Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Poprawi lem 16 listopada 2011, godz. 23:49

Twierdzenie 3.1 ( la

,

czno´s´

c sumowania niesko´

nczonego)

Je´sli szereg

∞

X

n=0

a

n

jest zbie˙zny a cia

,

g (k

n

) jest ´sci´sle rosna

,

cy,

b

n

= a

k

n

+ a

k

n

+1

+ · · · + a

k

n+1

−1

,

k

0

= 0 ,

to szereg

∞

X

n=0

b

n

jest zbie˙zny.

Dow´

od.

Cia

,

g sum cze

,

´sciowych szeregu

∞

X

n=0

b

n

jest podcia

,

giem cia

,

gu sum

cze

,

´sciowych szeregu

∞

X

n=0

a

n

: b

0

= a

0

+a

1

+· · ·+a

k

1

−1

, b

0

+b

1

= a

0

+a

1

+· · ·+a

k

2

−1

,

itd. Je´sli cia

,

g jest zbie˙zny, to wszystkie jego podcia

,

gi sa

,

zbie˙zne do granicy tego

cia

,

gu.

Twierdzenie to nie m´owi nic o usuwaniu nawias´ow. Og´olnie rzecz biora

,

c na-

wias´ow usuwa´c nie wolno: szereg (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + . . . jest

zbie˙zny, natomiast po otwarciu nawias´ow otrzymujemy szereg 1−1+1−1+1−1+. . . ,

kt´orego wyraz (−1)

n

w og´ole nie ma granicy, w szczeg´olno´sci nie da

,

˙zy do 0 , wie

,

c

szereg ten jest rozbie˙zny. Czasem jednak nawiasy mo˙zna usuna

,

´c. Otworzy´c nawiasy

mo˙zna np. wtedy, gdy wszystkie wyrazy szeregu sa

,

tego samego znaku, np. wszystkie

sa

,

nieujemne. Wtedy bowiem cia

,

g sum cze

,

´sciowych szeregu

∞

X

n=0

a

n

jest monoto-

niczny, wie

,

c ma granice

,

i jest ona r´owna granicy ka˙zdego podcia

,

gu.

Z twierdzenie o granicy iloczynu cia

,

g´ow wynika od razu, ˙ze po pomno˙zeniu

wszystkich wyraz´ow szeregu zbie˙znego przez liczbe

,

rzeczywista

,

otrzymujemy szereg

zbie˙zny.

Twierdzenie 3.2 (o mno˙zeniu szeregu przez liczbe

,

)

Je´sli szereg

∞

X

n=0

a

n

jest zbie˙zny i c jest liczba

,

rzeczywista

,

, to szereg

∞

X

n=0

(c · a

n

) te˙z

jest zbie˙zny i zachodzi r´owno´s´c

∞

X

n=0

(c · a

n

) = c ·

∞

X

n=0

a

n

.

Szeregi zbie˙zne mo˙zna te˙z dodawa´c.

1

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

Twierdzenie 3.3 (o dodawaniu szereg´

ow)

Je´sli szeregi

∞

X

n=0

a

n

i

∞

X

n=0

b

n

sa

,

zbie˙zne, to r´ownie˙z szereg

∞

X

n=0

(a

n

+ b

n

) jest zbie˙zny

i zachodzi r´owno´s´c

∞

X

n=0

(a

n

+ b

n

) =

∞

X

n=0

a

n

+

∞

X

n=0

b

n

.

Dow´

od. Wynika to natychmiast z twierdzenia o granicy sumy cia

,

g´ow i tego, ˙ze

suma cze

,

´sciowa szeregu

∞

X

n=0

(a

n

+ b

n

) jest r´owna sumie sum cze

,

´sciowych szereg´ow

∞

X

n=0

a

n

i

∞

X

n=0

b

n

.

Szereg

∞

X

n=0

(a

n

+ b

n

) nazywamy suma

,

szereg´ow

∞

X

n=0

a

n

i

∞

X

n=0

b

n

.

Na razie twierdzenia o mno˙zeniu szereg´ow nie przedstawimy – odk ladamy to na

p´o´zniej, bo jest ono trudniejsze od teraz omawianych.

Wypada jeszcze stwierdzi´c, ˙ze natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia o sza-

cowaniu z poprzedniego rozdzia lu jest naste

,

puja

,

ce

Twierdzenie 3.4 (o por´

ownywaniu sum szereg´

ow)

Je´sli szeregi

∞

X

n=0

a

n

oraz

∞

X

n=0

b

n

maja

,

sumy i dla ka˙zdej liczby naturalnej n zacho-

dzi nier´owno´s´c a

n

≤ b

n

, to

∞

X

n=0

a

n

≤

∞

X

n=0

b

n

, przy czym je˙zeli sumy sa

,

sko´

nczone

(czyli szeregi sa

,

zbie˙zne) i cho´cby dla jednej liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c

(ostra!) a

n

< b

n

, to

∞

X

n=0

a

n

<

∞

X

n=0

b

n

.

2. Warunek konieczny zbie˙zno´sci szeregu, szereg harmoniczny

Przyk lad 3.1

Zbadamy teraz zbie˙zno´s´c szeregu

∞

X

n=1

1

n

2

. Podobnie jak w przy-

padku szeregu harmonicznego wyraz ma granice

,

0 : lim

n→∞

1

n

2

= 0 , wobec czego sze-

reg ma szanse

,

by´c zbie˙zny, w przeciwie´

nstwie do harmonicznego. Wyka˙zemy, ˙ze jest

zbie˙zny i ˙ze jego suma nie jest wie

,

ksza ni˙z 2 .

Mamy

1

n

2

<

1

n(n−1)

=

1

n−1

−

1

n

dla n > 1 . Wobec tego mo˙zemy napisa´c:

1 +

1

2

2

+

1

3

2

+ · · · +

1

n

2

< 1 +

1
1

−

1
2

+

1
2

−

1
3

+

1
3

−

1
4

+ · · · +

1

n − 1

−

1

n

= 2 −

1

n

< 2 .

2

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

Z otrzymanej nier´owno´sci wynika, ˙ze

∞

X

n=1

1

n

2

= lim

n→∞

1 +

1

2

2

+

1

3

2

+ · · · +

1

n

2

≤ 2 .

Wykazali´smy wie

,

c zbie˙zno´s´c szeregu (cia

,

g sum cze

,

´sciowych jest ograniczony z g´ory i

rosna

,

cy).

Podamy teraz kilka twierdze´

n umo˙zliwiaja

,

cych w najbardziej podstawowych

przypadkach badanie zbie˙zno´sci szereg´ow o wyrazach nieujemnych. W tym przy-

padku cia

,

g sum cze

,

´sciowych jest niemaleja

,

cy, wie

,

c ma granice

,

. Jedynym problemem

jest to, czy ta granica, czyli suma szeregu jest sko´

nczona.

