str. 1
3
** Granice funkcji dwóch zmiennych.** Ci ¾
ag÷
ość funkcji dwóch zmiennych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zadanie 3.1 Obliczyć granice podwójne: x2
y2
e (x2+y2)
1
a) f lim
;
g)
lim
;
x!0
x + y
x!0
x2 + y2
y!0
y!0
x3
8y3
arcsin(x + y)
b)
lim
;
h)
lim
;
x!2
x
y
x!0
x + y
y!2
y!0
p
p
x
y
sin xy
c)
lim
;
i)
lim
;
x!0+
x
y
x!0
x
y!0+
y!0
px2 + y2 + 4 2 x
x
d)
lim
;
j)
lim (x2 + y2) sin
;
x!0
y
x!0
y2
y!0
y!0
ln(x2 + y2)
(xy)2
e)
lim
;
k)
lim
;
x!0 x2 + y2 + 4
x!0 x2 + y2
y!0
y!0
ln(x2 + y2 + 1)
x2(y
1)2
f )
lim
;
l)
lim
:
x!0
x2 + y2
x!0 4x2 + (y
1)4
y!0
y!1
Zadanie 3.2 Wykazać, ·
ze nie istniej ¾
a nast ¾
epuj ¾
ace granice:
xy
a)
lim
;
d)
lim sin
;
x!0 x2 + y2
x!0
x2 + y2
y!0
y!0
x + y
sin xy
b)
lim
;
e)
lim
;
x!0 x
y
x!0 x2 + y2
y!0
y!0
xy
(x
1)y2
f )
lim
:
c)
lim
;
x!0 y2
z
x!1 (x
1)2 + y4
y! 1
y!0
z!1
Zadanie 3.3 Zbadać istnienie granic podwójnych i iterowanych funkcji f w punkcie p: x2
y2
d) f (x; y) = (x2 + y2) x2 y2; p = (0; 0);
a) f (x; y) =
;
p = (0; 0);
x2 + y2
x2y2
y3
e) f (x; y) =
;
p = (0; 0);
b) f (x; y) =
;
p = (0; 0);
x2y2 + (x
y)2
x2 + xy + y2
1
1
x2
c) f (x; y) = (x + y) sin cos ;
p = (0; 0);
f ) f (x; y) =
;
p = (0; 0):
x
y
x2 + y2
2012
EKD
str. 2
Zadanie 3.4 Zbadać ci ¾
ag÷
ość funkcji f w punkcie p: 8
<
x3y2
(x; y) 6= (0; 1);
a)
f (x; y) =
x2 + (y
1)4
p = (0; 1);
: 0
(x; y) = (0; 1);
8
< x4
y4
(x; y) 6= (0; 0);
b)
f (x; y) =
p = (0; 0);
: x4 + y4
0
(x; y) = (0; 0);
8 p
>
<
x2 + y2
jxj (x; y) 6= (0;0);
c)
f (x; y) =
2y2
p = (0; 0);
>
: 1
(x; y) = (0; 0);
2
8
< 1
cos(x2 + y2)
(x; y) 6= (0; 0);
d)
f (x; y) =
p = (0; 0);
:
(x2 + y2)2
1
(x; y) = (0; 0);
8
<
sin(xy2)
(x; y) 6= (2; 0);
e)
f (x; y) =
y2 + (x
2)2
p = (2; 0);
: 1
(x; y) = (2; 0);
8
< sin(xy2) (x; y) 6= (0;0); f )
x; y) =
p = (0; 0);
:
xy
0
(x; y) = (0; 0);
(
1
x2+y2
g)
f (x; y) =
(1 + x4y4)
(x; y) 6= (0; 0);
p = (0; 0);
1
(x; y) = (0; 0);
(
1
x4+y4
h)
f (x; y) =
(1 + x2 + y2)
(x; y) 6= (0; 0);
p = (0; 0);
1
(x; y) = (0; 0);
8
<
x2y
(x; y; z) 6= (0; 0; 0); i)
f (x; y; z) =
p = (0; 0; 0);
: x2 + zy
0
(x; y; z) = (0; 0; 0); 8
<
sin(xyz)
p
(x; y; z) 6= (0; 0; 0); j)
f (x; y; z) =
p = (0; 0; 0);
:
x2 + y2 + z2
0
(x; y; z) = (0; 0; 0); 2012
EKD