ANALIZA MATEMATYCZNA 2

str. 1

4

Pochodne cz ¾

astkowe i kierunkowe funkcji wielu zmiennych.

Gradient, ró·

zniczka, hesjan.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zadanie 4.1

* Korzystaj ¾

ac z de…nicji obliczy´c pochodn ¾

a kierunkow ¾

a funkcji f w punkcie p w kierunku wektora

h

:

a)

f (x; y) = x

2

3y + 1;

p

= (0; 1) ;

h

= ( 1; 2);

b)

f (x; y) =

x

2

4

+

y

2

9

;

p

= (2; 3);

h

= (2; 3);

c)

f (x; y) = 2 jxj + jyj ;

p

= (0; 0);

h

= ( 1; 2);

d)

f (x; y; z) = x

2

+ y

2

+ z

2

;

p

= (1;

1; 1) ;

h

= (1; 1; 1):

Zadanie 4.2

* Korzystaj ¾

ac z de…nicji zbada´c istnienie pochodnych cz ¾

astkowych funkcji f w punkcie p:

a)

f (x; y) = x

3

+ y

2

;

p

= (1; 2);

b)

f (x; y) =

x
y

;

p

= (1;

1);

c)

f (x; y) =

p

x

2

+ y

4

;

p

= (0; 0);

d)

f (x; y) =

p

x

4

+ y

4

;

p

= (0; 0);

e)

f (x; y) =

3

p

x + y;

p

= (0; 0);

f )

f (x; y) = ln(xy);

p

= (1; 1);

g)

f (x; y; z) = xyz;

p

= (1;

1; 1);

h)

f (x; y) = e

x+2y z

;

p

= (0; 0; 0):

Zadanie 4.3

Obliczy´c pochodne cz ¾

astkowe pierwszego rz ¾

edu i gradient funkcji f :

a)

f (x; y) = arcsin x + ln (2y) + 3;

b)

f (x; y) = xy

2

+

arctg x

y

;

c)

f (x; y) = ln (2x

y) ;

d)

f (x; z) = x sin(xz

2

);

e)

f (x; y) = log

y

x;

f )

f (x; y) =

1

p

x

2

+ y

2

;

g)

f (x; y) = y

x

;

h)

f (x; y) =

8

<

:

x

3

+ y

3

x

2

+ y

2

(x; y) 6= (0; 0);

0

(x; y) = (0; 0);

i)

f (x; y) = tg

3

x

2

y ;

j)

f (x; y) = (ln y)

sin x

;

k)

f (s; t) = ln(s

2

+ t

2

);

l)

f (r; s) =

r

s

r + s

;

m)

f (x; y; z) = x

2

+ e

zy

;

n)

f (x; y; z) = arctg

p

x;

o)

f (x; y; z) = xyz + xy + x + 1:

2012

EKD

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

str. 2

Zadanie 4.4

Obliczy´c pochodn ¾

a kierunkow ¾

a funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h wykorzystuj ¾

ac odpowied-

nie twierdzenie. Wyznaczy´c ró·

zniczki podanych funkcji:

a)

f (x; y) =

p

x

2

+ y

4

;

p

= (0; 1);

h

= (1; 1);

b)

f (x; y) = cos(x

2

+ y

2

);

p

= (1; 1) ;

h

= (1; 1);

c)

f (x; y) = ln (e

x

+ e

y

) ;

p

= (0; 0) ;

h

dowolny;

d)

f (x; y; z) = xyz;

p

= (1; 1; 1) ;

h

= ( 1; 1;

1):

Zadanie 4.5

** Znale´z´c maksymalny b÷¾

ad bezwzgl ¾

edny i wzgl ¾

edny powsta÷

y przy obliczaniu:

a)

obj ¾

eto´sci kuli, je´sli ´srednica kuli wynosi d = 3; 7

0; 05; a

3:14;

b)

obj ¾

eto´sci sto·

zka, przyjmuj ¾

ac promie´n podstawy r = 3

0; 02; wysoko´sc sto·

zka h = 2; 2

0; 1 oraz

3:14;

c)

obj ¾

eto´sci prostopad÷

o´scianu o bokach a = b = 10

0:1 oraz c = 35

0:1:

Zadanie 4.6

**

a)

Przy pomocy menzurki mo·

zna zmierzy´c obj ¾

eto´s´c cia÷

a z dok÷

adno´sci ¾

a

V

= 0:1 cm

3

, a przy pomocy wagi

spr ¾

e·

zynowej mo·

zna ustali´c jego mas ¾

e z dok÷

adno´sci ¾

a

m

= 1 g. Obj ¾

eto´s´c cia÷

a zmierzona w ten sposób

wynosi V = 25 cm

3

, a masa m = 200 g. Z jak ¾

a w przybli·

zeniu dok÷

adno´sci ¾

a mo·

zna obliczy´c g ¾

esto´s´c

tego

cia÷

a?

b)

Wspó÷

czynniki równania kwadratowego 0:5x

2

+ ax + b = 0, podane z dok÷

ado´sciami

a

= 0:01 i

b

= 0:1,

wynosz ¾

a a =

3 i b = 2. Z jak ¾

a w przybli·

zeniu dok÷

adno´sci ¾

a mo·

zna poda´c pierwiastki x

1

; x

2

tego równania?

Zadanie 4.7

Wyznaczy´c macierz Jacobiego i jakobian funkcji f :

a)

f (x; y) = (x + 2; y

3);

b)

f (x; y) = (xy; x

2

y

2

);

c)

f (r; ') = (r cos '; r sin ');

d)

f (r; ') = (r cos

2

'; sin 2');

e)

f (z; y; z) = (x

2

+ 2z; xy;

yz);

f )

f (z; y; z) = (z sin x; z cos y; z

2

):

Zadanie 4.8

** Udowodni´c, ·

ze funkcja f : R

2

! R dana wzorem

f (x; y) =

(

xy

x

2

+ y

2

(x; y) 6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0)

ma pochodne cz ¾

astkowe w punkcie (0; 0), mimo ·

ze nie jest ci ¾

ag÷

a w tym punkcie.

2012

EKD

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

str. 3

Zadanie 4.9

Zbada´c, czy pochodne mieszane f

00

xy

i f

00

yx

s ¾

a równe:

a)

f (x; y) = xy

x;

b)

f (x; y) = ln(xy + 1);

c)

f (x; y) =

(

x

3

y

x

2

+y

2

(x; y) 6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) ;

d)

f (x; y) =

(

xy

x

2

y

2

x

2

+y

2

(x; y) 6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) ;

e)

f (x; y) =

(

xy

x

2

y

2

x

2

+y

2

(x; y) 6= (0; 0) ;

0

(x; y) = (0; 0) :

Zadanie 4.10

Zbada´c, które pochodne mieszane rz ¾

edu drugiego funkcji f s ¾

a równe:

a)

f (x; y; z) = xy

2

+ y

2

z

3

+ x;

b)

f (x; y; z) = x

p

y

4

+ z

4

:

Zadanie 4.11

Obliczy´c pochodne cz ¾

astkowe drugiego rz ¾

edu i wyznaczy´c hesjan funkcji f :

a)

f (x; y) = x

2

+ 2xy

2;

b)

f (x; y) = xe

xy

;

c)

f (x; z) = arctg(x + 2y);

d)

f (x; y; z) = 1 + x + y

2

+ z

3

:

2012

EKD