4. Rozwią zywanie obwodów prą du stałego

65

Wykład VIII. GAŁĘZIE NORMALNE. PRĄDOWE I NAPIĘCIOWE RÓWNANIA

RÓWNOWAGI. RÓWNANIA RÓWNOWAGI WZGLĘDEM PRĄDÓW

Sposoby przedstawiania gałęzi

W stosunku do elementów tego samego rodzaju, występujących w różnych ( k-tych) gałęziach obwodu, trzeba stosować jednakową konwencję strzałkowania prądów i napięć. Chodzi mianowicie o jednolitą formę zapisu zależności między prądem gałęziowym Ik, napięciem gałęziowym Uk, źró-

dłowym napięciem gałęziowym (napięciem gałęziowego idealnego źródła napięciowego) Ek i źró-

dłowym prądem gałęziowym (prądem gałęziowego idealnego źródła prądowego) Iź r.k .

Zwrot prądu gałęziowego jest z zasady zgodny ze zwrotem gałęzi. Co do zwrotów pozostałych wielkości, dopuszcza się dużą dowolność. Z dokonanego, formalnego w istocie, wyboru zwrotów tych wielkości, wynikają określone postaci równań obwodu i związane z nimi kwestie obliczeniowe (dotyczące znaków wielkości oraz charakteru poszczególnych elementów).

Standardową gałąź, obrazującą przyjęty system strzałkowania, nazywa się gałę zią normalną lub uogólnioną. Będzie używana gałąź uogólniona o zgodnych zwrotach Ik, Ek i Iź r.k (odpowiadających zwrotowi gałęzi), oraz przeciwnym do nich zwrocie Uk (przeciwnym do zwrotu gałęzi).

Źródłowy prąd gałęziowy Iź r.k może być traktowany

w dwojaki sposób: jako zewn

a)

I

ę trzny (rys. a) bądź

wej.k Ek Rk IR.k = Ik

jako wewnę trzny (rys. b) prąd gałęzi. Postać z ze-

Iź r.k

wnętrznym prądem źródłowym Iź r.k pozwala

uwzględniać w równaniach obwodu prądy pseudo-

Uk

gałęzi (idealnych źródeł prądowych, nie będących

elementami gałęzi). Nie ma natomiast takiej możli-

b)

Iwej.k = Ik Ek Rk IR.k

wości, jeśli Iź r.k jest prądem wewnętrznym gałęzi.

Pseudogałęzie nie są w tym przypadku elementami

Iź r.k

autonomicznymi, co ogranicza ogólność rozważań.

Podstawową pełną postacią gałęzi uogólnionej jest

Uk

więc gałąź z zewnętrznym prądem źródłowym Iź r.k .

Zwroty napięcia gałęziowego Uk i prądu gałęziowego Ik są przeciwne, zatem gałęzie są strzałkowane odbiornikowo: Uk = Uk.odb. Iloczyn napięcia Uk i prądu Iwej.k jest wobec tego mocą pobieraną

przez gałąź z obwodu: Pk = Uk Iwej.k = Pk.odb. Idealne źródło prądowe jest również strzałkowane odbiornikowo, toteż iloczyn Uk Iź r.k wyraża moc pobieraną przez to źródło. W tym sensie jest więc ono aktywnym odbiornikiem o prądzie Iź r.k. Aby otrzymać moc wydawaną przez idealne ź ródło prą do-we, trzeba zmienić znak napięcia gałęziowego ( Uk.gen Iź r.k = – Uk Iź r.k). Trzeba o tym pamiętać przy sporządzaniu bilansu mocy obwodu. Zwroty źródłowego napięcia gałęziowego Ek i prądu w rezystancji IR.k są zgodne, więc ich iloczyn Ek IR.k wyraża moc wydawaną przez idealne ź ródło napię ciowe.

Przedstawione wyżej, pełne postaci gałęzi uogólnionej określa się jako gałę zie napię ciowo-prą dowe.

