Szeregi o wyrazach dowolnych znak´
ow, dwumian Newtona
Poprawi lem 23 stycznia 2014 r, godz 0:59
Twierdzenie 5.1 (kryterium Abela – Dirichleta)
Niech (a
n
) be
,
dzie nierosna
,
cym cia
,
giem liczb dodatnich.
D. Je´sli lim
n→∞
a
n
= 0 i cia
,
g sum cze
,
´sciowych szeregu
P
b
n
jest ograniczony, to szereg
P
a
n
b
n
jest zbie˙zny.
A. Je´sli szereg
P
b
n
jest zbie˙zny, to szereg
P
a
n
b
n
te˙z jest zbie˙zny.
W obu przypadkach zak ladamy, ˙ze b
n
∈ C dla n = 0, 1, 2, . . . .
Dow´
od. Niech s
n
= b
0
+ b
1
+ b
2
+ · · · + b
n
. Zachodzi r´owno´s´c
a
n+1
b
n+1
+ a
n+2
b
n+2
+ · · · + a
n+k
b
n+k
=
= (s
n+1
− s
n
)a
n+1
+ (s
n+2
− s
n+1
)a
n+2
+ · · · + (s
n+k
− s
n+k−1
)a
n+k
=
=(s
n+1
− s
n
)(a
n+1
− a
n+2
) + (s
n+2
− s
n
)(a
n+2
− a
n+3
) + · · · +
+ (s
n+k−1
− s
n
)(a
n+k−1
− a
n+k
) + a
n+k
(s
n+k
− s
n
) .
Je´sli |s
j
| ≤ M dla ka˙zdej liczby j ∈ N i lim
j→∞
a
j
= 0 , to
|a
n+1
b
n+1
+ a
n+2
b
n+2
+ · · · + a
n+k
b
n+k
| ≤ 2M |a
n+1
− a
n+2
| + |a
n+2
− a
n+3
| + · · · +
+ |a
n+k−1
− a
n+k
|
+ 2M a
n+k
= 2M a
n+1
−−−−→
n→∞
0 ,
zatem spe lniony jest warunek Cauchy’ego zbie˙zno´sci szeregu
P
a
n
b
n
, co ko´
nczy
dow´od twierdzenia w przypadku Abela.
Je´sli szereg
P
b
n
jest zbie˙zny a ε jest liczba
,
dodatnia
,
, to dla dostatecznie du˙zych
liczb naturalnych n nier´owno´s´c |s
n+j
− s
n
| < ε zachodzi dla j = 1, 2, . . . (warunek
Cauchy’ego). Wobec tego
|a
n+1
b
n+1
+ a
n+2
b
n+2
+ · · · + a
n+k
b
n+k
| ≤
≤ ε |a
n+1
− a
n+2
| + |a
n+2
− a
n+3
| + · · · + |a
n+k−1
− a
n+k
|
+ εa
n+k
= εa
n+1
.
Wynika sta
,
d, ˙ze szereg
P
a
n
b
n
spe lnia warunek Cauchy’ego, jest wie
,
c zbie˙zny.
Uwaga 5.2 Kryterium Dirichleta to rozszerzenie poznanego ju˙z wcze´sniej kryterium
Leibniza. By przekona´c sie
,
o tym wystarczy przyja
,
´c b
n
= (−1)
n
.
Przyk lad 5.1
Dla ka˙zdej liczby z 6= −1 takiej, ˙ze |z| = 1 szereg
P
(−1)
n−1
z
n
n
jest
zbie˙zny. Wynika to z kryterium Dirichleta, bowiem cia
,
g z − z
2
+ · · · + (−1)
n−1
z
n
,
czyli cia
,
g
z−(−1)
n−1
z
n
1+z
jest ograniczony przez
2
|1+z|
a cia
,
g
1
n
jest maleja
,
cy i
zbie˙zny do 0 .
