plik

Granice funkcji, definicja cia

gÃlo´sci

Jednym z najwa˙zniejszych poje

´c w matematyce jest poje

cie funkcji. Przypo-

mnimy definicje

Definicja 6.1 (funkcji, warto´sci, obrazu, dziedziny i przeciwdziedziny)

Przyporza

dkowanie f elementom zbioru A element´ow zbioru B w taki spos´ob, ˙ze

ka˙zdemu elementowi zbioru A przypisany jest dok ladnie jeden element zbioru B

nazywamy funkcja

ze zbioru A w zbi´or B . Je´sli a jest elementem zbioru A , czyli

argumentem funkcji f , to przypisany mu element zbioru B oznaczamy symbolem

f (a) i nazywamy warto´scia

funkcji f w punkcie a lub obrazem punktu a *. Zbi´or A

nazywamy dziedzina

funkcji f , zbi´or B – przeciwdziedzina

, zbi´or f (A) z lo˙zony ze

wszystkich warto´sci funkcji f , czyli element´ow zbioru B postaci f (a) , gdzie a ∈ A

nazywamy obrazem zbioru A (przez funkcje

f ) lub zbiorem warto´sci funkcji f . Je´sli

f przekszta lca zbi´or A w zbi´or B , to piszemy f : A → B . Je´sli zbi´or f (A) warto´sci

funkcji f pokrywa sie

z przeciwdziedzina

B funkcji f , to m´owimy, ˙ze f przekszta lca

zbi´or A na zbi´or B i piszemy czasem f : A

−−→ B .

Przyk ladem funkcji jest cia

g: jest to funkcja okre´slona np. na zbiorze liczb na-

turalnych N = {0, 1, 2, . . . } .

Inna

dobrze znana

funkcja

jest liniowa: f (x) = ax + b , gdzie a, b sa

ustalonymi

liczbami rzeczywistymi, x jest elementem zbioru wszystkich liczb rzeczywistych R ,

na kt´orym funkcja f jest okre´slona, f (x) jest elementem przeciwdziedziny R ; je´sli

a 6= 0 , to funkcja f przekszta lca zbi´or R na siebie; je´sli a = 0 , to jedyna

warto´scia

funkcji f jest liczba b .

Jeszcze inny przyk lad to funkcja kwadratowa: f (x) = ax

+ bx + c , gdzie a , b ,

c sa

liczbami rzeczywistymi, przy czym a 6= 0 , funkcja ta jest okre´slona na zbiorze

wszystkich liczb rzeczywistych R , przeciwdziedzina

jest r´ownie˙z R , zbiorem warto´sci

jest p´o lprosta

4ac−b

, +∞

w przypadku a > 0 , za´s w przypadku a < 0 zbiorem

warto´sci jest p´o lprosta

− ∞,

4ac−b

Przyk lady mo˙zna mno˙zy´c, ale nie be

dziemy tego robi´c teraz. Na razie be

dziemy

zajmowa´c sie

funkcjami rzeczywistymi jednej zmiennej rzeczywistej, co oznacza, ˙ze

warto´sciami funkcji be

liczby rzeczywiste i dziedzina

funkcji be

dzie jaki´s zbi´or

z lo˙zony z liczb rzeczywistych. Czasem zamiast liczb rzeczywistych wyste

powa´c be

liczby zespolone. W praktyce dziedzinami funkcji, kt´ore be

dziemy bada´c, be

albo

Czasem be,dziemy m´owi´c: „ f –obrazem”, cho´c to nie brzmi dobrze, ale czasem nale˙zy wyra´znie za-

znaczy´

c o jaka, funkcje, chodzi.

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

przedzia ly, albo sumy sko´

nczenie wielu lub niesko´

nczenie wielu przedzia l´ow, np dzie-

dzina

funkcji tg jest zbi´or z lo˙zony z tych wszystkich liczb rzeczywistych, kt´ore nie sa

postaci (2n + 1)

, czyli jest to suma przedzia l´ow postaci

− (2n + 1)

, (2n + 1)

gdzie n oznacza dowolna

liczbe

ca lkowita

. w przypadku funkcji zdefiniowanej wzo-

rem f (x) =

(x−1)(x+2)

mo˙zna powiedzie´c, ˙ze jej dziedzina

jest zbi´or wszystkich liczb

rzeczywistych z wyja

tkiem −2 i 1 , czyli zbi´or (−∞, −2) ∪ (−2, 1) ∪ (1, +∞) .

Z punktu widzenia formalnego dop´oki nie powiemy na jakim zbiorze funkcja ma

by´c zdefiniowana, to nie zosta la ona okre´slona. W szczeg´olno´sci z formalnego punktu

widzenia zadania: znale´z´c dziedzine

funkcji okre´slonej wzorem . . . , nie maja

sensu.

Pytanie o dziedzine

nale˙zy traktowa´c jako pytanie o maksymalny zbi´or, na kt´orym

mo˙zna zdefiniowa´c funkcje

w spos´ob zaproponowany przez autora zadania. Nawet

przy takiej interpretacji moga

powstawa´c wa

tpliwo´sci: np. czy funkcja okre´slona wzo-

rem f (x) =

mo˙ze tym wzorem by´c zdefiniowana na ca lej prostej, czy te˙z w punkcie

0 tym akurat wzorem nie da sie

jej zdefiniowa´c. Autorowi tego tekstu wydaje sie

˙ze specjali´sci od tak formu lowanych zada´

n w wie

kszo´sci przypadk´ow uznaja

, ˙ze ta

definicja w punkcie 0 nie dzia la, ale nie wydaje mu sie

, by ten problem wart by l

dyskusji – mo˙zna po prostu takich zada´

n nie dawa´c, a je´sli sie

je daje, to unika´c

wieloznaczno´sci. Be

dziemy jednak m´owi´c np. o funkcji

−13x−167

−4x+3

, zak ladaja

c przy

tym, ˙ze jej dziedzina

jest zbi´or wszystkich tych liczb rzeczywistych, dla kt´orych mia-

nownik jest r´o˙zny od 0 . Funkcja

√

1 − e

dzie automatycznie zdefiniowana na

zbiorze z lo˙zonym z liczb rzeczywistych niedodatnich. W przypadku jakichkolwiek wie-

loznaczno´sci be

dziemy wyra´znie okre´sla´c dziedzine

. Czasem te˙z dziedzina z jakich´s

przyczyn be

dzie mniejsza ni˙z maksymalna, np. zmienna be

dzie mie´c jakie´s pozama-

tematyczne znaczenie i wtedy interpretacja be

dzie ´zr´od lem ogranicze´

n dziedziny. Np.

pytanie o maksymalne pole prostoka

ta o obwodzie 4 prowadzi do rozpatrywania

funkcji x(2 − x) na przedziale otwartym (0, 2) : liczba x oznacza tu jeden wymiar

prostoka

ta, a 2 − x — drugi. Funkcje

x(2 − x) mo˙zna rozpatrywa´c nie tylko na

przedziale (0, 2) , ale z punktu widzenia zadanego pytania nie ma to sensu.

W dalszej cze

´sci zajmiemy sie

r´ownie˙z funkcjami okre´slonymi na podzbiorach

p laszczyzny (czyli zbioru wszystkich liczb zespolonych C ), przestrzeni tr´ojwymiaro-

wej i og´olnie n –wymiarowej. Warto´sciami tych funkcji be

zazwyczaj liczby rzeczy-

wiste, ale wysta

pia

r´ownie˙z funkcje przekszta lcaja

ce pewne podzbiory p laszczyzny

w p laszczyzne

. Takie funkcje be

nazywane na og´o l przekszta lceniami lub odwzo-

rowaniami. Nie oznacza to, ˙ze funkcji z R na R danej wzorem f (x) = x + 1 nie

mo˙zna nazwa´c odwzorowaniem – cze

sto termin ten jest u˙zywany, zw laszcza wtedy,

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

gdy m´owimy o geometrii zwia

zanej z ta

funkcja

– jest przesunie

cie o 1 w prawo.

Wa˙zna

klasa

funkcji sa

funkcje r´o˙znowarto´sciowe, tj. takie kt´ore r´o˙znym punktom

dziedziny przypisuja

r´o˙zne warto´sci: (x 6= y) ⇒ f (x) 6= f (y)

. Je´sli f jest funkcja

r´o˙znowarto´sciowa

przekszta lcaja

zbi´or A na zbi´or B , to mo˙zna okre´sli´c funkcje

−1

odwrotna

do danej funkcji f : f

−1

(b) = a ⇐⇒ b = f (a) . Je´sli f (x) = x

dla

ka˙zdej liczby rzeczywistej x , to funkcja f przekszta lca r´o˙znowarto´sciowo zbi´or R

na siebie, wie

c mo˙zna okre´sli´c funkcje

odwrotna

: f

−1

(x) =

√

x . Je´sli f (x) = e

dla

ka˙zdej liczby rzeczywistej x , to zbiorem warto´sci funkcji f jest zbi´or wszystkich liczb

dodatnich i wobec tego f

−1

(x) = ln x dla ka˙zdej dodatniej liczby x . Je´sli f (x) = x

dla liczb x ≥ 0 , to f

−1

(x) =

√

x dla ka˙zdej liczby x ≥ 0 . Je´sli f (x) = x

dla

ka˙zdej liczby x ≤ 0 , to funkcja f przekszta lca zbi´or wszystkich liczb niedodatnich

na zbi´or wszystkich liczb nieujemnych. Funkcja odwrotna do niej dana jest wzorem

−1

(x) = −

√

x . W ostatnich dw´och przyk ladach wz´or definiuja

cy by l identyczny, ale

dziedziny by ly r´o˙zne. W zwia

zku z tym wzory na funkcje

odwrotne te˙z by ly r´o˙zne.

