Strona 1 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
Instrukcja do Laboratorium 2
W zadaniu 1 (rys. 1) należy wyznaczyć:
częstości drgań własnych oraz przemieszczenie pręta,
narysować wykres błędu względnego w zależności od liczby elementów (dla
elementu prętowego liniowego, parabolicznego i sześciennego)
Rys. 1
Dane do zadania :
p=1000 [N]
– siła ,
E=2*10e11 [Pa]
– moduł Younga,
L=2 [m] -
długość pręta,
ro=7850 [kg/m3]
– gęstość materiału,
A=0.003 [m2]
– przekrój poprzeczny elementu.
Rozwiązanie :
Zadanie zostanie rozwiązane przy wykorzystaniu elementu skończonego typu pręt:
a) o liniowej funkcji kształtu,
b) o parabolicznej fukncji kształtu,
c) o sześciennej fukcji kształtu.
Kod Programu (Matlab)
Opis i interpretacja Graficzna
p = -1000;
E = 2e11;
L = 2;
ro = 7850;
A = 0.003;
1. Wprowadzenie danych materia
łowych oraz
wymiarów.
el = 1
2. Wybór ilości elementów skończonych.
a)
Rozwiązanie z zastosowaniem elementu prętowego o liniowej funkcji kształtu.
n=el+1;
3
. Wyznaczenie liczby węzłów.
k = [1 -1;
-1 1 ];
m = [ 2 1;
1 2 ];
kk = ( (E*A) / ( L/(n-1) ) )*k;
4. Budowa macierzy bezwładności (mas) oraz
macierzy sztywności dla elementu prętowego
liniowego
w
jego
lokalnym
układzie
współrzędnych.
2
1
1
1
1
1
2
1
U
U
L
A
E
=
kk
U
U
Strona 2 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
mm=( ( ro*A* ( L/(n-1) ) ) / 6 )*m;
2
1
6
2
1
1
2
2
1
U
U
L
A
=
mm
U
U
%%%%%%%%% agregacja
K = zeros(n)
for i = 2:n
pk = i-1:i
K(pk,pk) = K(pk,pk) + kk;
end
M = zeros(n);
for i = 2:n
pm = i-1:i;
M(pm,pm) = M(pm,pm) + mm;
end
5. Budowa globalnej macierzy sztywności oraz
bezwładności (agregacja macierzy)
nm
nm
nm
nm
n
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
K
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
12
12
12
12
gdzie: n=3,
4,…; m=4,5,….
k
nm
– współczynnik z lokalnej macierzy
sztywności elementu o węzłach n,m
Budowa globalnej macierzy bezwładności jest
analogiczna. Przy budowie globalnej macierzy
bezwładności oraz sztywności sumują się tylko
elementy o wspólnych węzłach jak wyżej.
b)
Rozwiązanie z zastosowaniem elementu prętowego o parabolicznej funkcji kształtu.
n=2*el+1;
3. Wyznaczenie liczby węzłów.
k = [ 7 -8 1 ;
-8 16 -8 ;
1 -8 7 ]
m = [ 4 2 -1; 2 16 2 ; -1 2 4 ]
kk = ( ( E*A ) / ( (3*L) / el ) )*k;
mm = ( ( ro*A* ( L/el ) ) / 30 )*m;
4. Budowa ma
cierzy bezwładności (mas) oraz
macierzy sztywności dla elementu prętowego w
jego lokalnym układzie współrzędnych.
7
8
1
8
16
8
1
8
7
3 L
A
E
=
kk
4
2
1
2
16
2
1
2
4
30
L
A
=
mm
K = zeros(n);
for i = 3:2:n
pk = i-2:i;
K(pk,pk) = K(pk,pk) + kk
end
M = zeros(n);
for i = 3:2:n
pm = i-2:i;
M(pm,pm) = M(pm,pm) + mm;
end
5. Budowa globalnej macierzy sztywności
(agregacja macierzy)
Strona 3 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
c)
Rozwiązanie z zastosowaniem elementu prętowego o sześciennej funkcji kształtu.
n=3*el+1;
3. Wyznaczenie liczby węzłów.
k =[ 37/10 -189/40 27/20 -13/40 ;
-189/40 54/5 -297/40 27/20 ;
27/20 -297/40 54/5 -189/40 ;
-13/40 27/20 -189/40 37/10 ];
m=[[ 8/105 33/560 -3/140 7/619 ;
33/560 27/70 -27/560 -3/140 ;
-3/140 -27/560 27/70 33/560 ;
7/619 -3/140 33/560 8/105 ];
kk = ( E*A / (L/el) )*k;
mm = ( ro*A * (L/el) )*m;
4. Budowa macierzy bezwładności (mas) oraz
macierzy sztywności dla elementu prętowego w
jego lokalnym układzie współrzędnych.