Doda´c wypada, ˙ze je´sli |z| < 1 , to szereg
P
(−1)
n−1
z
n
n
jest zbie˙zny bezwzgle
,
dnie,
wynika to natychmiast z kryterium por´ownawczego:
(−1)
n−1
z
n
n
≤ |z|
n
i zbie˙zno´sci
szeregu geometrycznego o ilorazie mniejszym ni˙z 1 .
1
Szeregi o wyrazach dowolnych znak´ow, dwumian Newtona
Micha l Krych
Definicja 5.3 (symbolu Newtona)
Dla ka˙zdej liczby zespolonej a przyjmujemy
a
0
= 1 i
a
n
=
a(a−1)...(a−n+1)
1·2·...·n
dla
ka˙zdej liczby naturalnej n > 0 .
Stwierdzenie 5.4
Dla ka˙zdej liczby zespolonej a i ka˙zdej liczby naturalnej n > 0 zachodza
,
r´owno´sci
a
n−1
+
a
n
=
a+1
n
i
a+1
n
=
a+1
n
·
a
n−1
.
Dow´od tego stwierdzenia to banalne sprawdzenie z definicji (dla os´ob, kt´ore
potrafia
,
dodawa´c u lamki), wie
,
c pomijamy ten rachunek.
Przyk lad 5.2
Szereg
∞
X
n=0
a
n
z
n
jest zbie˙zny bezwzgle
,
dnie dla ka˙zdej liczby a ∈ C ,
je´sli |z| < 1 . Zachodzi bowiem wz´or
(
a
n+1
)
z
n+1
(
a
n
)
z
n
=
a−n
n+1
· z
−−−−→
n→∞
|z| < 1 . Niech
f (a) =
P
∞
n=0
a
n
z
n
, z jest teraz ustalona
,
liczba
,
zespolona
,
, kt´orej warto´s´c bez-
wzgle
,
dna jest mniejsza ni˙z 1. Z twierdzenia Cauchy’ego o mno˙zeniu szereg´ow wynika,
˙ze prawdziwy jest wz´or
f (a)f (b) =
P
∞
n=0
a
n
z
n
·
P
∞
n=0
b
n
z
n
=
P
∞
n=0
P
n
j=0
a
j
b
n−j
z
n
=
=
P
∞
n=0
a+b
n
z
n
= f (a + b) ,
bowiem
P
n
j=0
a
j
b
n−j
=
a+b
n
.
Wyka˙zemy, ˙ze ta r´owno´s´c jest prawdziwa dla dowolnych liczb zespolonych a, b .
Gdy a i b sa
,
liczbami naturalnymi wie
,
kszymi od n , to poniewa˙z dla ka˙zdej liczby
rzeczywistej x zachodzi r´owno´s´c (1 + x)
a
· (1 + x)
b
= (1 + x)
a+b
(dla zespolonych te˙z,
ale z tego nie skorzystamy), zatem wsp´o lczynniki po obu stronach przy x
n
otrzymane
po podniesieniu do pote
,
g i wymno˙zeniu sa
,
r´owne.
Obie strony r´owno´sci
P
n
j=0
a
j
b
n−j
=
a+b
n
mo˙zna potraktowa´c jako wielo-
miany zmiennej a , stopnia ≤ n , ich warto´sci pokrywaja
,
sie
,
w niesko´
nczenie wielu
punktach, zatem te wielomiany sa
,
r´owne. Wobec tego
P
n
j=0
a
j
b
n−j
=
a+b
n
do-
wolnego a ∈ C , o ile b jest liczba
,
naturalna
,
> n . Teraz traktujemy obie stron jako
wielomiany zmiennej b , liczbe
,
a ustalamy. Zn´ow obie strony sa
,
wielomianami stop-
nia ≤ n , kt´orych warto´sci pokrywaja
,
sie
,
w niesko´
nczenie wielu punktach ( b > n ,
naturalne) i wobec tego pokrywaja
,
sie
,
zawsze.
