16 stycznia 2012 r.
Wariant nr ∑
!
Zadanie nr 1
Dana jest macierz Leontiewa pewnego trójgałęziowego systemu gospodarczego, w którym produkcja globalna w gałęzi I i III wynosi 400 jp., a w gałęzi II wynosi 200 jp. Płace w każdej gałęzi są równe 10% produkcji globalnej, a zużycie środków trwałych w żadnej gałęzi nie występuje.
0,2
0,5
0
0,6
Informacje podane w treści każdego z poniższych punktów mają zastosowanie do całości zadania.
a) (3 pkt) Wiadomo, że produkt końcowy w gałęzi I stanowi 50% jej produkcji globalnej, przepływ międzygałęziowy z gałęzi III do gałęzi I jest dwukrotnie wyższy od zużycia pośredniego materiałów z gałęzi I w gałęzi II, a wyprodukowanie 1 jp. produktu globalnego w gałęziach I i III wymaga takiego samego zużycia materiałów z gałęzi I.
Wyznacz i zinterpretuj sumę wartości elementów w pierwszym wierszu macierzy L.
b) (2 pkt) O gałęzi I wiadomo, że jest rentowna, a jej materiałochłonność jest nie niższa niż w gałęzi III. W jakim przedziale może zawierać się wartość współczynnika c, aby założenie to pozostało spełnione?
c) (2 pkt) Przyjmij, że wartość współczynnika c równa jest prawemu krańcowi przedziału wyznaczonego w poprzednim punkcie. Jeżeli wiadomo, że wzrost produkcji globalnej w gałęzi II o 20 i w gałęziach I i III o 10 pociąga za sobą wzrost produkcji końcowej we wszystkich gałęziach, w jakim przedziale może zawierać się wartość współczynnika e?
d) (2 pkt) Przyjmij, że wartość współczynnika e jest równa środkowi przedziału wyznaczonego
w
poprzednim
punkcie.
Skonstruuj
tablicę
przepływów
międzygałęziowych tego systemu.
e) (2 pkt) W kolejnym okresie planuje się zmniejszenie produkcji globalnej gałęzi I o 50%, zmniejszenie produkcji globalnej w gałęzi II o 25% i zwiększenie produkcji globalnej w gałęzi III o 10%. Wyznacz nową tabelę przepływów międzygałęziowych dla tego systemu.
f) (2 pkt) Wskaż gałęzie o najniższym udziale płac w kosztach produkcji w obu badanych okresach.
W piątkowy wieczór kumple wyciągnęli znanego nam studenta do pubu, kuszącego specjalną promocją. Zarówno duże piwo (0,5 l) jak i shot wódki (50 ml) kosztują tylko 5 zł. Piwo zawiera 5% alkoholu, wódka zaś 40%. Student ma w kieszeni tylko 50 zł i nie może pożyczyć żadnej dodatkowej kasy bo kumple też do bogatych nie należą. Chce tak zaplanować schemat picia aby dostarczyć organizmowi maksymalną dawkę alkoholu. Z obawy przed nadmiernym kacem nie chce jednak wypić więcej niż 8 piw ani więcej niż 6 shotów wódki. Ponieważ nie chce tracić kasy na colę postanawia zapijać wódkę piwem. Ponieważ jeden kufel piwa wystarcza mu na zapicie 4 shotów wódki, liczba shotów wódki jaką zamówi student nie może przewyższać czterokrotności liczby kufli piwa.
a) (2 pkt) Zapisz zadanie PL, którego rozwiązanie pozwoli studentowi wyznaczyć optymalny schemat picia.
b) (3 pkt) Rozwiązując zadanie PL metodą graficzną wyznacz ile shotów wódki i ile kufli piwa powinien wypić student aby zmaksymalizować dawkę spożytego alkoholu.
c) (1 pkt) Ile wynosi maksymalna dawka alkoholu jaką student może spożyć przy zadanych ograniczeniach?
d) (1 pkt) Które warunki są luźne w rozwiązaniu optymalnym?
e) (4 pkt) Uzupełnij pola A, B, C, D i E w raporcie wrażliwości wygenerowanym przez Solver dotyczącym rozwiązania optymalnego problemu studenta.
f) (4 pkt) Uzupełnij pola F, G, H, I i J w raporcie wrażliwości wygenerowanym przez Solver dotyczącym rozwiązania optymalnego problemu studenta.
