Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie

ISIE – semestr IV

1

NORMY i PODRĘCZNIK:

1. PN-B-03264:2002 Konstrukcje betonowe, żelbetowe i sprężone. Obliczenia sta-

tyczne i projektowanie.

2. Kliszczewicz R.: Konstrukcje betonowe. Obliczanie elementów żelbetowych w

stanach granicznych nośności wg PN-B-03264:2002. Wydawnictwo Politechniki
Śląskiej; Gliwice 2003.

Zginanie – przekrój prostokątny pojedynczo zbrojony

Z elementami zginanymi mamy do czynienia, gdy w jego przekrojach występuje

moment zginający M

Sd

, przy N

Sd

=

0. Przyjmuje się na wstępie założenie, że x

eff

≤

x

eff,lim

=

ξ

eff,lim

d.

• • • • •

oś elementu

f

cd

•

•

wypadkowa ściskanej strefy
betonu F

c

= f

cd

bx

eff

środek ciężkości
ściskanej strefy betonu

środek ciężkości
przekroju betonu

d

a

1

h

0,

5

x

eff

x

ef

f

b

M

Sd

≤ M

Rd

F

s1

= f

yd

A

s1

A

s1

Rozkład sił i oznaczenia przyjmowane w obliczaniach prostokątnego

przekroju żelbetowej belki zginanej, pojedynczo zbrojonej, gdy x

eff

≤ x

eff,lim

Podstawowe wzory do obliczania przekrojów zginanych uzyskuje się z warunku

SGN oraz równań równowagi sił i momentów zginających. W wypadku przekroju

pojedynczo zbrojonego (A

s

2

= 0) równanie rzutu sił ma postać

0

1

=

−

s

yd

eff

cd

A

f

bx

f

,

(1)

natomiast warunek SGN i równanie równowagi momentów

(

)

eff

eff

cd

Rd

d

S

x

,

d

bx

f

M

M

5

0

−

=

≤

,

(2)

Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie

ISIE – semestr IV

2

w których:

b

– szerokość przekroju,

h

– wysokość przekroju,

A

s

1

– pole przekroju zbrojenia rozciąganego,

a

1

– odległość środka ciężkości zbrojenia A

s

1

od bardziej rozciąganej,

d –

użyteczna wysokość przekroju gdzie d = h – a

1

,

f

cd

– obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie w konstrukcjach

żelbetowych i sprężonych,

f

yd

– obliczeniowa granica plastyczności stali zbrojeniowej,

M

Rd

– obliczeniowa nośność przekroju na moment zginający,

M

Sd

– moment zginający wywołany obciążeniem obliczeniowym,

x

eff

– efektywna wysokość bryły naprężeń ściskających w przekroju betonu,

x

eff,lim

– graniczna wartość x

eff

,

ξ

eff

– względna wysokość ściskanej strefy przekroju betonu,

ξ

eff

= x

eff

/d,

ξ

eff,lim

– graniczna wartość względnej wysokości ściskanej strefy betonu.

Wymiarowanie

Przy wymiarowaniu korzysta się również z równań (1) i (2). Wiadomymi są

wytrzymałościowe parametry materiałów f

cd

, f

yd

oraz

ξ

eff,lim

, jak również przyjmuje się,

że M

Rd

= M

Sd

. W wyniku obliczeń uzyskuje się wtedy najmniejsze zbrojenie przekroju,

przy którym spełniony jest warunek SGN.

Niewiadomymi są: b, h, a

1

, A

s

1

i x

eff

. Jest ich więc 5, o 3 więcej niż równań. Aby

uzyskać chociaż jedno rozwiązanie należy przyjąć 3 niewiadome, a 2 policzyć.

Najlepiej jest przyjąć b, h, a

1

, a z rozwiązania układu równań (1) i (2) wyznaczyć

A

s

1

i x

eff

.

Ponieważ równanie (2) ma tylko jedną niewiadomą x

eff

, stąd rozwiązanie układu

równań rozpoczyna się od tego równania. Jest to równanie kwadratowe z uwagi na

x

eff

. Dlatego modyfikuje się je, wstawiając za x

eff

=

ξ

eff

d

. I tak

(

)

(

)

(

)

,

5

,

0

1

5

,

0

5

,

0

2

2

c

cd

eff

eff

cd

eff

eff

cd

eff

eff

cd

Sd

Rd

s

bd

f

bd

f

d

d

d

b

f

x

d

bx

f

M

M

=

−

=

=

−

=

−

=

=

ξ

ξ

ξ

ξ

stąd

c

cd

Sd

s

bd

f

M

2

=

,

(3)

gdzie

(

)

eff

eff

c

,

s

ξ

ξ

5

0

1

−

=

.

(4)

Akceptowalnym pierwiastkiem powyższego równania kwadratowego na

ξ

eff

jest

c

eff

s

2

1

1

−

−

=

ξ

.

