1.
Pochodna funkcji
2.
Różniczka funkcji
3.
Badanie przebiegu zmienności funkcji
Niech dana będzie funkcja f( x), określona w pewnym otoczeniu punktu x .
0
Definicja 1. Ilorazem różnicowym funkcji y=f( x) nazywamy stosunek przyrostu funkcji Δ y do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezależnej Δ x.
Δy
(x
f
+ Δx) − f( x)
=
Δx
Δx
Definicja 2. Pochodną funkcji y = f( x) nazywamy granicę ilorazu różnicowego, gdy przyrost Δ x dąży do zera.
y
Δ
f ( x + x
Δ ) − f ( x
=
)
lim x
Δ
lim
x
Δ
x
Δ →0
x
Δ →0
•
y’
f’( x)
d y / d x
df( x) / d x
y
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji f( x): Geometrycznie, pochodna funkcji y = f( x) w danym punkcie równa się współczynnikowi kątowemu stycznej do wykresu w tym punkcie.
Tw.1 Jeżeli funkcja ma w danym punkcie pochodną skończoną, czyli jest funkcją różniczkowalną, to jest w tym punkcie ciągła.
Tw.2 Jeżeli istnieją pochodne f’( x) i g’( x), to
[f( x) ± g( x)]’ = f’( x) ± g’( x)
[f( x) · g( x)]’ = f’( x) · g( x) + f( x) · g’( x)
[f( x) / g( x)]’ = [f’( x) · g( x) - f( x) · g’( x)] / g2( x)
Tw.3. Jeżeli funkcja x = f( y) jest ściśle monotoniczna, i ma pochodną f’( y) ≠ 0 w przedziale Y, to funkcja odwrotna y = f-1( x) ma pochodną 1
-
1
[f ( x)]' = f'[f 1-( x)]
w przedziale f(Y).
Przykład:
x=cos y
y = arccos x
1
1
−1
−1
[arccos x]' =
=
=
=
[cos y]'
− sin y
2
2
1− cos y
1− x
Tw.4. Jeżeli funkcja u = h( x) ma pochodną h’( x), oraz funkcja y = f( u) ma pochodną f’( u), to funkcja złożona y = f [h( x)] ma pochodną y’ = f’[h( x)] h’( x).
Pochodna funkcji
Pochodne funkcji elementarnych:
f( x)
f’( x)
f( x)
f’( x)
cosx
-sinx
c
0
tgx
1/cos2x = 1+tg2x
n x n-1
x n
n
ctgx
-1/sin2x = -(1+ctg2x)
x
1 n n 1
n x −
1
arcsinx
2
1− x
x
12 x
arccosx
−1
2
1− x
'
g (x)
(
g x)
2
(
g x)
arctgx
1 / (1 + x2)
arcctgx
-1 / (1 + x2)
ax
axlna
lnIxI
1 / x
ex
ex
log IxI
1/ xlna = 1/x log e
a
a
sinx
cosx
Definicja 3. Pochodną
rzędu drugiego
lub drugą
pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji.
y’’
f’’(x) d2y / dx2
Podobnie pochodną
rzędu trzeciego
lub trzecią
pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną drugiej pochodnej, itd.
y(7)
yVII
f(5)(x)
fV(x)
Definicja 4. Każdy przyrost zmiennej niezależnej x nazywamy różniczką tej zmiennej i oznaczamy symbolem: dx
Definicja 5. Jeżeli funkcja y = f(x) ma w punkcie x pochodna f’(x), to iloczyn f’(x)·dx pochodnej przez różniczkę zmiennej niezależnej x, nazywamy różniczką funkcji f(x) w punkcie x przy danym przyroście dx zmiennej niezależnej x i ozn. symbolem dy
albo
df(x)
Mamy więc:
dy = f’(x)dx
lub
df(x) = f’(x)dx
Stąd
dy / dx = f’(x)
Badanie przebiegu zmienności funkcji Tw.5 Rolle’a. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale a ≤ x ≤ b i jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, przy czym f(a) = 0, f(b) = 0 to istnieje co najmniej jeden punkt wewnętrzny tego przedziału x = c taki, że pochodna w tym punkcie f’(c) jest równa zero
f’(c) = 0
a < c < b
Badanie przebiegu zmienności funkcji Tw.6 Lagrange’a o wartości średniej. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale a ≤ x ≤ b i jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, to istnieje co najmniej jeden punkt wewnętrzny tego przedziału x = c taki, że: (f(b) – f(a)) / (b – a) = f’(c)
a < c < b
Badanie przebiegu zmienności funkcji Tw.7. Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca.