Podali´smy wcze´sniej dow´od rozbie˙zno´sci szeregu harmonicznego

∞

X

n=1

1

n

. Rozumo-

wanie tam przeprowadzone mo˙zna zastosowa´c w wielu przypadkach. Sformu lujemy

teraz twierdzenie podane przez Cauchy’ego. Stosowanie tego twierdzenia umo˙zliwia

cze

,

sto zasta

,

pienie badanego szeregu innym, w przypadku kt´orego badanie zbie˙zno´sci

jest latwiejsze: nowy szereg albo jest „szybciej” zbie˙zny, albo te˙z szybciej rozbie˙zny.

Twierdzenie 3.5 (Kryterium o zage

,

szczaniu)

Za l´o˙zmy, ˙ze cia

,

g (a

n

) jest nierosna

,

cy oraz ˙ze jego wyrazy sa

,

dodatnie. W tej sytuacji

szereg

∞

X

n=0

a

n

jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg

∞

X

n=0

2

n

a

2

n

jest zbie˙zny.

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze szereg a

0

+ a

1

+ a

2

+ . . . jest zbie˙zny. Wyka˙zemy zbie˙zno´s´c

szeregu a

0

+ 2a

2

+ 4a

4

+ 8a

8

+ . . . . Mamy 2a

4

≤ a

3

+ a

4

(bo a

4

≤ a

3

),

4a

8

≤ a

5

+ a

6

+ a

7

+ a

8

(bo a

8

jest najmniejsza

,

z liczb a

5

, a

6

, a

7

, a

8

),

8a

16

≤ a

9

+ a

10

+ · · · + a

15

+ a

16

itd. Sta

,

d wynika, ˙ze

a

2

+ 2a

4

+ 4a

8

+ 8a

16

+ . . . ≤ a

2

+ a

3

+ a

4

+ a

5

+ a

6

+ a

7

+ a

8

+ . . . < +∞ ,

czyli szereg a

2

+2a

4

+4a

8

+8a

16

+. . . ma sko´

nczona

,

sume

,

. Wobec tego po pomno˙zeniu

go przez 2 otrzymamy szereg zbie˙zny, ale po pomno˙zeniu przez 2 otrzymujemy

szereg 2a

2

+ 4a

4

+ 8a

8

+ 16a

16

+ . . . , a to oznacza, ˙ze szereg

∞

X

n=1

2

n

a

2

n

jest zbie˙zny, a

wobec tego r´ownie˙z szereg

∞

X

n=0

2

n

a

2

n

jest zbie˙zny – zmiana sko´

nczenie wielu wyraz´ow

na zbie˙zno´s´c wp lywu nie ma (mo˙ze mie´c jednak wp lyw na warto´s´c sumy szeregu

zbie˙znego).

Udowodnimy teraz wynikanie w druga strone

,

. Zak ladamy, ˙ze zbie˙zny jest szereg

a

0

+ 2a

2

+ 4a

4

+ 8a

8

+ . . . . Mamy 2a

2

≥ a

2

+ a

3

, 4a

4

≥ a

4

+ a

5

+ a

6

+ a

7

,

8a

8

≥ a

8

+ a

9

+ · · · + a

14

+ a

15

, itd. Sta

,

d wynika, ˙ze

a

1

+ a

2

+ a

3

+ a

4

+ a

5

+ · · · + a

14

+ a

15

+ . . . ≤ a

0

+ 2a

2

+ 4a

4

+ 8a

8

+ . . . < +∞ ,

3

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

co oznacza, ˙ze szereg

∞

X

n=1

a

n

jest zbie˙zny, czyli r´ownie˙z szereg

∞

X

n=0

a

n

jest zbie˙zny.

Dow´od zosta l zako´

nczony.

W dowodzie kryterium Cauchy’ego o zage

,

szczaniu szacowali´smy sume

,

jednego

szeregu przez sume

,

drugiego, o kt´orym wiedzieli´smy, ˙ze jest zbie˙zny. Bardzo proste

twierdzenia, kt´ore podamy za chwile

,

, pokazuja

,

, jak mo˙zna szacowa´c w wielu sytu-

acjach szeregi o wyrazach dodatnich.

Twierdzenie 3.6 (kryterium por´

ownawcze)

Za l´o˙zmy, ˙ze dla ka˙zdej dostatecznie du˙zej liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c

0 ≤ a

n

≤ b

n

. Wtedy

je´sli szereg

∞

X

n=0

b

n

jest zbie˙zny, to r´ownie˙z szereg

∞

X

n=0

a

n

jest zbie˙zny;

je´sli szereg

∞

X

n=0

a

n

jest rozbie˙zny, to r´ownie˙z szereg

∞

X

n=0

b

n

jest rozbie˙zny.

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze nier´owno´s´c 0 ≤ a

n

≤ b

n

ma miejsce dla n ≥ k . Wtedy

dla ka˙zdego m ≥ k zachodzi nier´owno´s´c

m

X

n=k

a

n

≤

m

X

n=k

b

n

. Przechodza

,

c do granicy

przy m → ∞ otrzymujemy

∞

X

n=k

a

n

≤

∞

X

n=k

b

n

. Z otrzymanej nier´owno´sci obie cze

,

´sci

tezy wynikaja

,

od razu – to, ˙ze sumujemy od k zamiast od 0 , nie ma znaczenia, bo

zmiana sko´

nczenie wielu wyraz´ow szereg´ow (np. zasta

,

pienie w obu szeregach wyraz´ow

o numerach mniejszych ni˙z k zerami) nie ma wp lywu na ich zbie˙zno´s´c, cho´c na og´o l

ma wp lyw na warto´sci ich sum. Dow´od zosta l zako´

nczony.

To twierdzenie mo˙zna skomentowa´c tak: szeregowi o mniejszych wyrazach jest

latwiej by´c zbie˙znym ni˙z szeregowi o wie

,

kszych wyrazach.

Twierdzenie 3.7 (asymptotyczne kryterium por´

ownawcze)

Za l´o˙zmy, ˙ze dla ka˙zdej dostatecznie du˙zej liczby naturalnej n zachodza

,

nier´owno´sci

0 < a

n

i 0 < b

n

oraz ˙ze istnieje sko´

nczona, dodatnia granica lim

n→∞

a

n

b

n

. Przy tych

za lo˙zeniach szereg

∞

X

n=0

a

n

jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg

∞

X

n=0

b

n

jest

zbie˙zny.

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze lim

n→∞

a

n

b

n

= g oraz ˙ze 0 < g < +∞ . Niech c, d be

,

da

,

takimi liczbami rzeczywistymi, ˙ze 0 < c < g < d . Wtedy dla dostatecznie du˙zych

n zachodza

,

nier´owno´sci 0 < b

n

i c <

a

n

b

n

< d . Wobec tego dla dostatecznie du˙zych

4

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

n mamy c · b

n

< a

n

< d · b

n

. Je´sli szereg

P

a

n

jest zbie˙zny, to szereg

P

c · b

n

jest zbie˙zny i wobec tego szereg

P

b

n

jest zbie˙zny. Je´sli natomiast szereg

P

b

n

jest

zbie˙zny, to szereg

P

d · b

n

jest zbie˙zny i wobec tego szereg

P

a

n

jest zbie˙zny. Dow´od

zosta l zako´

nczony.