W dalszym cia

gu be

dziemy u˙zywa´c jeszcze dwu funkcji zdefiniowanych jako od-

wrotne do funkcji sinus i tangens. Oczywi´scie funkcje sinus i tangens jako okresowe

nie sa

r´o˙znowarto´sciowe, wie

c nie maja

funkcji odwrotnych. Mo˙zna wie

c posta

pi´c tak,

jak w przypadku pierwiastka kwadratowego, kt´ory jest zdefiniowany jako funkcja od-

wrotna do funkcji x

rozpatrywanej nie na ca lej dziedzinie, lecz na zbiorze, na kt´orym

funkcja x

jest r´o˙znowarto´sciowa, i to mo˙zliwie najprostszym o tej w lasno´sci.* Wy-

bieramy mo˙zliwe najbardziej naturalne dziedziny. W przypadku sinusa ograniczamy

sie

do przedzia lu

−

, a w przypadku tangensa – do przedzia lu −

. Zbiory

warto´sci to odpowiednio przedzia l domknie

ty [−1, 1] i ca la prosta (−∞, +∞) . Tra-

dycyjnie zamiast pisa´c sin

−1

piszemy arcsin , a zamiast tg

−1

piszemy arctg **, co

zreszta

pozwala na uniknie

cie dwuznaczno´sci zwia

zanej z oznaczeniami sin

−1

i tg

−1

Podamy teraz definicje tych funkcji w jawny spos´ob.

Definicja 6.2 (funkcji arcsin i arctg)

Je´sli x ∈ [−1, 1] , to arcsin x jest jedyna

liczba

z przedzia lu

−

, dla kt´orej

zachodzi r´owno´s´c sin(arcsin x) = x .

Je´sli x jest liczba

rzeczywista

, to arctg x jest jedyna

liczba

rzeczywista

z przedzia lu

−

, dla kt´orej zachodzi r´owno´s´c tg(arctg x) = x .

Podamy przyk lady

Zbior´

ow, na kt´

orych funkcja x

jest r´

o˙znowarto´sciowa, jest bardzo du˙zo, np, [−1,0]∪(1,+∞) ,

(−∞,−2) , (−∞,0] , [0,+∞) , zbi´

or z lo˙zony ze wszystkich liczb wymiernych dodatnich oraz ujem-

nych liczb niewymiernych i wiele innych.

W niekt´

orych krajach arctan .

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

Przyk lad 6.1

arcsin 1 =

, arcsin

1
2

, arcsin

−

√

= −

, arctg

√

3 =

arctg(−1) = −

, arctg 0 = 0 .

Wprowadzimy oznaczenie: R = [−∞, +∞] oznacza zbi´or z lo˙zony ze wszyst-

kich liczb rzeczywistych uzupe lniony symbolami niesko´

nczonymi −∞ i +∞ . Mo˙zna

my´sle´c, ˙ze IR to prosta z ko´

ncami. Podkre´sli´c wypada, ˙ze symboli niesko´

nczonych

nie traktujemy jak liczb, bo np. nie wszystkie dzia lania z ich u˙zyciem sa

wykonalne.

Definicja 6.3 (punktu skupienia)

Punkt p ∈ IR jest punktem skupienia zbioru A ⊂ R

wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje cia

g (a

) punkt´ow zbioru A , o wyrazach r´o˙znych od p , zbie˙zny do p .

Punkt a ∈ A , kt´ory nie jest jego punktem skupienia nazywamy punktem izolowanym

zbioru A .

Przyk lad 6.2

+∞ jest punktem skupienia zbioru wszystkich liczb naturalnych

N — by sie

o tym przekona´c wystarczy przyja

´c a

= n . Innych punkt´ow skupienia

zbi´or N nie ma. W gre

mog lyby wchodzi´c jedynie liczby nieujemne, bo granica cia

liczb naturalnych jest albo r´owna +∞ , albo te˙z jest liczba

nieujemna

. Je´sli cia

liczb naturalnych ma sko´

nczona

granice

, to — ze wzgle

du na warunek Cauchy’ego

— odleg lo´sci mie

dzy wyrazami tego cia

gu, kt´orych numery sa

dostatecznie du˙ze,

mniejsze ni˙z 1 , a poniewa˙z sa

to liczby ca lkowite, wie

c te odleg lo´sci sa

r´owne

0 . Wykazali´smy, ˙ze cia

g liczb naturalnych, kt´ory ma sko´

nczona

granice

musi by´c

od pewnego miejsca sta ly, a wie

c granica jest r´owna pewnym wyrazom cia

gu. Jest

niezgodne z definicja

punktu skupienia.

Przyk lad 6.3

Ka˙zda liczba z przedzia lu domknie

tego [0, 1] jest punktem skupie-

nia przedzia lu otwartego (0, 1) . Innych punkt´ow skupienia przedzia l (0, 1) nie ma.

To drugie zdanie jest prawdziwe w oczywisty spos´ob – granica cia

gu liczb z przedzia lu

(0, 1) musi sie

znajdowa´c w przedziale [0, 1] . Jest te˙z jasne, ˙ze dla ka˙zdej liczby p

z przedzia lu [0, 1] istnieje cia

g (a

) liczb z przedzia lu (0, 1) , taki ˙ze p = lim

n→∞

oraz a

6= p dla ka˙zdego n .

Przyk lad 6.4

Ka˙zda liczba rzeczywista i oba symbole niesko´

nczone sa

punktami

skupienia dziedziny funkcji tangens, tj. zbioru tych liczb rzeczywistych, kt´ore nie

nieparzystymi wielokrotno´sciami liczby

. Latwe uzasadnienie tego stwierdzenia

pozostawiamy czytelnikom.

Przyk lad 6.5

Niech C ⊆ [0, 1] be

dzie zbiorem z lo˙zonym ze wszystkich tych liczb,

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

kt´ore mo˙zna zapisa´c w uk ladzie tr´ojkowym za pomoca

cyfr 0 i 2 .* Latwo mo˙zna za-

uwa˙zy´c, ˙ze R \ C jest suma

naste

puja

cym przedzia l´ow otwartych: (−∞, 0) , (1, ∞) ,

1
3

2
3

1
9

2
9

7
9

8
9

19
27

20
27

25
27

26
27

, . . . Jasne jest, ˙ze zbi´or

C nie zawiera ˙zadnego przedzia lu. Ka˙zdy punkt zbioru Cantora jest jego punktem

skupienia. By sie

o tym przekona´c, wystarczy w rozwinie

ciu tr´ojkowym liczby x ∈ C

zmieni´c n –ta

cyfra

: zamiast cyfry c

otrzymamy cyfre

2 − c

. Otrzymana

liczbe

oznaczamy przez x

. Oczywi´scie |x − x

| = 2 · 3

−n

−−−−→

n→∞

0 .

Mo˙zna latwo zauwa˙zy´c, ˙ze zapis tr´ojkowy liczby x ∈ C bez u˙zycia cyfry 1

jest jednoznaczny. Niech x =

∞

n=1

· 3

−n

, c

∈ {0, 2} dla n = 1, 2, . . . Definiu-

jemy funkcje

f za pomoca

wzoru f (x) =

∞

n=1

· 2

−n

. Wykaza´c, ˙ze funkcja f

przekszta lca zbi´or Cantora na ca ly przedzia l [0, 1] . Sprawdzi´c, czy f jest funkcja

r´o˙znowarto´sciowa

. Oczywi´scie funkcja f jest niemaleja

ca. Czy mo˙zna ja

dookre´sli´c

w punktach [0, 1] \ C tak, by sta la sie

niemaleja

ca na przedziale [0, 1] ?

Teraz zdefiniujemy granice

funkcji.

Definicja 6.4 ( granicy funkcji w punkcie.) *

Niech p oznacza dowolny punkt skupienia dziedziny funkcji f . M´owimy, ˙ze g ∈ IR

jest granica

funkcji f w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdego cia

) zbie˙znego do p , kt´orego wszystkie wyrazy sa

r´o˙zne od p , ma miejsce r´owno´s´c

lim

n→∞

f (x

) = g . Granice

funkcji f w punkcie p oznaczamy symbolem lim

x→p

f (x) .