(5)

Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie

ISIE – semestr IV

3

Tok postępowania przy wymiarowaniu prostokątnego przekroju pojedynczo

zbrojonego jest następujący.

Z równania (3) oblicza się

2

bd

f

M

s

cd

Sd

c

=

.

(6)

Jeśli s

c

≥ 0,5, to należy liczyć od nowa, przyjąwszy większe h lub b bądź

zastosować zbrojenie podwójne. Gdy s

c

< 0,5, oblicza się dalej ze wzoru (5):

c

eff

s

2

1

1

−

−

=

ξ

,

x

eff

=

ξ

eff

d.

(7)

Sprawdza się, czy x

eff

mieści się w założonych na wstępie granicach.

x

eff

≤ x

eff,lim

x

eff

> x

eff,lim

Należy przyjąć większe h lub b bądź

zastosować zbrojenie podwójne. Obliczenia

powtarza się od nowa.

nie

tak

Potrzebną ilość zbrojenia A

s

1

oblicza się ze wzoru (1):

yd

eff

cd

s

f

bx

f

A

=

1

.

(8)

Przyjmuje się średnicę, konkretną liczbę prętów zbrojenia rozciąganego,

rozmieszcza się pręty w przekroju i ustala się

i

, przy czym

rz

a

1

rz

s

A

1

A

s

1

,

⎧

A

s

1,min

≥

rz

yk

ctm

bd

f

f

26

,

0

≥ 0,0013bd

rz

,

rz

s

A

1

⎨

(9)

≥

⎩

gdzie d

rz

= h –

.

rz

a

1

Sprawdzenie warunku SGN może być potrzebne, gdy

> a

1

.

rz

a

1

Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie

ISIE – semestr IV

4

Sprawdzanie warunku SGN

Aby określić nośność przekroju na moment zginający M

Rd

należy rozwiązać

układ dwóch równań (1) i (2), o dwóch niewiadomych M

Rd

i x

eff

.

Pozostałe wielkości

(b, h, a

1

, d = h – a

1

, A

s

1

, f

cd

, f

yd

,

ξ

eff,lim

) są znane, gdyż element jest już

zaprojektowany lub też wykonany. Z równania (1) wyznacza się

b

f

A

f

x

cd

s

yd

eff

1

=

.

(10)

Jeśli x

eff

> x

eff,lim

, to oznacza, że o nośności przekroju decyduje beton w

ściskanej strefie. Przyjmuje się wtedy największą dopuszczalną wartość x

eff

= x

eff,lim

.

Nośność przekroju na moment zginający, czyli największy, dopuszczalny

moment, który może przenieść sprawdzany przekrój elementu, oblicza się z równania

na nośność na zginanie ze wzoru (2):

(

)

eff

eff

cd

Rd

x

d

bx

f

M

5

,

0

−

=

.

Gdy dana jest wartość momentu zginającego, którą miałby przenieść sprawdza-

ny przekrój, to jeśli M

Sd

≤ M

Rd

, warunek SGN jest spełniony.

Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie

ISIE – semestr IV

5

3. Obliczanie pojedynczo zbrojonego elementu żelbetowego na zginanie

3.1. Belka. Przekrój B-B (maksymalny moment przęsłowy)

3.1.1. Wymiarowanie

Dane: M

Sd

= 170 kN

⋅m, beton klasy B20, stal klasy A-II.

Przyjęto: f

cd

= 10,6 MPa z tabl. 4.1;

ξ

eff,lim

=0,55 z tabl. 9 normy gdy stal A-II (0,53 gdy A-III; 0,50 gdy A-IIIN)

f

yd

= 310 MPa, f

yk

= 355 MPa z tabl. 4.2;

b = 0,3 m; h = 0,6 m; a

1

= 0,04 m;

φ

= 18 mm;

φ

1

= 6 mm; c

min

= 20 mm z tabl. 3.2;

Δc = 5 mm;

Oblicza się kolejno:

– użyteczną wysokość przekroju

d

= h – a

1

= 0,60 – 0,04 = 0,56 m,

– grubość otulenia prętów podłużnych

c

= c

min

+

Δc +

φ

1

= 0,02 + 0,005 + 0,006 = 0,031 m,

– współczynnik z (6)

,

,

,

,

,

bd

f

M

s

cd

Sd

c

170

0

56

0

3

0

1000

6

10

170

2

2

=

⋅

⋅

⋅

=

=

– względną, efektywną wysokość ściskanej strefy przekroju betonu z (5)

188

0

170

0

2

1

1

2

1

1

,

,

s

c

eff

=

⋅

−

−

=

−

−

=

ξ

<

ξ

eff,lim

= 0,55.

