Szeregi o wyrazach dowolnych znak´
ow, dwumian Newtona
Poprawi lem 23 stycznia 2014 r, godz 0:59
Twierdzenie 5.1 (kryterium Abela – Dirichleta)
Niech (a
n
) be
,
dzie nierosna
,
cym cia
,
giem liczb dodatnich.
D. Je´sli lim
n→∞
a
n
= 0 i cia
,
g sum cze
,
´sciowych szeregu
P
b
n
jest ograniczony, to szereg
P
a
n
b
n
jest zbie˙zny.
A. Je´sli szereg
P
b
n
jest zbie˙zny, to szereg
P
a
n
b
n
te˙z jest zbie˙zny.
W obu przypadkach zak ladamy, ˙ze b
n
∈ C dla n = 0, 1, 2, . . . .
Dow´
od. Niech s
n
= b
0
+ b
1
+ b
2
+ · · · + b
n
. Zachodzi r´owno´s´c
a
n+1
b
n+1
+ a
n+2
b
n+2
+ · · · + a
n+k
b
n+k
=
= (s
n+1
− s
n
)a
n+1
+ (s
n+2
− s
n+1
)a
n+2
+ · · · + (s
n+k
− s
n+k−1
)a
n+k
=
=(s
n+1
− s
n
)(a
n+1
− a
n+2
) + (s
n+2
− s
n
)(a
n+2
− a
n+3
) + · · · +
+ (s
n+k−1
− s
n
)(a
n+k−1
− a
n+k
) + a
n+k
(s
n+k
− s
n
) .
Je´sli |s
j
| ≤ M dla ka˙zdej liczby j ∈ N i lim
j→∞
a
j
= 0 , to
|a
n+1
b
n+1
+ a
n+2
b
n+2
+ · · · + a
n+k
b
n+k
| ≤ 2M |a
n+1
− a
n+2
| + |a
n+2
− a
n+3
| + · · · +
+ |a
n+k−1
− a
n+k
|
+ 2M a
n+k
= 2M a
n+1
−−−−→
n→∞
0 ,
zatem spe lniony jest warunek Cauchy’ego zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
b
n
, co ko´
nczy
dow´od twierdzenia w przypadku Abela.
Je´sli szereg
P
b
n
jest zbie˙zny a ε jest liczba
,
dodatnia
,
, to dla dostatecznie du˙zych
liczb naturalnych n nier´owno´s´c |s
n+j
− s
n
| < ε zachodzi dla j = 1, 2, . . . (warunek
Cauchy’ego). Wobec tego
|a
n+1
b
n+1
+ a
n+2
b
n+2
+ · · · + a
n+k
b
n+k
| ≤
≤ ε |a
n+1
− a
n+2
| + |a
n+2
− a
n+3
| + · · · + |a
n+k−1
− a
n+k
|
+ εa
n+k
= εa
n+1
.
Wynika sta
,
d, ˙ze szereg
P
a
n
b
n
spe lnia warunek Cauchy’ego, jest wie
,
c zbie˙zny.
Uwaga 5.2 Kryterium Dirichleta to rozszerzenie poznanego ju˙z wcze´sniej kryterium
Leibniza. By przekona´c sie
,
o tym wystarczy przyja
,
´c b
n
= (−1)
n
.
Przyk lad 5.1
Dla ka˙zdej liczby z 6= −1 takiej, ˙ze |z| = 1 szereg
P
(−1)
n−1
z
n
n
jest
zbie˙zny. Wynika to z kryterium Dirichleta, bowiem cia
,
g z − z
2
+ · · · + (−1)
n−1
z
n
,
czyli cia
,
g
z−(−1)
n−1
z
n
1+z
jest ograniczony przez
2
|1+z|
a cia
,
g
1
n
jest maleja
,
cy i
zbie˙zny do 0 .
Doda´c wypada, ˙ze je´sli |z| < 1 , to szereg
P
(−1)
n−1
z
n
n
jest zbie˙zny bezwzgle
,
dnie,
wynika to natychmiast z kryterium por´ownawczego:
(−1)
n−1
z
n
n
≤ |z|
n
i zbie˙zno´sci
szeregu geometrycznego o ilorazie mniejszym ni˙z 1 .
