ELEMENTY RACHUNKU RÓśNICZKOWEGO
Definicja pochodnej
Załóżmy, że funkcja f jest określona na pewnym otoczeniu U ( x ,δ ) 0
.
Niech
x
∆ oznacza przyrost zmiennej x różny od zera taki, że x + x
∆ ∈ U( x ,δ )
0
0
.
Przyrostowi x
∆ odpowiada przyrost f
∆ wartości funkcji f
f
∆ = f ( x + x
∆ ) − f ( x )
0
0
.
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu argumentu x
∆ nazywamy iloraz
f
∆
f ( x 0 + x
∆ ) − f ( x
=
)
0
x
∆
x
∆
.
1
Pochodną funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego, gdy przyrost
x
∆ dąży do zera. Pochodną
oznaczamy symbolem f '( x )
0
.
Zatem
f ( x 0 + x
∆ ) − f ( x )
f '( x )
0
= lim
0
x
∆ →0
x
∆
.
Na oznaczenie pochodnej używa się również innych symboli:
df
dy
y'
'
,
f '( x) ,
y
dx ,
x ,
dx .
O funkcji która ma pochodną w punkcie x0 mówimy, że jest w tym punkcie różniczkowalna.
2
Wzory i reguły obliczania pochodnych
Reguły różniczkowania
1) ( f + g)'( x ) = f '( x ) + g'( x ) 0
0
0
2) ( f − g)'( x ) = f '( x ) − g'( x ) 0
0
0
3) ( f ⋅ g)'( x ) = f '( x ) ⋅ g( x ) + f ( x ) ⋅ g'( x ) 0
0
0
0
0
'
f
f '( x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g'( x ) ( x )
0
0
0
0
=
, g( x ) ≠ 0
4)
0
g
[ g( x )]2
0
0
3
1) ( k)' = 0 , k – dowolna stała,
n
n−1
2) ( x )' = n ⋅ x
, n
∈ R ,
3) (sin x)' = cos x
, x ∈ R ,
4) (cos x)' = − sin x
, x ∈ R
1
π
(t
g x)' =
, x ≠
+ kπ , k
∈ C
5)
cos2 x
2
,
1
(ct
g x)'= −
, x ≠ kπ , k
∈ C
6)
sin2 x
,
x
x
x
x
7) ( a )' = a ⋅ ln a
, x ∈ R , ( e )'= e , x ∈ R .
4
Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 pochodną, to wykres funkcji f ma w punkcie P0( x0, f(x0)) styczną, której współczynnik kierunkowy jest równy f’( x0).
Y
P0
f(x0)
α
x
0
X
Zatem
f '( x ) = tg
0
α
a równanie tej stycznej ma postać
y = f '( x )( x − x ) + f ( x ) 0
0
0
.
5
Jeżeli mamy funkcję z=f(y), gdzie y jest z kolei funkcją zmiennej x, powiedzmy y=g(x), to
dz
dz dy
=
= f '( y)⋅ g'( x)
dx
dy dx
.
Przykład
2
7
Oblicz pochodną funkcji z = ( x +12 x − )
5 .
Rozwiązanie
2
7
Definiując zmienną
y = x +12 x − 5 otrzymujemy: z = y oraz 2
y = x +12 x − 5 .
dz = dz dy = 7 6 y(2 x +1 )
2 = 7( 2
x +12 x − )
5 6 (2 x +1 )
2
Pochodna dx
dy dx
.
6
Jeżeli pochodna funkcji f jest różniczkowalna w pewnym przedziale, to jej pochodną nazywamy drugą pochodną lub pochodną rzędu drugiego 2
d f
funkcji f i oznaczamy symbolem f’’ lub
2
dx .
Jeżeli druga pochodna funkcji f jest także różniczkowalna, to pochodną drugiej pochodnej nazywamy trzecią pochodną lub pochodną rzędu 3
d f
trzeciego funkcji f i oznaczamy symbolem f’’’ lub
3
dx .