A teraz przedstawimy dow´od indukcyjny tej r´owno´sci, by unikna
,
´c korzystania z
twierdzenia o jednoznaczno´sci wsp´o lczynnik´ow funkcji wielomianowej, kt´orego jeszcze
nie mieli´smy okazji wykaza´c. Mamy
a+b
0
= 1 = 1 · 1 =
a
0
·
b
0
. Za l´o˙zmy, ˙ze twier-
dzenie zachodzi dla ka˙zdej liczby naturalnej k ≤ n dla dowolnych liczb zespolonych
a, b . Udowodnimy r´owno´s´c
a+b
n+1
=
a
0
b
n+1
+ +
a
1
b
n−1
· · · +
a
n−1
b
1
+
a
n
b
0
.
2
Szeregi o wyrazach dowolnych znak´ow, dwumian Newtona
Micha l Krych
Skorzystamy w dowodzie z latwej do udowodnienia r´owno´sci (j + 1)
c
j+1
= c
c−1
j
,
kt´ora zachodzi dla ka˙zdej liczby naturalnej j i ka˙zdej liczby zespolonej c . Mamy
wie
,
c (n + 1)
a+b
n+1
= (a + b)
a+b−1
n
= a
a+b−1
n
+ b
a+b−1
n
za lo˙zenie
=========
indukcyjne
= a
n
X
j=0
a−1
j
b
n−j
+b
n
X
j=0
a
j
b−1
n−j
=
n
X
j=0
(j +1)
a
j+1
b
n−j
+
n
X
j=0
(n−j +1)
a
j
b
n−j+1
=
=
n+1
X
j=1
j
a
j
b
n+1−j
+
n
X
j=0
(n + 1 − j)
a
j
b
n−j
=
= (n+1)
a
n+1
b
0
+
n
X
j=1
(n+1)
a
j
b
n+1−j
+(n+1)
a
0
b
n+1
= (n+1)
n+1
X
j=0
a
j
b
n+1−j
.
Dow´od zosta l zako´
nczony.
Przyk lad 5.3
Obliczymy granice
,
lim
a→0
f (a)−1
a
.
Oznacza to, ˙ze wyka˙zemy, ˙ze je´sli lim
n→∞
a
n
= 0 i ∀
n
a
n
6= 0 , to istnieje granica
lim
n→∞
f (a
n
)−1
a
n
i ta granica nie zale˙zy od wyboru cia
,
gi (a
n
) .
Je´sli a 6= 0 , to
f (a)−1
a
= z +
∞
X
n=2
(a−1)(a−2)...(a−n+1)
n!
z
n
= z +
∞
X
n=2
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
(−1)
n−1
z
n
.
Na tzw. „ch lopski rozum” powinna wie
,
c zachodzi´c r´owno´s´c
lim
a→0
f (a)−1
a
=
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
:= L(z) .*
Udowodnimy te
,
hipotetyczna
,
(na razie) r´owno´s´c. Je´sli |a| < 1 i n > 1 , to
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
(−1)
n−1
z
n
≤
(1+|a|)(2+|a|)...(n−1+|a|)
n!
|z|
n
≤
2·3·...·n
n!
|z|
n
= |z|
n
,
zatem
∞
X
n=k+1
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
(−1)
n−1
z
n
≤
∞
X
n=k+1
|z|
n
=
|z|
k+1
1−|z|
Sta
,
d wynika, ˙ze je˙zeli ε > 0 , to istnieje takie k > 1 , ˙ze zachodzi nier´owno´s´c
(przypominamy: z nie zmienia sie
,
i |z| < 1 ):
∞
X
n=k+1
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
(−1)
n−1
z
n
≤
∞
X
n=k+1
|z|
n+1
=
|z|
k+1
1−|z|
<
ε
3
.
