Leszek Ciopi ski
11B ED
M1
Badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda.
data wykonania
data oddania
ocena
podpis
6 maja 2004
13 maja 2004
I. Wst p teoretyczny
Aby wła ciwie zrozumie problematyk tego do wiadczenia niezb dne jest przypomnienie najpierw kilku definicji:
Droga jest to długo toru przebytego przez poruszaj cy si punkt materialny, przy czym odcinki toru przebywane kilka razy liczy si tyle razy ile razy rozwa any punkt je przebywał.
Pr dko w przybli eniu okre la si jako iloraz drogi do czasu w jakim została przebyta, a dokładnie jest to pochodna drogi po czasie.
Przyspieszenie jest to pochodna pr dko ci po czasie.
Druga zasada dynamiki Newtona. Je eli na ciało działa stała niezrównowa ona siła, to przyspieszenie tego ciała jest wprost proporcjonalne do siły działaj cej na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do masy tego ciała.
Tarcie zewn trzne jest to zjawisko powstawania siły hamuj cej ruch wzgl dem siebie 2 ciał stałych stykaj cych si wzdłu pewnej powierzchni. Zjawisko to jest wynikiem procesów którym towarzyszy rozpraszanie energii (ogrzewanie si , elektryzowanie si ciał, ich niszczenie). Siła hamuj ca zwana sił tarcia, jest skierowana przeciwnie do kierunku ruchu danego ciała. Warto siły tarcia. jest wprost proporcjonalna do warto ci siły nacisku N i zale y przede wszystkim od rodzaju tr cych si powierzchni (materiał, chropowato ) oraz od stanu ruchu (rozró nia si tarcie suwne i tarcie toczne oraz tarcie statyczne i tarcie dynamiczne), a tak e od warunków zewn trznych (np. od temperatury). Sił tarcia dynamicznego T
(tarcia wyst puj cego podczas ruchu ciał) mi dzy danymi 2 ciałami charakteryzuje współczynnik tarcia dynamicznego f, okre lony dla tarcia suwnego Jako fs = T/N, a dla tarcia tocznego jako stosunek momentu siły tarcia tocznego wzgl dem punktu zetkni cia ciał do siły nacisku, współczynnik tarcia statycznego (tarcia wyst puj cego podczas ruszania) jest wi kszy ni tarcia dynamicznego, gdy opór przy wprawianiu w ruch jest z reguły wi kszy od oporu wyst puj cego w trakcie trwania ruchu.
Moment bezwładno ci jest to wielko fizyczna charakteryzuj ca bezwładno bryły sztywnej wykonuj cej ruch obrotowy. Warto momentu bezwładno ci zale y od rozmieszczenia masy bryły wzgl dem osi obrotu. Moment obrotu wzgl dem osi z okre la si wzorem:
n
I
pr 2 dV
lub
I
m r 2 ,
z
V
z
i i
i 1
1/7
gdzie p- g sto materiału elementu bryły, b d ca funkcj poło enia punktu, V –
obj to bryły, mi – masa i-tego punktu materialnego bryły sztywnej, ri – jego odległo od osi z.
Moment siły odgrywa w dynamice ruch obrotowego podobn rol , jak siła w ruch post powym. Moment siły wzgl dem punktu O jest wielko ci wektorow MO
równ iloczynowi wektorowemu wektora wodz cego r (prowadzonego z punktu O
do punktu poło enia siły F ) i siły F : M
r F . Moment siły wzgl dem osi z jest
o
to moment rzutu F na płaszczyzn xy ( F ) xy
punktu przeniesienia si osi z tak
płaszczyzn . Moment układu sił jest równy wypadkowej sił układu.
Wiele prostych do wiadcze dowodz cych słuszno ci
drugiej zasady dynamiki Newtona mo na przeprowadzi
przy zastosowaniu maszyny Atwooda.
