Funkcje analityczne

ostatnia aktualizacja:

30 marca 2010, 16:27

Zaczniemy od uog´

olnienia twierdzenia o zmianach kolejno´sci sumowania szeregu

bezwzgle

֒

dnie zbie˙znego. Dow´

od tego twierdzenia nie pojawi l sie

֒

na wyk ladzie. Jego

sformu lowanie pojawi lo sie

֒

jedynie „w powietrzu”.

Twierdzenie 13.1 (

o du ˙zej zmianie kolejno´

sci sumowania

)

Za l´

o˙zmy, ˙ze zachodzi jedno z dw´

och za lo˙ze´

n:

(i) dla ka˙zdej liczby ca lkowitej m ≥ 0 szereg

P

∞
n=0

|a

m,n

| jest zbie˙zny i

∞

X

m=0

∞

X

n=0

|a

m,n

|

< +∞ ,

(ii)

P

∞
j=0

|a

˜

σ(j)

| < ∞ dla pewnej bijekcji ˜σ : N −→ N × N .

Wtedy dla ka˙zdej bijekcji σ : N −→ N × N zachodzi r´owno´s´c

∞

X

m=0

∞

X

n=0

a

m,n

=

∞

X

j=0

a

σ(j)

.

Dow´

od. Wyka˙zemy najpierw, ˙ze warunki (i) oraz (ii) sa

֒

r´ownowa˙zne.

Za l´

o˙zmy, ˙ze spe lniony jest warunek (i). Dla dowolnej bijekcji σ : N −→ N × N

szereg

P

∞
j=0

|a

σ(j)

| jest zbie˙zny, bo

l

X

j=0

|a

σ(j)

| ≤

p

X

m=0

∞

X

n=0

|a

m,n

|

≤

∞

X

m=0

∞

X

n=0

|a

m,n

|

dla ka˙zdej tak du˙zej liczby naturalnej p , ˙ze ka˙zda z liczb |a

σ(0)

| , |a

σ(1)

| , . . . , |a

σ(l)

|

jest sk ladnikiem kt´

orego´s z szereg´

ow

P

∞
n=0

|a

m,n

| , gdzie m ∈ {0, 1, . . . , p} (np. p

jest najwie

֒

kszym z pierwszych element´

ow par σ(0) , σ(1) , . . . , σ(l) ).

Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze spe lniony jest warunek (ii). Dla dowolnych liczb naturalnych

p, q spe lniona jest nier´

owno´s´c

q

X

m=0

p

X

n=0

|a

m,n

|

≤

ℓ

X

j=0

|a

˜

σ(j)

| ≤

∞

X

j=0

|a

˜

σ(j)

| ,

gdzie ℓ oznacza tak du˙za

֒

liczbe

֒

naturalna

֒

, ˙ze w´sr´

od par ˜

σ(0), ˜

σ(1), . . . , ˜

σ(ℓ) znajduja

֒

sie

֒

wszystkie pary (0, 0), (0, 1), . . . , (0, p), (1, 0), . . . , (1, p), (q, 0), . . . , (q, p) . Ustalaja

֒

c

q i przechodza

֒

c do granicy przy p −→ ∞ otrzymujemy nier´owno´s´c

q

X

m=0

∞

X

n=0

|a

m,n

|

≤

∞

X

j=0

|a

˜

σ(j)

| .

Z definicji sumy szeregu wynika, ˙ze

∞

X

m=0

∞

X

n=0

|a

m,n

| ≤

∞

X

j=0

|a

˜

σ(j)

| .

1

Funkcje analityczne

Micha l Krych

Wykazali´smy, ˙ze z za lo˙zenia (ii) wynika za lo˙zenie (i).

W istocie rzeczy z dowodu r´

ownowa˙zno´sci warunk´ow (i) i (ii) wynika r´owno´s´c:

∞

X

m=0

∞

X

n=0

|a

m,n

| =

∞

X

j=0

|a

˜

σ(j)

| ,

przy czym jest ona prawdziwa zawsze, r´

ownie˙z wtedy, gdy sumy nie sa

֒

sko´

nczone.