1
Szeregi o wyrazach dowolnych znak´ow, dwumian Newtona
Micha l Krych
Definicja 5.3 (symbolu Newtona)
Dla ka˙zdej liczby zespolonej a przyjmujemy
a
0
= 1 i
a
n
=
a(a−1)...(a−n+1)
1·2·...·n
dla
ka˙zdej liczby naturalnej n > 0 .
Stwierdzenie 5.4
Dla ka˙zdej liczby zespolonej a i ka˙zdej liczby naturalnej n > 0 zachodza
,
r´owno´sci
a
n−1
+
a
n
=
a+1
n
i
a+1
n
=
a+1
n
·
a
n−1
.
Dow´od tego stwierdzenia to banalne sprawdzenie z definicji (dla os´ob, kt´ore
potrafia
,
dodawa´c u lamki), wie
,
c pomijamy ten rachunek.
Przyk lad 5.2
Szereg
∞
X
n=0
a
n
z
n
jest zbie˙zny bezwzgle
,
dnie dla ka˙zdej liczby a ∈ C ,
je´sli |z| < 1 . Zachodzi bowiem wz´or
(
a
n+1
)
z
n+1
(
a
n
)
z
n
=
a−n
n+1
· z
−−−−→
n→∞
|z| < 1 . Niech
f (a) =
P
∞
n=0
a
n
z
n
, z jest teraz ustalona
,
liczba
,
zespolona
,
, kt´orej warto´s´c bez-
wzgle
,
dna jest mniejsza ni˙z 1. Z twierdzenia Cauchy’ego o mno˙zeniu szereg´ow wynika,
˙ze prawdziwy jest wz´or
f (a)f (b) =
P
∞
n=0
a
n
z
n
·
P
∞
n=0
b
n
z
n
=
P
∞
n=0
P
n
j=0
a
j
b
n−j
z
n
=
=
P
∞
n=0
a+b
n
z
n
= f (a + b) ,
bowiem
P
n
j=0
a
j
b
n−j
=
a+b
n
.
Wyka˙zemy, ˙ze ta r´owno´s´c jest prawdziwa dla dowolnych liczb zespolonych a, b .
Gdy a i b sa
,
liczbami naturalnymi wie
,
kszymi od n , to poniewa˙z dla ka˙zdej liczby
rzeczywistej x zachodzi r´owno´s´c (1 + x)
a
· (1 + x)
b
= (1 + x)
a+b
(dla zespolonych te˙z,
ale z tego nie skorzystamy), zatem wsp´o lczynniki po obu stronach przy x
n
otrzymane
po podniesieniu do pote
,
g i wymno˙zeniu sa
,
r´owne.
Obie strony r´owno´sci
P
n
j=0
a
j
b
n−j
=
a+b
n
mo˙zna potraktowa´c jako wielo-
miany zmiennej a , stopnia ≤ n , ich warto´sci pokrywaja
,
sie
,
w niesko´
nczenie wielu
punktach, zatem te wielomiany sa
,
r´owne. Wobec tego
P
n
j=0
a
j
b
n−j
=
a+b
n
do-
wolnego a ∈ C , o ile b jest liczba
,
naturalna
,
> n . Teraz traktujemy obie stron jako
wielomiany zmiennej b , liczbe
,
a ustalamy. Zn´ow obie strony sa
,
wielomianami stop-
nia ≤ n , kt´orych warto´sci pokrywaja
,
sie
,
w niesko´
nczenie wielu punktach ( b > n ,
naturalne) i wobec tego pokrywaja
,
sie
,
zawsze.
A teraz przedstawimy dow´od indukcyjny tej r´owno´sci, by unikna
,
´c korzystania z
twierdzenia o jednoznaczno´sci wsp´o lczynnik´ow funkcji wielomianowej, kt´orego jeszcze
nie mieli´smy okazji wykaza´c. Mamy
a+b
0
= 1 = 1 · 1 =
a
0
·
b
0
. Za l´o˙zmy, ˙ze twier-
dzenie zachodzi dla ka˙zdej liczby naturalnej k ≤ n dla dowolnych liczb zespolonych
a, b . Udowodnimy r´owno´s´c
a+b
n+1
=
a
0
b
n+1
+ +
a
1
b
n−1
· · · +
a
n−1
b
1
+
a
n
b
0
.