Ogólnie pochodną n- tego rzędu funkcji f nazywamy pochodną pochodnej rzędu ( n – 1). Pochodną n- tego rzędu oznaczamy symbolem n
d f
f(n) lub
n
dx .
7
Rozważmy funkcję y=f(x1, x2, ..., xn), gdzie zmienne xi ( i = 1, 2, ..., n) są niezależne od siebie, więc każda może zmieniać swoją wartość nie wpływając na pozostałe.
Jeśli zmienna x
x
∆
1 ulega zmianie
1 , podczas gdy x2, ..., xn pozostają
ustalone, to następuje związana z tym zmiana y, mianowicie y
∆ .
Iloraz różnicowy będzie w tym przypadku wyrażony jako
y
∆
f ( x + x
∆ , x ,..., x ) − f ( x , x ,..., x ) 1
1
2
n
1
2
n
=
x
∆
x
∆
1
1
y
∆
Pochodną cząstkową względem x1 będzie granica ilorazu x
∆ , przy
1
y
∂
y
∆
∆
=
x → 0
lim
1
:
x
∆ →0
∂
∆ .
1
x
x
1
1
8
Funkcję f : D → R
I ⊆ D
f
nazywamy wypukłą ( wklęsłą) w przedziale
f
jeżeli dla dowolnego x
0 ≤ λ ≤
1 i x2 z przedziału I oraz
1, spełniona jest
nierówność f ( x
λ + 1
( − )
λ x )≤ f
λ ( x )+ 1
( − )
λ f( x ) f( x
λ + 1
( − )
λ x )≥ f
λ ( x )+ 1
( − )
λ f( x
1
2
1
2 (
)
1
2
1
2 ).
Sprawdzenia, czy dana funkcja jest wypukła czy wklęsła w danym przedziale możemy dokonać używając rachunku różniczkowego.
Twierdzenie
:
→
( , ) ⊆
Jeżeli funkcja f
D
R
a b
D
f
jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale
f
oraz jeżeli I = [ a, b] . Wówczas:
(1) Funkcja f jest wypukła w przedziale I wtedy i tylko wtedy, gdy f '' ( x) ≥ 0 dla dowolnych x ∈ ( a, b) .
(2) Funkcja f jest wklęsła w I wtedy i tylko wtedy, gdy f '' ( x) ≤ 0 dla x ∈ ( a, b) .
(3) Funkcja f jest ściśle wypukła w I wtedy i tylko wtedy, gdy f '' ( x) > 0 dla x ∈ ( a, b) .
(4) Funkcja f jest ściśle wklęsła w I wtedy i tylko wtedy, gdy f '' ( x) < 0 dla x ∈ ( a, b) .
9
Dla liczby c,
f x =
g x =
je
lim ( )
lim ( )
żeli
0
x→ c
oraz
0
x→ c
, wówczas
f ( x)
f '( x
lim
=
)
lim
= L
x→ c g( x
x
)
→ c g'( x)
,
przy założeniu, że druga z tych granic istnieje (właściwa lub niewłaściwa).
Może się okazać, że po zastosowaniu twierdzenia nadal mamy formę nieokreśloną “0/0” lub “ ∞ / ∞ ”. Należy wówczas zastosować
twierdzenie po raz kolejny .
Twierdzenie
można
zastosować
także
w
przypadku
granic
jednostronnych, jak również w przypadkach x → −∞ lub x → +∞ .
10
Często konieczne jest aproksymowanie tak dokładnie jak to możliwe
‘skomplikowanej’ funkcji f za pomocą wielomianu Pn stopnia n.