Niech ε > 0 . Istnieje taka liczba k(m) ∈ N , ˙ze

P

∞
n=k(m)+1

|a

m,n

| <

ε

2

m

+3

.

Wtedy

∞

X

n=k(m)+1

a

m,n

≤

∞

X

n=k(m)+1

|a

m,n

| <

ε

2

m+3

,

zatem

∞

X

m=0

∞

X

n=k(m)+1

a

m,n

<

ε
8

+

ε

16

+

ε

32

+ · · · =

ε
4

.

Niech r(ε) be

֒

dzie taka

֒

liczba

֒

naturalna

֒

, ˙ze

∞

X

j=r(ε)+1

|a

σ(j)

| <

ε
4

. Istnieje taka liczba

naturalna µ(ε) , ˙ze

∞

X

m=µ(ε)+1

∞

X

n=0

|a

m,n

|

<

ε
4

i

n

σ(0), σ(1), . . . , σ r(ε)

o

⊆

⊆

n

0, 0

, 0, 1, . . . , 0, k(0), 1, 0, . . . , 1, k(1), . . . , µ(ε), 0, . . . , µ(ε), k[µ(ε)]

o

Niech ρ(ε) oznacza taka

֒

liczbe

֒

naturalna

֒

, ˙ze

n

0, 0

, 0, 1, . . . , 0, k(0), 1, 0, . . . , 1, k(1), . . . , µ(ε), 0, . . . , µ(ε), k[µ(ε)]

o

⊆

n

σ(0), σ(1), σ(2), . . . , σ

ρ(ε)

o

.

Wtedy zachodza

֒

nier´

owno´sci

∞

X

m=0

∞

X

n=0

a

m,n

−

∞

X

j=0

a

σ(j)

≤

∞

X

m=µ(ε)+1

∞

X

n=0

a

m,n

+

+

µ(ε)

X

m=0

k(m)

X

n=0

a

m,n

−

ρ(ε)

X

j=0

a

σ(j)

+

µ(ε)

X

m=0

∞

X

n=k(m)+1

a

m,n

+

∞

X

j=ρ(ε)+1

a

σ(j)

≤

≤

∞

X

m=µ(ε)+1

∞

X

n=0

|a

m,n

|

+

ρ(ε)

X

j=r(ε)+1

|a

σ(j)

|+

µ(ε)

X

m=0

∞

X

n=k(m)+1

|a

m,n

|

+

∞

X

j=ρ(ε)+1

|a

σ(j)

| <

<

ε
4

+

ε
4

+

ε
4

+

ε
4

= ε .

Poniewa˙z ε oznacza dowolna

֒

liczbe

֒

dodatnia

֒

, wie

֒

c zachodzi r´owno´s´c

∞

X

m=0

∞

X

n=0

a

m,n

=

∞

X

j=0

a

σ(j)

.

2

Funkcje analityczne

Micha l Krych

W ten spos´

ob zako´

nczyli´smy omawianie zmian kolejno´sci sumowania szereg´ow pod-

w´

ojnych. Twierdzenie to przyda sie

֒

nam do wykazania, ˙ze z lo˙zenie funkcji analitycz-

nych jest funkcja

֒

analityczna

֒

.

Zaczniemy od definicji funkcji analitycznej.

Definicja 13.2 (

funkcji analitycznej

)

Funkcje

֒

f okre´slona

֒

na otoczeniu punktu p nazywamy analityczna

֒

w punkcie p

wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje cia

֒

g (a

n

) taki, ˙ze dla pewnej liczby r > 0 r´owno´s´c

f (x) =

∞

X

n=0

a

n

(x − p)

n

zachodzi dla ka˙zdego x , dla kt´orego |x − p| < r . Je´sli funkcja

f jest analityczna w ka˙zdym punkcie zbioru A , to m´owimy, ˙ze jest analityczna w

zbiorze A .