2
Szeregi o wyrazach dowolnych znak´ow, dwumian Newtona
Micha l Krych
Skorzystamy w dowodzie z latwej do udowodnienia r´owno´sci (j + 1)
c
j+1
= c
c−1
j
,
kt´ora zachodzi dla ka˙zdej liczby naturalnej j i ka˙zdej liczby zespolonej c . Mamy
wie
,
c (n + 1)
a+b
n+1
= (a + b)
a+b−1
n
= a
a+b−1
n
+ b
a+b−1
n
za lo˙zenie
=========
indukcyjne
= a
n
X
j=0
a−1
j
b
n−j
+b
n
X
j=0
a
j
b−1
n−j
=
n
X
j=0
(j +1)
a
j+1
b
n−j
+
n
X
j=0
(n−j +1)
a
j
b
n−j+1
=
=
n+1
X
j=1
j
a
j
b
n+1−j
+
n
X
j=0
(n + 1 − j)
a
j
b
n−j
=
= (n+1)
a
n+1
b
0
+
n
X
j=1
(n+1)
a
j
b
n+1−j
+(n+1)
a
0
b
n+1
= (n+1)
n+1
X
j=0
a
j
b
n+1−j
.
Dow´od zosta l zako´
nczony.
Przyk lad 5.3
Obliczymy granice
,
lim
a→0
f (a)−1
a
.
Oznacza to, ˙ze wyka˙zemy, ˙ze je´sli lim
n→∞
a
n
= 0 i ∀
n
a
n
6= 0 , to istnieje granica
lim
n→∞
f (a
n
)−1
a
n
i ta granica nie zale˙zy od wyboru cia
,
gi (a
n
) .
Je´sli a 6= 0 , to
f (a)−1
a
= z +
∞
X
n=2
(a−1)(a−2)...(a−n+1)
n!
z
n
= z +
∞
X
n=2
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
(−1)
n−1
z
n
.
Na tzw. „ch lopski rozum” powinna wie
,
c zachodzi´c r´owno´s´c
lim
a→0
f (a)−1
a
=
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
:= L(z) .*
Udowodnimy te
,
hipotetyczna
,
(na razie) r´owno´s´c. Je´sli |a| < 1 i n > 1 , to
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
(−1)
n−1
z
n
≤
(1+|a|)(2+|a|)...(n−1+|a|)
n!
|z|
n
≤
2·3·...·n
n!
|z|
n
= |z|
n
,
zatem
∞
X
n=k+1
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
(−1)
n−1
z
n
≤
∞
X
n=k+1
|z|
n
=
|z|
k+1
1−|z|
Sta
,
d wynika, ˙ze je˙zeli ε > 0 , to istnieje takie k > 1 , ˙ze zachodzi nier´owno´s´c
(przypominamy: z nie zmienia sie
,
i |z| < 1 ):
∞
X
n=k+1
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
(−1)
n−1
z
n
≤
∞
X
n=k+1
|z|
n+1
=
|z|
k+1
1−|z|
<
ε
3
.
Sta
,
d i z tego, ˙ze lim
a→0
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
=
1
n
dla n = 2, 3, . . . , k , wynikaja
,
kolejne
nier´owno´sci
*
Autor przypuszcza, ˙ze w niekt´
orych wsiach niekt´
orzy ch lopi (rolnicy) moga, nie mie´c pogla,du w
tej kwestii, np. z braku zainteresowania nia,. Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze lim
k→∞
(lim
n→∞
n
n+k
)=16=0=
lim
n→∞
(lim
k→∞
n
n+k
) . Pokazali´smy, ˙ze kolejno´s´
c przechodzenia do granicy mo˙ze wp lywa´
c na war-
to´s´
c granicy, a w la´snie z takim problemem mamy teraz do czynienia.