Sprawdzamy w przekroju B stopień zbrojenia z przekształconego równania (8)

wprowadzając (7), dzieląc przez bd i mnożąc przez przelicznik dotyczący stosowanej

stali w porównaniu ze stalą klasy A-0

190

190

190

190

1

cd

eff

yd

yd

cd

eff

yd

yd

eff

cd

yd

s

L

f

f

bdf

f

bd

f

bdf

bx

f

f

bd

A

ξ

ξ

ρ

=

=

=

=

.

(11)

Wynikający z obliczeń potrzebny stopień zbrojenia stali wynosi z (11)

%

,

,

,

,

f

cd

eff

L

05

1

0105

0

190

6

10

188

0

190

=

=

=

=

ξ

ρ

.

W wypadku, kiedy ten procent zbrojenia byłby większy (np. od 1,1%) lub mniejszy

(np. od 0,9%) należałoby zwiększyć lub zmniejszyć wymiary przekroju.

Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie

ISIE – semestr IV

6

Oblicza się dalej:

– efektywną wysokość ściskanej strefy przekroju betonu z (7)

x

eff

=

ξ

eff

·d = 0,188·0,56 = 0,105 m,

– potrzebną ilość zbrojenia podłużnego z (8)

4

1

10

77

10

310

105

0

3

0

6

10

−

⋅

=

⋅

⋅

=

=

,

,

,

,

f

bx

f

A

yd

eff

cd

s

m

2

.

Przyjmuje się 5 prętów o łącznym przekroju

4

2

2

1

1

10

72

12

4

018

0

5

4

−

⋅

=

⋅

=

=

,

,

n

A

rz

s

π

πφ

m

2

.

Wszystkie 5 prętów mieszczą się w jednym rzędzie.

Jeżeli wkładki nie zmieściłyby się to należy ułożyć je w dwóch rzędach oraz obliczyć

rzeczywistą odległość od krawędzi do środka ciężkości

zbrojenia

rz

a

1

300

600

40-

oraz użyteczną wysokość przekroju

d

rz

= h –

rz

a

1

Sprawdza się, czy ilość przyjętego zbrojenia jest więk-

sza od wymaganego minimum.

rz

s

A

1

= 12,72·10

–4

m

2

≥

4

10

34

2

56

0

3

0

355

9

1

26

0

26

0

−

⋅

=

⋅

=

,

,

,

,

,

bd

f

f

,

rz

yk

ctm

m

2

,

≥ 0,0013bd

rz

= 0,0013·0,3·0,56 = 2,18·10

–4

m

2

.

Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie

ISIE – semestr IV

7

3.1.2. Stan graniczny nośności

Sprawdzenie przeprowadza się przy następujących danych z pktu 3.1.1:

M

Sd

= 170 kN

⋅m, beton klasy B20, stal klasy A-II; b = 0,3 m; h = 0,6 m;

A

s

1

=

m

2

; a

1

= 0,04 m.

4

1

10

72

12

−

⋅

==

,

A

rz

s

Przyjęto: f

cd

= 10,6 MPa z tabl. 4.1;

f

yd

= 310 MPa z tabl. 4.2;

φ

= 18 mm;

φ

1

= 6 mm; c

min

= 20 mm z tabl. 3.2;

Δc = 5 mm;

Oblicza się kolejno:

– położenia środka ciężkości zbrojenia A

s

1

a

1

= c

min

+

Δc +

φ

1

+

φ

/2 = 20 + 5 + 6 + 18/2 = 40 mm,

– użyteczną wysokość przekroju

d

= h – a

1

= 0,60 – 0,04 = 0,56 m,

– graniczną, efektywną wysokość ściskanej strefy przekroju betonu

x

eff,lim

=

ξ

eff,lim

·d = 0,55·0,56 = 0,308 m,

– efektywną wysokość ściskanej strefy przekroju betonu z (10)

124

0

3

0

6

10

10

72

12

310

4

1

,

,

,

,

b

f

A

f

x

cd

s

yd

eff

=

⋅

⋅

⋅

=

=

−

m < x

eff,lim

= 0,308 m,

– nośność przekroju na moment zginający z (2)

(

)

(

)

.

,

,

,

,

,

,

x

,

d

bx

f

M

eff

eff

cd

Rd

m

kN

192

124

0

5

0

55

0

124

0

3

0

1000

6

10

5

0

⋅

=

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

−

=

Ponieważ M

Sd

= 170 kN

⋅m < M

Rd

= 192 kN

⋅m, warunek stanu granicznego

nośności jest z zapasem spełniony.

Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie

ISIE – semestr IV

8

3.2. Belka. Przekrój A-A (maksymalny moment podporowy)

Obliczenie dokonuje się analogicznie jak w punkcie 3.1.

Jako M

Sd

przyjmuje się wartość bezwzględną maksymalnego momentu

podporowego w przekroju A, przy czym należy pamiętać, ze brojenie As1, które

obliczymy umieszcza się u góry przekroju.