Nale˙zy wr´oci´c uwage

na to, ˙ze w´sr´od wyraz´ow cia

gu zbie˙znego do p , wyste

pu-

cego w definicji granicy, nie ma p . Oznacza to w szczeg´olno´sci, ˙ze nawet wtedy,

gdy p jest argumentem funkcji f , to warto´s´c w tym punkcie nie ma wp lywu na

istnienie granicy w punkcie p , ani na jej warto´s´c — mo˙zna dowolnie zmienia´c warto´s´c

funkcji w punkcie p nie zmieniaja

c granicy w tym punkcie. Je´sli funkcja ma granice

w punkcie p , to w dostatecznie bliskich punktach x warto´s´c f (x) jest bliska grani-

cy g , pod warunkiem jednak, ˙ze x 6= p . Poniewa˙z cia

g ma co najwy˙zej jedna

granice

wie

c r´ownie˙z funkcja mo˙ze mie´c tylko jedna

granice

w jednym punkcie. Poje

cie granicy

funkcji jest — jak sie

przekonamy — bardzo wa˙zne. Jest rozszerzeniem poje

cia granicy

cia

gu. Podamy teraz kilka przyk lad´ow.

Przyk lad 6.6

lim

x→0

sin x

= 1 . R´owno´s´c ta zosta la udowodniona wcze´sniej.

tzw. zbi´

or Cantora

Ta definicja jest nazywana cia,gowa, lub definicja, Heinego

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

Przyk lad 6.7

lim

x→0

ln(1+x)

= 1 . R´ownie˙z ta r´owno´s´c zosta la udowodniona wcze´s-

niej.

Przyk lad 6.8

lim

x→0

−1

= 1 . Te

r´owno´s´c wykazali´smy poprzednio.

Przyk lad 6.9

lim

x→∞

1 +

= e . Te

r´owno´s´c wyka˙zemy teraz. Trzeba wykaza´c,

˙ze dla ka˙zdego cia

gu (x

) , kt´orego granica

jest ∞ zachodzi: lim

n→∞

1 +

= e .

Wiemy, ˙ze jest tak w przypadku x

= n — z definicji liczby e . Przypomnijmy te˙z, ˙ze

cia

1 +

jest rosna

cy. Sta

d wynika, ˙ze je´sli k > n jest liczba

naturalna

, to

1 +

< 1 +

1
k

< e . Sta

d i z definicji granicy wynika, ˙ze je´sli lim

n→∞

= +∞ ,

to lim

n→∞

1 +

= e — je´sli bowiem m jest jaka

kolwiek liczba

naturalna

, to

dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n , zachodzi nier´owno´s´c k

> m , zatem

1 +

< e . Teraz mo˙zemy przej´s´c do w la´sciwego dowodu.

Niech lim

n→∞

= +∞ . Bez straty og´olno´sci rozwa˙za´

n mo˙zna przyja

´c, ˙ze dla

ka˙zdego n zachodzi nier´owno´s´c x

≥ 1 , bo jest tak dla dostatecznie du˙zych n .

Niech k

= bx

c be

dzie taka

liczba

ca lkowita

, tzn. k

≤ x

< k

+ 1 . Poniewa˙z

−1 < k

, wie

c lim

n→∞

= +∞ . Sta

d i z tego, co wykazali´smy poprzednio, wynika,

˙ze lim

n→∞

1 +

1+k

= e = lim

n→∞

1 +

1+k

. Mamy r´ownie˙z

1 +

1+k

≤

1 +

1+k

1 +

≤

1 +

1+k

Z tej nier´owno´sci i twierdzenia o trzech cia

gach wynika dowodzona przez nas teza.

Przyk lad 6.10

Funkcja

, okre´slona dla x 6= 0 , nie ma granicy w punkcie 0 , bo-

wiem lim

n→∞

1/n

= +∞ i jednocze´snie lim

n→∞

−1/n

= −∞ , uda lo sie

nam wie

c wskaza´c

dwa cia

gi argument´ow zbie˙zne do 0 , takie ˙ze odpowiadaja

ce im cia

gi warto´sci maja

r´o˙zne granice.

Przyk lad 6.11

Funkcja sin

, okre´slona dla x 6= 0 , nie ma granicy w punkcie 0 ,

bowiem sin

1/(2nπ)

= 0 oraz sin

1/(2nπ+π/2)

= 1 . Wskazali´smy wie

c takie dwa cia

argument´ow zbie˙zne do 0 , ˙ze odpowiadaja

ce im cia

gi warto´sci sa

zbie˙zne do r´o˙znych

granic (sa

sta le i r´o˙zne).

Opr´ocz granicy funkcji rozpatrywane sa

granice jednostronne funkcji w punkcie.

Zdefiniujemy granice

lewostronna

, definicja granicy prawostronnej jest analogiczna.

Definicja 6.5 (granicy lewostronnej)

g jest granica

lewostronna funkcji f : X −→ R w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

p jest punktem skupienia zbioru X ∩ (−∞, p) czyli, gdy mo˙zna znale´z´c w dziedzinie

cia

g (x

) o wyrazach mniejszych (´sci´sle!) ni˙z p , zbie˙zny do p i gdy dla ka˙zdego

takiego cia

gu odpowiadaja

cy mu cia

g warto´sci f (x

)

ma granice

g . Stosujemy

oznaczenie lim

x→p

−

f (x) .

Latwo mo˙zna udowodni´c, ˙ze funkcja

ma jednostronne granice w punkcie 0 :

prawostronna jest r´owna +∞ , za´s lewostronna

jest −∞ . Funkcja sin

nie ma

granicy prawostronnej w punkcie 0 — wykazali´smy to wskazuja

c dwa cia

gi dodatnich

argument´ow tej funkcji zbie˙zne do 0 , takie ˙ze odpowiadaja

ce im cia

gi warto´sci maja

r´o˙zne granice.

Bez trudu mo˙zna udowodni´c „funkcyjna

” wersje

twierdzenia o scalaniu.

Twierdzenie 6.6 ( o scalaniu)

Funkcja f okre´slona na zbiorze X = X

∪ X

, kt´orego punktem skupienia jest

punkt p , kt´ory jest jednocze´snie punktem skupienia obu zbior´ow X

, X

ma granice

w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy obie funkcje f

:= f

i f

:= f

maja

granice i te granice sa

r´owne.

Dow´

od. Jest jasne, ˙ze z istnienia granicy lim

x→p

wynika istnienie i r´owno´s´c obu gra-

nic lim

x→p

i lim

x→p

zamiast wszystkich cia

g´ow zbie˙znych do p , kt´orych wyrazy sa

r´o˙zne od p , rozpatrujemy jedynie ich cze

´s´c. Je´sli natomiast wiemy, ˙ze istnieja

gra-

nice funkcji f

i f

, to cia

g o wyrazach r´o˙znych od p mo˙zemy rozbi´c na podcia

o wyrazach nale˙za

cych do X

i na podcia

g z lo˙zony z pozosta lych wyraz´ow, wie

nale˙za

cych do X

. Odpowiadaja

ce im cia

gi warto´sci maja

sama

granice

, wie

c cia

warto´sci odpowiadaja

cy naszemu cia

gowi ma granice

i to r´owna

wsp´olnej warto´sci

obu granic. Oczywi´scie je´sli tylko sko´

nczenie wiele wyraz´ow cia

gu argument´ow znaj-

duje sie

w zbiorze X

, to nie mo˙zemy rozpatrujemy granicy lim

x→p

, ale to niczemu

nie przeszkadza.

Podobnie jak w przypadku twierdzenia o scalaniu, mo˙zna przenie´s´c inne twier-

dzenia dotycza

ce granic cia

g´ow na og´olniejszy przypadek granicy funkcji.

Twierdzenie 6.7 ( o arytmetycznych w lasno´sciach granicy)

A1. Je´sli istnieja

granice lim

x→p

f (x) , lim

x→p

g(x) i okre´slona jest ich suma, to istnieje

granica lim

x→p

(f (x) + g(x)) i zachodzi wz´or: lim

x→p

(f (x) + g(x)) = lim

x→p

f (x) +

lim

x→p

g(x) .

A2. Je´sli istnieja

granice lim

x→p

f (x) , lim

x→p

g(x) i okre´slona jest ich r´o˙znica, to istnieje

granica lim

x→p

(f (x) − g(x))

lim

x→p

(f (x) − g(x)) = lim

x→p

f (x) − lim

x→p

g(x) .

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

A3. Je´sli istnieja

granice lim

x→p

f (x) , lim

x→p

g(x) i okre´slony jest ich iloczyn, to istnieje

granica lim

x→p

f (x)·g(x)

i zachodzi wz´or: lim

x→p

(f (x)·g(x)) = lim

x→p

f (x)· lim

x→p

g(x) .

A4. Je´sli istnieja

granice lim

x→p

f (x) , lim

x→p

g(x) i okre´slony jest ich iloraz, to istnieje

granica lim

x→p

f (x)

g(x)

i zachodzi wz´or lim

x→p

f (x)

g(x)

lim

x→p

f (x)

lim

x→p

g(x)

Dow´

od. Twierdzenie jest natychmiastowa

konsekwencja

twierdzenia o arytmetycz-

nych w lasno´sciach granicy cia

gu.