W obwodach występują też postaci niepełne: gałę zie

c)

I

napię ciowe (rys. c) i gałę zie prą dowe (rys. d). Czę-

k’ Ek’ Rk

sto jest to efekt zamian postaci gałęzi występujących

w danym obwodzie (postaci pełnej na jedną z nie-

Uk

pełnych, albo niepełnej na inną niepełną), dokona-

nych dla uproszczenia analizy obwodu. Przy takich

d)

Ik’ Gk

zamianach ulegają zmianom wartości prądu w rezy-

stancjach gałęziowych i wartości występującego na

Iź r.k’

nich napięcia, więc po znalezieniu rozwiązania

przekształconego obwodu trzeba „wrócić” do obwo-

Uk

du pierwotnego i obliczyć wartości prądu (napięcia),

odpowiadające temu obwodowi.

66

Wykład VIII

Liczby prądowych i napięciowych równań równowagi obwodu

Jeśli jednospójny obwód elektryczny ma g gałęzi i w węzłów, to można napisać: m = ( w –1) prądowych równań równowagi – na podstawie I prawa Kirchhoffa,

n = ( g – w +1) napięciowych równań równowagi – na podstawie II prawa Kirchhoffa.

Razem z g równaniami gałęziowymi, wystarcza to do wyznaczenia wartości wszystkich prądów i napięć gałęziowych.

Równania równowagi muszą być od siebie liniowo niezależne, tzn. że ani w zbiorze m równań prą-

dowych dla węzłów, ani w zbiorze n równań napięciowych dla oczek, żadne z nich nie może być kombinacją liniową pozostałych.

Uznano wcześniej, że skoro jeden węzeł nie tworzy gałęzi (wyklucza się występowanie pętli), to w obwodzie jednospójnym o w węzłach występuje m = ( w –1) węzłów niezależnych. Równanie prą-

dowe dla jednego z w węzłów jest więc zawsze kombinacją liniową ( w –1) równań prądowych dla węzłów pozostałych. Poniżej zostanie to udowodnione na drodze algebraicznej.

Na rysunku obok węzły są tak oznaczone, że na zewnątrz

przekroju Ko jest tylko węzeł o numerze w, a gałęzie ma-

jące w nim początek oraz węzły będące końcami tych ga-

K

w

łęzi mają numery od 1 do x.

o

–1

1

w

W węzłach o numerach j = 1, ... , x ( x ≤ w –1)

–2

słuszne jest równanie prądowe

∑ I

I

,

1

ij +

wj = 0

i≠ j,

i= ,

1 ..., w 1

−

w

x

x

x

x

zaś w węźle zewnętrznym: ∑ I

I

,

+2

jw = −∑

wj = 0

x

j 1

=

j 1

=

x +1





x

x 



stąd ∑ I

I

,

jw = ∑ 

∑ 

ij

= 0

j 1

=

j 1

=  i≠ j,



 i= ,1..., w 1

− 

gdzie: Iij – prąd gałęziowy zwrócony od węzła o numerze i do węzła o numerze j, Iwj – prąd gałę-

ziowy od węzła w do węzła j, Ijw – prąd gałęziowy od węzła j do węzła w.

W pozostałych ( w –1 – x) węzłach o numerach j = x+1, ... , w –1 , tj. w węzłach nie połączonych bezpośrednio (poprzez pojedyncze gałęzie) z węzłem w, zachodzą zależności:

w 1

−

∑ I

oraz I

, więc ∑ I

.

jw = 0

jw = 0

ij = 0

i≠ j,

j= x 1

+

i= ,

1 ..., w 1

−





w 1

−

w 1

− 



Wobec powyższego: ∑ I

I

.

jw ≡ ∑ 

∑ 

ij

≡ 0

j 1

=

j 1

=  i≠ j,



 i= ,1..., w 1

− 

Wykazano zatem, że równanie prądów w jednym węźle jest liniowo zależne od równań prądów w

węzłach pozostałych.