Przyk lad 13.1

Ka˙zdy wielomian jest funkcja

֒

analityczna

֒

w R a nawet w C .

Niech w(x) =

d

X

n=0

a

n

x

n

, a

d

6= 0 . Przyjmuja

֒

c a

n

= 0 dla n > d mo˙zemy napisa´c

w(x) =

∞

X

n=0

a

n

x

n

. Wobec tego

w(x) =

∞

X

n=0

a

n

(x − p + p)

n

=

∞

X

n=0

d

X

j=0

a

n

n

j

(x − p)

j

p

n−j

=

∞

X

n=0

∞

X

j=0

a

n

n

j

(x − p)

j

p

n−j

=

=

∞

X

j=0

∞

X

n=0

a

n

n

j

(x − p)

j

p

n−j

=

∞

X

j=0

h

∞

X

n=0

a

n

n

j

p

n−j

i

(x − p)

j

=

=

d

X

j=0

h

d

X

n=j

a

n

n

j

p

n−j

i

(x − p)

j

=

d

X

j=0

w

(j)

(p)

j!

(x − p)

j

.

Podali´smy dow´

od bezpo´sredni, ale oczywi´scie ten wz´or wynika te˙z z wzoru Lagrange’a

na (k + 1)–a

֒

reszte

֒

we wzorze Taylora.

Twierdzenie 13.3 (

o analityczno´

sci sumy szeregu pote

֒

gowego

)

Je´sli f (x) =

∞

X

n=0

a

n

(x − p)

n

dla ka˙zdego x , dla kt´orego |x − p| < r , gdzie r > 0

i |q − p| < r , to dla ka˙zdego x takiego, ˙ze |x − q| < r − |p − q| zachodzi r´owno´s´c

f (x) =

∞

X

n=0

f

(n)

(q)

n!

(x − q)

n

,

zatem funkcja f jest analityczna w kole o ´srodku p i promieniu r .

Dow´

od. Z twierdzenia o pochodnej szeregu pote

֒

gowego wynika, ˙ze

f

(j)

(q) =

∞

X

n=j

n(n − 1) · . . . · (n − j + 1)a

n

(q − p)

n−j

=

∞

X

n=j

j!

n

j

a

n

(q − p)

n−j

.

3

Funkcje analityczne

Micha l Krych

Mo˙zemy wie

֒

c napisa´c, ˙ze

f (x) =

∞

X

n=0

a

n

(x − p)

n

=

∞

X

n=0

a

n

(x − q + q − p)

n

=

∞

X

n=0

a

n

n

X

j=0

n

j

(x − q)

j

(q − p)

n−j

=

=

∞

X

n=0

a

n

∞

X

j=0

n

j

(x − q)

j

(q − p)

n−j

=

∞

X

j=0

∞

X

n=0

a

n

n

j

(x − q)

j

(q − p)

n−j

=

=

∞

X

j=0

(x − q)

j

∞

X

n=j

a

n

n

j

(q − p)

n−j

=

∞

X

j=0

f

(j)

(q)

j!

(x − q)

j

,

je´sli tylko potrafimy uzasadni´c zmiane

֒

kolejno´sci sumowania. Kolejno´s´c sumowania

mo˙ze by´c zmieniona, bowiem

∞

X

n=0

∞

X

j=0

|a

n

|

n

j

|x − q|

j

|q − p|

n−j

=

∞

X

n=0

|a

n

| |x − q| + |q − p|

n

< ∞ ,

bo |x − q| + |q − p| < r . W istocie rzeczy korzystamy w tym miejscu jedynie z tego, ze
suma szeregu bezwzgle

֒

dnie zbie˙znego jest niezale˙zna od kolejno´sci, w jakiej sumujemy

jego wyrazy.