Przed podaniem naste

pnego twierdzenia przypomnijmy, ˙ze operujemy terminem

dla dostatecznie du˙zych n . Oznacza to, ˙ze interesuja

nas liczby naturalne wie

ksze od

pewnej liczby. W la´sciwie chodzi o to, by by ly one bliskie +∞ . W przypadku funkcji

argument, kt´orym w przypadku cia

gu jest numer wyrazu, czyli n , ma by´c bliski

punktowi p , kt´ory mo˙ze — lecz nie musi — by´c r´owny +∞ . Wymaga wie

c zmiany

spos´ob m´owienia. M´owia

c x jest dostatecznie bliski p be

dziemy mie´c na my´sli, ˙ze:

(+∞)

x > M dla pewnej liczby rzeczywistej M , gdy p = +∞ ,

(−∞)

x < M dla pewnej liczby rzeczywistej M , gdy p = −∞ ,

(R)

|x − p| < δ dla pewnej dodatniej liczby δ , gdy p ∈ R .

Twierdzenie 6.8 (o szacowaniu)

N1. Je´sli C < lim

x→p

f (x) , to dla x 6= p , dostatecznie bliskich p zachodzi nier´owno´s´c

C < f (x) .

N2. Je´sli C > lim

x→p

f (x) , to dla x 6= p , dostatecznie bliskich p zachodzi nier´owno´s´c

C > f (x) .

N3. Je´sli lim

x→p

g(x) < lim

x→p

f (x) , to dla x 6= p , dostatecznie bliskich p zachodzi

nier´owno´s´c g(x) < f (x) .

N4. Je´sli g(x) ≤ f (x) dla x dostatecznie bliskich p , to zachodzi nier´owno´s´c

lim

x→p

g(x) ≤ lim

x→p

f (x) .

Dow´

od. Zak ladamy ca ly czas, ˙ze p jest punktem skupienia dziedziny funkcji. Za-

uwa˙zmy najpierw, ˙ze zaprzeczeniem zdania: Dla wszystkich x 6= p dostatecznie bli-

skich p spe lniony jest warunek W jest zdanie: Istnieje cia

g (x

) zbie˙zny do p , taki

˙ze x

6= p dla ka˙zdego n i warunek W nie zachodzi dla ˙zadnego wyrazu cia

gu (x

) .

Je´sli np. p = +∞ i nie jest prawda

, ˙ze warunek W spe lniony jest dla wszystkich x

dostatecznie bliskich p = +∞ , to dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba

x > M , dla kt´orej warunek W nie zachodzi. By otrzyma´c cia

g (x

) , kt´orego granica

jest ∞ , z lo˙zony z liczb, dla kt´orych warunek W nie zachodzi, wystarczy przyja

´c,

˙ze M = n . Je´sli natomiast istnieje cia

g (x

) , kt´orego granica

jest +∞ , taki ˙ze

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

warunekW nie jest spe lniony dla ˙zadnego (x

) , to warunek W nie jest spe lniony dla

wszystkich dostatecznie du˙zych x , czyli nie jest spe lniony dla wszystkich x dosta-

tecznie bliskich +∞ . Analogicznie poste

pujemy w przypadku p = −∞ .

Je´sli p ∈ R , to dla ka˙zdego δ > 0 istnieje x , takie ˙ze x 6= p i |x − p| < δ , dla

kt´orego warunek W nie zachodzi. By zdefiniowa´c x

przyjmujemy, ˙ze δ =

. Z ist-

nienia cia

gu (x

) z lo˙zonego z liczb, dla kt´orych warunek W nie zachodzi, wynika od

razu, ˙ze nie jest mo˙zliwe, by warunek W by l spe lniony dla wszystkich x dostatecznie

bliskich p .

Teraz mo˙zemy zaja

´c sie

w la´sciwym dowodem. Za l´o˙zmy, ˙ze lim

x→p

f (x) < C oraz

˙ze nie jest prawda

, ˙ze dla x dostatecznie bliskich p zachodzi nier´owno´s´c f (x) < C .

Wynika sta

d, ˙ze istnieje cia

g (x

) , taki ˙ze dla ka˙zdego n zachodzi nier´owno´s´c

f (x

) ≥ C . Sta

d jednak wynika, ˙ze lim

x→p

f (x

) ≥ C , wbrew za lo˙zeniu. Dow´od

w tym przypadku zosta l zako´

nczony. Stwierdzenie N2 dowodzimy analogicznie lub

wnioskujemy z N1 zaste

puja

c funkcje

f funkcja

przeciwna

−f . Stwierdzenie N3

wynika ze stwierdze´

n poprzednich: starczy u˙zy´c liczby C le˙za

cej mie

dzy lim

x→p

f (x)

oraz lim

x→p

g(x) . Ostatni fragment twierdzenia to prosta konsekwencja tego, ˙ze cia

g o

mniejszych wyrazach ma mniejsza

granice

. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Podamy teraz inna

definicje

granicy funkcji. Z poprzednia

mo˙zna wia

za´c takie

stwierdzenie (nie´scis le, ale wa˙zne): niezale˙znie od tego w jaki spos´ob argument da

˙zy do

p , to warto´s´c funkcji zbli˙za sie

do g . Z ta

kt´ora pojawi sie

niebawem wia

˙zemy stwier-

dzenie je´sli argument funkcji jest dostatecznie bliski p , ale r´o˙zny od p , to warto´s´c

funkcji jest bliska g . Sformu lujemy zapowiedziana

definicje

bardzo dok ladnie, bez

˙zadnych skr´ot´ow. Ma ona dziewie

´c cze

´sci, ale na og´o l po przeczytaniu dw´och – trzech

pierwszych nie ma potrzeby czyta´c dalej, bo mo˙zna to samodzielnie napisa´c.

Definicja 6.9 (granicy funkcji) *

1. g, p ∈ R .

Wtedy g = lim

x→p

f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

ε>0

∃

δ>0

∀

x∈X

0 < |x − p| < δ ⇒ |f (x) − g| < ε

2. g ∈ R , p = +∞ .

Wtedy g = lim

x→p

f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

ε>0

∃

∀

x∈X

x > M ⇒ |f (x) − g| < ε

3. g ∈ R , p = −∞ .

Wtedy g = lim

x→p

f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

ε>0

∃

∀

x∈X

x < M ⇒ |f (x) − g| < ε

ta definicja nazywana jest definicja, Cauchy’ego lub definicja, otoczeniowa,, czasem, to ju˙z be lkot

matematyczny, – epsilonowo–deltowa,.

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

4. g = +∞ , p ∈ R .

Wtedy g = lim

x→p

f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

∃

δ>0

∀

x∈X

0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) > M

5. g = +∞ , p = +∞ .

Wtedy g = lim

x→p

f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

∃

∀

x∈X

x > K ⇒ f (x) > M

6. g = +∞ , p = −∞ .

Wtedy g = lim

x→p

f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

∃

∀

x∈X

x < K ⇒ f (x) > M

7. g = −∞ , p ∈ R .

Wtedy g = lim

x→p

f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

∃

δ>0

∀

x∈X

0 < |x − p| < δ ⇒ f (x) < M

8. g = −∞ , p = +∞ .

Wtedy g = lim

x→p

f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

∃

∀

x∈X

x > K ⇒ f (x) < M

9. g = −∞ , p = −∞ .

Wtedy g = lim

x→p

f (x) wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

∃

∀

x∈X

x < K ⇒ f (x) < M

Dow´

od. Dow´od podamy w dw´och wybranych przypadkach: pierwszym i ´osmym.

Reszte

czytelnik powinien uzupe lni´c samodzielnie, by´c mo˙ze nie wszystko — tyle

tylko, by w miare

swobodnie przeprowadzi´c dow´od w kt´orym´s przypadku.

Za lo˙zymy najpierw, ˙ze g, p sa

liczbami rzeczywistymi oraz ˙ze g = lim

x→p

f (x)

w sensie definicji cia

gowej. Je´sli istnieje taka liczba ε > 0 , ˙ze dla ka˙zdej liczby δ > 0

istnieje x , takie ˙ze 0 < |x−p| < δ i jednocze´snie |f (x)−g| ≥ ε , to przyjmuja

c, ˙ze x

jest dobrane do

, tzn. 0 < |x

− p| <

i |f (x

) − g| ≥ ε , otrzymujemy cia

g (x

)

zbie˙zny do p , o wyrazach r´o˙znych od p i taki ˙ze odpowiadaja

cy mu cia

g warto´sci

funkcji nie jest zbie˙zny do liczby g , bowiem wszystkie wyrazy tego cia

gu warto´sci

pozostaja

w odleg lo´sci nie mniejszej ni˙z ε od g . Twierdzenie zosta lo udowodnione

w jedna strone

Teraz za lo˙zymy, ˙ze g = lim

x→p

f (x) w sensie definicji otoczeniowej. Niech (x

)

dzie dowolnym cia

giem argument´ow funkcji f zbie˙znym do p , o wyrazach r´o˙znych

od p i niech ε oznacza dowolna

liczbe

dodatnia

. Z definicji otoczeniowej granicy funk-

cji wynika, ˙ze istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze je´sli 0 < |x − p| < δ , to |f (x) − g| < ε .