Sta
,
d i z tego, ˙ze lim
a→0
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
=
1
n
dla n = 2, 3, . . . , k , wynikaja
,
kolejne
nier´owno´sci
*
Autor przypuszcza, ˙ze w niekt´
orych wsiach niekt´
orzy ch lopi (rolnicy) moga, nie mie´c pogla,du w
tej kwestii, np. z braku zainteresowania nia,. Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze lim
k→∞
(lim
n→∞
n
n+k
)=16=0=
lim
n→∞
(lim
k→∞
n
n+k
) . Pokazali´smy, ˙ze kolejno´s´
c przechodzenia do granicy mo˙ze wp lywa´
c na war-
to´s´
c granicy, a w la´snie z takim problemem mamy teraz do czynienia.
3
Szeregi o wyrazach dowolnych znak´ow, dwumian Newtona
Micha l Krych
z +
∞
X
n=2
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
(−1)
n−1
z
n
−
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
<
<
2ε
3
+
k
X
n=2
(1−a)(2−a)...(n−1−a)
n!
−
1
n
(−1)
n−1
z
n
< ε ,
je´sli tylko liczba δ > 0 jest dostatecznie ma la i |a| < δ . Oznacza to, ˙ze
lim
a→0
f (a)−1
a
=
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
=: L(z) .
Z twierdzenia o jednoznaczno´sci zespolonej funkcji wyk ladniczej wynika, ˙ze r´owno´s´c
f (a) = e
aL(z)
ma miejsce dla ka˙zdej liczby zespolonej a . Podstawiaja
,
c a = 1 otrzy-
mujemy e
L(z)
= f (1) = 1+z , zatem L(z) = ln(1+z) . Je´sli liczba z jest rzeczywista,
to mamy do czynienia z logarytmem dobrze znanym, rzeczywistym. Je´sli natomiast
liczba z rzeczywista nie jest, to jest to jedna z niesko´
nczenie wielu mo˙zliwych warto´sci
logarytmu zespolonego. Otrzymali´smy wie
,
c wz´or
ln(1 + z) = z −
z
2
2
+
z
3
3
−
z
4
4
+ · · · =
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
oraz
∞
X
n=0
a
n
z
n
= f (a) = e
aL(z)
= e
a ln(1+z)
= (1 + z)
a
.
Z tych r´owno´sci wynika mie
,
dzy innymi, ˙ze je´sli |z| < 1 , to e
ln(1+z)
= 1 + z .
Doda´c nale˙zy, ˙ze r´owno´s´c e
a ln(1+z)
= (1+z)
a
jest twierdzeniem w przypadku rzeczy-
wistej liczby z , je˙zeli liczba z nie jest rzeczywista, to nale˙zy te
,
r´owno´s´c potraktowa´c
jako definicje
,
pote
,
gi o podstawie 1 + z . Og´olnie przyjmujemy, ˙ze z
w
= e
w ln z
, gdzie
ln z oznacza dowolna
,
liczbe
,
zespolona
,
, dla kt´orej zachodzi wz´or z = e
ln z
. Kwestiami
tymi nie be
,
dziemy sie
,
zbyt dok ladnie zajmowa´c, bo na og´o l u˙zywana jest pote
,
ga o
podstawie e , inne bywaja
,
u˙zywane, ale niepor´ownanie rzadziej.
Udowodnimy jeszcze, zwykle niedowodzone na I roku studi´ow,
Twierdzenie 5.5 ( o warto´sciach sumy szeregu
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
)
Je´sli |z| < 1 , to zachodzi nier´owno´s´c
|Im(L(z))| =
Im
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
!!
=
Im
z −
z
2
2
+
z
3
3
−
z
4
4
+ · · ·
<
π
2
.
Dow´
od. Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Wtedy istnieje taka liczba z
0
, ˙ze |z
0
| < 1 oraz
Im
∞
X
n=1
(−1)
n−1
z
n
0
n
!
≥
π
2
. Definiujemy:
4
Szeregi o wyrazach dowolnych znak´ow, dwumian Newtona
Micha l Krych
g(s) = |Im(L(sz
0
))| =
Im sz
0
−
1
2
(sz
0
)
2
+
1
3
(sz
0
)
3
−
1
4
(sz
0
)
4
+ · · ·
.
