Lr,Lrt:

global row:

uzm_q:=seq(q[i]=q[i](t),i=1..n);

uzm_r:=seq(r[i]=r[i](t),i=1..n);

for i to n do

Lq[i]:=subs([uzm_q, uzm_r],diff(L,q[i])):

Lr[i]:=subs([uzm_q,uzm_r],diff(L,r[i])):

end do;

for i from 1 to n do

Lrt[i]:=diff(Lr[i],t):

end do;

rel_r_q:=seq(r[i](t)=diff(q[i](t),t),i=1..n);

for i to n do

row[i]:=subs(rel_r_q,Lrt[i]-Lq[i]=0):

end do;

seq(row[i],i=1..n);

end proc:

n

i

t

d

Lr

d

Lrt

i

i

..

1

,





n

i

Lq

Lrt

i

i

..

1

0







n

i

q

L

Lq

i

i

..

1

,









n

i

r

L

Lr

i

i

..

1

,









n

i

q

r

i

i

..

1

,







n

i

t

q

q

i

i

..

1

,

)

(





n

i

t

r

r

i

i

..

1

,

)

(