Sprawdzenie nośności przekroju przeprowadza się celem wyeliminowania błędów

grubych.

Nie sprawdza się stopnia zbrojenia. Będzie go tyle ile obliczymy.

3.3. Płyta żelbetowa

Obliczenie przeprowadza się analogicznie jak w wypadku belki o szerokości 1 m.

Maksymalny obliczeniowy moment zginający w płycie:

8

2

eff

p

max

p

max

p

l

)

q

g

(

M

⋅

+

=

, gdzie l

eff

= l

bel

– 0,5b.

Płytę zbroi się prętami średnicy 4,5; 6; 8;10 mm, ze wskazaniem na

φ8, przy czym

procent zbrojenia w płycie powinien mieścić się w granicach: 0,6 ÷ 0,9%.

Warunki konstrukcyjne wymagają by w płytach grubości h ≤ 100 mm maksymalny

rozstaw prętów nie był większy niż 120 mm.

Tablica 3.2

Minimalne grubości otuliny c

min

prętów ze stali zwykłej

i zalecenia dotyczące jakości betonu wg [15]

Przyczyna korozji

brak karbonatyzacja

chlorki chlorki z wody

morskiej

Klasa ekspozycji

wg tabl. 3.1

X0 XC1 XC2 XC3 XC4 XD1 XD2 XD3 XS1 XS2 XS3

Minimalna grubość

otulenia c

min

w mm

10 15

20

25

40

40

Minimalna klasa

betonu

B15 B20

B30

B35

B50

B50

Maksymalny

stosunek w/c

- 0,65 0,60 0,60 0,50 0,55 0,55 0,45 0,50 0,45 0,45

Minimalna zawartość

cementu w kg/m

3

- 260 280 280 300 300 300 320 300

320

340

Obliczanie elementów żelbetowych na zginanie

ISIE – semestr IV

9

Tablica 4.1

Wytrzymałości charakterystyczne i obliczeniowe betonu w MPa

oraz moduł sprężystości betonu E

cm

w GPa

Klasa betonu

B15 B20 B25 B30 B37 B45 B50 B55 B60

Wytrzymałość

gwarantowana

G

cube

c

f

,

15 20 25 30 37 45 50 55 60

na

ściskanie f

ck

12 16 20 25 30 35 40 45 50

Wytrzymałość

charakterystyczna

na

rozciąganie

f

ctk

1,1 1,3 1,5 1,8 2,0 2,2 2,5 2,7 2,9

Średnia wytrzymałość

na rozciąganie f

ctm

1,6 1,9 2,2 2,6 2,9 3,2 3,5 3,8 4,1

na

ściskanie f

cd

8,0 10,6 13,3 16,7 20,0 23,3 26,7 30,0 33,3

Wytrzymałość

obliczeniowa w

konstrukcjach

żelbetowych i

sprężonych

na

rozciąganie

f

ctd

0,73 0,87 1,00 1,20 1,33 1,47 1,67 1,80 1,93

Wytrzymałość obliczeniowa na

ściskanie w konstrukcjach

betonowych f

cd

*

6,7 8,9 11,1 13,9 16,7 19,4 22,2 25,0 27,8

Moduł sprężystości

E

cm

w GPa

26 27,5

29 30,5

32 33,5

35 36 37

Tablica 4.2

Charakterystyczne f

yk

i obliczeniowe f

yd

granice plastyczności przy

γ

s

= 1,15 oraz charakterystyczne

wytrzymałości f

tk

stali zbrojeniowej klas od A-0 do A-IIIN

Granica plastyczności

stali

Nominalna

średnica

prętów

φ

Charakterys-

tyczna f

yk

Oblicze-

niowa f

yd

Wytrzym.

charakt. na

rozciąganie

f

tk

Klasa

stali

Znak

gatunku

stali

Spajalność

mm MPa

A-0 St0S-b

220

190

300

St3SX-b
St3SY-b

St3S-b

spajalne

5,5 ÷ 40

240

210

320

A-I

PB240

trudno

spajalna

1)

6 ÷ 40

240

210

265

St50B

trudno

spajalna

1)

18G2-b

6 ÷ 32

A-II

20G2Y-b

spajalne

6 ÷ 28

355 310 480

25G2S

6 ÷ 40

395

530

35G2Y

6 ÷ 20

A-III

34GS

6 ÷ 32

410 550

RB

400

trudno

spajalne

1)

RB 400 W

spajalna

6 ÷ 40

2)

400

350

440

20G2VY-b

spajalna

6 ÷ 28

490

590

A-IIIN

RB 500

trudno

spajalna

1)

RB 500 W

spajalna

6 ÷ 40

2)

500

420

550

1)

w warunkach budowy – niespajalna

2)

powyżej średnicy 32 mm – trudno spajalna