Równania prądów w węzłach

Zostały utworzone macierze incydencji gałę zi (pseudogałę zi) i wę złów:

- g gałęzi i m węzłów

λ =[λ

, i = 1, .. , m, k = 1, .. , g, (4.4a) ik ] m× g

m× g

4. Rozwią zywanie obwodów prą du stałego

67

- h pseudogałęzi i m węzłów λ =[λ , i = 1, .. , m, k = g+1, .. , g+ h, (4.4b) ik ] m h

h

×

m× h

- g gałęzi oraz h pseudogałęzi, i m węzłów („całkowitą” macierz incydencji węzłów)





λ =  

λ λ

= [[λ

λ

, i = 1, .. , m, k = 1, .. , g+ h , (4.4c)

ik ] m× g [ ik ] m× h ]

c

h

 m

(

)

 × g



m× g + h

m× h 

gdzie λ ik – współczynnik incydencji k-tej gałęzi (lub pseudogłęzi) i i-tego węzła, zgodnie z okre-

śleniem (4.3a).

Zapisano w postaci wektorów:

- prą dy gałę ziowe i ź ródłowe prą dy gałę ziowe

= [ I

I

, I

= [ I

, k = 1, .. , g, (4.5a, b)

ź r. k ]

k ] g 1

×

g 1

×

ź r

g 1

×

g 1

×

- prą dy pseudogałę zi

I

= [ I

, k = g+1, .. , g+ h, (4.5c)

ź r. k ] h 1

ź r.

×

h

h 1

×

- ź ródłowe prą dy gałę zi i pseudogałę zi („całkowity” wektor prądów źródłowych)





I

 ź r 

g 1

×





I

= . . . ..



 = [ I

, k = 1, .. , g+ h, (4.5d)

ź r. k ]( g + h) 1

ź r.

×

c

( g + h) 1

×





 I ź r. h 

 h 1

×



- w ejś ciowe prą dy gałę zi

I

=

wej

[ I

, k = 1, .. , g, (4.5e)

wej k

. ] g 1

×

g 1

×

- w ejś ciowe prą dy pseudogałę zi

I

=

wej. h

[ I

, k = g+1, .. , g+ h, (4.5f)

wej. k ] h 1

×

g 1

×

- w ejś ciowe prą dy gałę zi i pseudogałę zi („całkowity” wektor prądów wejściowych)





I

 wej 

g 1

×





I

=  . . . ..  =

wej. c

[ I

. k = 1, .. , g+ h. (4.5g)

wej. k ]( g+ h) 1

×





( g + h) 1

×

 I wej. 

h





h 1

×



a)

Iwej.k Ek Rk Ik

Między prądami w gałęziach (rys. a) oraz między prądami w

pseudogałeziach (rys. b) zachodzą związki:

I

ź r.k

I

= I + I

, k = 1, 2, ... , g ; (4.6a)

wej. k

k

ź r. k

b)

Iwej.k Iź r.k

I

= I

, k = g +1, ... , g + h, (4.6b)

wej. k

ź r. k

 I 

 g 1

× 

I

=

+

I

=

I

 . . . . 

=

.

+

wej

I I ,

.

I

,

.

I

. (4.6c, d, e)

ź r

wej h

ź r h

.

wej c





ź r c

.

g 1

×

g 1

×

g 1

×

g 1

×

g 1

×

( g + h) 1

×

(

g + h) 1

 0

×



 h 1

× 

68

Wykład VIII

Wg I prawa Kirchhoffa, sumy prądów w węzłach obwodu jednospójnego o w węzłach tworzą układ m = ( w –1) prą dowych równań równowagi:

- w wersji 1. (dodatnie znaki składników sumy odpowiadają prądom dopływającym) -

g + h

∑(−λ ) I

, i = 1, ... , m , (4.7a’)

ik

⋅ wej k = 0

.

k 1

=

- w wersji 2. (dodatnie znaki składników sumy odpowiadają prądom wypływającym) -

g + h

∑λ I

, i = 1, ... , m . (4.7a”)

ik ⋅

wej k = 0

.

k 1

=

Forma (4.7a’) odzwierciedla tradycję, natomiast przyjęta definicja λ ik przemawia za wyborem formy (4.7a”), której odpowiada zapis macierzowy

λ ⋅ I

=

. (4.7b)

c

wej. c

0

m 1

m (

× g+ h)