Niech t = inf{τ > 0 : g(τ ) ≥
π
2
} . Poniewa˙z g(1) = |Im(L(z
0
))| ≥
π
2
, wie
,
c t ≤ 1 .
Niech r = |z
0
| < 1 . Oczywi´scie r = |z
0
| > 0 . Je´sli |z
1
| ≤ r i |z
2
| ≤ r , to
|L(z
1
) − L(z
2
)| = |z
1
− z
2
| · |1 −
1
2
(z
1
+ z
2
) +
1
3
(z
2
1
+ z
1
z
2
+ z
2
2
) −
−
1
4
(z
3
1
+ z
2
1
z
2
+ z
1
z
2
2
+ z
3
2
) + · · · | ≤ |z
1
− z
2
|(1 + r + r
2
+ r
3
+ · · ·) =
1
1−r
|z
1
− z
2
| .
Wobec tego |g(τ
1
)−g(τ
2
)| ≤
|z
0
|
1−r
·|τ
1
−τ
2
| . Udowodnimy, ˙ze g(t) =
π
2
. Je˙zeli g(t) >
π
2
i 0 < t − τ <
1−r
|z
0
|
g(t) −
π
2
, to
g(t) − g(τ ) ≤ |g(t) − g(τ )| ≤
|z
0
|
1−r
· |t − τ | <
|z
0
|
1−r
·
1−r
|z
0
|
g(t) −
π
2
= g(t) −
π
2
,
zatem g(τ ) >
π
2
, wbrew temu, ˙ze g(τ ) <
π
2
dla τ < t . Wobec tego g(t) ≤
π
2
.
Podobnie z nier´owno´sci g(t) <
π
2
i nier´owno´sci 0 < τ − t <
1−r
|z
0
|
π
2
− g(t)
wynika,
˙ze g(τ ) <
π
2
, co te˙z jest niemo˙zliwe. Wobec tego |Im(L(tz
0
))| = g(t) =
π
2
, wie
,
c
1 + tz
0
= e
L(tz
0
)
= e
±iπ/2
· e
Re(L(tz
0
))
= ±ie
Re(L(tz
0
))
,
wie
,
c Re(1 + tz
0
) = 0 , a to nieprawda, bo z nier´owno´sci |tz
0
| < 1 , wynika, ˙ze
Re(1 + tz
0
) > 0 . Dow´od zosta l zako´
nczony.
Zako´
nczymy opowie´s´c o szeregach liczbowych twierdzeniem, kt´ore m´owi, ˙ze je´sli
nawet iloczyn Cauchy’ego szereg´ow zbie˙znych nie jest zbie˙zny, to i tak nale˙zy o nim
my´sle´c jako o ich iloczynie.
Twierdzenie 5.6 (Ces`
aro)
Niech
P
a
n
i
P
b
n
be
,
da
,
szeregami zbie˙znymi. Niech A
n
= a
0
+ a
1
+ · · · + a
n
,
B
n
= b
0
+ b
1
+ · · · + b
n
, c
n
= a
0
b
n
+ a
1
b
n−1
+ · · · + a
n
b
0
, C
n
= c
0
+ c
1
+ c
2
+ · · · c
n
.
Zachodzi wtedy r´owno´s´c:
lim
n→∞
1
n + 1
(C
0
+ C
1
+ · · · + C
n
) = lim
n→∞
A
n
· lim
n→∞
B
n
=
∞
X
n=0
a
n
·
∞
X
n=0
b
n
.