Na pionowo umocowanej ławie umieszczone jest u góry na porzeczce lekkie kółko, obracaj ce si z niewielkim
tarciem. Na cienkiej, nierozci gliwej przerzuconej przez kółko nici zawieszone s dwa ci arki o jednakowej masie.
Ci arki te s w równowadze. Jeden z nich mo na obci y dodatkow mas , wówczas układ nie jest w równowadze i zaczyna si porusza ruchem jednostajnie przyspieszonym.
Aby uchwyci momenty pocz tku i ko ca tego ruchu jeden z ci arków jest unieruchomiony przy pomocy
elektromagnesu umieszczonego przy podstawie maszyny, co pozwala na uchwycenie momentu pocz tku ruchu, drugi za opada na przesuwn podstawk umieszczon w
pewnym miejscu ławy. W ten sposób mo na mierzy czas ruchu układu na dowolnie wybranej drodze, co pozwala na znalezienie jego przyspieszenia.
W układzie działaj nast puj ce siły:
P – siła ci ko ci działaj ca na ci arek o masie M+m, 1
P – siła ci ko ci działaj ca na ci arek o masie M,
2
N – siła naci gu nici po stronie masy M+m,
1
N – siła naci gu nici po stronie masy M,
2
R – siła reakcji ławy na działanie naci gów.
Ponadto w układzie działaj trzy momenty sił:
M
M – moment siły napi cia nici N ,
N
1
1
1
M – moment siły napi cia nici N
2
2,
m
M – moment siły tarcia wyst puj cej w osi kr ka.
T
M
N
Równania ruchu:
2
dla M+m:
P – N =(M +m)a,
1
1
M
dla M:
N – P = M a,
P1
2
2
dla kr ka:
M – M – M = Je.
1
2
T
P2
2/7
P
(
)
1 = M + m g
P 2 = Mg
M 1 = N R
M
1
2 = N R
2
ε = R
gdzie:J – moment bezwładno ci kr ka,
R – promie kr ka.
Ostateczny wzór na przyspieszenie ma posta :
M
mg
T
−
2 S
R
a =
a =
J + 2 M + m
2
t
R 2
II.Pomiary
S[m] m[g]
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
t10
1,65
9
8,1
9
8,2
8,6
8,2
8,2
8,4
8,2
8,4
2,99
4,8
5,2
5
5
5
4,4
4,8
5
5
5,2
0,7
4,25
3,8
3,8
3,8
3,8
3,6
4
4
3,8
3,8
4
5,58 3,35 3,25 3,35 3,15 3,15 3,05 3,11 3,08
3,2
3,3
1,65
9,8
9,2
9,3
9,4
9,2
9,1
9,4
9
9,6
9,4
2,99
5
4,6
5
5,2
5,4
4,8
5
5,2
5,4
5,2
0,8
4,25 3,94 3,74 3,94 3,81 3,91 4,03 3,94 4,09
3,8
3,84
5,58 3,35 3,14 3,44 3,29
3,4
3,2
3,15
3,2
3,28
3,2
Czasy podano w sekundach.