×

( g + h) 1

×

Rozłożywszy prądy wejściowe gałęzi w równaniach (4.7a”) i (4.7b), zgodnie ze wzorami (4.6a) i (4.6c), na prądy wewnętrzne i zewnętrzne (źródłowe), otrzymuje się zależności:

g

g + h

∑λ ⋅ I = ∑(−λ )⋅ I , i = 1, ... , m , (4.7c)

ik

k

ik

ź r. k

k 1

=

k 1

=

⋅

λ I = −λ ⋅ I . (4.7d)

c

ź r c

.

m× g g 1

×

m (

× g+ h) ( g+ h) 1

×

Równania napięć w oczkach

Została utworzona macierz incydencji gałę zi i oczek

δ =[δ

, l = 1, .. , n, k = 1, .. , g . (4.8a)

lk ] n× g

n× g

gdzie: k – numer gałęzi, l – numer oczka, δ ik – współczynnik incydencji k-tej gałęzi i l-tego oczka, zgodnie z określeniem (4.3b).

Zapisano wektor napięć gałę ziowych

U = [ U

, k = 1, .. , g . (4.8b)

k ] g×1

g ×1

Wg II prawa Kirchhoffa, sumy napięć gałęziowych w oczkach obwodu jednospójnego o w węzłach tworzą układ n = ( g – w +1) napię ciowych równań równowagi: g

∑δ U

, l = 1, ... , n , (4.9a)

lk ⋅

k = 0

k 1

=

któremu odpowiada zapis macierzowy

⋅

=

δ U 0 . (4.9b)

×

n g

g 1

×

n 1

×

Napięcia na pseudogałęziach są liniowymi kombinacjami napięć gałęziowych.

Równania równowagi względem prądów – postać ogólna

Dla gałęzi uogólnionej o pełnej postaci, w której prąd źró-

Iwej.k Ek Rk Ik

dła prądowego Iź r.k jest prą dem zewnę trznym gałę zi, a zwrot jego jest zgodny ze zwrotem prądu Ik (rys.), otrzy-UR.k

muje się napięciowe równania gałęziowe:

Iź r.k

U = U

, k = 1, .. , g , (4.10a)

.

− E = R ⋅ I − E

k

R k

k

k

k

k

Uk

U = R ⋅ I − E , (4.10b)

g 1

×

g× g g 1

×

g 1

×

4. Rozwią zywanie obwodów prą du stałego

69

gdzie:

- diagonalna macierz rezystancji gałę ziowych

R = [ R

= dia

g R , R , . . . , R

, (4.10c)

kk ] g× g

[ 1 2

g ]

g× g

- wektor ź ródłowych napięć gałę ziowych

E = [ E

, k = 1, .. , g . (4.10d)

k ] g 1

g ×

×

1

Napięciowe równania równowagi (4.9a) i (4.9b), po uwzględnieniu zależności gałęziowych (4.10a) i (4.10b), przybierają następujące postaci:

g

g

∑δ

R

I

δ

E

, l = 1, ... , n ,

lk ⋅

k ⋅

k + ∑ (−

)

lk

⋅ k = 0

k 1

=

k 1

=

⋅

⋅

+

δ R I (−δ )⋅ =

E 0 ,

×

n g

g× g

g 1

×

g 1

×

n g

×

n 1

×

g

g

albo ∑δ ⋅ R ⋅ I = ∑

⋅ E , l = 1, ... , n ; (4.11a)

lk

k

k

δ lk k

k =1

k =1

δ ⋅ R⋅ I = δ ⋅ E . (4.11b) n× g

g × g

g ×1

n× g

g ×1

W przypadku gałęzi bezrezystancyjnej, tzn. zawierającej tylko idealne źródło napięciowe, we wła-

ściwym miejscu macierzy R wstawia się zero.

Wyrażenia (4.7d) i (4.11b):

⋅

λ I = −λ ⋅ I , δ ⋅ ⋅ = δ ⋅ ,

c

R I

E

ź r c

.

m× g g 1

×

n× g

g × g

g ×1

n× g

g ×1

m (

× g+ h) ( g+ h) 1

×

tworzą razem układ g równań z g niewiadomymi, którymi są prądy gałęziowe (równania obwodu względem prądów). Równania te można zapisać łącznie, w dwóch równoważnych postaciach, jako:

- pełne równanie równowagi wzglę dem prą dów

 







λ

−λ

 0







0 



















c 

m× g

m× g

m× g

m (

× g+ h)





 . . .. 