Dow´
od. Mamy
C
n
= a
0
b
0
+ (a
0
b
1
+ a
1
b
0
) + (a
0
b
2
+ a
1
b
1
+ a
2
b
0
) + · · · + (a
0
b
n
+ a
1
b
n−1
+ · · · a
n
b
0
) =
= a
0
(b
0
+ b
1
+ · · · + b
n
) + a
1
(b
0
+ b
1
+ · · · + b
n−1
) + · · · + a
n−1
(b
0
+ b
1
) + a
n
b
0
=
= a
0
B
n
+ a
1
B
n−1
+ · · · + a
n−1
B
1
+ a
n
B
0
i wobec tego
C
0
+ C
1
+ · · · + C
n
=
= a
0
B
0
+ (a
0
B
1
+ a
1
B
0
) + (a
0
B
2
+ a
1
B
1
+ a
2
B
0
) +
+ · · · + (a
0
B
n
+ a
1
B
n−1
+ · · · + a
n−1
B
1
+ a
n
B
0
) =
= B
0
(a
0
+ a
1
+ a
2
+ · · · + a
n
) + B
1
(a
0
+ a
1
+ a
2
+ · · · + a
n
) + · · · + B
n
a
0
=
= B
0
A
n
+ B
1
A
n−1
+ B
2
A
n−2
+ · · · + B
n
A
0
.
Niech ε > 0 . Niech A =
∞
X
n=0
a
n
, B =
∞
X
n=0
b
n
i niech M > 0 be
,
dzie taka
,
liczba
,
,
5
Szeregi o wyrazach dowolnych znak´ow, dwumian Newtona
Micha l Krych
˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodza
,
nier´owno´sci |a
0
+ a
1
+ · · · + a
n
| ≤ M ,
|b
0
+ b
1
+ · · · + b
n
| ≤ M . Niech n
ε
be
,
dzie taka
,
liczba
,
naturalna
,
, ˙ze dla n ≥ n
ε
zachodza
,
nier´owno´sci |A
n
− A| <
ε
4M
i |B
n
− B| <
ε
4M
. Niech wreszcie m
ε
> n
ε
be
,
dzie liczba
,
naturalna
,
tak du˙za
,
, ˙ze nier´owno´s´c
8M
2
n
ε
ε
− 1 < n , czyli
2M
2
n
ε
n+1
<
ε
4
,
zachodzi dla n ≥ m
ε
. Wtedy dla dowolnych numer´ow i, j zachodza
,
nier´owno´sci
|A
i
B
j
− AB| ≤ |A
i
| · |B
j
| + |A| · |B| ≤ 2M
2
. Je´sli za´s i ≥ m
ε
oraz j ≥ m
ε
, to
|A
i
B
j
− AB| ≤ |A
i
− A| · |B
j
| + |A| · |B
j
− B| <
ε
4M
· M + M ·
ε
4M
=
ε
2
. Sta
,
d za´s
wynika, ˙ze
1
n+1
(A
0
B
n
+ A
1
B
n−1
+ · · · + A
n−1
B
1
+ A
n
B
0
) − AB
≤
≤
1
n+1
(|A
0
B
n
− AB| + |A
1
B
n−1
− AB| + · · · + |A
n−1
B
1
− AB| + |A
n
B
0
− AB|) ≤
≤
1
n+1
(|A
0
B
n
− AB| + |A
1
B
n−1
− AB| + · · · + |A
n
ε
−1
B
n−n
ε
+1
− AB|) +
+
1
n+1
(|A
n
ε
B
n−n
ε
− AB| + |A
n
ε
+1
B
n−n
ε
−1
− AB| + · · · + |A
n−n
ε
B
n
ε
− AB|) +
+
1
n+1
(|A
n−n
ε
+1
B
n
ε
−1
− AB| + · · · + |A
n−1
B
1
− AB| + |A
n
B
0
− AB|) <
<
n
ε
n+1
· 2 · M
2
+
n+1−2n
ε
n+1
·
ε
2
+
n
ε
n+1
· 2 · M
2
<
ε
4
+
ε
2
+
ε
4
= ε .
Wykazali´smy wie
,
c, ˙ze je´sli n jest dostatecznie du˙ze ( n > m
ε
), to
1
n + 1
(C
0
+ C
1
+ · · · + C
n−1
+ C
n
) − AB
< ε ,
a to oznacza, ˙ze lim
n→∞
1
n+1
(C
0
+ C
1
+ · · · + C
n−1
+ C
n
) = AB .
6