3
Szeregi o wyrazach dowolnych znak´ow, dwumian Newtona
Micha l Krych
z +
∞
X
n=2
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
(−1)
n−1
z
n
−
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
<
<
2ε
3
+
k
X
n=2
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
−
1
n
(−1)
n−1
z
n
< ε ,
je´sli tylko liczba δ > 0 jest dostatecznie ma la i |a| < δ . Oznacza to, ˙ze
lim
a→0
f (a)−1
a
=
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
=: L(z) .
Z twierdzenia o jednoznaczno´sci zespolonej funkcji wyk ladniczej wynika, ˙ze r´owno´s´c
f (a) = e
aL(z)
ma miejsce dla ka˙zdej liczby zespolonej a . Podstawiaja
,
c a = 1 otrzy-
mujemy e
L(z)
= f (1) = 1+z , zatem L(z) = ln(1+z) . Je´sli liczba z jest rzeczywista,
to mamy do czynienia z logarytmem dobrze znanym, rzeczywistym. Je´sli natomiast
liczba z rzeczywista nie jest, to jest to jedna z niesko´
nczenie wielu mo˙zliwych warto´sci
logarytmu zespolonego. Otrzymali´smy wie
,
c wz´or
ln(1 + z) = z −
z
2
2
+
z
3
3
−
z
4
4
+ · · · =
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
oraz
∞
X
n=0
a
n
z
n
= f (a) = e
aL(z)
= e
a ln(1+z)
= (1 + z)
a
.
Z tych r´owno´sci wynika mie
,
dzy innymi, ˙ze je´sli |z| < 1 , to e
ln(1+z)
= 1 + z .
Doda´c nale˙zy, ˙ze r´owno´s´c e
a ln(1+z)
= (1+z)
a
jest twierdzeniem w przypadku rzeczy-
wistej liczby z , je˙zeli liczba z nie jest rzeczywista, to nale˙zy te
,
r´owno´s´c potraktowa´c
jako definicje
,
pote
,
gi o podstawie 1 + z . Og´olnie przyjmujemy, ˙ze z
w
= e
w ln z
, gdzie
ln z oznacza dowolna
,
liczbe
,
zespolona
,
, dla kt´orej zachodzi wz´or z = e
ln z
. Kwestiami
tymi nie be
,
dziemy sie
,
zbyt dok ladnie zajmowa´c, bo na og´o l u˙zywana jest pote
,
ga o
podstawie e , inne bywaja
,
u˙zywane, ale niepor´ownanie rzadziej.
Udowodnimy jeszcze, zwykle niedowodzone na I roku studi´ow,
Twierdzenie 5.5 ( o warto´sciach sumy szeregu
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
)
Je´sli |z| < 1 , to zachodzi nier´owno´s´c
|Im(L(z))| =
Im
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
!!
=
Im
z −
z
2
2
+
z
3
3
−
z
4
4
+ · · ·
<
π
2
.
Dow´
od. Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Wtedy istnieje taka liczba z
0
, ˙ze |z
0
| < 1 oraz
Im
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
0
n
!
≥
π
2
. Definiujemy:
4
Szeregi o wyrazach dowolnych znak´ow, dwumian Newtona
Micha l Krych
g(s) = |Im(L(sz
0
))| =
Im sz
0
−
1
2
(sz
0
)
2
+
1
3
(sz
0
)
3
−
1
4
(sz
0
)
4
+ · · ·
.
Niech t = inf{τ > 0 : g(τ ) ≥
π
2
} . Poniewa˙z g(1) = |Im(L(z
0
))| ≥
π
2
, wie
,
c t ≤ 1 .
Niech r = |z
0
| < 1 . Oczywi´scie r = |z
0
| > 0 . Je´sli |z
1
| ≤ r i |z
2
| ≤ r , to
|L(z
1
) − L(z
2
)| = |z
1
− z
2
| · |1 −
1
2
(z
1
+ z
2
) +
1
3
(z
2
1
+ z
1
z
2
+ z
2
2
) −
−
1
4
(z
3
1
+ z
2
1
z
2
+ z
1
z
2
2
+ z
3
2
) + · · · | ≤ |z
1
− z
2
|(1 + r + r
2
+ r
3
+ · · ·) =
1
1−r
|z
1
− z
2
| .
