ANALIZA MATEMATYCZNA 2

str. 1

3

** Granice funkcji dwóch zmiennych.** Ci ¾

ag÷

o´s´c funkcji dwóch zmiennych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 3.1

Obliczy´c granice podwójne:

a)

f lim

x

!0

y

!0

x

2

y

2

x + y

;

b)

lim

x

!2

y

!2

x

3

8y

3

x

y

;

c)

lim

x

!0+

y

!0+

p

x

p

y

x

y

;

d)

lim

x

!0

y

!0

p

x

2

+ y

2

+ 4

2

x

y

2

;

e)

lim

x

!0

y

!0

ln(x

2

+ y

2

)

x

2

+ y

2

+ 4

;

f )

lim

x

!0

y

!0

ln(x

2

+ y

2

+ 1)

x

2

+ y

2

;

g)

lim

x

!0

y

!0

e

(x

2

+y

2

)

1

x

2

+ y

2

;

h)

lim

x

!0

y

!0

arcsin(x + y)

x + y

;

i)

lim

x

!0

y

!0

sin xy

x

;

j)

lim

x

!0

y

!0

(x

2

+ y

2

) sin

x
y

;

k)

lim

x

!0

y

!0

(xy)

2

x

2

+ y

2

;

l)

lim

x

!0

y

!1

x

2

(y

1)

2

4x

2

+ (y

1)

4

:

Zadanie 3.2

Wykaza´c, ·

ze nie istniej ¾

a nast ¾

epuj ¾

ace granice:

a)

lim

x

!0

y

!0

xy

x

2

+ y

2

;

b)

lim

x

!0

y

!0

x + y
x

y

;

c)

lim

x

!1

y

!0

(x

1)y

2

(x

1)

2

+ y

4

;

d)

lim

x

!0

y

!0

sin

x

2

+ y

2

;

e)

lim

x

!0

y

!0

sin xy

x

2

+ y

2

;

f )

lim

x

!0

y

! 1

z

!1

xy

y

2

z

:

Zadanie 3.3

Zbada´c istnienie granic podwójnych i iterowanych funkcji f w punkcie p:

a)

f (x; y) =

x

2

y

2

x

2

+ y

2

;

p

= (0; 0);

b)

f (x; y) =

y

3

x

2

+ xy + y

2

;

p

= (0; 0);

c)

f (x; y) = (x + y) sin

1

x

cos

1
y

;

p

= (0; 0);

d)

f (x; y) = (x

2

+ y

2

)

x

2

y

2

;

p

= (0; 0);

e)

f (x; y) =

x

2

y

2

x

2

y

2

+ (x

y)

2

;

p

= (0; 0);

f )

f (x; y) =

x

2

x

2

+ y

2

;

p

= (0; 0):

2012

EKD

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

str. 2

Zadanie 3.4

Zbada´c ci ¾

ag÷

o´s´c funkcji f w punkcie p:

a)

f (x; y) =

8

<

:

x

3

y

2

x

2

+ (y

1)

4

(x; y) 6= (0; 1);

0

(x; y) = (0; 1);

p = (0; 1);

b)

f (x; y) =

8

<

:

x

4

y

4

x

4

+ y

4

(x; y) 6= (0; 0);

0

(x; y) = (0; 0);

p = (0; 0);

c)

f (x; y) =

8

>

<

>

:

p

x

2

+ y

2

jxj

2y

2

(x; y) 6= (0; 0);

1
2

(x; y) = (0; 0);

p = (0; 0);

d)

f (x; y) =

8

<

:

1

cos(x

2

+ y

2

)

(x

2

+ y

2

)

2

(x; y) 6= (0; 0);

1

(x; y) = (0; 0);

p = (0; 0);

e)

f (x; y) =

8

<

:

sin(xy

2

)

y

2

+ (x

2)

2

(x; y) 6= (2; 0);

1

(x; y) = (2; 0);

p = (2; 0);

f )

x; y) =

8

<

:

sin(xy

2

)

xy

(x; y) 6= (0; 0);

0

(x; y) = (0; 0);

p = (0; 0);

g)

f (x; y) =

(

(1 + x

4

y

4

)

1

x2+y2

(x; y) 6= (0; 0);

1

(x; y) = (0; 0);

p = (0; 0);

h)

f (x; y) =

(

(1 + x

2

+ y

2

)

1

x4+y4

(x; y) 6= (0; 0);

1

(x; y) = (0; 0);

p = (0; 0);

i)

f (x; y; z) =

8

<

:

x

2

y

x

2

+ zy

(x; y; z) 6= (0; 0; 0);

0

(x; y; z) = (0; 0; 0);

p = (0; 0; 0);

j)

f (x; y; z) =

8

<

:

sin(xyz)

p

x

2

+ y

2

+ z

2

(x; y; z) 6= (0; 0; 0);

0

(x; y; z) = (0; 0; 0);

p = (0; 0; 0);

2012

EKD