Z definicji granicy cia

gu wnioskujemy, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nie-

r´owno´s´c |x

− p| < δ i oczywi´scie x

6= p , zatem 0 < |x

− p| < δ , a sta

d wynika, ˙ze

|f (x

) − g| < ε . Sta

d i z definicji granicy cia

gu wynika, ˙ze lim

n→∞

f (x

) = g , a wobec

tego, ˙ze (x

) jest dowolnym cia

giem, mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze g jest granica

w sensie

definicji cia

gowej.

Teraz, zgodnie z obietnica

, zajmiemy sie

przypadkiem ´osmym, tj. za lo˙zymy, ˙ze

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

g = −∞ oraz ˙ze p = +∞ . Zak ladamy, ˙ze dla ka˙zdego cia

gu (x

) argument´ow

funkcji f , kt´orego granica

jest +∞ zachodzi r´owno´s´c lim

n→∞

f (x

) = −∞ . Mamy

wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba rzeczywista K , taka

˙ze je´sli x > K , to f (x) < M . Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Istnieje wie

c liczba M

taka, ˙ze dla ka˙zdej liczby K istnieje taki argument x funkcji f , ˙ze x > K i jedno-

cze´snie f (x) ≥ M . Przyjmuja

c K = n otrzymujemy argument x

, taki ˙ze x

> n

i f (x

) ≥ M . Sta

d jednak wynika, ˙ze −∞ nie jest granica

cia

gu f (x

)

, wbrew

za lo˙zeniu. Dow´od w jedna

strone

zosta l zako´

nczony.

Teraz za lo˙zymy, ˙ze dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje taka liczba rzeczy-

wista K , ˙ze je´sli x > K , to f (x) < M . Je´sli lim

n→∞

= +∞ , to dla dostatecznie

du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c x

> K i wobec tego f (x

) < M . Wobec dowolno´sci

M , oznacza to, ˙ze lim

n→∞

f (x

) = −∞ . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Z twierdzenia o trzech cia

gach wynika analogiczne twierdzenie dla granic funkcji.

Twierdzenie 6.10 (o trzech funkcjach)

Je´sli dla wszystkich argument´ow x dostatecznie bliskich punktowi p zachodzi nie-

r´owno´s´c podw´ojna f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) i istnieja

granice lim

x→p

f (x) , lim

x→p

h(x) oraz

lim

x→p

f (x) = lim

x→p

h(x) , to r´ownie˙z funkcja g ma granice

w punkcie p i zachodzi

r´owno´s´c

lim

x→p

f (x) = lim

x→p

g(x) = lim

x→p

h(x) .

Z naste

pnego twierdzenia w zasadzie nie be

dziemy korzysta´c, podajemy je tylko

po to, by pokaza´c, pe lna

analogie

poje

cia granicy cia

gu i granicy funkcji, wie

c latwy

dow´od pozostawiamy czytelnikom w charakterze zadania.

Twierdzenie 6.11 (Cauchy’ego o istnieniu granicy sko´

nczonej)

Funkcja f ma granice

sko´

nczona

w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy spe lniony

jest naste

puja

cy warunek Cauchy’ego:

dla ka˙zdego ε > 0, dla wszystkich x, y 6= p dostatecznie bliskich p

zachodzi nier´owno´s´c |f (x) − f (y)| < ε .

(w.C.)

Twierdzenie, kt´ore znajduje sie

poni˙zej ma bardzo prosty dow´od, ale jest bardzo

cze

sto stosowane.

Twierdzenie 6.12 (o granicy z lo˙zenia dwu funkcji)

Za l´o˙zmy, ˙ze dziedzina funkcji f zawiera zbi´or warto´sci funkcji g , ˙ze funkcja g ma

granice

G w punkcie p , ˙ze granica G jest punktem skupienia dziedziny funkcji f

i funkcja f ma granice

H w punkcie G oraz ˙ze warto´sci funkcji g w punktach

dostatecznie bliskich p sa

r´o˙zne od G . Przy tych za lo˙zeniach funkcja f ◦ g okre´slona

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

wzorem (f ◦ g)(x) = f (g(x)) ma w punkcie p granice

, ta granica jest r´owna H .

Dow´

od. Za lo˙zenia tego twierdzenia sa

tak dobrane, ˙ze dow´od wynika od razu z

definicji cia

gowej granicy funkcji w punkcie.

Definicja 6.13 (kres´

ow funkcji)

1. Kresem g´ornym M funkcji f nazywamy kres g´orny zbioru jej warto´sci, tj. naj-

mniejsza

liczbe

M (lub +∞ , je´sli funkcja nie jest ograniczona z g´ory) taka

, ˙ze

f (x) ≤ M dla ka˙zdego argumentu x funkcji f . Kres g´orny funkcji f oznaczamy

symbolem sup f .

2. Kresem dolnym M funkcji f nazywamy kres dolny zbioru jej warto´sci, tj. naj-

wie

ksza

liczbe

M (lub −∞ , je´sli funkcja nie jest ograniczona z do lu) taka

, ˙ze

f (x) ≥ M dla ka˙zdego argumentu x funkcji f . Kres dolny funkcji f oznaczamy

symbolem inf f .

Definicja 6.14 (granicy g´

ornej)

M ∈ [−∞, +∞] jest granica

g´orna

funkcji f przy x −→ p wtedy i tylko wtedy, gdy

spe lnione sa

oba warunki

(i) dla ka˙zdego cia

gu (x

) o granicy p , wyrazach r´o˙znych od p , dla kt´orego

istnieje lim

n→∞

f (x

) zachodzi nier´owno´s´c lim

n→∞

f (x

) ≤ M oraz

(ii) M jest najmniejszym elementem [−∞, +∞] , dla kt´orego spe lniony jest

warunek (i).

Piszemy wtedy M = lim sup

x→p

f (x) .

Analogicznie definiujemy granice

dolna

funkcji, kt´ora

oznaczamy za pomoca

symbolu M = lim inf

x→p

f (x) . Warunek (ii) tej definicji mo˙zna zasta

pi´c stwierdzeniem:

istnieje cia

g (x

) o granicy p i wyrazach r´o˙znych od p , dla kt´orego lim

n→∞

f (x

) = L .

Oznacza to, ˙ze granica g´orna jest kresem g´ornym granic postaci lim

n→∞

f (x

) , gdzie

) oznacza cia

g o wyrazach r´o˙znych od p , kt´orego granica

jest p . Definicja granicy

dolnej jest analogiczna. Mo˙zna bez trudu wykaza´c, ˙ze je´sli p jest liczba

rzeczywista

D dziedzina

funkcji f , to

lim inf

x→p

f (x), lim sup

x→p

f (x)

δ>0

inf f D ∩ (p − δ, p + δ) \ {p}

, sup f D ∩ (p − δ, p + δ) \ {p}

Oznacza to, ˙ze rozpatrujemy otoczenie punktu p , znajdujemy najmniejszy prze-

dzia l domknie

ty (by´c mo˙ze niesko´

nczony) zawieraja

cy obraz tej cze

´sci dziedziny,

kt´ora znalaz la sie

w rozpatrywanym otoczeniu punktu p , z wyja

tkiem punktu sa-

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

mego p . Naste

pnie zmniejszamy to otoczenie (czyli m´owia

c nieformalnie δ → 0 ),

lewy koniec otrzymanego przedzia lu, by´c mo˙ze zdegenerowanego do jednego punktu,

to lim inf

x→p

f (x) , a prawy — to lim sup

x→p

f (x) . Zache

cam student´ow do wykazania

r´ownowa˙zno´sci tych okre´sle´

n oraz do samodzielnego ich sformu lowania w przypad-

ku p = ±∞ .

Podamy teraz kilka przyk lad´ow kres´ow funkcji.

Przyk lad 6.12

Niech f (x) =

√

1+x

. Jest jasne, ˙ze −1 < f (x) < 1 dla ka˙zdej

liczby rzeczywistej x . Czytelnik sprawdzi z latwo´scia

, ˙ze je´sli 0 ≤ a < 1 i x >

√

1−a

to a <

√

1+x

= f (x) . Wykazali´smy wie

c, ˙ze 1 jest ograniczeniem g´ornym funkcji

f oraz ˙ze ˙zadna liczba a mniejsza ni˙z 1 nie jest ograniczeniem g´ornym funkcji f .

Sta

d wynika, ˙ze sup f = 1 . Poniewa˙z funkcja f jest nieparzysta ( f (−x) = −x dla

ka˙zdego x ), wie

c inf f = −1 .

Przyk lad 6.13

Kresem g´ornym funkcji sin jest liczba 1, a kresem dolnym funkcji

sinus – liczba −1 .

Przyk lad 6.14

Kresem g´ornym funkcji wyk ladniczej o podstawie e jest +∞ , a

dolnym – liczba 0 .

Przyk lad 6.15

Kresem g´ornym logarytmu naturalnego jest +∞ , a kresem dol-

nym jest −∞ .

Przyk lad 6.16

Kresem g´ornym funkcji liniowej niesta lej jest +∞ , a kresem dol-

nym tej funkcji jest −∞ .