Uwaga 12.4 Oczywi´scie promie´

n zbie˙zno´sci szeregu pote

֒

gowego mo˙ze ulec zmianie.

Funkcja

1

x

jest analityczna w punkcie 1 , bowiem

1
x

=

1

x−1+1

|x−1|<1

========

∞

X

n=0

(1 − x)

n

=

∞

X

n=0

(−1)

n

(x − 1)

n

.

Jest te˙z analityczna w dowolnym punkcie p 6= 0 , bowiem

1
x

=

1

x−p+p

=

1

p(1+

x−p

p

)

=

1
p

∞

X

n=0

p−x

p

n

=

∞

X

n=0

(−1)

n

p

n

+1

(x − p)

n

.

Bez trudu stwierdzamy, ˙ze promie´

n zbie˙zno´sci r´

owny jest w tym przypadku |p| , jasne

jest wie

֒

c, ˙ze przechodza

֒

c od 1 do

1
2

zmniejszamy promie´

n, a przechodza

֒

c od 1 do

3
2

— zwie

֒

kszamy. To ostatnie stwierdzenie wynika z zachowania sie

֒

tej akurat funkcji,

oczywi´scie w innych przypadkach mo˙ze by´c inaczej.

Twierdzenie 13.5 (

o analityczno´

sci z lo ˙zenia funkcji analitycznych

)

Je´sli funkcja f jest analityczna w punkcie p a funkcja g jest analityczna w punkcie

f (p) , to z lo˙zenie tych funkcji jest analityczne w punkcie p .

Dow´

od. Za l´

o˙zmy, ˙ze f (x) =

∞

X

n=0

a

n

(x − p)

n

, je´sli |x − p| < r i r > 0 oraz

g(y) =

∞

X

n=0

b

n

y − f(p)

n

, je´sli |y − f(p)| < ρ , ρ > 0 . Poniewa˙z funkcja zdefi-

niowana szeregiem pote

֒

gowym jest cia

֒

g la i szereg pote

֒

gowy jest wewna

֒

trz swego

przedzia lu (ko la) zbie˙zno´sci jest zbie˙zny bezwzgle

֒

dnie, wie

֒

c istnieje liczba dodatnia

4

Funkcje analityczne

Micha l Krych

r

0

< r taka, ˙ze je´sli |x − p| < r

0

, to

∞

X

n=1

|a

n

| · |x − p|

n

< ρ . Wynika sta

֒

d, ˙ze

∞

X

j=0

|b

j

|

∞

X

n=1

|a

n

| · |x − p|

n

j

< ∞ , dzie

֒

ki czemu mo˙zemy zmienia´c kolejno´s´c sumowa-

nia dowolnie. Z twierdzenia o mno˙zeniu szereg´

ow wynika, ˙ze mo˙zna szereg pote

֒

gowy

podnie´s´c do dowolnej naturalnej pote

֒

gi. W wyniku otrzymujemy szereg pote

֒

gowy.

Niech

∞

X

n=1

a

n

· (x − p)

n

j

=

∞

X

n=j

a

j,n

(x − p)

n

. Z nier´owno´sci tr´ojka

֒

ta wynika, ˙ze

prawdziwa jest nier´

owno´s´c

∞

X

n=j

|a

j,n

| · |x − p|

n

≤

∞

X

n=1

|a

n

| · |x − p|

n

j

. Wobec tego

w szeregu podw´

ojnym

∞

X

j=0

b

j

∞

X

n=j

a

j,n

(x − p)

n

mo˙zna zmienia´c kolejno´s´c wyraz´ow do-

wolnie nie wp lywaja

֒

c na jego zbie˙zno´s´c ani sume

֒

. Mamy wie

֒

c

∞

X

j=0

b

j

∞

X

n=j

a

j,n

(x − p)

n

=

∞

X

n=0

n

X

j=0

b

j

a

j,n

(x − p)

n

.

Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Naste

֒

pne twierdzenie, kt´

orym sie

֒

zajmiemy zwykle nie jest dowodzone w ra-

mach wyk ladu z analizy na pierwszym roku i studenci poznaja

֒

je na wyk ladzie z

funkcji analitycznych z zupe lnie innym dowodem ni˙z pochodza

֒

cy od Cauchy’ego,

kt´ory przedstawimy za chwile

֒

.

Twierdzenie 13.6 (

o analityczno´

sci funkcji odwrotnej

)

Je´sli funkcja f jest analityczna w punkcie p i f

′

(p) 6= 0 , to po ograniczeniu jej

dziedziny do dostatecznie ma lego otoczenia punktu p otrzymujemy funkcje

֒

r´o˙zno-

warto´sciowa

֒

, kt´

orej funkcja odwrotna jest analityczna.

Dow´

od. Poniewa˙z funkcje: T przypisuja

֒

ca liczbie y liczbe

֒

y − f(p) i funkcja S

przypisuja

֒

ca liczbie x liczbe

֒

x+p sa

֒

analityczne i odwrotne do nich te˙z, wie

֒

c mo˙zemy

zaja

֒

´c sie

֒

istnieniem funkcji odwrotnej do funkcji g := T ◦f ◦S . Je´sli zdo lamy wykaza´c,

˙ze to z lo˙zenie ma funkcje

֒

odwrotna

֒

, to be

֒

dziemy mogli napisa´c, ˙ze prawdziwy jest

wz´

or f

−1

= S ◦ (T ◦ f ◦ S)

−1

◦ T , wie

֒

c na mocy poprzedniego twierdzenia funkcja

f

−1

oka˙ze sie

֒

by´c funkcja

֒

analityczna

֒

. Oczywi´scie g(0) = T ◦ f ◦ S(0) = 0 . Niech

g(x) = T ◦ f ◦ S(x) =

∞

X

n=1

a

n

x

n

.* Oczywi´scie a

1

= g

′

(0) = f

′

(p) 6= 0 . Chcemy

udowodni´c, ˙ze funkcja g

−1

jest analityczna w punkcie 0 .

*

Na wyk ladzie wykaza lem, ˙ze mo˙zna ograniczy´

c sie

֒

do przypadku a

1

=1 , ale tu z tego nie korzystam.

W tym przypadku by loby b

1

=1 .

5

Funkcje analityczne

Micha l Krych

Za l´

o˙zmy, ˙ze g

−1

(x) =

∞

X

n=1

b

n

x

n

dla dostatecznie ma lych |x| . Udowodnimy, ˙ze ta

r´owno´s´c wyznacza liczby b

1

, b

2

, . . . . Wynika z niej i z twierdzenia o z lo˙zeniu funkcji

analitycznych, ˙ze w pewnym otoczeniu 0 spe lniona jest r´owno´s´c

x =

∞

X

n=1

a

n

∞

X

j=1

b

j

x

j

n

=

= a

1

b

1

x + b

2

x

2

+ · · ·

+ a

2

b

1

x + b

2

x

2

+ · · ·

2

+ a

3

b

1

x + b

2

x

2

+ · · ·

3

+ · · · .

Zmieniaja

֒

c kolejno´s´c sumowania otrzymujemy:

x = a

1

b

1

x +

a

1

b

2

+ a

2

b

2

1

x

2

+

a

1

b

3

+ 2a

2

b

1

b

2

+ a

3

b

3

1

x

3

+

+

a

1

b

4

+ 2a

2

b

1

b

3

+ a

2

b

2

2

+ 3a

3

b

2

1

b

2

+ a

4

b

4

1

x

4

+ · · · .

