STATYSTYKA

Wykład 10.

Temat: Estymacja

estyma – poważanie/szacunek;

- estymacja może być punktowa lub przedziałowa: estymacja przedziałowa – polega na skonstruowaniu przedziału liczbowego, który z określonym z góry (przyjętym) prawdopodobieństwem (bliskim 1) będzie zawierał nieznaną wartość szacowanego parametru; przedział ten nazywamy przedziałem ufności.

P{g1(zn) < Q < g2(zn)} = 1 – α

P – prawdopodobieństwo

Q – parametr szukany

1 – α – współczynnik ufności

- to badacz określa współczynnik ufności, jednak zwyczajowo przyjmuje się go jako: 0,90 (α

= 0,10), 0,95 (α = 0,05) lub 0,99 (α = 0,01); dla

1 – α = 0,90 (α = 0,10), z0,10 = 1,64

1 – α = 0,95 (α = 0,05), z0,05 = 1,96

1 – α = 0,99 (α = 0,01), z0,01 = 2,56

Jak to działa? W miarę wykonywania kolejnych pomiarów, obliczając średnią z każdego pomiaru oraz odchylenie przeciętne uzyskujemy kolejne średnie dla całego rozkładu: x1 – δ1 = µ1

x2 – δ2 = µ2

x3 – δ3 = µ3

…

xn – δn = µn

───────

=

x = δ (gdy równe 0) = µn

=

x – średnia ze wszystkich średnich

BŁĘDY MAJĄ ROZKŁAD NORMALNY!

obszar

zakreskowany to

przedział ufności

90,00%

-1

0, µ 1

Z

Z0,10

Z0,10

1,64

1,64

Jak wyznaczyć przedział ufności dla średniej µ w populacji o znanej liczebności, o rozkładzie normalnym ze znanym odchyleniem standardowym?

Korzystamy ze wzoru:

_ σ _ σ

P{(x - zα──) < Q < (x + zα──)} = 1 – α

√N √N

g1

g2

oraz:

x1 - µ

z = ──── - błąd standardowy statystyki z próby σ

─

√N

Przykład 1.

Populacja pracowników pewnej firmy:

N = 196 osób

_

x = 6,9 lat

σ = 2,8 lat

1 – α = 0,95 (95,00% szans na to, że parametr znajdzie się w przedziale) czyli zα = 1,96

2,8

g1 = 6,9 – 1,96 * ──── = 6,508

√196

2,8

g2 = 6,9 + 1,96 * ──── = 7,292

√196

czyli dla współczynnika ufności równego 0,95 średni staż pracy znajduje się w przedziale: 6,508 < µ < 7,292

Są dwa sposoby zwiększenia precyzji obliczeń:

- zmniejszamy współczynnik ufności;

- zwiększamy liczebność próby.

A jak obliczyć przedział ufności dla zmiennych jakościowych?

Korzystamy ze wzoru:

n n

─(1 - ─)

P

{( n ─ - zα √ N N ) < p < N

─────

N

n n

( n

─(1 - ─)

─ + zα

√ N N )} = 1 – α

N

─────

N

Przykład 2.

Dla 1 – α = 0,95 oblicz, jaka część uczniów pali papierosy, jeżeli w próbie N = 1000 uczniów, papierosy paliło 360.

N = 1000

n = 360

n 360

pi = ── = ─── = 0,36 (36%)

N 1000

0,36*0,64

g1 = 0,36 – 1,96 * √────── = 33,03%

1000

0,36*0,64

g1 = 0,36 – 1,96 * √────── = 38,98%

1000