Wobec tego |g(τ
1
)−g(τ
2
)| ≤
|z
0
|
1−r
·|τ
1
−τ
2
| . Udowodnimy, ˙ze g(t) =
π
2
. Je˙zeli g(t) >
π
2
i 0 < t − τ <
1−r
|z
0
|
g(t) −
π
2
, to
g(t) − g(τ ) ≤ |g(t) − g(τ )| ≤
|z
0
|
1−r
· |t − τ | <
|z
0
|
1−r
·
1−r
|z
0
|
g(t) −
π
2
= g(t) −
π
2
,
zatem g(τ ) >
π
2
, wbrew temu, ˙ze g(τ ) <
π
2
dla τ < t . Wobec tego g(t) ≤
π
2
.
Podobnie z nier´owno´sci g(t) <
π
2
i nier´owno´sci 0 < τ − t <
1−r
|z
0
|
π
2
− g(t)
wynika,
˙ze g(τ ) <
π
2
, co te˙z jest niemo˙zliwe. Wobec tego |Im(L(tz
0
))| = g(t) =
π
2
, wie
,
c
1 + tz
0
= e
L(tz
0
)
= e
±iπ/2
· e
Re(L(tz
0
))
= ±ie
Re(L(tz
0
))
,
wie
,
c Re(1 + tz
0
) = 0 , a to nieprawda, bo z nier´owno´sci |tz
0
| < 1 , wynika, ˙ze
Re(1 + tz
0
) > 0 . Dow´od zosta l zako´
nczony.
Zako´
nczymy opowie´s´c o szeregach liczbowych twierdzeniem, kt´ore m´owi, ˙ze je´sli
nawet iloczyn Cauchy’ego szereg´ow zbie˙znych nie jest zbie˙zny, to i tak nale˙zy o nim
my´sle´c jako o ich iloczynie.
Twierdzenie 5.6 (Ces`
aro)
Niech
P
a
n
i
P
b
n
be
,
da
,
szeregami zbie˙znymi. Niech A
n
= a
0
+ a
1
+ · · · + a
n
,
B
n
= b
0
+ b
1
+ · · · + b
n
, c
n
= a
0
b
n
+ a
1
b
n−1
+ · · · + a
n
b
0
, C
n
= c
0
+ c
1
+ c
2
+ · · · c
n
.
Zachodzi wtedy r´owno´s´c:
lim
n→∞
1
n + 1
(C
0
+ C
1
+ · · · + C
n
) = lim
n→∞
A
n
· lim
n→∞
B
n
=
∞
X
n=0
a
n
·
∞
X
n=0
b
n
.
Dow´
od. Mamy
C
n
= a
0
b
0
+ (a
0
b
1
+ a
1
b
0
) + (a
0
b
2
+ a
1
b
1
+ a
2
b
0
) + · · · + (a
0
b
n
+ a
1
b
n−1
+ · · · a
n
b
0
) =
= a
0
(b
0
+ b
1
+ · · · + b
n
) + a
1
(b
0
+ b
1
+ · · · + b
n−1
) + · · · + a
n−1
(b
0
+ b
1
) + a
n
b
0
=
= a
0
B
n
+ a
1
B
n−1
+ · · · + a
n−1
B
1
+ a
n
B
0
i wobec tego
C
0
+ C
1
+ · · · + C
n
=
= a
0
B
0
+ (a
0
B
1
+ a
1
B
0
) + (a
0
B
2
+ a
1
B
1
+ a
2
B
0
) +
+ · · · + (a
0
B
n
+ a
1
B
n−1
+ · · · + a
n−1
B
1
+ a
n
B
0
) =
= B
0
(a
0
+ a
1
+ a
2
+ · · · + a
n
) + B
1
(a
0
+ a
1
+ a
2
+ · · · + a
n
) + · · · + B
n
a
0
=
= B
0
A
n
+ B
1
A
n−1
+ B
2
A
n−2
+ · · · + B
n
A
0
.