 . . .. 

 . . .. 







⋅

. . . . . . ..



 R +

 ⋅





I =

⋅



 E +

⋅



 I

, (4.12a)

ź r c

.



g× g

 g 1

×

g 1

×















 ( g+ h) 1

 δ

0 

δ

0

×























n× g

n× g

n× g 

 n (

× g+ h) 

- skrócone równanie równowagi wzglę dem prą dów









λ

I

 ×

m g 

 w 

 . .

.

.

.



 ×

m 1 

⋅

=

.

.

.

.

.

.

, (4.12b)



 I





 R

g 1

l 

×

 E 

 ×

n g 



o





×

n 1 

gdzie:

- macierz rezystancji gałę ziowych w oczkach (skierowanych wzdłuż oczek)

R = δ ⋅

l

R , (4.12c)

n× g

n× g

g × g

- wektor wydajnoś ci ź ródeł prą dowych do wę złów, tj. źródłowych prądów dopływających do węzłów (wydawanych do węzłów)

I = −λ ⋅ I

, (4.12d)

w

c

ź r c

.

m 1

×

m (

× g+ h) ( g+ h) 1

×

70

Wykład VIII

- wektor ź ródłowych napięć (sem) oczkowych

E = δ ⋅

o

E . (4.12e)

n

n g

g

×

×

×

1

1

Trzeba wyjaśnić, że:

- elementy macierzy Rl są rezystancjami k-tych gałęzi, przy czym opatrujemy je znakiem „plus”, jeśli zwrot prądu Ik jest zgodny ze zwrotem obiegu l-tego oczka, a znakiem „minus”, jeśli zwrot prądu Ik jest przeciwny do zwrotu obiegu l-tego oczka,

- elementy wektora Iw są sumami źródłowych prądów gałęziowych dopływających do kolejnych węzłów (dopływające prądy źródłowe występują w sumie ze znakiem „plus”, zaś odpływające – ze znakiem „minus”),

- elementy wektora Eo są sumami źródłowych napięć gałęziowych występujących w oczkach, przy czym te źródłowe napięcia bierzemy ze znakiem „plus”, jeśli ich zwrot jest zgodny ze zwrotem obiegu oczka, a ze znakiem „minus” – jeśli jest przeciwny.

Przykład 1. Gałęzie w obwodzie pokazanym na rys. a mają z założenia postać napięciowo-prądową. Obliczane są wartości prądów gałęziowych.

a)

I

Ω 1

Ω

2

Ω

1

1

0 I 2

1

0

1

0 I 4 b)

1

1

2

2

I 3

4,6 A

140

1

Ω

2

1

2

V 24

180 V

3

4

Źródło prądowe i gałąź z prądem I 4 są jednym obiektem (jedną gałęzią). Graf obwodu z wybranym drzewem przedstawiono na rys. b. Stopień złożoności obwodu określają: w = 3, g = 4, h = 0, stąd m = 2, n = 2.

Wybrano i oznaczono – na rys. a i b – węzły niezależne (1, 2) i oczka niezależne (1, 2).

I. Wyznaczono macierze incydencji, macierz rezystancji gałęziowych oraz wektory źródłowych napięć i prądów gałęziowych:

-

-

1

0

1

1





0

1

0

1



=

λ 

 , λ

=

,

=

δ

,

c

λ





×

1

1

1

0

m g



-

0

1

0

1

m× g

×

n g





m×( g + h)

1

0

0

0 0



140 

 0

















0

1

0

0 0



=

0

0

R

,





=

,





I

=

, I

=

.



E

I

0

0 2

4 0





0 

ź r

 0



ź r c

.

