str. 1
4
Pochodne cz ¾
astkowe i kierunkowe funkcji wielu zmiennych.
Gradient, ró·
zniczka, hesjan.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 4.1 * Korzystaj ¾
ac z de…nicji obliczyć pochodn ¾
a kierunkow ¾
a funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h:
a) f (x; y) = x2
3y + 1;
p = (0; 1) ;
h = ( 1; 2);
x2
y2
b) f (x; y) =
+
;
p = (2; 3);
h = (2; 3);
4
9
c) f (x; y) = 2 jxj + jyj ;
p = (0; 0);
h = ( 1; 2);
d) f (x; y; z) = x2 + y2 + z2;
p = (1;
1; 1) ;
h = (1; 1; 1):
Zadanie 4.2 * Korzystaj ¾
ac z de…nicji zbadać istnienie pochodnych cz ¾
astkowych funkcji f w punkcie p:
p
a) f (x; y) = x3 + y2;
p = (1; 2);
e) f (x; y) = 3 x + y;
p = (0; 0);
x
b) f (x; y) =
;
p = (1;
1);
f ) f (x; y) = ln(xy);
p = (1; 1);
y
p
c) f (x; y) =
x2 + y4;
p = (0; 0);
g) f (x; y; z) = xyz;
p = (1;
1; 1);
p
d) f (x; y) =
x4 + y4;
p = (0; 0);
h) f (x; y) = ex+2y z;
p = (0; 0; 0):
Zadanie 4.3 Obliczyć pochodne cz ¾
astkowe pierwszego rz ¾
edu i gradient funkcji f :
a) f (x; y) = arcsin x + ln (2y) + 3;
i) f (x; y) = tg3 x2
y ;
b) f (x; y) = xy2 + arctg x ;
y
j) f (x; y) = (ln y)sin x;
c) f (x; y) = ln (2x
y) ;
d) f (x; z) = x sin(xz2);
k) f (s; t) = ln(s2 + t2);
e) f (x; y) = logy x;
r
s
l) f (r; s) =
;
1
r + s
f ) f (x; y) = p
;
x2 + y2
m) f (x; y; z) = x2 + ezy;
g) f (x; y) = yx;
8
p
< x3 + y3
n) f (x; y; z) = arctg
x;
(x; y) 6= (0; 0);
h) f (x; y) = : x2 + y2
0
(x; y) = (0; 0);
o) f (x; y; z) = xyz + xy + x + 1:
2012
EKD
str. 2
Zadanie 4.4 Obliczyć pochodn ¾
a kierunkow ¾
a funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h wykorzystuj ¾
ac odpowied-
nie twierdzenie. Wyznaczyć ró·
zniczki podanych funkcji:
p
a) f (x; y) =
x2 + y4;
p = (0; 1);
h = (1; 1);
b) f (x; y) = cos(x2 + y2);
p = (1; 1) ;
h = (1; 1);
c) f (x; y) = ln (ex + ey) ;
p = (0; 0) ;
h dowolny;
d) f (x; y; z) = xyz;
p = (1; 1; 1) ;
h = ( 1; 1;
1):
Zadanie 4.5 ** Znaleźć maksymalny b÷¾
ad bezwzgl ¾
edny i wzgl ¾
edny powsta÷
y przy obliczaniu:
a) obj ¾
etości kuli, jeśli średnica kuli wynosi d = 3; 7
0; 05; a
3:14;
b) obj ¾
etości sto·
zka, przyjmuj ¾
ac promień podstawy r = 3
0; 02; wysokośc sto·
zka h = 2; 2
0; 1 oraz
3:14;
c) obj ¾
etości prostopad÷
ościanu o bokach a = b = 10
0:1 oraz c = 35
0:1:
Zadanie 4.6 **
a) Przy pomocy menzurki mo·
zna zmierzyć obj ¾
etość cia÷
a z dok÷
adności ¾
a
V = 0:1 cm3, a przy pomocy wagi
spr ¾
e·
zynowej mo·
zna ustalić jego mas ¾
e z dok÷
adności ¾
a
m = 1 g.
Obj ¾
etość cia÷
a zmierzona w ten sposób
wynosi V = 25 cm3, a masa m = 200 g. Z jak ¾
a w przybli·
zeniu dok÷
adności ¾
a mo·
zna obliczyć g ¾
estość
tego
cia÷
a?
b) Wspó÷
czynniki równania kwadratowego 0:5x2 + ax + b = 0, podane z dok÷
adościami
a = 0:01 i
b = 0:1,
wynosz ¾
a a =
3 i b = 2. Z jak ¾
a w przybli·
zeniu dok÷
adności ¾
a mo·
zna podać pierwiastki x1; x2 tego równania?
Zadanie 4.7 Wyznaczyć macierz Jacobiego i jakobian funkcji f : a) f (x; y) = (x + 2; y
3);
d) f (r; ') = (r cos2 '; sin 2');
b) f (x; y) = (xy; x2
y2);
e) f (z; y; z) = (x2 + 2z; xy;
yz);
c) f (r; ') = (r cos '; r sin ');
f ) f (z; y; z) = (z sin x; z cos y; z2): Zadanie 4.8 ** Udowodnić, ·
ze funkcja f : R2 ! R dana wzorem
(
xy
(x; y) 6= (0; 0) ;
f (x; y) =
x2 + y2
0
(x; y) = (0; 0)
ma pochodne cz ¾
astkowe w punkcie (0; 0), mimo ·
ze nie jest ci ¾
ag÷
a w tym punkcie.
2012
EKD
str. 3
Zadanie 4.9 Zbadać, czy pochodne mieszane f 00
xy i f 00
yx s ¾
a równe:
a) f (x; y) = xy
x;
b) f (x; y) = ln(xy + 1);
( x3y
(x; y) 6= (0; 0) ;
c) f (x; y) =
x2+y2
0
(x; y) = (0; 0) ;
(
xy x2 y2
(x; y) 6= (0; 0) ;
d) f (x; y) =
x2+y2
0
(x; y) = (0; 0) ;
(
xy x2 y2
(x; y) 6= (0; 0) ;
e) f (x; y) =
x2+y2
0
(x; y) = (0; 0) :
Zadanie 4.10 Zbadać, które pochodne mieszane rz ¾
edu drugiego funkcji f s ¾
a równe:
a) f (x; y; z) = xy2 + y2z3 + x;
p
b) f (x; y; z) = x
y4 + z4:
Zadanie 4.11 Obliczyć pochodne cz ¾
astkowe drugiego rz ¾
edu i wyznaczyć hesjan funkcji f :
a) f (x; y) = x2 + 2xy
2;
c) f (x; z) = arctg(x + 2y);
b) f (x; y) = xexy;
d) f (x; y; z) = 1 + x + y2 + z3:
2012
EKD