Komórki decyzyjne
Wartość
Przyrost
Współczynnik
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Krańcowy
funkcji celu
wzrost
Spadek
Liczba kufli
piwa
A
B
C
D
E
Warunki ograniczające
Wartość
Cena
Prawa strona
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Dualna
w. o.
wzrost
Spadek
Ograniczenie
na liczbę kufli
piwa
F
G
H
I
J
Kazia chciała rozwiązać następujące zadanie PL:
3 1,5! 6 " #$%
przy poniższym zestawie warunków ograniczających:
4 ( 6! ( 2 ) 18
&4 ( 10! 10 ) 0,
2
( 2 + 2
, !, + 0
Ponieważ Kazia jest początkującą analityczką nie wiedziała jak się do tego zabrać i poprosiła brata Mariana o pomoc. On, posługując się Solverem, rozwiązał zadanie Kazi i dał jej wydrukowany raport wrażliwości wygenerowany przez Solver (załączony poniżej). Niestety Kazia zalała raport kawą wskutek czego część liczb stała się nieczytelna (oznaczone literami A, B, C, D, E, F). Zapłakana Kazia nie chciała z powrotem iść do brata więc prosi Cię o pomoc w odpowiedzi na kilka poniższych pytań.
Komórki decyzyjne
Wartość
Przyrost
Współczynnik
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Krańcowy
funkcji celu
wzrost
Spadek
x1
A
0
3
12
15
x2
0 14,8333333
C
1E+30
14,83333333
x3
5
B
-6
4,8
1E+30
Warunki ograniczające
Wartość
Cena
Prawa strona
Dopuszczalny
Dopuszczalny
Nazwa
Końcowa
Dualna
w. o.
wzrost
Spadek
I
18 -1,3333333
F
1E+30
15,42857143
II
0 -0,8333333
0
36
45
III
D
E
2
12
1E+30
a) (4 pkt) Uzupełnij brakujące elementy wydruku (oznaczone literami od A do F).
b) (1 pkt) Jaka jest minimalna dopuszczalna wartość funkcji celu?
c) (1 pkt) Które warunki są napięte w rozwiązaniu optymalnym?
d) (2 pkt) Ile wyniesie minimalna wartość funkcji celu, gdy współczynnik funkcji celu przy x3 wyniesie -2?
e) (2 pkt) Ile wyniesie minimalna wartość funkcji celu, gdy wyraz wolny w drugim warunku ograniczającym zmieni swą wartość na 12?
f) (2 pkt) Czy istnieją takie wartości współczynników funkcji celu, dla których rozwiązanie (1,9; 0,9; 2,5) jest jedynym rozwiązaniem optymalnym przy danych warunkach ograniczających? Dlaczego?
Dane jest przedsięwzięcie wieloczynnościowe w którym schemat powiązań między poszczególnymi czynnościami i czasy ich trwania dane są w poniższej tabeli: Czas
Czynności
Czynność
trwania
bezpośrednio
[tydzień]
poprzedzające
A
2
--
B
4
--
C
5
--
D
3
A
E
4
A
F
10
D, E
G
8
E
H
3
B, G
I
4
C
J
5
H, I
a) (3 pkt) Narysuj graf tego przedsięwzięcia wieloczynnościowego.
b) (2 pkt) Wyznacz ścieżkę krytyczną w tym grafie.
c) (1 pkt) Jaki jest najkrótszy możliwy czas realizacji przedsięwzięcia?
d) (2 pkt) Jakie zdarzenie ma największy luz? Zinterpretuj luz tego zdarzenia.
e) (2 pkt) Jak zmieni się czas krytyczny jeśli czas wykonania czynności G zostanie skrócony do 4 tygodni?