Przyk lad 6.17

Kresem g´ornym funkcji f , danej wzorem f (x) = x

+ 2x − 2 =

=(x + 1)

− 3 , jest +∞ , a kresem dolnym tej funkcji jest liczba −3 .

Przyk lad 6.18

Kresem g´ornym funkcji f danej wzorem f (x) =

1+x

sin

przedziale otwarto–domknie

tym (0, 1] jest liczba 1 , a dolnym — liczba −1 . Wynika

to z tego, ˙ze dla x ∈ (0, 1] zachodzi nier´owno´s´c

1+x

sin

< 1 oraz z r´owno´sci

lim

n→∞

(4n+1)π

= lim

n→∞

(4n+1)

= 1, lim

n→∞

(4n+3)π

= lim

n→∞

−(4n+3)

(4n+3)

= −1 .

Wida´c wie

c, ˙ze w tym przypadku ˙zaden z kres´ow nie jest warto´scia

funkcji ograniczo-

nej f . Mo˙zna te˙z zauwa˙zy´c, ˙ze z przedstawionego rozumowania wynikaja

r´owno´sci

lim sup

x→0

f (x) = 1 i lim inf

x→0

f (x) = −1 .

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

Zajmiemy sie

teraz funkcjami monotonicznymi i ´sci´sle monotonicznymi.

Definicja 6.15 (funkcji monotonicznych i ´sci´sle monotonicznych) Funkcja f

okre´slona na zbiorze X ⊂ R jest

1. ´sci´sle rosna

ca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argument´ow x, y konse-

kwencja

nier´owno´sci x < y jest nier´owno´s´c f (x) < f (y) ;

2. ´sci´sle maleja

ca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argument´ow x, y kon-

sekwencja

nier´owno´sci x < y jest nier´owno´s´c f (x) > f (y) ;

3. nierosna

ca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argument´ow x, y konse-

kwencja

nier´owno´sci x < y jest nier´owno´s´c f (x) ≥ f (y) ;

4. niemaleja

ca wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argument´ow x, y konse-

kwencja

nier´owno´sci x < y jest nier´owno´s´c f (x) ≤ f (y) .

Zn´ow mamy do czynienia z rozszerzeniem poje

cia z cia

g´ow na funkcje. Podamy

tylko jeden przyk lad, bo licznych przyk lad´ow dostarczyli´smy ju˙z wcze´sniej w postaci

cia

g´ow monotonicznych, a i w przysz lo´sci ich nie zabraknie. Niech f (x) =

dla

x 6= 0 . Zauwa˙zmy, ˙ze w ca lej dziedzinie funkcja nie jest monotoniczna: −1 < 1

i jednocze´snie f (−1) = −1 < 1 = f (1) , wie

c funkcja f nie mo˙ze by´c nierosna

ca,

w szczeg´olno´sci nie mo˙ze by´c maleja

ca; 1 < 2 i jednocze´snie f (1) = 1 >

1
2

f (2) , zatem f nie mo˙ze by´c funkcja

niemaleja

, tym bardziej rosna

. Natomiast

czytelnik stwierdzi bez trudu, ˙ze f jest funkcja

´sci´sle maleja

na ka˙zdej z dwu

p´o lprostych (−∞, 0) i (0, +∞) .

Twierdzenie 6.16 (o istnieniu granic funkcji monotonicznej)

Je´sli f jest funkcja

monotoniczna

, p jest punktem skupienia jej dziedziny, to je´sli

istnieje cia

g (x

) argument´ow funkcji f mniejszych ni˙z p , zbie˙zny do p , to f ma

granice

lewostronna

w punkcie p , je´sli istnieje cia

g argument´ow funkcji f wie

kszych

ni˙z p , zbie˙zny do p , to f ma granice

prawostronna

w punkcie p .

Dow´

od. Wystarczy oczywi´scie udowodni´c to twierdzenie przy za lo˙zeniu, ˙ze funkcja

f jest niemaleja

ca. Je´sli bowiem f jest nierosna

ca, to funkcja przeciwna −f jest

niemaleja

ca. Niech g be

dzie kresem g´ornym zbioru z lo˙zonego z warto´sci funkcji f

osia

ganych w punktach x < p

( g = sup{f (x):

x < p} ). Trzeba wykaza´c, ˙ze

g = lim

x→p

−

f (x) . Je´sli x < p , to f (x) ≤ g . Je´sli m < g jest liczba

rzeczywista

, to

poniewa˙z m nie jest ograniczeniem g´ornym zbioru tych warto´sci funkcji f , kt´ore sa

osia

gane w punktach x < p , wie

c istnieje argument x

< p , taki ˙ze f (x

) > m .

Sta

d wynika, ˙ze je´sli x

< x < p to m < f (x

) ≤ f (x) ≤ g , zatem: je´sli x < p

jest dostatecznie bliskie p , to f (x) jest dostatecznie bliskie g , co dowodzi tego, ˙ze

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

g = lim

x→p

−

f (x) . Analogicznie dowodzimy, ˙ze je´sli istnieje cia

g argument´ow wie

kszych

ni˙z p , zbie˙zny do p , to kres dolny tych warto´sci funkcji, kt´ore sa

przyjmowane

w punktach wie

kszych ni˙z p jest prawostronna

granica

funkcji f w punkcie p . Do-

w´od zosta l zako´

nczony.

Przechodzimy teraz do jednego z najwa˙zniejszego poje

´c — do cia

g lo´sci. Roz-

poczniemy od definicji.

Definicja 6.17 (funkcji cia

g lej)

Funkcja f jest cia

g la w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy p jest argumentem

funkcji i zachodzi jedna z dwu mo˙zliwo´sci:

(i) p nie jest punktem skupienia dziedziny funkcji f ;

(ii) p jest punktem skupienia dziedziny funkcji f , kt´ora ma granice

w punkcie p

i ta granica jest r´owna warto´sci funkcji w punkcie p :

lim

x→p

f (x) = f (p) .

Twierdzenie 6.18 (charakteryzuja

ce cia

g lo´s´

Funkcja f jest cia

g la w punkcie p wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby dodatniej

ε istnieje liczba δ > 0 , taka ˙ze je´sli |x − p| < δ , to |f (x) − f (p)| < ε .

Dow´

od. Je˙zeli p nie jest punktem skupienia dziedziny funkcji f , to istnieje taka

liczba δ > 0 , ˙ze jedynym punktem x dziedziny funkcji f , dla kt´orego |x − p| < δ

jest punkt p – w tym przypadku |f (x) − f (p)| = |f (p) − f (p)| = 0 < ε , niezale˙znie

od wyboru liczby dodatniej ε . Pozosta la cze

´s´c twierdzenia mo˙ze by´c otrzymana na-

tychmiast z definicji otoczeniowej granicy funkcji. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Z poznanych twierdze´

n o granicach funkcji wynika od razu naste

puja

ce twier-

dzenie.

Twierdzenie 6.19 (o operacjach na funkcjach cia

g lych)

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcje f i g okre´slone na wsp´olnej dziedzinie sa

cia

g le w punkcie p .

Wtedy naste

puja

ce funkcje sa

cia

g le w punkcie p : f + g , f − g , f · g oraz

pod

warunkiem g(p) 6= 0 .

Wa˙zna

operacja

jest sk ladanie (superponowanie) funkcji. Polega ono na „wyko-

naniu” po kolei dwu funkcji: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) . Okazuje sie

, ˙ze sk ladaja

c funkcje

cia

g le otrzymujemy w rezultacie funkcje

cia

g la

Twierdzenie 6.20 (o cia

g lo´sci z lo˙zenia dwu funkcji)

Je˙zeli funkcja g jest cia

g la w punkcie p, funkcja f okre´slona na zbiorze zawieraja

cym

zbi´or warto´sci funkcji g jest cia

g la w punkcie g(p) , to z lo˙zenie f ◦ g jest funkcja

cia

g la

w punkcie p .

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

Dow´

od. Wynika to od razu z otoczeniowej definicji cia

g lo´sci: je´sli ε > 0 , to istnieje

δ > 0 , takie ˙ze je´sli |y − g(p)| < δ , to |f (y) − f g(p)

| < ε , istnieje te˙z η > 0 , takie

˙ze je´sli |x − p| < η , to |g(x) − g(p)| < δ , a wobec tego |f g(x)

− f g(p)

| < ε .

Dow´od zosta l zako´

nczony.

Nie jest natomiast prawda

, ˙ze funkcja odwrotna do funkcji f cia

g lej w punkcie p

musi by´c cia

g la w punkcie f (p) . Zache

camy czytelnik´ow do samodzielnego skonstru-

owania przyk ladu. Musi on by´c nieco dziwaczny, bowiem je´sli za lo˙zymy, ˙ze funkcja

f jest cia

g la w ca lej dziedzinie, kt´ora jest przedzia lem, to wtedy funkcja odwrotna

musi by´c cia

g la

, m´owimy o funkcji, kt´orej warto´sciami sa

liczby rzeczywiste. Tego

twierdzenia jednak nie udowodnimy teraz, bowiem jego dow´od stanie sie

latwiejszy

p´o´zniej.