Tw.8. Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale malejąca.
Tw.9. Jeżeli pochodna funkcji jest w każdym punkcie pewnego przedziału równa zeru, to funkcja jest w tym przedziale stała.
Badanie przebiegu zmienności funkcji Tw.10.
(Warunek konieczny istnienia ekstremum) Jeżeli w punkcie ekstremalnym funkcja ma pochodną, to ta pochodna jest równa zero.
Tw.11. (Warunek wystarczający istnienia maksimum funkcji) Jeżeli funkcja f(x) ma w punkcie x pochodn 0
ą równą 0,
tzn. f’(x ) = 0, to warunkiem dostatecznym istnienia 0
maksimum jest zmiana znaku pochodnej z + na – przy przejściu przez wartość zerową.
Tw.12. (Warunek wystarczający istnienia minimum funkcji) Jeżeli funkcja f(x) ma w punkcie x pochodn 0
ą równą 0,
tzn. f’(x ) = 0, to warunkiem dostatecznym istnienia 0
minimum jest zmiana znaku pochodnej z - na + przy przejściu przez wartość zerową .
Badanie przebiegu zmienności funkcji Tw.13. Jeżeli f’(x ) = 0 i druga pochodna jest ci 0
ągła
w punkcie x , wówczas gdy f’’(x ) < 0, to funkcja ma 0
0
maksimum w punkcie x , a gdy f’’(x ) > 0, to funkcja 0
0
ma minimum w punkcie x .
0
Tw.14. Jeżeli funkcja f(x) ma drugą pochodną f’’(x) ciągłą w punkcie x , to gdy f’’(x ) > 0, to krzywa y = f(x) jest 0
0
w punkcie x wypuk
) < 0, to krzywa
0
ła w dół, a gdy f’’(x0
y = f(x) jest w punkcie x wypuk
0
ła w górę.
Tw.15. Jeżeli funkcja f(x) ma w punkcie x pochodn
)
0
ą f’(x0
skończoną i jeżeli:
f’’(x ) = 0
a
f’’’(x )
0
0
≠ 0
to punkt krzywej y = f(x) o odciętej x jest punktem 0
przegięcia tej krzywej.
Badanie przebiegu zmienności funkcji Tw.16. Jeżeli prosta y = ax + b jest asymptotą krzywej y = f(x), gdy x → ∞, to
f ( x)
a=lim
b =
[f ( x) − a ]
x
lim
x
x ∞
→
x ∞
→
f ( x)
Tw.17. Jeżeli
lim
istnieje i równa się a, i jeżeli przy x
x ∞
→
tej wartości a istnieje
[f ( x) − a x]
b
lim
=
gdy x → ∞, to
x ∞
→
prosta y = ax + b jest asymptotą.
Badanie przebiegu zmienności funkcji 1/ Obszar oznaczoności funkcji.
2/ Parzystość lub nieparzystość.
3/ Punkty przecięcia krzywej z osiami układu współrzędnych i punkty krzywej których rzędne są łatwe do obliczenia.
4/ Asymptoty, ich wykres i badanie położenia gałęzi nieskończonych krzywej względem asymptot.
5/ Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji.
6/ Wypukłość i punkty przegięcia krzywej.
7/ Tabela.
8/ Wykres funkcji.