ź r

g× g





g×1





g×1





( g + h) 1

×

g 1

×



0

0

0 1

0

18

0 

 4

,6

Zapisano równanie równowagi w pełnej formie (4.12a):

 

0

0

0 0

 1



0

0

0 0



-

1 -

1

1 0

   I 

1







 

 



 



0

0

0 0

0

1

0

0 0

0

1

0 -

1 



 

 



 I 2 



⋅

+

 ⋅

=



1

0

1 0

 

0

0 2

4 0





0

0

0 0



 

I

3







 

 



 





 

0

1

1 1

 

0

0

0 1

0 

0

0

0 0

   I 4 



0

0

0 0

 140 



1

1 -

1 0

  0





 

 

 



0

0

0 0

0

0

1

-

0 1

0



 

 

 



=

⋅

+

⋅

.



1

0

1 0

  0





0

0

0 0

  0





 

 

 





0

1

1 

1

180  

0

0

0 0

  4

,6

4. Rozwią zywanie obwodów prą du stałego

71

Po wykonaniu działań (wyniki można odczytać ze schematu, zgodnie z podanymi wyżej regułami):

1

0

0 2

4 0



 0



140

R =

⋅

=

δ

, I

= λ I

, E =

⋅

=

δ

,

w

− ⋅

=

l

R 







c

ź r. c

o

E 



×

4

,6

n g

g× g



0

1

0 2

4 1

0 

×





×

n g

g×1





n g

×

m 1

×

m ( g + h) ( g + h ×

) 1

×

180

n 1

otrzymano równanie w skróconej formie (4.12b):



1

-

1

-

1 0

  I 

 0



 I 

0,8

1

1



  





 







0

1

0 -

1   I

I

4,7

2 

 4

,6

⋅

=

 2 

, którego rozwi





ązaniem jest

=

=

A.



I

1

0

0 2

4 0

 



I

140 

 

I

5,5



  3 





g×1

 3 







0

1

0 2

4 1

0   I

I

0,1

4 

180 

 4 





II. Zapisano równania równowagi na podstawie wzorów (4.7c) i (4.11a), bez wprowadzania macierzy incydencji – wg schematu obwodu:

− I − I + I = 0 ,

1

2

3

I − I = ,

4 6 ,

2

4

10 ⋅ I + 24 ⋅ I = 140 ,

1

3

10 ⋅ I + 24 ⋅ I +10 ⋅ I = 180 .

2

3

4

Równanie macierzowe, scalające powyższy układ równań, odpowiada podanemu wyżej równaniu skróconemu.

Uwaga. Korzystanie z pełnej formy zapisu równań równowagi ma uzasadnienie tylko wtedy, jeśli do rozwiązania tych równań używa się odpowiedniego programu komputerowego. Jeśli nie ma takiej możliwości (korzysta się ze zwykłego kalkulatora), należy pisać od razu równania skrócone.

Przykład 2. W obwodzie z poprzedniego przykładu, pokazanym na rys. a, występuje pseudogałąź i gałęzie o postaci napięciowej . Obliczane są wartości prądów gałęziowych.

a)

I

Ω 1

Ω

2

Ω

1

1

0 I 2

1

0

1

0 I 4 b)

1

1

2

2

I 3

4,6 A

1

2

4

140

1

Ω

2

V 24

180 V

3

5

Graf obwodu z wybranym drzewem przedstawiono na rys. b. Stopień złożoności obwodu określają: w = 3, g = 4, h = 1, stąd m = 2, n = 2, g + h = 5.

Wybrano i oznaczono – na rys. a i b – węzły niezależne (1, 2) i oczka niezależne (1, 2).

Wyznaczono „całkowitą” macierz incydencji węzłów i „całkowity” wektor prądów źródłowych (inne macierze i wektory – bez zmian):

0 





0







-

1 -

1

1

0 0



λ

0 

= 

 , I

= 0  , stąd I = λ I

.

w

− ⋅

=

c







0

1

0 -

1 -



ź r. c





c

ź r. c

×

4,6

m ( g +

1

h)

( g + h ×

) 1

0 

×

m 1

×

m ( g + h) ( g + h ×

) 1





4,6

Jest to ten sam wektor, który występuje w poprzednim przykładzie – w skróconym równaniu równowagi obwodu.

