1

Wykład 5

Analiza szeregów czasowych. Indeksy.

Janusz Wywiał, Katedra Statystyki, UE Katowice

1. Prosta analiza zmian poziomu wartości cechy w czasie

Niech będzie dany szereg czasowy:

{yt} = {y1, ...., yn}.

Przyrosty absolutne względem poziomu yc w ustalonym okresie (momencie) c czasu liczymy ze wzoru:

∆

= y − y

t /c

t

c

Przyrosty absolutne „łańcuchowe” rzędu a liczymy ze wzoru:

∆t (a) = yt - yt-a

2

W szczególności mamy łańcuchowe przyrosty absolutne rzędu pierwszego, czyli ∆t(1) = ∆t, gdzie:

∆t = yt - yt-1

Indeks zmian wartości cechy w okresie t-tym w stosunku do jej wartości z okresu c-tego (tzw.

indeks o podstawie stałej z okresu c-tego) określa wzór:

y

I

t

=

t /c

yc

Liczba It/c100% wskazuje jaki procent wartości cechy z okresu podstawowego stanowi jej wartość z okresu t-tego.

3

Indeks łańcuchowy określa wzór:

y

I

t

=

t

yt−1

Dzieląc przez siebie kolejne dwa indeksy o podstawie

stałej

otrzymujemy

indeksy

o

podstawie łańcuchowej, czyli:

I t /c

I =

t

I(t − )

1 / c

Z kolei mnożąc przez siebie kolejne indeksy łańcuchowe otrzymujemy odpowiedni indeks o podstawie stałej, czyli

It/c = Ic+1 Ic+2 ... It-1 It

4

Przyrost względny o podstawie stałej określają wzory:

y − y

d

t

c

=

t /c

yc

lub

∆

d

t /c

=

t /c

yc

lub

dt/c = It/c – 1

5

Przyrosty

względne

o

podstawie

łańcuchowej (tempo wzrostu) określają wzory: y − y

t

t −1

d =

t

y t −1

lub

∆

d

t

=

t

yt −1

lub

dt = It - 1

W szczególności liczba dt/c100 % wskazuje o ile procent wartość cechy zmieniła się w okresie t-tym w stosunku do okresu bazowego c-tego.

Z kolei liczba dt100 % informuje o ile zmieniła się wartość cechy w okresie bieżącym w stosunku do okresu uprzedniego.

6

Średni przyrost absolutny wyznaczamy ze wzoru na średnią arytmetyczną

1

n

yn − y 1

=

∆

∑∆ t =

n −1

t =

n −

2

1

Średni indeks wzrostu wylicza się zgodnie ze średnią geometryczną następująco:

n 1

−

n 1

−

I=

I ⋅ I ⋅⋅⋅ I

I

n =

2

3

n /1

lub

n

I = n−1

I

∏ t

t =2

Średnie tempo wzrostu definiuje wzór

d = I − 1

7

2.

Indeksy

zespołowe

(agregatowe)

Dla ustalenia uwagi poczyńmy następujące założenia i oznaczenia:

qti jest ilością sprzedawanego i-tego towaru w t-tym okresie czasu

pti jest ceną i-tego towaru w t-tym okresie czasu wti = qtipti jest wartością sprzedaży i-tego towaru w t-tym okresie czasu

∑

wt =

w ti jest wartością sprzedaży wszystkich i

towarów w t-tym okresie czasu

Przyjmujemy, że okres podstawowy, względem którego są czynione porównania, jest t = 0.

8

p ti

h =

i

p

jest

indeksem

(indywidualnym)

oi

zmiany ceny i-tego towaru

q ti

g =

i

q

jest

indeksem

(indywidualnym)

oi

zmiany ilości sprzedawanego i-tego

towaru

Indeks zmian wartości sprzedaży:

w

I

t

= wo

lub

∑ q p

ti ti

i

I = ∑q p

oi oi

i

9

Laspeyres wprowadził następujący indeks:

∑ q p

oi

ti

( )

i

I L =

p

∑ q p

oi

oi

i

( L) −

Liczba

(I

)

1

p

100% wskazuje o ile %

wzrosłaby (spadłaby) wartość sprzedaży ogółem w wyniku zmian cen, gdyby w obu okresach sprzedawano te same ilości poszczególnych towarów co w okresie podstawowych.

( L)

Indeks I p (zwany indeksem cenowym Laspeyresa) można także zapisać następująco:

∑ h w

i

oi

( )

w

L

I

h s , s

p

= i

∑

=

i oi

oi =

oi

∑ w

w

oi

i

∑ oj

i

j

10

Paasche zdefiniował następujący indeks cenowy

∑ q p

ti

ti

( )

i

I P =

p

∑ q p

ti

oi

i

Liczba ( I(P)

p

-1)100 % wskazuje, o ile procent

zmieniłaby się wartość sprzedaży ogółem w wyniku zmian cen, gdyby w obu okresach sprzedawano te same ilości poszczególnych towarów co w okresie bieżącym.

∑ wti

I (P)

i

=

p

w ti

∑

h i

i

11

Laspeyres określił również indeks ilości, który ma następującą postać:

∑q p

ti

oi

I (L)

i

=

q

∑q p

oi

oi

i

( L)

Wartość ( I p - 1) 100 % informuje o ile procent zmieniłaby

się

wartość

ogółem

sprzedaży

towarów, w wyniku zmian ilości sprzedaży poszczególnych towarów, gdyby w obu okresach sprzedawano towary po tej samej cenie co w okresie podstawowym.

∑ g w

i

oi

( )

w

L

I

g s , s

q

= i

∑

=

i oi

oi =

oi

∑ w

w

oi

i

∑ oj

i

j

12

Paasche zdefiniował następujący indeks ilości:

∑ q p

ti

ti

I (P)

i

=

q

∑ q p

oi

ti

i

( P

Liczba (

)

Iq − 1

)

1 0 %

0

wskazuje o ile procent

wzrosłaby (bądź spadłaby) wartość sprzedaży ogółem towarów za sprawą zmian ilości sprzedanej poszczególnych towarów, gdyby w obu okresach sprzedawano je po cenach z okresu bieżącego.

13

Indeks ilości Paaschego można przekształcić do postaci:

∑ wti

( )

1

w

P

I

, s

q

= i

=

= ti

ti

w

s

ti

ti

∑

∑

∑

wtj

j

q

q

i

i

i

i

Między zapisanymi indeksami zachodzą

następujące równości:

I = I(L) I(P)

p

q

I = I(L) I(P)

q

p

14

Indeksy Fishera:

IF = I(L) I(P)

p

p

p

IF = I(L) I(P)

q

q

q