310 Szeregi o wyrazach nieujemnych Twierdzenie

Jeżeli a

, to szereg ∑ a jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg sum n ≥ 0

n

częściowych ( s ) jest ograniczony.

n

Dowód

Uwaga

Jeżeli a

, to możliwe są jedynie dwa przypadki: n ≥ 0

szereg ∑ a jest zbieżny do pewnej liczby s , tzn. ∑ a = s , n

n

szereg ∑ a jest rozbieżny do + ∞ , tzn. ∑ a

.

n = +∞

n

Kryterium porównawcze

Jeżeli 0 ≤ a ≤ b dla n ≥ n , to n

n

0

∑ b

⇒ ∑ a

n < +∞

n < +∞

∑ a

⇒ ∑ b

n = +∞

n = +∞

Dowód

Przykład

∞

1

∑

< +∞

α ≥

nα

, gdy

2

n =1

∞

1

∑

= +∞

0 < α ≤

nα

, gdy

1

n =1

Wniosek

a

b

Jeżeli a , b

oraz

n +1

n 1

0

+

<

≤

dla n ≥ n , to

n

n > 0

a

b

0

n

n

∑ b

⇒ ∑ a

n < +∞

n < +∞

∑ a

⇒ ∑ b

n = +∞

n = +∞

Dowód

Uwaga

Dla dowolnego ciągu ( a ) liczb rzeczywistych mamy: n

1

jeżeli limsup a

to istnieją liczby 0 < ϑ < 1 i n takie, że a

,

n < ϑ < 1

0 ∈ N

n < 1

n→+∞

dla wszystkich n ≥ n ; 0

jeżeli limsup a

to istnieje liczba ϑ > 1 taka, że 1 < ϑ < a , dla n > 1

n

n→+∞

nieskończenie wielu n ∈ N .

Jeżeli ciąg ( a ) liczb rzeczywistych posiada granicę, to n

Jeżeli lim a

to istnieją liczby 0 < ϑ < 1 i n takie, że a

, dla

n < ϑ < 1

0 ∈ N

n < 1

n→+∞

wszystkich n ≥ n .

0

Jeżeli lim a

to istnieją liczby ϑ > 1 i n takie, że 1 < ϑ < a , dla 0 ∈ N

n > 1

n

n→+∞

wszystkich n ≥ n .

0

Dowód

W powyższych warunkach zamiast liczby 1 można podstawić dowolną liczbę c ∈ .

R

Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego Jeżeli a

oraz istnieje liczba 0 < ϑ < 1 taka, że 0 ≤ n a dla wszystkich

n < ϑ

n ≥ 0

n ≥ n , to szereg ∑ a jest zbieżny.

0

n

Jeżeli n a

dla nieskończenie wielu n , to szereg ∑ a

.

n = +∞

n > 1

Dowód

Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego w postaci limesowej Załóżmy, że a

.

n ≥ 0

Jeżeli limsup n a

to ∑ a

.

n < +∞

n < 1

n →∞

Jeżeli limsup n a

to ∑ a

.

n = +∞

n > 1

n →∞

Jeżeli istnieje granica lim n a to ∑ a

.

n < +∞

n < 1

n →∞

Jeżeli istnieje granica lim n a to ∑ a

.

n = +∞

n > 1

n →∞

Dowód

Przykłady

∞

Jeśli x ≥ 0 , to ∑ n nx < +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy 0 ≤ x < 1.

n =1

2

Kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego nie rozstrzyga jednoznacznie

∞

1

zbieżności szeregu ∑ nα .

n =1

Kryterium ilorazowe d’Alemberta

Załóżmy, że a

.

n > 0

a

Jeżeli istnieje granica lim n+1 < 1 to ∑ a

.

n < +∞

n →∞

an

a

Jeżeli istnieje granica lim n+1 > 1 to ∑ a

.

n = +∞

n →∞

an

Dowód

Przykłady

∞

(3 n)!

∑

= +∞

n

n

n =

!(2 )!

1

Kryterium d’Alemberta nie rozstrzyga jednoznacznie zbieżności szeregu

∞

∑ 1 nα .

n =1

Kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu Załóżmy, że a

jest ciągiem nierosnącym. Szereg ∑ a jest zbieżny wtedy n ≥ 0

n

i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg ∑ n 2 a

.

n

2

Dowód

Przykład

∞

1

Jeśli α > 0 , to ∑

< +∞

α > .

nα

wtedy i tylko wtedy, gdy

1

n =1

∞

1

Jeśli α > 0 , to ∑

α > .

n

n α wtedy i tylko wtedy, gdy 1

n =

(log

)

2

2

Kryterium Raabe’go

Załóżmy, że a

.

n > 0

 a



Jeżeli istnieje liczba ϑ > 1 taka, że n

n

−1



 ≥ ϑ > 1 dla wszystkich n ≥ n ,

 a

0

n +



1

to szereg ∑ a jest zbieżny.

n

3

 a



Jeżeli a

oraz

n

n

−1 < 1 dla wszystkich n ≥ n , to szereg ∑ a jest n > 0





0

n

 an 1

+



rozbieżny do + ∞ .

Dowód

Kryterium Raabe’go w postaci limesowej Załóżmy, że a

.

n > 0

 a



Jeżeli istnieje granica lim

n

n

−1



 > 1 to szereg ∑ a jest zbieżny.

n

n →∞

 an+



1

 a



Jeżeli istnieje granica lim

n

n

−1



 < 1 to szereg ∑ a jest rozbieżny do n

n→∞

 an+



1

+ ∞ .

Dowód

Przykład

∞

1

∑

< +∞

n =1 n

n

Kryterium całkowe zbieżności szeregu Załóżmy, że a

. Jeśli istnieje funkcja f nieujemna, ciągła, nierosnąca na n ≥ 0

< p,+∞) dla pewnego p ∈ N i taka, że f ( n) = a dla wszystkich n ∈ N , to n

szereg ∑ a

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka n = ∑ f ( n) niewłaściwa ∫+∞ f ( x) dx jest zbieżna, p

+∞

+∞

+∞

ponadto ∫ f ( x) dx ≤ ∑ f ( n) ≤ f ( p) + ∫ f ( x) dx .

p

n =

p

p

4