Podamy jeszcze twierdzenie pozwalaja

ce w licznych przypadkach stwierdza´c cia

lo´s´c popularnych funkcji.

Twierdzenie 6.21 (o cia

g lo´sci funkcji monotonicznej)

Je´sli funkcja monotoniczna f okre´slona na zbiorze X ⊂ R przekszta lca zbi´or X na

przedzia l, to jest cia

g la w ka˙zdym punkcie zbioru X .

Dow´

od. Dla ustalenia uwagi za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f jest niemaleja

ca. Je´sli p ∈ A

jest granica

cia

gu (a

) punkt´ow zbioru A mniejszych ni˙z p , to istnieje granica

lim

x→p

−

f (x) ≤ f (p) . Poniewa˙z dla x ≥ p zachodzi nier´owno´s´c f (x) ≥ f (p) , a dla

x < p zachodzi nier´owno´s´c f (x) ≤ lim

x→p

−

f (x) , wie

c z tego, ˙ze obrazem zbioru A

jest przedzia l, wynika, ˙ze lim

x→p

−

f (x) = f (p) :

gdyby by lo lim

x→p

−

f (x) < f (p) , to

punkty przedzia lu

lim

x→p

−

f (x), f (p)

by lyby poza zbiorem f (A) , wie

c nie by lby on

przedzia lem. Analogicznie: je´sli istnieje cia

g (a

) wie

kszych ni˙z p zbie˙zny do p ,

to f (p) = lim

x→p

f (x) . Sta

d wynika, ˙ze f jest cia

g la w punkcie p . Dow´od zosta l

zako´

nczony.

Wniosek 6.22

Je´sli f jest funkcja

monotoniczna

okre´slona

na przedziale P , to f jest cia

g la

w ka˙zdym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy f przekszta lca przedzia l P na pewien

przedzia l (zdegenerowany do punktu w przypadku, gdy f jest funkcja

sta la

Wniosek 6.23 (o liczbie punkt´

ow niecia

g lo´sci funkcji monotonicznej)

Je´sli X ⊆ R jest zbiorem niepustym, f : X −→ R funkcja

monotoniczna

, to zbi´or

punkt´ow niecia

g lo´sci funkcji f jest co najwy˙zej przeliczalny.

Dow´

od. Dla ustalenia uwagi przyjmujemy, ˙ze funkcja f jest niemaleja

ca. Je´sli

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

p ∈ X jest punktem, w kt´orym funkcja f jest niecia

g la, to zachodzi co najmniej

jedna z nier´owno´sci lim

x→p

−

f (x) < f (p) , f (p) < lim

x→p

f (x) . Niech w

dzie taka

liczba

wymierna

, ˙ze lim

x→p

−

f (x) < w

< f (p) , a je´sli lim

x→p

−

f (x) = f (p) , to taka

, ˙ze

f (p) < w

< lim

x→p

f (x) . Z tego okre´slenia wynika, ˙ze je´sli p < q i f jest niecia

g la

w obydw´och punktach, to w

< w

. Wynika sta

d, ˙ze r´o˙znym punkt´ow niecia

g lo´sci

odpowiadaja

r´o˙zne liczby wymierne. Teza wynika z przeliczalno´sci zbioru wszystkich

liczb wymiernych.

Przyk lad 6.19

Funkcja sta la jest cia

g la w ka˙zdym punkcie.

Przyk lad 6.20

Funkcja identyczno´s´c, czyli funkcja, kt´orej warto´scia

w punkcie

x jest liczba x jest cia

g la w ka˙zdym punkcie prostej — wynika to natychmiast

z definicji cia

g lo´sci. Zamiast m´owi´c funkcja identyczno´s´c be

dziemy m´owi´c funkcja x ,

rozumieja

c, ˙ze jest ona okre´slona na ca lej prostej.

Przyk lad 6.21

Funkcje x

, x

, . . . sa

cia

g le w ka˙zdym punkcie prostej. Wynika

to natychmiast z twierdzenia o cia

g lo´sci iloczynu funkcji cia

g lych i poprzedniego

przyk ladu.

Przyk lad 6.22

Ka˙zdy wielomian, czyli funkcja postaci a

+ a

x + · · · + a

gdzie a

, a

, . . . , a

dowolnymi liczbami rzeczywistymi, jest cia

g la w ka˙zdym

punkcie prostej. Wynika to z poprzednich przyk lad´ow oraz twierdzenia o cia

g lo´sci

iloczynu i sumy funkcji: funkcja postaci a

jest iloczynem funkcji sta lej o warto´sci

oraz funkcji x

, wielomian jest suma

takich funkcji.

Przyk lad 6.23

Funkcja

x−1
x+3

, kt´orej dziedzina

jest zbi´or z lo˙zony ze wszystkich

liczb rzeczywistych z wyja

tkiem liczby −3 jest cia

g la w ka˙zdym punkcie swej dzie-

dziny, bo jest ilorazem funkcji cia

g lych.

Przyk lad 6.24

Funkcja wyk ladnicza e

jest cia

g la. Wykazali´smy to wcze´sniej,

zreszta

wynika to od razu z tego, ˙ze lim

h→0

−1

= 1 , bo z tej r´owno´sci wynika, ˙ze

lim

h→0

x+h

= lim

h→0

x+h

−e

· h + e

= 1 · 0 + e

= e

. Inne uzasadnienie uzyskujemy

powo luja

c sie

na monotoniczno´s´c funkcji wyk ladniczej i to, ˙ze zbiorem jej warto´sci

jest przedzia l (0, ∞) .

Przyk lad 6.25

Logarytm naturalny (o podstawie e ) jest funkcja

cia

g la

. Wy-

nika to sta

d, ˙ze zbiorem warto´sci logarytmu naturalnego jest zbi´or wszystkich liczb

rzeczywistych.

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

Przyk lad 6.26

Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a funkcja pote

gowa x

o wyk-

ladniku a jest cia

g la w ka˙zdym punkcie p´o lprostej (0, +∞) . Wynika to z cia

g lo´sci

logarytmu naturalnego, cia

g lo´sci funkcji wyk ladniczej o podstawie e i cia

g lo´sci ilo-

czynu oraz z lo˙zenia funkcji cia

g lych: x

= e

a ln x

Przyk lad 6.27

Je´sli a > 0 , to funkcja x

jest cia

g la w punkcie 0, jej warto´s´c

w punkcie 0 definiujemy w tym przypadku jako 0. Zak ladamy oczywi´scie, ˙ze dzie-

dzina

funkcji x

jest [0, ∞) . Musimy udowodni´c, ˙ze je˙zeli lim

n→∞

= 0 , to r´ownie˙z

lim

n→∞

= 0 . Jest tak dla a =

1
k

, k — dowolna liczba ca lkowita wie

ksza ni˙z 1,

bo gdyby tak nie by lo, to istnia lyby cia

g (x

) i liczba g takie, ˙ze lim

n→∞

= 0

i lim

n→∞

√

= g 6= 0 , jednak wtedy zachodzi laby r´owno´s´c

0 = lim

n→∞

= lim

n→∞

√

lim

n→∞

√

= g

6= 0 .

W przypadku dowolnego a znajdujemy najpierw dodatnia

liczbe

ca lkowita

k >

1
a

Dla ka˙zdej liczby nieujemnej x < 1 mamy wtedy 0 ≤ x

≤ x

1/k

. Teza wynika teraz

z twierdzenia o trzech cia

gach.

Przyk lad 6.28

Je´sli a =

p
q

, gdzie q jest nieparzysta

liczba

ca lkowita

dodatnia

za´s p liczba

ca lkowita

ujemna

, to funkcja x

√

jest cia

g la w ka˙zdym punk-

cie p´o lprostej (−∞, 0) . Wynika to od razu z cia

g lo´sci funkcji pierwiastek q –tego

stopnia, cia

g lo´sci wielomianu i cia

g lo´sci ilorazu funkcji cia

g lych oraz twierdzenia o

cia

g lo´sci z lo˙zenia.

W ostatnich trzech przyk ladach wykazali´smy, ˙ze funkcja pote

gowa jest cia

g la

wsze

dzie tam, gdzie jest okre´slona.

Przyk lad 6.29

Funkcje sinus i kosinus sa

cia

g le w ka˙zdym punkcie prostej. Jest

to konsekwencja nier´owno´sci | sin x − sin y| ≤ |x − y| oraz | cos x − cos y| ≤ |x − y| .

Przyk lad 6.30

Funkcja arcsin jest cia

g la na przedziale [−1, 1] , bo zbiorem jej

warto´sci jest przedzia l

−

Przyk lad 6.31

Funkcja arctg jest cia

g la na ca lej prostej, bo zbiorem jej warto´sci

jest przedzia l

−

Przyk lad 6.32

Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a > 0 funkcja wyk ladnicza a

jest

cia

g la w ka˙zdym punkcie prostej rzeczywistej. Wynika to z tego, ˙ze a

= e

x ln a

, twier-

dze´

n o cia

g lo´sci iloczynu i z lo˙zenia oraz cia

g lo´sci funkcji wyk ladniczej o podstawie e

i cia

g lo´sci identyczno´sci oraz funkcji sta lej.