Za lo˙zenie istnienia granicy sko´

nczonej, dodatniej mo˙zna interpretowa´c tak: wy-

razy szereg´ow da

,

˙za

,

do 0 w tym samym tempie (o ile do 0 da

,

˙za

,

), z tego za lo˙zenia

wynika, i˙z albo oba sa

,

zbie˙zne albo oba – rozbie˙zne. Zanim przejdziemy do przyk lad´ow

podamy jeszcze jedna

,

wersje

,

twierdzenia pozwalaja

,

cego por´ownywa´c szeregi o wyra-

zach dodatnich.

Twierdzenie 3.8 (drugie kryterium por´

ownawcze)

Za l´o˙zmy, ˙ze od pewnego miejsca wyrazy szereg´ow

P

a

n

i

P

b

n

sa

,

dodatnie oraz

a

n+1

a

n

≤

b

n+1

b

n

. W tej sytuacji ze zbie˙zno´sci szeregu

P

b

n

wynika zbie˙zno´s´c szeregu

P

a

n

, za´s z rozbie˙zno´sci szeregu

P

a

n

wynika rozbie˙zno´s´c szeregu

P

b

n

.

Dow´

od. Nier´owno´s´c

a

n+1

a

n

≤

b

n+1

b

n

mo˙zna przepisa´c w postaci

a

n+1

b

n+1

≤

a

n

b

n

.

Znaczy to, ˙ze cia

,

g

a

n

b

n

jest nierosna

,

cy i ma wyrazy dodatnie, wie

,

c jest te˙z ogra-

niczony z g´ory przez pewna

,

liczbe

,

rzeczywista

,

M > 0 (je´sli „od pewnego miejsca”

znaczy „od pocza

,

tku”, to mo˙zna przyja

,

´c, ˙ze M =

a

0

b

0

). Wobec tego ma miejsce

nier´owno´s´c 0 ≤ a

n

≤ M · b

n

. Z tej nier´owno´sci i z kryterium por´ownawczego teza

wynika natychmiast. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Na ostatnia

,

wersje

,

kryterium por´ownawczego spojrze´c mo˙zna tak: wyrazy sze-

regu

P

a

n

da

,

˙za

,

do 0 szybciej ni˙z wyrazy szeregu

P

b

n

, wie

,

c je´sli szereg

P

b

n

jest

zbie˙zny, to r´ownie˙z szereg

P

a

n

jest zbie˙zny, je´sli natomiast szereg

P

a

n

jest roz-

bie˙zny, to r´ownie˙z szereg

P

b

n

jest rozbie˙zny – oczywi´scie my´slimy tylko o szeregach,

kt´orych wyrazy da

,

˙za

,

do 0 , bo inne sa

,

rozbie˙zne.

Podamy teraz kilka przyk lad´ow szereg´ow zbie˙znych i rozbie˙znych.

Przyk lad 3.2

Szereg

∞

X

n=1

1

n

p

jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1 .

Dla dowodu zastosujemy kryterium Cauchy’ego o zage

,

szczaniu. W przypadku p ≤ 0

wyraz szeregu nie da

,

˙zy do 0 , wie

,

c szereg jest rozbie˙zny. Natomiast w przypadku

p > 0 wyrazy szeregu da

,

˙za

,

do 0 i tworza

,

cia

,

g maleja

,

cy, wie

,

c zamiast szeregu

P

a

n

mo˙zna bada´c szereg

P

2

n

1

(2

n

)

p

=

P

1

(2

p−1

)

n

. Otrzymali´smy wie

,

c szereg geo-

metryczny o ilorazie

1

2

p−1

. Ten iloraz jest zawsze dodatni. Jest mniejszy ni˙z 1 wtedy

i tylko wtedy, gdy p > 1 . Dow´od zosta l zako´

nczony.

5

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

Przyk lad 3.3

Szereg

∞

X

n=2

1

n ln

p

n

jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1 .

Dow´od przebiegnie tak, jak w przyk ladzie poprzednim: dla p > 0 zastosujemy kryte-

rium Cauchy’ego o zage

,

szczaniu. Je´sli p ≤ 0 , to dla n ≥ 3 mamy

1

ln

p

n

= ln

−p

n ≥ 1 ,

zatem

1

n ln

p

n

≥

1

n

. Wobec tego w tym przypadku rozbie˙zno´s´c szeregu

∞

X

n=2

1

n ln

p

n

wynika z rozbie˙zno´sci znanego nam ju˙z szeregu

∞

X

n=1

1

n

. W przypadku p > 0 stosu-

jemy kryterium Cauchy’ego o zage

,

szczaniu, wie

,

c badamy szereg

∞

X

n=2

2

n

1

2

n

(ln(2

n

))

p

=

=

∞

X

n=2

1

n

p

ln

p

2

, co oznacza, ˙ze sprowadzili´smy badanie szeregu do szeregu zbadanego

w poprzednim przyk ladzie, wie

,

c zbie˙znego wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1 . Dow´od

zosta l zako´

nczony.

Te dwa przyk lady wyja´sni´c maja

,

sens uwag wypowiedzianych tu˙z przed sformu lo-

waniem kryterium Cauchy’ego o zage

,

szczaniu. Nale˙zy my´sle´c, ˙ze szereg geometryczny

jest szybciej zbie˙zny ni˙z szereg

∞

X

n=1

1

n

p

, a ten z kolei – szybciej ni˙z szereg

∞

X

n=2

1

n ln

p

n

,

bo lim

n→∞

q

n

1/n

p

= lim

n→∞

n

p

q

n

= 0 oraz lim

n→∞

1/n

p

1/(n ln

p

n)

= lim

n→∞

ln n

n

p

= 0 .

Przyk lad 3.4

Wyja´snimy teraz, czy szereg

+∞

X

n=1

7+13n

3

−121n

4

+2n

6

13−433n+12n

4

−1331n

7

jest zbie˙zny,

czy te˙z rozbie˙zny.

W liczniku i w mianowniku u lamka wyste

,

puja

,

wielomiany zmiennej n . W licz-

niku najwy˙zsza pote

,

ga zmiennej to n

6

, w mianowniku –

n

7

. Wobec tego dla dosta-

tecznie du˙zych n wyraz szeregu powinien by´c w przybli˙zeniu r´owny

2n

6

1331n

7

=

2

1331n

.

Por´ownamy nasz szereg z szeregiem harmonicznym

∞

X

n=1

1

n

. Iloraz wyraz´ow obu sze-

reg´ow r´owny jest

7n+13n

4

−121n

5

+2n

7

13−433n+12n

4

−1331n

7

, wie

,

c ma granice

,

−

2

1331

. Poniewa˙z wyrazy

szeregu harmonicznego sa

,

dodatnie, wie

,

c od pewnego miejsca wyrazy badanego sze-

regu sa

,

ujemne. Wobec mo˙zna zaja

,

´c sie

,

najpierw szeregiem o wyrazie przeciwnym.

Wtedy spe lnione be

,

da

,

za lo˙zenia asymptotycznego kryterium por´ownawczego. Wobec

tego, ˙ze szereg

∞

X

n=1

1

n

jest rozbie˙zny, to r´ownie˙z szereg

+∞

X

n=1

7+13n

3

−121n

4

+2n

6

13−433n+12n

4

−1331n

7

jest

6

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

rozbie˙zny, a to oznacza, ˙ze interesuja

,

cy nas szereg

+∞

X

n=1

7+13n

3

−121n

4

+2n

6

13−433n+12n

4

−1331n

7

te˙z jest

rozbie˙zny.