Wynika z tej r´

owno´sci, ˙ze

b

1

=

1

a

1

;

b

2

= −

1

a

1

a

2

b

2

1

;

b

3

= −

1

a

1

2a

2

b

1

b

2

+ a

3

b

3

1

;

b

4

= −

1

a

1

2a

2

b

1

b

3

+ a

2

b

2

2

+ 3a

3

b

2

1

b

2

+ a

4

b

4

1

Widzimy wie

֒

c, ˙ze udaje sie

֒

obliczy´c kolejno b

1

, b

2

, . . . Wobec tego mo˙zliwe jest

napisanie wzoru na funkcje

֒

odwrotna

֒

w postaci szeregu pote

֒

gowego, co nieomal

ko´

nczy dow´

od. Pozostaje jednak kwestia zbie˙zno´sci otrzymanego szeregu. Teoretycz-

nie mog loby sie

֒

zdarzy´c, ˙ze promie´

n zbie˙zno´sci otrzymanego szeregu r´owny jest 0 .

Zajmiemy sie

֒

teraz opisanym problemem. Poniewa˙z promie´

n zbie˙zno´sci szeregu

P a

n

x

n

jest dodatni, wie

֒

c istnieje liczba c > 0 , dla kt´orej szereg

P a

n

c

n

jest zbie˙zny

bezwzgle

֒

dnie. Wobec tego lim

n→∞

a

n

c

n

= 0 , zatem cia

֒

g a

n

c

n

jest ograniczony. Ozna-

cza to, ˙ze istnieje liczba M > 0 taka, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi

nier´

owno´s´c |a

n

c

n

| ≤ M , zatem |a

n

| ≤ Mc

−n

. Zdefiniujemy pomocnicza

֒

funkcje

֒

analityczna

֒

h(x) = |a

1

|x − Mc

−2

x

2

− Mc

−3

x

3

− · · · . Znajdujemy wsp´o lczynniki

d

1

, d

2

, . . . szeregu Maclaurina funkcji h

−1

. Wyrazi´c je mo˙zna za pomoca

֒

tych sa-

mych wzor´

ow, kt´

ore otrzymali´smy w przypadku wsp´o lczynnik´ow funkcji g

−1

z tym

tylko, ˙ze liczby a

1

, a

2

, a

3

, . . . zaste

֒

pujemy kolejno liczbami |a

1

|, −Mc

−2

, −Mc

−3

, . . . .

Mamy wie

֒

c

d

1

=

1

|a

1

|

≥ |b

1

| ,

d

2

= −

1

|a

1

|

− Mc

−2

d

2

1

=

1

|a

1

|

M c

−2

d

2

1

≥

−

1

a

1

a

2

b

2

1

= |b

2

| ,

6

Funkcje analityczne

Micha l Krych

d

3

= −

1

|a

1

|

− 2Mc

−2

d

1

d

2

− 2Mc

−3

d

3

1

=

1

|a

1

|

2M c

−2

d

1

d

2

+ 2M c

−3

d

3

1

≥

≥

−

1

a

1

2a

2

b

1

b

2

+ a

3

b

3

1

= |b

3

| .

Analogicznie d

4

≥ |b

4

| itd. (INDUKCJA!). Wynika sta

֒

d, ˙ze wystarczy wykaza´c, ˙ze

promie´

n zbie˙zno´sci szeregu

P d

n

x

n

jest dodatni!* Mamy

y = h(x) = |a

1

|x − Mc

−2

x

2

− Mc

−3

x

3

− · · · = |a

1

|x −

M c

−2

x

2

1−c

−1

x

=

|a

1

|c

2

x−(|a

1

|c+M x

2

)

c

2

−cx

,

czyli (|a

1

|c + M)x

2

− (cy + a

1

c

2

)x + c

2

y = 0 . Otrzymane r´ownanie kwadratowe roz-

wia

֒

zujemy bez trudu:

x =

1

2(|a

1

|c+M )

h

(cy + |a

1

|c

2

) ±

p(cy + |a

1

|c

2

)

2

− 4c

2

y(|a

1

|c + M)

i

.

