Zad. 1. Rzucamy 30 razy kostką do gry. Niech Xi będzie zmienną losową równą licznie wyrzuconych oczek w i-tym rzucie. Obliczyć EXi i VarXi. Stosując poprawkę na ciągłość oszacować, że suma wyrzuconych oczek jest nie większa niż 110.
Rozwiązanie:
Niech S będzie zbiorem zawierającym wartości, które może przyjąć zmienna losowa Xi. Zatem S={1,2,3,4,5,6}.
= ( = )
∈
= 1 ∗ ( = 1) + 2 ∗ ( = 2) + 3 ∗ ( = 3) + 4 ∗ ( = 4) + 5 ∗ ( = 5) 1 21
+ 6 ∗ ( = 6) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ∗ 6 = 6 = 3,5
= ( − )( = )
∈
= (1 − 3,5) ∗ ( = 1) + (2 − 3,5) ∗ ( = 2) + (3 − 3,5) ∗ ( = 3)
+ (4 − 3,5) ∗ ( = 4) + (5 − 3,5) ∗ ( = 5) + (6 − 3,5) ∗ ( = 6)
= 2,92
Wykorzystamy Centralne Twierdzenie Graniczne (CTG), które mówi, że zmienna losowa będąca sumą n zmiennych losowych Z=X1+…+Xn o jednakowym rozkładzie ze średnią m i odchyleniem standardowym σ dąży do rozkładu normalnego Z~N(nm, √).
Niech Xi będzie zmienną losową opisującą pojedynczy rzut kostką. Wówczas:
= = 3,5
= = 1,71
Niech Z=X1+…+X30 opisuje wynik 30 rzutów kostką. Z CTG "~$%30 ∗ 3,5; 1,71 ∗ √30( =
$(105; 9,37)
" − 105 110 − 105
110 − 105
(" < 110) = (" < 110) = * 9,37 < 9,37 + = Φ* 9,37 + = Φ(0,53) = 0,7019
Wykorzystałem następującą własność rodziny rozkładów normalnych: niech X~N(m,σ), wówczas
" = -./
0 ~ N(0,1)
Φ - dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego.
Zad. 2. Zgodnie z prawem Mendla pewna krzyżówka grochu powinna dawać groch gładki i pomarszczony w stosunku 3:1. W losowej próbie 900 ziaren było 700 gładkich.. Na poziomie ufności 0,91 oszacować procentową zawartość gładkich ziaren.
Rozwiązanie:
Przedział ufności dla współczynnika struktury znajdziemy wykorzystując statystykę: 1 =
− 2
3 41 − 5
, która przyjmuje postać standardowego rozkładu normalnego.
Stąd poszukiwany przedział przyjmuje postać:
9
@
7
− 2
≤ ;
? = 1 − A
79
<.=?
3
9
41 − 5
6
>
Po kilku prostych przekształceniach otrzymujemy
B
3 41 − 5
3 41 − 5
− ;<.=
< 2 < + ;<.=
C = 1 − A
, gdzie:
p – szacowany wskaźnik struktury
m=700 <- liczba obserwacji wyróżnionych n=900 <-rozmiar próbki
1-α=0,91 <- poziom ufności
;<.D = ;F,GHH = 1,7 <-kwantyl rzędu 0,955 standardowego rozkładu normalnego E
Zatem:
700
3 41 − 5 700
900 41 − 700
9005
− ;<.=
= 900 − 1,7 ∗ 3
900
= 0,754
700
3 41 − 5 700
900 41 − 700
9005
+ ;<.=
= 900 + 1,7 ∗ 3
900
= 0,801
Poszukiwany przedział ufności dla struktury wynosi [0,754; 0,801]
Zad. 3. Pomiary napięcia prądu mają rozkład normalny. Dokonano 5 niezależnych pomiarów napięcia o otrzymano wyniki 220, 219, 220, 221, 220. Na poziomie istotności α=0,05 sprawdzić hipotezę, że wariancja pomiarów jest mniejsza niż 3. Czy na poziomie istotności α=0,025 przyjmujemy hipotezę alternatywną?
Rozwiązanie:
Hipoteza zerowa H0: J ≤
Hipoteza alternatywna HA: J >
Do weryfikacji hipotezy H0 stosujemy test dla wariancji przy nieznanej wartości średniej oparty na statystyce:
( − 1)J
; =
Statystyka ta ma rozkład χ2 o n-1 stopniach swobody.
Zbiór krytyczny wynosi L = [;<.=,N.<, ∞), gdzie t1-α,n-1 jest kwantylem rzędu 1-α rozkładu χ2 z n-1
stopniami swobody.
Dane:
α = 0,05 <- poziom istotności
n=5 <- rozmiar próby
S2=0,5 <- wariancja z próbki σ2=3 <-hipotetyczna wartość wariancji t1-α,n-1=t0,95;4=9,488 <- kwantyl rzędu 0,95 rozkładu rozkładu χ2 z 4 stopniami swobody odczytany z tablic
Zbiór krytyczny wynosi zatem: L = [9,488; ∞) Natomiast wartość statystyki jest równa: (5 − 1) ∗ 0,5
; =
3
= 0,67
Wniosek: Wartość statystyki t=0,67 nie należy do zbioru krytycznego, zatem na poziomie istotności 0,05 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Przyjmujemy zatem, że wariancja jest mniejsza niż 3.
α = 0,025 <- poziom istotności
n=5 <- rozmiar próby
S2=0,5 <- wariancja z próbki
σ2=3 <-hipotetyczna wartość wariancji t1-α,n-1=t0,975;4=11,143 <- kwantyl rzędu 0,975 rozkładu rozkładu χ2 z 4 stopniami swobody odczytany z tablic
Zbiór krytyczny wynosi zatem: L = [11,143; ∞) Natomiast wartość statystyki jest równa: (5 − 1) ∗ 0,5
; =
3
= 0,67
Wniosek: Wartość statystyki t=0,67 nie należy do zbioru krytycznego, zatem na poziomie istotności 0,025 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Przyjmujemy zatem, że wariancja jest mniejsza niż 3.