Widzieli´smy w tym przyk ladzie, jak zazwyczaj stosowane jest kryterium por´ow-

nawcze. Trzeba po prostu zorientowa´c sie

,

, czym mo˙zna przybli˙zy´c wyraz szeregu i

wykorzysta´c przybli˙zenie w spos´ob zgodny z twierdzeniami, kt´ore zosta ly udowod-

nione wcze´sniej – czasem wymaga to drobnych przekszta lce´

n: w przyk ladzie trzecim

trzeba by lo przej´s´c do szeregu o wyrazach dodatnich. Mo˙ze zaistnie´c konieczno´s´c prze-

prowadzenia innych modyfikacji. Badanie zbie˙zno´sci pewnych szereg´ow jest trudne,

bo mo˙zna nie zawsze od razu wida´c z jakim szeregiem mo˙zna por´ownywa´c ten, kt´ory

badamy, ale my takimi szeregami zajmowa´c sie

,

nie be

,

dziemy.

Przyk lad 3.5

Szereg

∞

X

n=1

e

1/n

−1

n

jest zbie˙zny.

K lopot mo˙ze sprawia´c czynnik e

1/n

− 1 . Wykazali´smy jednak wcze´sniej, ˙ze je´sli

cia

,

g (x

n

) jest zbie˙zny do 0 , to lim

n→∞

e

xn

−1

x

n

= 1 . Oznacza to, ˙ze dla dostatecznie

du˙zych n zachodzi r´owno´s´c przybli˙zona e

x

n

≈ 1 + x

n

. Wobec tego interesuja

,

cy

nas szereg powinien zachowywa´c sie

,

tak, jak szereg o wyrazie

1

n

·

1

n

. Jest tak w

rzeczywisto´sci bowiem lim

n→∞

(

e

1/n

−1

)

/n

1/n

2

= lim

n→∞

e

1/n

−1

1/n

= 1 . Poniewa˙z szereg

∞

X

n=1

1

n

2

jest zbie˙zny, ma wyrazy dodatnie, wie

,

c mo˙zna zastosowa´c asymptotyczne kryterium

por´ownawcze. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Przyk lad 3.6

Szereg

∞

X

n=1

n

13

7

n

jest zbie˙zny.

Tym razem powinni´smy my´sle´c o por´ownaniu z szeregiem geometrycznym, bo

czynnik

1

7

n

powinien zdominowa´c czynnik n

13

. Tak jest rzeczywi´scie, ale iloraz

n

13

/7

n

1/7

n

ma granice

,

+∞ , co uniemo˙zliwia por´ownanie z szeregiem

∞

X

n=1

1

7

n

. Trzeba

rozwa˙zy´c szereg nieco wolniej zbie˙zny od tego szeregu, np. szereg

∞

X

n=1

1

6

n

. Wtedy ilo-

raz wyraz´ow badanego szeregu i szeregu „pr´obnego” jest r´owny n

13

6
7

n

, wie

,

c ma

granice

,

0 , zatem dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c

n

13

7

n

<

1

6

n

i mo˙zemy

zastosowa´c kryterium por´ownawcze. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 3.9 (o asymptotycznym kryterium por´

ownawczym)

Asymptotyczne kryterium por´ownawcze mo˙zna nieco rozszerzy´c: je´sli zachodzi r´ow-

7

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

no´s´c lim

n→∞

a

n

b

n

= 0 i wyrazy obu szereg´ow

P

a

n

,

P

b

n

sa

,

dodatnie, to ze zbie˙zno´sci

szeregu

P

b

n

wynika zbie˙zno´s´c szeregu

P

a

n

— tym razem jest wynikanie zamiast

r´ownowa˙zno´sci. Je´sli lim

n→∞

a

n

b

n

= +∞ , to z rozbie˙zno´sci szeregu

P

b

n

wynika roz-

bie˙zno´s´c szeregu

P

a

n

— r´ownie˙z w tym przypadku nie ma r´ownowa˙zno´sci.

W taki sam spos´ob mo˙zna udowodni´c, ˙ze je´sli 0 < q < 1 , to szereg

+∞

X

n=0

nq

n

jest

zbie˙zny. Jednak w tym przypadku nie ograniczymy sie

,

do stwierdzenia zbie˙zno´sci.

Obliczymy sume

,

tego szeregu, bo ten rezultat jest przydatny w rachunku prawdopo-

dobie´

nstwa

Przyk lad 3.7

+∞

X

n=0

(n + 1)q

n

=

1

(1−q)

2

.

Zachodza

,

naste

,

puja

,

ce r´owno´sci:

k

X

n=0

(n + 1)q

n

= 1 + q + q

2

+ · · · + q

k

+ q + q

2

+ · · · + q

k

+

+ (q

2

+ · · · + q

k

) + · · · + (q

k−1

+ q

k

) + q

k

=

=

1−q

k+1

1−q

+

q−q

k+1

1−q

+

q

2

−q

k+1

1−q

+ · · · +

q

k−1

−q

k+1

1−q

+

q

k

−q

k+1

1−q

=

=

1+q+q

2

+···+q

k−1

+q

k

−(k+1)q

k+1

1−q

=

1−qk+1

1−q

−(k+1)q

k+1

1−q

=

1−q

k+1

(1−q)

2

−

(k+1)q

k+1

1−q

.

Poniewa˙z q

k+1

−−−−−→

k→∞

0 i (k + 1)q

k+1

−−−−−→

k→∞

0 , wie

,

c na mocy twierdzenia o aryt-

metycznych w lasno´sciach granicy cia

,

gu mamy

k

X

n=0

(n + 1)q

n

−−−−−→

k→∞

1

(1−q)

2

.

Wypada doda´c, ˙ze w tym rozumowaniu nie korzystali´smy z tego, ˙ze q > 0 – wystarczy

za lo˙zy´c, ˙ze |q| < 1 .

Pokazali´smy na kilku prostych przyk ladach, w jaki spos´ob mo˙zna stosowa´c po-

znane kryteria. Kryteria te sa

,

bardzo proste. Wyprowadzi´c z nich mo˙zna wiele kry-

teri´ow, kt´orych stosowania u latwia badanie szereg´ow w konkretnych sytuacjach, bez

wskazywania w jawny spos´ob szeregu „pr´obnego”. Poka˙zemy dwa najprostsze, kt´ore

stosujemy, gdy chcemy por´owna´c szereg z szeregiem geometrycznym, tj. takim w

kt´orym iloraz dw´och kolejnych wyraz´ow jest sta ly. Pierwsze zosta lo podane przez

d’Alemberta (1717-1783) francuskiego matematyka, fizyka i filozofa, autora wste

,

pu

do Encyklopedii.

Twierdzenie 3.10 (kryterium ilorazowe d’Alemberta)

Je´sli wyrazy szeregu

P

a

n

sa

,

dodatnie i istnieje granica lim

n→∞

a

n+1

a

n

= q , to w przy-

padku q > 1 szereg jest rozbie˙zny, za´s w przypadku q < 1 , szereg jest zbie˙zny.