10
37
40
189
20
27
40
13
40
189
5
54
40
297
20
27
20
27
40
297
5
54
40
189
40
13
20
27
40
189
10
37
L
A
E
=
kk
105
8
560
33
140
3
619
7
560
33
70
27
560
27
140
3
140
3
560
27
70
27
560
33
619
7
140
3
560
33
105
8
L
A
=
mm
K = zeros(n);
for i = 4:3:n
pk = i-3:i;
K(pk,pk) = K(pk,pk) + kk;
end
M = zeros(n);
for i = 4:3:n
pm = i-3:i;
M(pm,pm) = M(pm,pm) + mm;
end
5. Budowa globalnej macierzy sztywności
(agregacja macierzy)
P=zeros(1,n)';
P(n,1)=p
6. Definicja siły
K(:,1) = 0;
K(1,:) = 0;
K(1,1) = 1
M(:,1) = 0;
M(1,:) = 0;
M(1,1) = 1
7.
Odebranie
stopni
swobody
(brak
przemieszczeń na kierunku U w punkcie 1)
umes = inv(K)*P
omega2 = eig(K,M);
fmes = sqrt(omega2(2))/(2*pi)
8. Rozwiązanie numeryczne
u =( L / (A*E) )*p
omega = ( pi/(2*L) ) * sqrt(E/ro);
f = omega/(2*pi)
9. Rozwiązanie analityczne
Strona 4 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
W zadaniu 2
(rys. 2) należy wyznaczyć częstości drgań własnych oraz przemieszczenia.
Rys.2
Dane do zadania:
p = 1000 [N]
– siła ,
E = 2e11 [Pa]
– moduł Younga,
L = 2 [m] -
długość pręta,
ro = 7850 [kg/m3]
– gęstość materiału,
A = 0.003 [m2]
– przekrój poprzeczny elementu.
Rozwiązanie:
Zadanie zostanie rozwiązane przy wykorzystaniu elementu skończonego typu pręt o liniowej
funkcji kształtu.
Programy pomocnicze do obliczenia sin
– ów i cos – ów :
1.
policz_cosinusa.m
function cosinus = policz_cosinusa(x1,x2,y1,y2)
cosinus = (x2-x1)/sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);
2.
policz_sinusa.m
function sinus = policz_sinusa(x1,x2,y1,y2)
sinus = (y2-y1)/sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 );
Kod Programu (Matlab)
Interpretacja Graficzna
%============ dane:
p = 1000;
E = 2e11;
L = 2;
ro = 7850;
A = 0.003;
1. Wprowadzenie danych materiałowych oraz
wymiarów.
%============
współrzędne:
% 1 2 3
x = [0, 0.5*L, L];
y = [0, (sqrt(3)/2)*L, 0];
2.
Budowa
geometrii
kratownicy
(wprowadzenie współrzędnych)
Strona 5 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
k=[1 0 -1 0 ;
0 0 0 0 ;
-1 0 1 0 ;
0 0 0 0] ;
m=[2 0 1 0 ;
0 2 0 1 ;
1 0 2 0 ;
0 1 0 2] ;
%============
k w ukł.lokalnym:
k12 = ( ( E*A )/L )*k;
k23 = ( ( E*A )/L )*k;
m12 = ( ( ro*A*L )/6 )*m;
m23 = ( ( ro*A*L )/6 )*m;
3. Zdefiniowanie macierzy sztywności i
macierzy
bezwładności
dla
elementu
prętowego
w jego lokalnym
układzie
współrzędnych
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
L
A
E
=
k
2
0
1
0
0
2
0
1
1
0
2
0
0
1
0
2
6
L
A
=
m
c12 = policz_cosinusa(x(1),x(2),y(1),y(2))
s12 = policz_sinusa(x(1),x(2),y(1),y(2))
c23 = policz_cosinusa(x(2),x(3),y(2),y(3))
s23 = policz_sinusa(x(2),x(3),y(2),y(3))
DC12=[ c12 s12 0 0 ;
-s12 c12 0 0 ;
0 0 c12 s12 ;
0 0 -s12 c12 ];
DC23=[ c23 s23 0 0 ;
-s23 c23 0 0 ;
0 0 c23 s23 ;
0 0 -s23 c23 ];
%============
k w ukł.globalnym:
ko12 = DC12' * k12 * DC12;
ko23 = DC23' * k23 * DC23;