Twierdzenie
Niech funkcja f : D → R
f
jest n+ 1 razy różniczkowalna w przedziale
( a, b) ∈ D f zawierającym punkty x0 i x. Wówczas funkcję f można zapisać jako
( n 1
− )
f (
′ x )
f ′ (
′ x )
f
( x )
n
−
f
C
n
( )
0
0
2
0
1
f ( x) = f ( x ) +
( x − x ) +
( x − x ) + ... +
( x − x )
+
( x − x ) n
0
0
0
0
0
1!
2!
( n −1)!
n!
,
n 1
−
k
f ( x )
0
k
= ∑
−
+
lub f ( x)
( x
x )
R
0
,
=
k !
n
k 0
( n
f
) ( x + s( x − x ))
0
0
n
=
⋅ −
gdzie R
( x
x )
n
0
n!
, 0 < s < 1
jest resztą Lagrange’a (reszta jest różnicą pomiędzy oryginalną funkcją f a wielomianem Pn).
11
Krańcowy Koszt, Przychód oraz Zysk
Jeżeli x jest liczbą jednostek jakiegoś dobra, produkowaną w pewnym okresie, wówczas
koszt całkowity = TC(x)
koszt krańcowy = TC’(x) = MC(x)
przychód całkowity = TR(x)
przychód krańcowy = TR’(x) = MR(x)
zysk = P(x) = TR(x) –TC(x)
zysk krańcowy = P’(x) = TR’(x) – TC’(x)
Koszt krańcowy (przychód lub zysk) jest natychmiastową stopą zmiany kosztu całkowitego (przychodu lub zysku) przy danym poziomie produkcji.
12
Przedsiębiorstwo produkuje piece c.o. Funkcja kosztu całkowitego (PLN) produkcji x pieców ma postać
2
TC( x) = 10000 + 90 x − 0
,
0 5 x .
(A) Wyznacz funkcję kosztu krańcowego.
(B) Oblicz koszt krańcowy przy wielkości produkcji 500 pieców tygodniowo oraz zinterpretuj wynik.
Rozwiązanie
(A) TC'( x) = MC( x) = 90 −
x
1
,
0
(B) TC' 5
( 0 )
0 = MC 5
( 0 )
0 = 90 −
5
(
1
,
0
0 )
0 = 40
Przy produkcji na poziomie 500 pieców tygodniowo koszt całkowity produkcji rośnie o 40 zł/piec.
13
Optymalizacja wielkości ekonomicznych
W celu optymalizacji wielkości ekonomicznych posłużymy się metodą znajdowania (oraz klasyfikowania) punktów stacjonarnych funkcji (punktów, gdzie styczna do wykresu funkcji jest pozioma i jej nachylenie równe jest zero):
1. Rozwiąż równanie
f '( x) = 0
aby znaleźć punkty stacjonarne, x=a.
2. Jeżeli
• f ''( a) > 0 , wówczas funkcja ma minimum w x=a.
• f ''( a) < 0, wówczas funkcja ma maximum w x=a.
• f ''( a) = 0 , to nie możemy tego punktu ocenić na postawie powyższych informacji.
14
Dział analiz rynkowych pewnego przedsiębiorstwa produkującego
krzesła zarekomendował wprowadzenie na rynek nowego modelu
krzesła. Po przeprowadzeniu testów marketingowych przyjęto
następującą funkcję popytu:
x = 10000 −100 p x – wielkość popytu przy cenie p Przekształcając funkcję do postaci odwrotnej funkcji popytu
p = 100 − 0
,
0
x
1
gdzie x – liczba krzeseł, które klienci chcą kupić przy cenie p.
Dział finansów oszacował funkcję kosztów produkcji jako:
TC( x) = 5000 + 20 x .
(A) Wyznacz funkcję przychodu całkowitego jako funkcję x
(B) Wyznacz funkcję zysku oraz wielkość produkcji, przy której zysk będzie maksymalny.