8

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

Dow´

od. Je´sli q > 1 , to od pewnego momentu zachodzi nier´owno´s´c

a

n+1

a

n

> 1 , to

znaczy a

n+1

> a

n

. Wobec tego od pewnego momentu cia

,

g liczb dodatnich (a

n

) jest

rosna

,

cy, wie

,

c je´sli jest zbie˙zny, to z pewno´scia

,

nie do 0 — nie jest wie

,

c spe lniony

warunek konieczny zbie˙zno´sci szeregu. Za l´o˙zmy teraz, ˙ze q < 1 . Niech r oznacza

dowolna

,

liczbe

,

wie

,

ksza

,

ni˙z q i jednocze´snie mniejsza

,

ni˙z 1 , np. r =

1+q

2

. Wtedy dla

dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c

a

n+1

a

n

< r =

r

n+1

r

n

. Szereg geometryczny

P

r

n

jest zbie˙zny, wie

,

c r´ownie˙z szereg

P

a

n

jest zbie˙zny – stosujemy drugie kryte-

rium por´ownawcze. Dow´od zosta l zako´

nczony.

.

Obliczanie granicy lim

n→∞

a

n+1

a

n

= q ma na celu ustalenie z jakim szeregiem geo-

metrycznym mamy por´ownywa´c szereg

P

a

n

: dla ustalenia zbie˙zno´sci wybieramy

szereg o ilorazie r nieco wie

,

kszym ni˙z q , dla ustalenia rozbie˙zno´sci – o ilorazie r

nieco mniejszym ni˙z q (nieco oznacza, ˙ze liczby r i q znajduja

,

sie

,

po tej samej stro-

nie liczby 1 ). Oczywi´scie mo˙zna za lo˙zy´c w sformu lowaniu kryterium ilorazowego, ˙ze

a

n+1

a

n

≤ q < 1 dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n , z dowodu wynika ˙ze to

wystarczy. W przypadku drugim wystarczy stwierdzi´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych

liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c

a

n+1

a

n

≥ 1 , bo wtedy oczywi´scie niemo˙zliwe

jest, by lim

n→∞

a

n

= 0 .

Gdy q = 1 szereg mo˙ze by´c rozbie˙zny, np.

∞

X

n=1

1

n

lub zbie˙zny, np.

∞

X

n=1

1

n

2

.

W wielu przypadkach granica lim

n→∞

a

n+1

a

n

= q nie istnieje. A.Cauchy poda l inne

kryterium zbie˙zno´sci szereg´ow zwia

,

zane z szeregami geometrycznymi.

Twierdzenie 3.11 (kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego)

Je´sli szereg

P

a

n

ma wyrazy nieujemne i istnieje granica lim

n→∞

n

√

a

n

= q , to w

przypadku q > 1 szereg

P

a

n

jest rozbie˙zny, za´s w przypadku q < 1 — zbie˙zny.

Dow´

od. Je´sli q > 1 to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c

n

√

a

n

> 1

i wobec tego a

n

> 1 . Wobec tego cia

,

g (a

n

) nie jest zbie˙zny do 0 . Je´sli q < 1

i r jest liczba

,

mniejsza

,

ni˙z 1 i jednocze´snie wie

,

ksza

,

ni˙z q , np. r =

1+q

2

, to dla

dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c

n

√

a

n

< r , czyli a

n

< r

n

. Stosuja

,

c

kryterium por´ownawcze stwierdzamy, ˙ze szereg

P

a

n

jest zbie˙zny, bo zbie˙zny jest

szereg geometryczny

P

r

n

. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Podobnie jak w poprzednim przypadku, je´sli granica lim

n→∞

n

√

a

n

= q jest r´owna

1 , to na temat zbie˙zno´sci szeregu

P

a

n

powiedzie´c nic nie mo˙zna o czym ´swiadcza

,

przyk lady przywo lane po poprzednim twierdzeniu. R´ownie˙z w przypadku tego kry-

terium wystarczy za lo˙zy´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi

9

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

nier´owno´s´c

n

√

a

n

≤ q < 1 , by uzyska´c zbie˙zno´s´c oraz ˙ze

n

√

a

n

≥ 1 , by uzyska´c

rozbie˙zno´s´c.

Wyja´snijmy jeszcze, dlaczego oblicza´c nale˙zy te

,

akurat granice

,

. Ot´o˙z chodzi

o por´ownanie z szeregiem geometrycznym. Metoda d’Alemberta jest najprostsza

i najbardziej naturalna. Druga metoda znalezienia q , je´sli dany jest cia

,

g geome-

tryczny (aq

n

) to obliczenie pierwiastka stopnia n z wyrazu aq

n

. Otrzymujemy

n

√

aq

n

= q

n

√

a . Nie jest to dok ladnie q , ale lim

n→∞

q

n

√

a = q .

Nadmieni´c wypada, ˙ze kryterium pierwiastkowe Cauchy’ego jest nieco og´olniejsze

ni˙z kryterium ilorazowe d’Alemberta. Prawdziwe jest mianowicie naste

,

puja

,

ce twier-

dzenie:

Twierdzenie 3.12 Je´sli (a

n

) jest cia

,

giem liczb dodatnich, takim ˙ze istnieje granica

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= q , to r´ownie˙z cia

,

g

n

√

a

n

ma granice

,

i jest nia

,

q .

Dow´

od. Stwierdzeniem r´ownowa˙znym tezie jest:

ln a

n

n

= ln

n

√

a

n

−−−−−→

n→∞

ln q .* Ma

to by´c wnioskiem z tego, ˙ze

ln a

n+1

− ln a

n

−−−−−→

n→∞

ln q . Jest to jednak wniosek

natychmiastowy z twierdzenia Stolza. Wystarczy przyja

,

´c b

n

= ln a

n

− ln a

1

oraz

c

n

= n i zastosowa´c twierdzenie Stolza do ilorazu

b

n

c

n

, co zrobi´c wolno, bo cia

,

g (c

n

)

jest ´sci´sle rosna

,

cy i nieograniczony z g´ory. Mamy zatem b

n+1

− b

n

= ln a

n+1

− ln a

n

oraz c

n+1

− c

n

= 1 , wie

,

c

b

n+1

−b

n

c

n+1

−c

n

= ln a

n+1

− ln a

n

−−−−−→

n→∞

ln q . Dow´od zosta l

zako´

nczony.

Bez trudu mo˙zna wskaza´c cia

,

g (a

n

) liczb dodatnich, dla kt´orego istnieje granica

lim

n→∞

n

√

a

n

i nie istnieje granica lim

n→∞

a

n+1

a

n

:

1 , 1 ,

1
2

, 2 ,

1
3

, 3 ,

1
4

, 4 , . . . Spraw-

dzenie szczeg´o l´ow pozostawiamy czytelnikowi w charakterze prostego ´cwiczenia.