Poniewa˙z h(0) = 0 , wie

֒

c r´

ownie˙z h

−1

(0) = 0 . Oznacza to, ˙ze

x =

1

2(|a

1

|c+M )

h

(cy + |a

1

|c

2

) −

p(cy + |a

1

|c

2

)

2

− 4c

2

y(|a

1

|c + M)

i

.

Wyrazili´smy x jako funkcje

֒

zmiennej y i to funkcje

֒

analityczna

֒

, bowiem z lo˙zenie

funkcji analitycznych, suma i r´

o˙znica funkcji analitycznych sa

֒

funkcjami analitycz-

nymi, wielomian jest funkcja

֒

analityczna

֒

, pierwiastek kwadratowy te˙z, bo je´sli q > 0 ,

to

√

x =

√

q + x − q =

√

q ·

r

1 +

x − q

q

=

√

q ·

∞

X

n=0

1/2

n

x − q

q

n

— skorzystali´smy z szeregu dwumianowego Newtona, promieniem zbie˙zno´sci otrzy-

manego szeregu pote

֒

gowego jest liczba |q| .Dow´od zosta l zako´nczony.

Z udowodnionych twierdze´

n wynika od razu, ˙ze funkcje analityczne w ustalonym

punkcie tworza

֒

zbi´

or zamknie

֒

ty ze wzgle

֒

du na dodawanie, odejmowanie, mno˙zenie i

dzielenie przez te, kt´

ore nie przyjmuja

֒

warto´sci 0 . Mo˙zna je te˙z sk lada´c i odwraca´c.

Wyja´snia to, dlaczego praktycznie wszystkie, kt´

orymi sie

֒

zajmujemy, sa

֒

analityczne,

czasem z wyja

֒

tkiem nielicznych punkt´

ow, jak np. funkcja x

13

|x| , kt´ora nie jest anali-

tyczna w punkcie 0 . Bardziej ambitny przyk lad to funkcja zdefiniowana r´owno´sciami

f (x) = 0 dla x ≤ 0 i f(x) = e

−1/x

dla x > 0 . Ta funkcja jest niesko´

nczenie wiele

razy r´

o˙zniczkowalna. Mamy f

(n)

(0) = 0 dla n = 1, 2, . . . . Gdyby by la analityczna w

punkcie 0 , to zachodzi laby r´

owno´s´c f (x) = 0 +

0

1!

x +

0

2

2!

x

2

+ · · · = 0 dla dostatecznie

ma lych |x| , ale tak nie jest dla ˙zadnego x > 0 .

Twierdzenie 13.7 (Zasada identyczno´

sci)

Je´sli funkcje analityczne f i g pokrywaja

֒

sie

֒

w punktach zbioru, kt´ory ma punkt

skupienia p , to pokrywaja

֒

sie

֒

w pewnym otoczeniu punktu p .

Dow´

od. Niech f (x

n

) = g(x

n

) , lim

n→∞

x

n

= p i n 6= m =⇒ x

n

6= x

m

. Za l´o˙zmy,

*

Ze zbie˙zno´

sci szeregu o wie

֒

kszych, nieujemnych wyrazach wynika zbie˙zno´

s´

c szeregu o mniejszych

nieujemnych wyrazach.

7

Funkcje analityczne

Micha l Krych

˙ze f (x) =

∞

X

n=0

a

n

(x − p)

n

i g(x) =

∞

X

n=0

b

n

(x − p)

n

, gdy |x| jest dostatecznie ma la

֒

liczba

֒

. Mamy a

0

= f (p) = lim

n→∞

f (x

n

) = lim

n→∞

g(x

n

) = g(p) = b

0

. Wobec tego dla

ka˙zdego j zachodzi r´

owno´s´c

∞

X

n=1

a

n

(x

j

− p)

n−1

=

∞

X

n=1

b

n

(x

j

− p)