4. Transformacja z lokalnego układu
współrzędnych
do
układu
globalnego,
macierz
bezładności
nie
podlega
transformacji
c
12
= cos β
1
s
12
= sin β
1
c
23
= cos β
2
s
23
= sin β
2
c
s
s
c
c
s
s
c
DC
0
0
0
0
0
0
0
0
DC
k
DC
=
k
T
o
%============ agregacja
Kg = zeros(6);
gdzie = [1 2 3 4];
Kg(gdzie, gdzie) = Kg(gdzie, gdzie) + ko12;
gdzie =[3 4 5 6];
Kg(gdzie, gdzie) = Kg(gdzie, gdzie) + ko23;
5. Budowa globalnej macierzy sztywności
i
bezwładności (agregacja macierzy)
3
3
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
23
0
12
0
23
0
12
0
12
0
12
0
23
0
23
0
23
0
12
0
23
0
12
0
12
0
12
0
12
0
12
0
12
0
12
3
3
2
0
12
2
0
12
1
0
12
1
0
12
V
U
V
U
V
U
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
=
k
V
U
V
U
V
U
o
g
Strona 6 z 6
Opracował: mgr inż. Jerzy Wołoszyn (
jwoloszy@agh.edu.pl
) mgr inż. Michał Ryś (
mrys@agh.edu.pl
)
Mg = zeros(6);
gdzie =[1 2 3 4];
Mg(gdzie, gdzie) = Mg(gdzie, gdzie) + m12;
gdzie =[3 4 5 6];
Mg(gdzie, gdzie) = Mg(gdzie, gdzie) + m23;
3
3
2
2
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
23
12
23
12
12
12
23
23
23
12
23
12
12
12
12
12
12
12
3
3
2
12
2
12
1
12
1
12
V
U
V
U
V
U
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
=
m
V
U
V
U
V
U
g
%============ odebranie stopni swobody
Kg(:,[1 2 5 6])=0;
Kg([1 2 5 6],:)=0;
Kg(1,1)=1;
Kg(2,2)=1;
Kg(5,5)=1;
Kg(6,6)=1;
Kg
Mg(:,[1 2 5 6])=0;
Mg([1 2 5 6],:)=0;
Mg(1,1)=1;
Mg(2,2)=1;
Mg(5,5)=1;
Mg(6,6)=1;
Mg
6. Odebranie stopni swobody
3
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
23
0
12
0
23
0
12
0
23
0
12
0
23
0
12
3
3
2
2
1
1
V
U
V
U
V
U
k
k
k
k
k
k
k
k
=
k
V
U
V
U
V
U
o
g
- analogicznie dla macierzy
bezwładność
u = inv(Kg) * [0;0;0;p;0;0]
omega2 = eig(Kg,Mg);
fmes = sqrt( omega2(2) ) / (2*pi)
7. Wyzn
aczenie przemieszczeń węzłowych
Zadanie 3
(rys.3) do samodzielnego rozwiązania.
Wyznacz przemieszczenia oraz częstości drgań własnych przyjmując element skończony jako
element prętowy liniowy.
Dane do zadania:
p=3 [kN]
– siła ,
E=2e11 [Pa]
– moduł Younga,
L=2 [m] -
długość pręta,
ro=7850 [kg/m3]
– gęstość materiału,
A=0.003 [m2]
– przekrój poprzeczny elementu.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
czlony dynamiczne id 128806 Nieznany
Lab5 Modelowanie dynamiki id 25 Nieznany
Dynamika id 145246 Nieznany
Lab2a Grudzinski Krawiec id 259 Nieznany
Modele dynamiczne id 305054 Nieznany
Dynamika a id 145299 Nieznany
Dynamika I id 145322 Nieznany
Analiza dynamiki id 59972 Nieznany
dynamika 4 id 145261 Nieznany
4 dynamika id 38203 Nieznany (2)
programowanie dynamiczne id 396 Nieznany
MT Krata Cremona id 310103 Nieznany
czlony dynamiczne id 128806 Nieznany
Lab5 Modelowanie dynamiki id 25 Nieznany
Dynamika id 145246 Nieznany
Lab2 OZE id 259328 Nieznany
4 Dynamika bryly sztywnej id 37 Nieznany (2)
lab2 7 id 259265 Nieznany
więcej podobnych podstron