Szereg geometryczny nie jest jedynym szeregiem „wzorcowym”. Wzorcem mo˙ze

by´c te˙z np. szereg

∞

X

n=1

1

n

p

. Twierdzenie pozwalaja

,

ce na obliczanie „w la´sciwego” wyk-

ladnika p znajduje sie

,

poni˙zej.

Twierdzenie 3.13 (kryterium Raabego)

Je´sli szereg

P

a

n

ma wyrazy dodatnie i istnieje granica lim

n→∞

n

a

n

a

n+1

− 1

= p , to

je´sli p > 1 , to szereg

P

a

n

jest zbie˙zny, a w przypadku p < 1 – rozbie˙zny.

Dow´

od. Mamy lim

n→∞

n

1/n

q

1/(n+1)

q

− 1

= lim

n→∞

n

n+1

n

q

− 1

= lim

n→∞

(

1+

1

n

)

q

−1

1

n

=

= lim

n→∞

e

q ln(1+ 1

n

)

−1

q ln(1+

1

n

)

·

q ln(1+

1

n

)

1

n

= 1 · q . Niech q be

,

dzie liczba

,

le˙za

,

ca

,

mie

,

dzy 1 i p ;

*

W tym rozumowaniu przyjmujemy, ˙ze ln 0=−∞ i

ln ∞ = ∞

, wtedy ln:[0,∞]−→[−∞,∞] jest

funkcja, cia,g la (definicja Heinego).

10

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

je´sli p < ∞ , mo˙zna przyja

,

´c q =

1+p

2

. Je´sli p > 1 , to dla dostatecznie du˙zych

liczb naturalnych n mamy n

a

n

a

n+1

− 1

> n

1/n

q

1/(n+1)

q

− 1

, wie

,

c

a

n+1

a

n

<

1/(n+1)

q

1/n

q

.

Teza wynika natychmiast z drugiego kryterium por´ownawczego i zbie˙zno´sci szeregu

∞

X

n=1

1

n

p

. Rozumowanie w przypadku p < 1 jest w pe lni analogiczne.

Poka˙zemy teraz jeszcze jedno twierdzenie, kt´ore w zasadzie mo˙zna uzna´c za

narze

,

dzie do tworzenia kryteri´ow.*

Twierdzenie 3.14 (kryterium Kummera)

Je´sli wyrazy szeregu

P

a

n

sa

,

liczbami dodatnimi, to jest on zbie˙zny wtedy i tyl-

ko wtedy, gdy istnieje liczba δ > 0 i taki cia

,

g (b

n

) liczb dodatnich, ˙ze nier´owno´s´c

b

n

a

n

a

n+1

− b

n+1

≥ δ jest spe lniona dla ka˙zdej liczby naturalnej n .

Je´sli wyrazy szeregu

P

a

n

sa

,

liczbami dodatnimi, to jest on rozbie˙zny wtedy i tylko

wtedy, gdy istnieje taki cia

,

g (b

n

) liczb dodatnich, ˙ze nier´owno´s´c b

n

a

n

a

n+1

− b

n+1

≤ 0

jest spe lniona dla ka˙zdej liczby naturalnej n , a szereg

P

1

b

n

jest rozbie˙zny.

Dow´

od. Zaczniemy od dowodu zbie˙zno´sci szeregu

P

a

n

. Mamy kolejno

a

1

b

1

≥ a

2

b

2

+ δa

2

≥ a

3

b

3

+ δ(a

3

+ a

2

) ≥ a

4

b

4

+ δ(a

2

+ a

3

+ a

4

) , itd. Sta

,

d wynika,

˙ze a

1

b

1

≥ a

n

b

n

+ δ(a

2

+ a

3

+ . . . + a

n

) > δ(a

2

+ a

3

+ . . . + a

n

) dla ka˙zdej liczby

naturalnej n ≥ 2 , wie

,

c a

1

+ a

2

+ a

3

+ . . . + a

n

< a

1

+

a

1

b

1

δ

, co dowodzi zbie˙zno´sci

szeregu

P

a

n

.

Teraz za lo˙zymy, ˙ze szereg

P

a

n

jest zbie˙zny. Definiujemy b

n

=

a

n+1

+a

n+2

+...

a

n

.

Wtedy b

n

a

n

a

n+1

− b

n+1

=

a

n+1

+a

n+2

+...

a

n+1

−

a

n+2

+a

n+3

+...

a

n+1

= 1 . Przyjmujemy δ = 1 .

Udowodnili´smy pierwsza

,

cze

,

´s´c twierdzenia.

Za l´o˙zmy, ˙ze

P

1

b

n

= ∞ oraz, ˙ze a

n

b

n

≤ a

n+1

b

n+1

dla ka˙zdej liczby naturalnej

n . Wtedy a

n

b

n

≥ a

n−1

b

n−1

≥ . . . ≥ a

1

b

1

, zatem a

n

≥

a

1

b

1

b

n

, wie

,

c

a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

≥ a

1

b

1

1

b 1

+

1

b 2

+ . . . +

1

b n

,

zatem

P

a

n

= ∞ .

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze szereg

P

a

n

jest rozbie˙zny. Niech b

n

=

a

1

+a

2

+...+a

n

a

n

. Wtedy

b

n

a

n

a

n+1

− b

n+1

= −1 < 0 . Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze

1

b

n

+

1

b

n+1

+ . . . +

1

b

n+k

=

=

a

n

a

1

+ a

2

+ . . . + a

n

+

a

n+1

a

1

+ a

2

+ . . . + a

n+1

+ . . . +

a

n+k

a

1

+ a

2

+ . . . + a

n+k

≥

≥

a

n

+ a

n+1

+ . . . + a

n+k

a

1

+ a

2

+ . . . + a

n−1

+ a

n

+ . . . + a

n+k

−−−−→

k→∞

1 ,

♠

bowiem

*

to jeden z tych licznych przypadk´

ow, w kt´

orych dow´

od jest bardzo prosty, a przynajmniej kr´

otki,ale

twierdzenie jest u˙zyteczne i nie jest wcale latwo je wymy´sli´

c.

♠

n jest chwilowo ustalone!

11

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

lim

k→∞

(a

n

+ a

n+1

+ . . . + a

n+k

) = ∞ , gdy˙z

∞

X

j=n

a

j

=

∞

X

j=1

a

j

−

n−1

X

j=1

a

j

= ∞ dla ka˙zdej

liczby n ∈ N . Wynika sta

,

d, ˙ze dla ka˙zdego n ∈ N istnieje takie k ∈ N , ˙ze

1

b

n

+

1

b

n+1

+ . . . +

1

b

n+k

>

1
2

, a to oznacza, ˙ze szereg

P

1

b

n

nie spe lnia warunku Cauchy’ego,

wie

,

c jest rozbie˙zny. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 3.15

Przyjmuja

,

c w pierwszej cze

,

´sci kryterium Kummera b

n

= 1 dla ka˙zdego n otrzymu-

jemy warunek

a

n

a

n+1

− 1 ≥ δ > 0 , czyli

a

n+1

a

n

≤

1

1+δ

, tzn. kryterium d’Alemberta

zbie˙zno´sci szeregu. Druga cze

,

´s´c, z tymi samymi b

1

, b

2

, . . . daje nam kryterium

d’Alemberta rozbie˙zno´sci szeregu, a nawet troche

,

silniejsze stwierdzenie.