Równania równowagi zapisane bez wprowadzania macierzy incydencji – na podstawie wzorów (4.7c) i (4.11a) – również nie różnią się od podanych w poprzednim przykładzie.

Postać równań jest taka jak wcześniej, więc i rozwiązanie obwodu jest takie same jak poprzednio.

72

Wykład VIII

Równania równowagi względem prądów dla obwodów z gałęziami napięciowymi I

Jeśli w obwodzie wszystkie gałęzie są sprowadzone do postaci

k’ Ek’ Rk

napięciowej (rys. obok), to wzory (4.12a) i (4.12b) – przedsta-

wiające równania równowagi ( pełne i skrócone) wzglę dem prą -

Uk

dów – można zapisać następująco:

 















λ

 0





λ 

0 





−λ

I















h 

 ×

m g 



.

w h 

m× g

m× g

m× g

m





× h

×

m 1



 . .

.

.

.







.

.

.

.









⋅ R

.

.

.

.

+

⋅

 I

 . .

.

.

'



=

⋅ E 



+

.

.

.

.

.

.

.

.

'

⋅ I

,

⋅

=

.

.

.

.

.

.

, (4.13a, b)

















ź r h

.



 I '





g× g

g 1

×

g 1

×

h 1

g×1

 δ

δ





 0  





 0

×



 Rl 

 E '

 

o

n× g 

 n× g  

 n× g 

 n× h



 ×

n g 





×

n 1 

gdzie:

- wektor zastę pczych prą dów gałę ziowych

I ' = I + I , (4.13c) ź r

g 1

×

g 1

×

g 1

×

- wektor wydajnoś ci pseudogałę zi do wę złów, tj. prądów pseudogałęzi dopływających do węzłów I

= −λ ⋅ I

, (4.13d)

w h

.

h

ź r h

.

m 1

×

m× h

h 1

×

- wektor zastę pczych ź ródłowych napięć gałę ziowych

E' = E + R ⋅ I

, (4.13e)

ź r

g 1

×

g 1

×

g× g

g 1

×

- wektor zastę pczych ź ródłowych napięć (sem) oczkowych

E ' =

⋅

δ

. (4.13f)

o

E'

n× g

g 1

n 1

×

×

Wektory E’ i I’ wyrażają wartości napięć źródłowych oraz prądów gałęziowych układu zastępczego.

Prądy gałęziowe układu pierwotnego (zastąpionego obwodem rozwiązywanym) oblicza się ze wzoru I = I ' − I . (4.14) ź r

g 1

×

g 1

×

g 1

×

Przykład. W obwodzie z poprzednich przykładów (rys. a) nie ma pseudogałęzi, a gałąź ze źródłem prądowym jest przedstawiona w postaci zastępczej gałęzi napięciowej (rys. b). Obliczane są warto-

ści prądów gałęziowych.

a) I

Ω 1

Ω

2

Ω

Ω 1

Ω

Ω

1

1

0

I 2

1

0

1

0

I

4

b)

I 1 10 I 2 10 2 10 I 4’

I 3

4,6

I 3

A

140

1

Ω

2

1

Ω

2

V 24

180 V

140 V 24 226 V

Po przedstawieniu źródła prądowego wraz z gałęzią 4 – w postaci

c)

1

1

2

(2)

napięciowej 4’, węzeł 2 ma znaczenie tylko formalne, bowiem I 4’ = I 2 .

„Scalając” gałęzie 2 i 4’ otrzymuje się graf obwodu pokazany na

1

2



1

0

1



3

4’

rys. c, dla którego:

=

λ [- 1 - 1 1] , =

δ 

 .

×

1

1

0

m g

×

n g





Rozwiązaniem otrzymanego skróconego równania równowagi obwodu

 -

1 -

1 1

  I 

 0



 I 

0,8

1

1



  





 





1

0

0 2

4 ⋅ I

jest I

; prąd w 4. gałęzi I

2

= 4,7

2

=



  

140 

 





4 = I 2 – Iź r.4 = 4,7 – 4,6 = 0,1 A.



0 2

0 2

4 





I

226



 

 



I

5,5

3 





 3 