III.Obliczenia, wykresy i rachunek bł dów
Obliczamy redni czas ruchu dla danej drogi i masy, oraz bł d redni kwadratowy tej wielko ci:
S=0,7:
m=1,65g
Metoda obliczania:
n
10
t t 2
t 8,43 s 2
i
sr
i
t
i 1
i 1
1 s 2 0,11s
sr
n n 1
10 10 1
90
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8,1
9
8,2
8,6
8,2
8,2
8,4
8,2
8,4
-tsr
0,570
-0,330
0,570
-0,230
0,170
-0,230
-0,230
-0,030
-0,230
-0,030Suma:
()2
0,325
0,109
0,325
0,053
0,029
0,053
0,053
0,001
0,053
0,001
1
/90
0,01
t =
sr
8,43
Pierwiastek (bł d):
0,11
3/7
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4,8
5,2
5
5
5
4,4
4,8
5
5
5,2
-tsr
-0,140
0,260
0,060
0,060
0,060
-0,540
-0,140
0,060
0,060
0,260 Suma:
()2
0,020
0,068
0,004
0,004
0,004
0,292
0,020
0,004
0,004
0,068
0,48
/90
0,01
t =
sr
4,94
Pierwiastek (bł d):
0,07
m=4,25g t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3,8
3,8
3,8
3,8
3,6
4
4
3,8
3,8
4
-tsr
-0,040
-0,040
-0,040
-0,040
-0,240
0,160
0,160
-0,040
-0,040
0,160 Suma:
()2
0,002
0,002
0,002
0,002
0,058
0,026
0,026
0,002
0,002
0,026
0,14
/90
0
t =
sr
3,84
Pierwiastek (bł d):
0,04
m=5,58g t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3,35
3,25
3,35
3,15
3,15
3,05
3,11
3,08
3,2
3,3
-tsr
0,151
0,051
0,151
-0,049
-0,049
-0,149
-0,089
-0,119
0,001
0,101 Suma:
()2
0,023
0,003
0,023
0,002
0,002
0,022
0,008
0,014
0,000
0,010
0,11
/90
0
t =
sr
3,2
Pierwiastek (bł d):
0,03
S=0,8m
m=1,65g t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9,8
9,2
9,3
9,4
9,2
9,1
9,4
9
9,6
9,4
-tsr
0,460
-0,140
-0,040
0,060
-0,140
-0,240
0,060
-0,340
0,260
0,060 Suma:
()2
0,212
0,020
0,002
0,004
0,020
0,058
0,004
0,116
0,068
0,004
0,5
/90
0,01
t =
sr
9,34
Pierwiastek (bł d):
0,07
m=2,99g t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
4,6
5
5,2
5,4
4,8
5
5,2
5,4
5,2
-tsr
-0,080
-0,480
-0,080
0,120
0,320
-0,280
-0,080
0,120
0,320
0,120 Suma:
()2
0,006
0,230
0,006
0,014
0,102
0,078
0,006
0,014
0,102
0,014
0,58
/90
0,01
t =
sr
5,08
Pierwiastek (bł d):
0,08
m=4,25g t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3,94
3,74
3,94
3,81
3,91
4,03
3,94
4,09
3,8
3,84
-tsr
0,036
-0,164
0,036
-0,094
0,006
0,126
0,036
0,186
-0,104
-0,064 Suma:
()2
0,001
0,027
0,001
0,009
0,000
0,016
0,001
0,035
0,011
0,004
0,11
/90
0
t =
sr
3,9
Pierwiastek (bł d):
0,03
4/7
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3,35
3,14
3,44
3,29
3,4
3,2
3,15
3,2
3,28
3,2
-tsr
0,085
-0,125
0,175
0,025
0,135
-0,065
-0,115
-0,065
0,015
-0,065 Suma:
()2
0,007
0,016
0,031
0,001
0,018
0,004
0,013
0,004
0,000
0,004
0,1
/90
0
t =
sr
3,27
Pierwiastek (bł d):
0,03
Obliczamy teraz bł d wyznaczania przyspieszenia metod ró niczki zupełnej: Za bł d odczytu długo ci drogi mo na przyj 0,001m.
δ a,
δ a
2
4 s
a
∆ =
* s
∆ +
* t
∆ =
* s
∆ +
* t
∆
δ s
δ t
t 2
3
r
t r
a
2
0,001 4 0,7 0,11 0,000542
8,432
8,433
S[m]
m[g]
tsr
t
a[m/s2]
a
1,65
8,43
0,11
0,02 0,000542
2,99
4,94
0,07
0,06 0,000082
0,7
4,25
3,84
0,04
0,09 0,000136
5,58
3,2
0,03
0,14 0,000195
1,65
9,34
0,01
0,02 0,000062
2,99
5,08
0,08
0,06 0,000078
0,8
4,25
3,9
0,03
0,01 0,000131
5,58
3,27
0,03
0,15 0,000187
Poniewa zgodnie z teori przy tym samym obci eniu ruch powinien mie to samo przyspieszenie, wyliczamy redni warto przyspieszenia dla danej masy: a
a
a
s1
s2
?r
2
m[g]
a
a
1,65
0,020 0,000542
2,99
0,060 0,000082
4,25
0,050 0,000136
5,58
0,145 0,000195
Funkcj a=f(m) przedstawia rycina 1.