Niech ε > 0 . Niech A =
∞
X
n=0
a
n
, B =
∞
X
n=0
b
n
i niech M > 0 be
,
dzie taka
,
liczba
,
,
5
Szeregi o wyrazach dowolnych znak´ow, dwumian Newtona
Micha l Krych
˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodza
,
nier´owno´sci |a
0
+ a
1
+ · · · + a
n
| ≤ M ,
|b
0
+ b
1
+ · · · + b
n
| ≤ M . Niech n
ε
be
,
dzie taka
,
liczba
,
naturalna
,
, ˙ze dla n ≥ n
ε
zachodza
,
nier´owno´sci |A
n
− A| <
ε
4M
i |B
n
− B| <
ε
4M
. Niech wreszcie m
ε
> n
ε
be
,
dzie liczba
,
naturalna
,
tak du˙za
,
, ˙ze nier´owno´s´c
8M
2
n
ε
ε
− 1 < n , czyli
2M
2
n
ε
n+1
<
ε
4
,
zachodzi dla n ≥ m
ε
. Wtedy dla dowolnych numer´ow i, j zachodza
,
nier´owno´sci
|A
i
B
j
− AB| ≤ |A
i
| · |B
j
| + |A| · |B| ≤ 2M
2
. Je´sli za´s i ≥ m
ε
oraz j ≥ m
ε
, to
|A
i
B
j
− AB| ≤ |A
i
− A| · |B
j
| + |A| · |B
j
− B| <
ε
4M
· M + M ·
ε
4M
=
ε
2
. Sta
,
d za´s
wynika, ˙ze
1
n+1
(A
0
B
n
+ A
1
B
n−1
+ · · · + A
n−1
B
1
+ A
n
B
0
) − AB
≤
≤
1
n+1
(|A
0
B
n
− AB| + |A
1
B
n−1
− AB| + · · · + |A
n−1
B
1
− AB| + |A
n
B
0
− AB|) ≤
≤
1
n+1
(|A
0
B
n
− AB| + |A
1
B
n−1
− AB| + · · · + |A
n
ε
−1
B
n−n
ε
+1
− AB|) +
+
1
n+1
(|A
n
ε
B
n−n
ε
− AB| + |A
n
ε
+1
B
n−n
ε
−1
− AB| + · · · + |A
n−n
ε
B
n
ε
− AB|) +
+
1
n+1
(|A
n−n
ε
+1
B
n
ε
−1
− AB| + · · · + |A
n−1
B
1
− AB| + |A
n
B
0
− AB|) <
<
n
ε
n+1
· 2 · M
2
+
n+1−2n
ε
n+1
·
ε
2
+
n
ε
n+1
· 2 · M
2
<
ε
4
+
ε
2
+
ε
4
= ε .
Wykazali´smy wie
,
c, ˙ze je´sli n jest dostatecznie du˙ze ( n > m
ε
), to
1
n + 1
(C
0
+ C
1
+ · · · + C
n−1
+ C
n
) − AB
< ε ,
a to oznacza, ˙ze lim
n→∞
1
n+1
(C
0
+ C
1
+ · · · + C
n−1
+ C
n
) = AB .
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
am1 0708 cz 02 szeregi liczbowe wstep
am1 0708 cz 03 szeregi o wyrazach dodatnich
am1 0708 cz 09 calka nieoznaczona
am1 0708 cz 06 granica ciaglosc
am1 0708 cz 07 wlasnosci funkcji ciag wyp
am1 0708 cz 13 funkanal
am1 0708 cz 08 rozniczk
am1 0708 cz 11 calki niewlasciwe
am1 0708 cz 12 ciagi funkcji
am1 0708 cz 14 funkanal przyklady
13 Drogi ruchowe, cz 2 05 2012
13 Drogi ruchowe, cz 2 05 2012
2010 10 22(2), 29, 11 05 szeregi
15 Drogi czuciowe, cz 2 0 05 2012
cz 05 s 68 95 Aneks Szczygielski
12 Drogi ruchowe, cz 1 05 2012
Szeregi o wyrazach dowolnych itd, studia, Matma, Analiza Matematyczna, analiza, Ściągi
JAZDA W STYLU WESTERN W REKREACJI CZ 05
13 szeregi liczbowe 4 3 szeregi o wyrazach dowolnego znaku
więcej podobnych podstron