Przyjmuja

,

c b

n

= n w kryterium Kummera otrzymujemy kryterium Raabego:

n

a

n

a

n+1

− n − 1 ≥ δ > 0 , czyli n

a

n

a

n+1

− 1

≥ 1 + δ . Podobnie dla rozbie˙zno´sci.

Definicja 3.16 (

szeregu bezwzgle

,

dnie zbie˙znego i szeregu zbie˙znego warunkowo)

Szereg

P

a

n

nazywany jest bezwzgle

,

dnie zbie˙znym wtedy i tylko wtedy, gdy szereg

P

|a

n

| jest zbie˙zny, tzn. gdy

P

|a

n

| < +∞ . Je´sli szereg

P

a

n

jest zbie˙zny, ale nie

jest zbie˙zny bezwzgle

,

dnie, to nazywany jest szeregiem zbie˙znym warunkowo.

Najprostszymi szeregami bezwzgle

,

dnie zbie˙znymi sa

,

oczywi´scie szeregi o wyra-

zach dodatnich, ale jest te˙z wiele innych. Szereg

P

(−1)

n−1 1

n

jest zbie˙zny warunkowo.

Szereg

P

(−1)

n−1 1

n

2

jest zbie˙zny bezwzgle

,

dnie.

Twierdzenie 3.17 (o zbie˙zno´sci szeregu bezwzgle

,

dnie zbie˙znego) .

Szereg bezwzgle

,

dnie zbie˙zny jest zbie˙zny.

Dow´

od. Trzeba wykaza´c, ˙ze szereg

P

a

n

spe lnia warunek Cauchy,ego wiedza

,

c, ˙ze

szereg

P

|a

n

| spe lnia ten warunek. To jednak wynika od razu z nier´owno´sci tr´ojka

,

ta:

|a

n+1

+ a

n+2

+ · · · + a

n+m

| ≤ |a

n+1

| + |a

n+2

| + · · · + |a

n+m

| < ε .

Jedna

,

z podstawowych w lasno´sci szereg´ow bezwzgle

,

dnie zbie˙znych jest niezale˙zno´s´c

ich sumy od kolejno´sci wyraz´ow szeregu. Udowodnimy teraz to twierdzenie.

Twierdzenie 3.18 (o sumowaniu szeregu bezwzgle

,

dnie zbie˙znego

w dowolnej kolejno´sci)

Niech p be

,

dzie dowolna

,

permutacja

,

zbioru wszystkich liczb naturalnych, tzn. w cia

,

gu

p(n)

, czyli w cia

,

gu p(0) , p(1) , p(n) ,. . . wyste

,

puja

,

wszystkie liczby naturalne,

ka˙zda dok ladnie jeden raz. Niech

P

a

n

be

,

dzie szeregiem bezwzgle

,

dnie zbie˙znym.

12

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

Wtedy szereg

P

a

p(n)

jest zbie˙zny i zachodzi r´owno´s´c

∞

X

n=0

a

n

=

∞

X

n=0

a

p(n)

.

Dow´

od. Niech s

n

= a

0

+ a

1

+ · · · + a

n

, s

p

n

= a

p(0)

+ a

p(1)

+ · · · + a

p(n)

i niech ε

be

,

dzie dowolna

,

liczba

,

dodatnia

,

. Istnieje wtedy taka liczba naturalna m , ˙ze

|a

m+1

| + |a

m+2

| + . . . <

ε
2

.

Istnieje liczba naturalna n

ε

≥ m , taka ˙ze w´sr´od liczb p(0) , p(1) , . . . , p(n

ε

) znajduja

,

sie

,

wszystkie liczby 0, 1, 2, . . . , m . Niech k > n

ε

. Wtedy

|s

k

− s

p
k

| ≤ |a

m+1

| + |a

m+2

| + . . . ,

bo zar´owno s

k

jak i s

p
k

sa

,

sumami pewnych liczb a

j

, je´sli jaki´s wyraz jest sk lad-

nikiem obu sum, to nie wyste

,

puje w r´o˙znicy s

k

− s

p
k

. Wyrazy a

0

, a

1

, . . . , a

m

wyste

,

puja

,

zar´owno w s

k

jak i w s

p
k

, wie

,

c nie wyste

,

puja

,

one w s

k

− s

p
k

, wobec

tego |s

k

− s

p
k

| ≤ |a

m+1

| + |a

m+2

| + . . . <

ε
2

. Takie same rozwa˙zania dotycza

,

r´o˙znicy

∞

X

n=0

a

n

− s

k

, wie

,

c r´ownie˙z

∞

X

n=0

a

n

− s

k

<

ε
2

. Wobec tego

∞

X

n=0

a

n

− s

p
k

≤

∞

X

n=0

a

n

− s

k

+

s

k

− s

p
k

<

ε
2

+

ε
2

= ε

dla ka˙zdej liczby k > n

ε

. Z definicji granicy cia

,

gu wynika wie

,

c, ˙ze lim

n→∞

s

p

n

=

∞

X

n=0

a

n

,

a to w la´snie oznacza, ˙ze

∞

X

n=0

a

p(n)

=

∞

X

n=0

a

n

. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Zajmiemy sie

,

teraz twierdzeniem o mno˙zeniu szereg´ow. Mno˙za

,

c dwie sko´

nczone

sumy liczb

(a

0

+ a

1

+ · · · + a

n

)(b

0

+ b

1

+ · · · + b

n

)

otrzymujemy sume

,

wszystkich iloczyn´ow postaci a

i

b

j

, np. dla n = 2 mamy:

(a

0

+a

1

+a

2

)(b

0

+b

1

+b

2

) = a

0

b

0

+a

0

b

1

+a

0

b

2

+a

1

b

0

+a

1

b

1

+a

1

b

2

+a

2

b

0

+a

2

b

1

+a

2

b

2

.

Oczywi´scie otrzymana

,

sume

,

dziewie

,

ciu sk ladnik´ow mo˙zna porza

,

dkowa´c na wiele spo-

sob´ow (9!=362880). W przypadku sko´

nczonej liczby sk ladnik´ow kolejno´s´c dodawania

nie ma ˙zadnego wp lywu na ich sume

,

. To samo dotyczy niesko´

nczenie wielu sk ladnik´ow

pod warunkiem rozwa˙zania wyraz´ow szeregu bezwzgle

,

dnie zbie˙znego. W przypadku

szeregu, kt´ory nie jest bezwzgle

,

dnie zbie˙zny nale˙zy jednak by´c ostro˙znym. Jest jasne,

˙ze mno˙za

,

c dwa szeregi

P

a

n

i

P

b

n

powinni´smy otrzyma´c szereg, w´sr´od wyraz´ow

kt´orego sa

,

wszystkie iloczyny postaci a

i

b

j

uporza

,

dkowane w jaki´s sensowny spos´ob.