n−1

— otrzymujemy

ja

֒

dziela

֒

c r´

owno´s´c f (x) − a

0

= g(x) − b

0

stronami przez x

j

− p . Z tej r´owno´sci

i cia

֒

g lo´sci funkcji analitycznych

∞

X

n=1

a

n

(x

j

− p)

n−1

,

∞

X

n=1

b

n

(x

j

− p)

n−1

wynika, ˙ze

a

1

= lim

j→∞

∞

X

n=1

a

n

(x

j

− p)

n−1

=

∞

X

n=1

b

n

(x

j

− p)

n−1

= b

1

. To rozumowanie indukcyjne

mo˙zna kontynuowa´c. W rezultacie r´

owno´s´c a

n

= b

n

ma miejsce dla wszystkich liczb

naturalnych n , co dowodzi, ˙ze w ca lym przedziale zbie˙zno´sci szeregu

∞

X

n=0

a

n

(x

j

− p)

n

zachodzi r´

owno´s´c f (x) = g(x) .

Przyk lad 13.2

Tangens jest funkcja

֒

analityczna

֒

we wszystkich punktach x ,

w kt´

orych cos x 6= 0 . Wynika to z tego, ˙ze tg x = sin x ·

1

cos x

. Funkcje sinus i kosi-

nus sa

֒

analityczne w ca lej prostej (w ca lej p laszczy´znie), bo promienie zbie˙zno´sci ich

szereg´

ow Maclaurina sa

֒

r´

owne +∞ . Funkcja

1

x

jest analityczna w ka˙zdym punkcie

p 6= 0 . Wynika sta

֒

d, ˙ze funkcja

1

cos x

jest z lo˙zeniem funkcji analitycznych i wobec

tego te˙z jest analityczna. Wobec tego tangens jest iloczynem dwu funkcji analitycz-

nych, zatem jest funkcja

֒

analityczna

֒

. Podkre´sli´c wypada, ˙ze od tego stwierdzenia

do uzyskania rozwinie

֒

cia tangensa np. w szereg Maclaurina droga nie jest kr´otka.

Mo˙zna natomiast wylicza´c wsp´

o lczynniki tego rozwinie

֒

cia korzystaja

֒

c z r´owno´sci

(tg x)

′

= 1 + tg

2

x : je´sli tg x = a

1

x + a

3

x

3

+ a

5

x

5

+ · · · ( 0 = a

0

= a

2

= a

4

= . . . ,

bo tg(−x) = − tg x ), to a

1

+ 3a

3

x

2

+ 5a

5

x

4

+ · · · = 1 + (a

1

x + a

3

x

3

+ a

5

x

5

+ · · ·)

2

=

=1 + a

2

1

x

2

+ 2a

1

a

3

x

4

+ +(2a

1

a

5

+ a

2

3

)x

6

+ (2a

1

a

7

+ 2a

3

a

5

)x

8

, co prowadzi do r´owno´sci

a

1

= 1 , 3a

3

= a

2

1

, 5a

5

= 2a

1

a

3

, . . . a z nich mo˙zemy kolejno obliczy´c a

1

, a

3

, a

5

, . . .

Zadanie.

Za l´

o˙zmy, ˙ze f (x) = 2x +

∞

X

n=2

a

n

x

n

, gdy |x| < r , r > 0 . Wykaza´c, ˙ze

istnieje taka funkcja h analityczna w pewnym otoczeniu punktu 0 , ˙ze h(0) = 0 ,

h

′

(0) = 1 i 2h(x) = h(f (x)) dla dostatecznie ma lych |x| .

Zache

֒

cam do zrobienia tego zadania, to niezbyt trudne ´cwiczenie, kt´orego zro-

bienia powinno u latwi´c rzeczywiste zrozumienie opisanej w dowodzie o analityczno´sci

funkcji odwrotnej metody Cauchy’ego, a jednocze´snie fragment (ma ly) dosy´c znanego

w niekt´orych kre

֒

gach twierdzenia Henri Poincar´ego.

8