ANALIZA MATEMATYCZNA 2

str. 2

2

Dziedzina funkcji wielu zmiennych. Wykresy funkcji dwóch zmiennych.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 2.1

Wyznaczy´c i naszkicowa´c na p÷

aszczy´znie dziedzin ¾

e funkcji f:

Czy wyznaczony zbiór jest ograniczony/spójny/otwarty/domkni ¾

ety/regularny?

a)

f (x; y) = arcsin

y
x

+ pxy;

b)

f (x; y) = ln(y

2

2y)

ln(y

ln x);

c)

f (x; y) = arccos(y

2

) + ln

p

4

x

2

y

2

;

d)

f (x; y) =

p

x

2

+ y

2

+ 4x

ln(x

2

+ y

2

)

;

e)

f (x; y) = ln(x

y

2

) +

p

y

x

2

;

f )

f (x; y) =

p

2y

y

2

+ ln

p

4

jxj;

g)

f (x; y) =

p

y

x

2

+ log(jx + 2j

x);

h)

f (x; y) =

p

x

2

+ y

2

1 + ln

p

4

x

2

y

2

;

i)

f (x; y) =

p

9

x

2

y

2

arccos ( jxj

1)

;

j)

f (x; y) = log(x

2

+ y

2

2y) + log(4y

x

2

y

2

):

Zadanie 2.2

Naszkicowa´c wykresy podanych funkcji dwóch zmiennych:

a)

f (x; y) = x + 2y

3;

b)

f (x; y) = x

2

+ y

2

;

c)

f (x; y) = (x

1)

2

+ (y + 2)

2

2;

d)

f (x; y) = 4

x

2

y

2

;

e)

f (x; y) = x

2

+

y

2

4

;

f )

f (x; y) =

p

x

2

+ y

2

;

g)

f (x; y) = 3

p

x

2

+ y

2

;

h)

f (x; y) =

p

4

x

2

;

i)

f (x; y) =

p

1

y

2

;

j)

f (x; y) =

p

4

(x

2

+ y

2

);

k)

f (x; y) =

y

2

;

l)

f (x; y) =

1

x

;

m)

f (x; y) = x

y

2

;

n)

f (x; y) = jxj + jyj :

Zadanie 2.3

* Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji f :

a)

f (x; y; z) =

p

2z

y + 4x

4;

b)

f (x; y; z) = log(4

x

2

y

2

z

2

);

c)

f (x; y; z) = arcsin(x

2

+ y

2

+ z

2

);

d)

f (x; y; z) =

p

2

x

2

y

2

;

e)

f (x; y; z) =

p

sin(x

2

+ y

2

+ z

2

)

1;

f )

f (x; y; z) = ln(3

p

x

2

+ y

2

z):

2012

EKD