Okazuje sie

,

, ˙ze sugerowany rezultat wygodnie jest sformu lowa´c tak:

13

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

Twierdzenie 3.19 (Mertensa o mno˙zeniu szereg´

ow)

Za l´o˙zmy, ˙ze szeregi

P

a

n

i

P

b

n

sa

,

zbie˙zne, przy czym co najmniej jeden z nich jest

zbie˙zny bezwzgle

,

dnie. Niech

c

n

= a

0

b

n

+ a

1

b

n−1

+ a

2

b

n−2

+ · · · + a

n−1

b

1

+ a

n

b

0

=

n

X

j=0

a

j

b

n−j

.

Wtedy szereg

P

c

n

jest zbie˙zny i zachodzi r´owno´s´c:

∞

X

n=0

a

n

·

∞

X

n=0

b

n

=

∞

X

n=0

c

n

.

je´sli oba szeregi

P

a

n

i

P

b

n

sa

,

zbie˙zne bezwzgle

,

dnie, to r´ownie˙z szereg

P

c

n

jest

bezwzgle

,

dnie zbie˙zny.

Dow´

od. Przyjmijmy, ˙ze: s

a

n

= a

0

+ a

1

+ · · · + a

n

, s

b

n

= b

0

+ b

1

+ · · · + b

n

,

s

c

n

= c

0

+ c

1

+ · · · + c

n

=

P

i+j≤n

a

i

b

j

. Zbie˙zno´s´c szereg´ow

P

a

n

i

P

b

n

oznacza

istnienie sko´

nczonych granic lim

n→∞

s

a

n

= A oraz lim

n→∞

s

b

n

= B . Mamy wykaza´c, ˙ze gra-

nica

,

cia

,

gu (s

c

n

) jest AB . Oczywi´scie jest wszystko jedno, o kt´orym szeregu za lo˙zymy,

˙ze jest bezwzgle

,

dnie zbie˙zny. Przyjmijmy, ˙ze jest to szereg

P

a

n

, czyli

P

|a

n

| < +∞ .

Zauwa˙zmy, ˙ze:

s

c

n

=

P

i+j≤n

a

i

b

j

= a

0

(b

0

+ b

1

+ · · · + b

n

) + a

1

(b

0

+ b

1

+ · · · + b

n−1

) +

+a

2

(b

0

+ b

1

+ · · · + b

n−2

) + · · · + a

n

b

n

= a

0

s

b

n

+ a

1

s

b

n−1

+ a

2

s

b

n−2

+ · · · + a

n

s

b

0

.

Wobec tego

s

a

n

s

b

n

− s

c

n

= a

0

s

b

n

+ a

1

s

b

n

+ a

2

s

b

n

+ · · · + a

n

s

b

n

− s

c

n

= a

1

s

b

n

− s

b

n−1

+

+ a

2

s

b

n

− s

b

n−2

+ · · · + a

n

s

b

n

− s

b

0

.

Poniewa˙z szeregi

P

|a

n

| oraz

P

b

n

sa

,

zbie˙zne, wie

,

c ich cia

,

gi sum cze

,

´sciowych sa

,

ograniczone. Oznacza to, ˙ze istnieje liczba M > 0 , taka ˙ze dla ka˙zdego m prawdziwe

sa

,

nier´owno´sci:

|a

0

| + |a

1

| + · · · + |a

m

| ≤ M ,

|b

0

+ b

1

+ · · · + b

m

| ≤ M .

Niech ε be

,

dzie dowolna

,

liczba

,

dodatnia

,

. Ze zbie˙zno´sci szeregu wynika, ˙ze spe lnia on

warunek Cauchy’ego, wie

,

c istnieje taka liczba naturalna n

ε

, ˙ze je´sli k > m > n

ε

, to

zachodza

,

nier´owno´sci: |s

b

k

− s

b

m

| <

ε

4M

,

P

∞
n=n

ε

+1

|a

n

| = |a

n

ε

+1

| + |a

n

ε

+2

| + . . . <

ε

8M

,

P

∞
n=0

a

n

·

P

∞
n=0

b

n

− s

a

m

· s

b

m

<

ε
2

.

Wobec tego dla m > 2n

ε

mamy

∞

X

n=0

a

n

·

∞

X

n=0

b

n

− s

c

m

≤

∞

X

n=0

a

n

·

∞

X

n=0

b

n

− s

a

m

· s

b

m

+

s

a

m

s

b

m

− s

c

m

<

<

ε
2

+ |a

1

| · |s

b

m

− s

b

m−1

| + |a

2

| · |s

b

m

− s

b

m−2

| + · · · + |a

n

ε

| · |s

b

m

− s

b

n−n

ε

| +

+ |a

n

ε

+1

| · |s

m

− s

m−n

ε

−1

| + |a

n

ε

+2

| · |s

m

− s

m−n

ε

−2

| + · · · + |a

m

| · |s

m

− s

0

| ≤

14

Szeregi liczbowe o wyrazach dodatnich

Micha l Krych

≤

ε
2

+ (|a

1

| + |a

2

| + · · · + |a

n

ε

|) ·

ε

4M

+ (|a

n

ε

+1

| + |a

n

ε

+2

| + · · · + a

m

) · 2M ≤

≤

ε
2

+ M ·

ε

4M

+

ε

8M

· 2M = ε .

Z definicji granicy cia

,

gu wynika, ˙ze lim

m→∞

s

c

n

=

P

∞
n=0

a

n

·

P

∞
n=0

b

n

.

Pozostaje jeszcze zauwa˙zy´c, ˙ze je´sli oba szeregi

P

a

n

i

P

b

n

sa

,

bezwzgle

,

dnie

zbie˙zne, to r´ownie˙z szereg

P

c

n

jest bezwzgle

,

dnie zbie˙zny. Wynika to od razu z ju˙z

udowodnionej cze

,

´sci twierdzenia i warunku Cauchy’ego. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Czytelnik mo˙ze sie

,

przekona´c, ˙ze istnieja

,

szeregi zbie˙zne

P

a

n

i

P

b

n

, dla

kt´orych szereg

P

c

n

jest rozbie˙zny. Wystarczy przyja

,

´c a

n

= b

n

= (−1)

n−1 1

√

n

i

przekona´c sie

,

, ˙ze w tym przypadku cia

,

g (c

n

) nie jest zbie˙zny do 0, wie

,

c szereg

P

c

n

jest rozbie˙zny. Z drugiej strony je´sli szeregi

P

a

n

,

P

b

n

i

P

c

n

sa

,

zbie˙zne,

to

P

∞
n=0

c

n

=

P

∞
n=0

a

n

·

P

∞
n=0

b

n

– nie podamy dowodu tego twierdzenia, bo nie

be

,

dziemy z niego korzysta´c. Opisane twierdzenia wskazuja

,

na to, ˙ze zaproponowana

przez Cauchy’ego kolejno´s´c sumowania iloczyn´ow a

i

b

j

, jest w la´sciwa.

Definicja 3.20 (iloczynu szereg´

ow)

Iloczynem Cauchy’ego szereg´ow

P

∞
n=0

a

n

i

P

∞
n=0

b

n

nazywamy szereg

P

∞
n=0

c

n

,

kt´orego wyrazy definiujemy za pomoca

,

wzoru c

m

=

P

i+j=m

a

i

b

j

=

P

m
i=0

a

i

b

m−i

.

15