15
(A) Funkcja przychodu całkowitego
TR( x) = xp = x 1
( 00 − ,
0 01 x)
2
TR( x) = 100 x − ,
0 01 x
(B) Funkcja zysku
P( x) = TR( x) − TC( x) = 100 x − , 0 01 2
x − 5
( 000 − 20 x)
P( x) = − ,
0 01 2
x +120 x − 5000
Aby znaleźć wielkość produkcji, przy której zysk jest maksymalny należy znaleźć i sklasyfikować punkty stacjonarne funkcji zysku:
1. W punkcie stacjonarnym P'( x) = − ,
0 02 x +120 = 0 , więc x = 6000 .
2. Aby sklasyfikować ten punkt należy obliczyć drugą pochodną
P''( x) = − ,
0 02 – jest ujemna więc P(x) ma maximum w x0 = 6000.
16
Zysk, P, jest zdefiniowany jako różnica pomiędzy przychodem całkowitym, TR, a kosztem całkowitym, TC, tak więc
P( x) = TR( x) − TC( x) .
Aby znaleźć punkt stacjonarny funkcji P należy obliczyć pochodną względem x i przyrównać do zera, tak więc
P'( x) = [ TR( x) − TC( x)]' = TR'( x) − TC'( x) = 0 .
Ponieważ zdefiowano MR = TR’ oraz MC = TC’, więc powyższe równanie jest równoznaczne z:
MR − MC = 0 ,
więc
jeżeli przedsiębiorstwo maksymalizuje zysk, to
MR = MC.
17
Metoda mnożników Lagrange’a
Aby znaleźć wartość optymalną funkcji celu
f(x, y)
z uwzględnieniem warunku ograniczającego
ϕ( x, y) = M
należy:
1. zdefiniować nową funkcję zwaną funkcją Lagrange’a
g( x, y, λ) = f ( x, y) + λ[ M − ϕ( x, y)]
2. wyznaczyć pochodne cząstkowe oraz rozwiązać układ równań
∂ g
∂
=
g
∂ g
0
= 0
=
∂ x
,
∂ y
,
0
∂λ
dla trzech niewiadomych: x, y oraz λ (mnożnik Lagrange’a).
18
Maksymalizacja użyteczności konsumenta
Przykład
1
3
Funkcja użyteczności konsumenta ma postać
4
4
U = x ⋅ x
1
2 , gdzie x1 i x2
oznaczają ilość kupowanych dóbr G1 oraz G2. Cena dobra G1 wynosi 2
PLN, zaś cena G2 to 4 PLN. Znajdź, za pomocą metody mnożników Lagrange’a, wartość maksymalną U, jeżeli dochód konsumenta wynosi 240 PLN.
19
1. Funkcja Lagrange’a ma postać:
1
3
g( x , x , λ)
4
4
= x ⋅ x + λ(240 − 2 x − 4 x )
1
2
1
2
1
2
2. Pochodne cząstkowe:
3
3
∂ g
1 − 4 4
= x x − λ ⋅2 = 0
1
2
∂ x
4
(1),
1
1
1
∂ g
3
−
4
4
= x x − λ ⋅4 = 0
1
2
∂ x
4
(2),
2
∂ g = 240−2 x −4 x = 0
1
2
∂λ
(3).
Wartości x
x =
x =
1 oraz x2, które maksymalizują U:
30
1
and
45
2
.
20
Minimalizacja kosztów produkcji
Przykład
1
1
Funkcja produkcji pewnego przedsiębiorstwa ma postać
2
2
Q = K ⋅ L .
Jednostkowe ceny kapitału oraz pracy wynoszą odpowiednio 2 PLN
oraz 8 PLN. Znajdź wartości K i L, które będą zapewnią minimalne koszty produkcji 120 jednostek produktu, na które przedsiębiorstwo podpisało kontrakty długoterminowe.
21
Rozwiązanie
Funkcja Lagrange’a ma postać:
1
1
c( K , L, λ) = 2 K + 8 L + λ 1
( 20
2
2
− K L )
Wartości K i L, które minimalizują koszty produkcji K=240 oraz L=60.
22