5/7
Prost t poprawiamy za pomoc metody najmniejszych kwadratów, nie wł czaj c do oblicze danych dla m=4,25g, gdy s one wyznaczone bł dnie, co wynika z wykresu :
a=Am+B
N(
2
i
m ai ) − (
i
m )(
ai )
(
i
m )(
ai ) − (
i
m )(
i
m ai )
A =
B =
2
N(
2
2
i
m ) −
2
(
i
m )
N (
i
m ) − (
i
m )
gdzie N=3, mi- i-t mas , ai- i-te przyspieszenie. Obliczamy poszczególne składowe wzoru:
m a 1,65 0,02 2,99 0,06 5,58 0,146 0,033 0,1794 0,81468 1,02708
i i
m 1,65 2,99 5,58 10,22
2
i
m
10,222 104,4484
i
a 0,02 0,06 0,145 0,225
i
m 2 1,652 2,992 5,582 42,799
i
6/7
A 3 1,02708 10,22 0,225 0,032642
0,033
3 42,799 104,4484
B 42,799 0,225 10,22 1,02708
0,0362018
0,036
3 42,799 104,4484
Ostatecznie otrzymujemy:
a=0,033m-0,036
Poszukujemy warto ci m0 przy której a=0:
0,033m0=0,036 m0=1,(09)g 1,091g
Nale y jeszcze okre li dokładno tego wyniku i dlatego najpierw obliczamy odchylenie standardowe:
2
σ = 1
( a
,
i − Ami −
2
B )
N − 2
gdzie N=3, mi- i-t mas , ai- i-te przyspieszenie. Po podstawieniu wszystkich danych do równania otrzymujemy
2
1
0,02 0,033 1,65 0,036 2 0,06 0,033 2,99 0,036 2 0,145 0,033 5,58 0,036 2
3 2
2
0,0000024025 0,0000071289 0,0000098596 0,000019391
Wielko ta potrzebna jest nam do obliczenia bł du m0, do czego wykorzystujemy poni szy wzór:
2
2
Nσ
σ m =
2
N(
ai ) −
2
(
ai )
Po podstawieniu danych otrzymujemy:
2
3 0,000019391
0,000058173
0,000058173 0,002379
0,002
m
3 0,022 0,062 0,1452 0,2252 0,075075 0,050625
0,02445
0,044721359549995793928183473374626 0,045
m
W zwi zku z powy szym:
m0=(1,091 0,045)g
Mo emy teraz przej do ostatniego problemu – wyliczenia momentu siły tarcia, któr okre la si wzorem:
M = m gR,
t
0
przy czym g=10m/s2, a R=7,7cm=0,077m. Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy M =0,84007 g m2/s2. Bł d popełniony przy wyznaczaniu tej wielko ci wyliczamy z t
metody ró niczki zupełnej, przy czym nie uwzgl dniamy pochodnej po g i R, gdy wielko ci te uznajemy za dokładne: M
M
t
gR
0,03465
t
m
m
m
0
Podsumowuj c:
Mt=(0,84007 0,03465) g m2/s2
IV.Wnioski i uwagi ko cowe
Usuni cie z oblicze danych dla m=4,25g, które zostały zmierzone bł dnie, pokazuje, e do wiadczenie, trzeba wykonywa szczególnie dokładnie.
7/7