Zastosowania matematyki w ekonomii

str. 5

3.

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Zadanie 3.1.

Wyznaczyć funkcje pochodne do poniższych funkcji:

a)

=

+ 3

b)

= 2 + 3 −

+ 8 − 4 c)

= 4 − √ −

√

+

d)

= 2 + √2 −

,

e)

=

√

√

f)

= 4 g)

=

h)

= log

i)

= ln j)

=

∙ 2 k)

=

+ 2 − 2

l)

= 3 ln −

ł)

= 5

ln

m)

=

!"

#

+

$

n)

=

%
%

o)

=

!"

!"

p)

=

√
√

q)

=

+ 1

r)

= √ − 4

s)

=

#

t)

= '

− 1 u)

=

!"

w)

= log 10

x)

= ln

y)

= ln

− 1 z)

= ln) + √ + 5*

aa)

= 3

ab)

= 4

ac)

=

ad)

=

ae)

= 2√

af)

= 2 + 1 2

ag)

=

ln

ah)

= + ,

ai)

=

ln

Zadanie 3.2.

Koszt całkowity wytworzenia x jednostek pewnego dobra określony jest wzorem:

-.

= 10000 +

100 − 0,1 . Obliczyć przybliżony koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki przy produkcji x=50 oraz x=200.

Zadanie 3.3.

Utarg ze sprzedaży pewnego dobra zależy od wielkości sprzedaży (x) oraz od ceny dobra (p). Cena jest

funkcją wielkości sprzedaży:

/

= 50 − 0,1 , zatem utarg określony jest wzorem 0

= ∙ /

= 50 −

0,1 . Obliczyć o ile zmieni się utarg przy wzroście sprzedaży o jednostkę z poziomu x=10 oraz x=50.

Zadanie 3.4.

Producent opon określił zależność funkcyjną między długością drogi hamowania (y) a prędkością

samochodu (x) na suchej nawierzchni:

1 =

= 0,02

,2

. O ile procent zwiększy się droga hamowania, jeżeli

prędkość zwiększy się o 1%.

Zadanie 3.5.

Popyt na określone dobro w zależności od ceny x wyraża się wzorem:

3

=

%

. Wyznaczyć funkcję

elastyczności popytu. Obliczyć o ile % (w przybliżeniu) zmieni się popyt, jeśli cena wzrośnie o 1% od poziomu x=10.

Zadanie 3.6.

Wyznaczyć funkcje pochodne do 3 rzędu włącznie z funkcji z zadania 3.1. a, f, i, j, q, ab oraz znaleźć

wszystkie pochodne funkcji z podpunktu b.

Zadanie 3.7.

Korzystając z reguły de l’Hospitala obliczyć granice:

a)

lim

→

!"

b)

lim

→

√

,

c)

lim

→ √

d)

lim

→

#

e)

lim

→7

!" 8

%

f)

lim

→7

g)

lim

→

9

ln

h)

lim

→

9

1 +

!"

Zastosowania matematyki w ekonomii

str. 6

Zadanie 3.8.

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:

a)

= − − 2 + 1 b)

=

+ 3 + 6

c)

= − + 2 − 2

d)

=

e)

= 2

f)

=

g)

= 4 −

h)

=

8

%

i)

= ln 1 −

Zadanie 3.9.

Znaleźć ekstrema lokalne funkcji:

a)

= 3 − 5 b)

=

#

− 2 c)

= 3

− 5 d)

= +

e)

=

!"

f)

=

,

g)

=

%

h)

= √

Zadanie 3.10.

Zbadać, czy poniższe funkcje mają ekstrema lokalne w punkcie x=0:

a)

= 2

;

b)

= 4

2

c)

=

+

Zadanie 3.11.

Znaleźć ekstrema globalne funkcji w podanych przedziałach:

a)

=

− 5 + 5 + 1 dla xϵ<-1, 2>

b)

= 5 + 2 −

dla xϵ<-2, 2>

c)

= − 2 ln

dla xϵ<1, e>

d)

= ln − ln

dla xϵ<1, e>

Zadanie 3.12.

W pewnym przedsiębiorstwie koszt produkcji x jednostek dobra opisany jest funkcją:

-.

=

#

+ 10 + 5 ∙ 10 . Znaleźć taką wielkość produkcji, dla której jednostkowy koszt produkcji jest

najmniejszy.

Zadanie 3.13.

Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji:

a)

=

− 4 − 2 + 1

b)

=

−

c)

=

d)

= 2 + 3 + 12 + 15

e)

= 4 − − 0,5

f)

=

Zadanie 3.14.

Popyt na produkt nowo wprowadzony na rynek opisuje funkcja postaci:

=

,;∙8

<=,$>

, gdzie t

jest liczbą miesięcy od wprowadzenia produktu na rynek. Określić w jakim okresie od debiutu na rynku popyt rośnie

coraz szybciej, a w jakim coraz wolniej.

Zadanie 3.15.

Znaleźć asymptoty wykresów funkcji:

a)

=

b)

=

c)

=

!"

Zadanie 3.16.

Zbadać przebieg zmienności funkcji:

a)

= 2 − 9 + 12 b)

= 4 − 3 −

c)

=

d)

= ln