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

Z tych przyk lad´ow wynika, ˙ze ka˙zda funkcja, kt´ora

mo˙zna zdefiniowa´c „wzorem”

u˙zywaja

c standardowych funkcji, jest cia

g la w ca lej swojej dziedzinie, np. funkcja

exp

sin(x

− 12x + 2)

tg(cos x + ln x)

− sin

− 113 . Wynika to z wielokrotnego stosowania

twierdze´

n o cia

g lo´sci z lo˙zenia, sumy, r´o˙znicy, iloczynu i ilorazu. Mog loby wie

c powsta´c

wra˙zenie, ˙ze wszystkie funkcje sa

cia

g le. Tak jednak nie jest. Podamy poni˙zej kilka

przyk lad´ow.

Przyk lad 6.33

sgn(x) =

|x|

dla x 6= 0 oraz f (0) = 0 , ta funkcja jest cia

g la

w ka˙zdym punkcie p 6= 0 , bo wtedy jest sta la w pewnym przedziale otwartym zawie-

raja

cym p , w punkcie 0 ta funkcja jest niecia

g la, bowiem jej granica prawostronna

jest w tym punkcie r´owna 1, lewostronna jest r´owna −1 , wie

c funkcja sgn (znak

liczby) nie ma granicy w punkcie 0.

Przyk lad 6.34

Niech f (x) = sin

dla x 6= 0 , f (0) = 0 . Funkcja tak zdefinio-

wana nie ma granicy w punkcie 0, wie

c nie jest w tym punkcie cia

g la. We wszystkich

innych punktach jest cia

g la jako z lo˙zenie funkcji cia

g lej sinus z funkcja

cia

g la

Przyk lad 6.35

Niech f (x) = 1 dla x 6= 0 i f (0) = 0 . Funkcja ta jest niecia

g la

w punkcie 0 , cho´c ma w tym punkcie granice

, jednak ta granica nie jest r´owna

warto´sci funkcji w punkcie 0 . W innych punktach p funkcja jest cia

g la, bo jest sta la

na pewnym przedziale otwartym zawieraja

cym punkt p . Oczywi´scie mo˙zna uzna´c

ten przyk lad za sztuczny.

Przyk lad 6.36

Niech V (t) oznacza obje

to´s´c jednego kilograma wody w tempera-

turze t , ci´snienie jest sta le, tzw. normalne i niezale˙zne od temperatury. Ze szkolnych

lekcji fizyki wiadomo, ˙ze funkcja V ma niecia

g lo´s´c w punkcie 0 tj. w temperaturze,

w kt´orej naste

puje przej´scie ze stanu ciek lego w sta ly lub odwrotnie, zreszta

w punk-

cie 0 funkcja jest z punktu widzenia fizyki niezdefiniowana, ze wzgle

du na zmiane

stanu skupienia. Granice jednostronne istnieja

: prawostronna jest mniejsza ni˙z lewo-

stronna (dlatego l´od p lywa w wodzie wystaja

c z niej). Przyk lad ten podajemy po to,

by czytelnicy tego tekstu zdawali sobie sprawe

, ˙ze w niekt´orych sytuacjach pojawiaja

sie

funkcje niecia

g le w naturalnych spos´ob.

Przyk lad 6.37

Niech f (x) = 1 , je´sli liczba x jest wymierna, tj. x jest ilorazem

dwu liczb ca lkowitych i niech f (x) = 0 , je´sli x jest liczba

niewymierna

, np. je´sli

x =

√

2 , gdzie m, n sa

liczbami ca lkowitymi r´o˙znymi od 0 . Funkcja ta nie ma

granicy w ˙zadnym punkcie, bo ka˙zda liczba rzeczywista jest granica

cia

gu liczb wy-

miernych, np. swoich przybli˙ze´

n dziesie

tnych oraz granica

cia

gu liczb niewymiernych.

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

W pierwszym przypadku cia

g warto´sci funkcji da

˙zy do 1, a w drugim do 0. Wobec

tego funkcja ta jest niecia

g la w ka˙zdym punkcie! Mo˙zna udowodni´c, to jest latwe!,

˙ze f (x) = lim

k→∞

lim

n→∞

(cos(k!πx))

, wie

c ta dziwna funkcja mo˙ze by´c otrzymana

w wyniku podw´ojnego przej´scia granicznego z funkcji uwa˙zanych za podstawowe.

Potrzebne nam be

jeszcze dwie definicje. Chodzi o to, ˙ze w wielu przypadkach

pojawia´c sie

funkcje cia

g le, kt´ore be

jeszcze dodatkowe w lasno´sci. Zrozumienie

trzech definicji jest — wbrew pozorom — latwiejsze ni˙z zrozumienie jednej z nich.

Definicja jednostajnej cia

g lo´sci

Funkcja f jest jednostajnie cia

g la na zbiorze X wtedy i tylko wtedy, gdy

∀

ε>0

∃

δ>0

∀

x,y∈X

|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε

Definicja warunku Lipschitza

Funkcja f spe lnia warunek Lipschitza na zbiorze A ze sta la

dodatnia

L < +∞

wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x, y ∈ A zachodzi nier´owno´s´c

|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y| .

Jest jasne, ˙ze funkcja spe lniaja

ca warunek Lipschitza jest jednostajnie cia

g la:

wystarczy przyja

´c, ˙ze δ =

. Jest te˙z jasne, ˙ze funkcja jednostajnie cia

g la jest

cia

g la. Istnieja

funkcje cia

g le, kt´ore nie sa

jednostajnie cia

g le.

Przyk lad 6.38

Funkcja x

rozpatrywana na ca lej prostej nie jest cia

g la jedno-

stajnie. Za l´o˙zmy bowiem, ˙ze ε = 1 oraz ˙ze istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze je˙zeli

|x − y| < δ , to |x

− y

| < 1 = ε . Niech x =

1
δ

i niech y =

1
δ

δ
2

. Wtedy jednak

zachodzi nier´owno´s´c |x

− y

| = 1 +

δ
2

> 1 = ε , wie

c wbrew przypuszczeniu nie

istnieje liczba δ spe lniaja

ca ˙za

dany warunek.

Mo˙zna wykaza´c, ˙ze funkcje e

na ca lej prostej, ln x na p´o lprostej (0, +∞) itp.

nie sa

jednostajnie cia

g le, cho´c zmniejszenie dziedziny mo˙ze zmieni´c sytuacje

Przyk lad 6.39

Funkcja e

spe lnia warunek Lipschitza na p´o lprostej postaci

(−∞, a] dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a . Je´sli bowiem y < x ≤ a , to

− e

| = e

(1 − e

y−x

) ≤ e

1 − (1 + (y − x))

= e

(x − y) ≤ e

|x − y| .

Przyk lad 6.40

Funkcja liniowa ax + b spe lnia warunek Lipschitza ze sta la

|a| ,

co wynika od razu z r´owno´sci |(ax + b) − (ay + b)| = |a| · |x − y| .

Przyk lad 6.41

Funkcja x

rozpatrywana nie na ca lej prostej, lecz na przedziale

[−M, M ] , gdzie M > 0 , spe lnia warunek Lipschitza ze sta la

2M , bowiem

− y

| = |x − y||x + y| ≤ |x − y|(|x| + |y|) ≤ 2M |x − y| .

Przyk lad 6.42

Funkcja

√

x rozpatrywana na ca lej prostej jest jednostajnie cia

g la

Granice funkcji, definicja cia

g lo´sci

Micha l Krych

ale nie spe lnia warunku Lipschitza: je´sli x > y , to 0 <

√

x−

√

y <

√

x − y , co mo˙zna

wykaza´c przenosza

√

y na prawa

strone

nier´owno´sci, a naste

pnie podnosza

c obie

strony nier´owno´sci do kwadratu — z tej nier´owno´sci wynika jednostajna cia

g lo´s´c,

starczy przyja

´c, ˙ze δ = ε

. Z warunku Lipschitza wynika loby, ˙ze

L ≥

√

1/n−

√

1/n−0

√

−−−−→

n→∞

+∞ ,

co oczywi´scie przeczy temu, ˙ze L < +∞ .

Wykazali´smy wie

c, ˙ze

warunek Lipschitza =⇒ jednostajna cia

g lo´s´c =⇒ cia

g lo´s´c

oraz ˙ze ˙zadna z tych implikacji nie mo˙ze by´c zasta

piona r´ownowa˙zno´scia

Warto jeszcze doda´c, ˙ze w definicji (otoczeniowej) cia

g lo´sci funkcji w punkcie

˙za

da sie

istnienia liczby δ > 0 i ˙ze takie samo ˙za

danie wyste

puje w definicji cia

g lo´sci

jednostajnej. R´o˙znica polega na tym, ˙ze w definicji cia

g lo´sci liczba δ > 0 jest dopa-

sowywana do punktu, w kt´orym badana jest cia

g lo´s´c i do liczby ε > 0 , natomiast

w definicji cia

g lo´sci jednostajnej δ > 0 zale˙zy tylko od ε .