Funkcja wykÃladnicza, kosinus i sinus

Tekst poprawiony 15 lutego 2014, 0:35

W dalszej cze

,

´sci wyk ladu wygodnie jest u˙zy´c liczb zespolonych znanych ju˙z

studentom z wyk ladu algebry liniowej. Przypomnie´c wypada, ˙ze liczbami zespolo-

nymi nazywamy uporza

,

dkowane pary liczb rzeczywistych, kt´ore mo˙zna w naturalny

spos´ob identyfikowa´c z punktami p laszczyzny. Be

,

dziemy standardowo przyjmowa´c,

˙ze z = x + yi , z

n

= x

n

+ y

n

i zak ladaja

,

c, ˙ze x, y, x

n

, y

n

∈ R .

Przypomnie´c wypada, ˙ze je´sli z ∈ C i z = x + iy , x, y ∈ R , to piszemy

Re(z) = x oraz Im(z) = y . Piszemy te˙z |z| =

p

x

2

+ y

2

. Warto´s´c bezwzgle

,

dna to

tak jak w przypadku liczb rzeczywistych odleg lo´s´c punktu z od punktu 0 . Liczby

zespolone mo˙zna dodawa´c i mno˙zy´c. Sa

,

spe lnione wszystkie pewniki z listy podanej

dla liczb rzeczywistych z wyja

,

tkiem tych, w kt´orych wyste

,

puje nier´owno´s´c. W zbiorze

liczb zespolonych nier´owno´sci zgodnej z dzia laniami wprowadzi´c nie mo˙zna, bo gdyby

to sie

,

uda lo, to wszystkie niezerowe kwadraty okaza lyby sie

,

dodatnie, wie

,

c zar´owno

−1 = i

2

jak i 1 = 1

2

by lyby liczbami dodatnimi, ale ich suma, r´owna 0 , dodatnia

by nie by la.

Zachodzi natomiast nier´owno´s´c tr´ojka

,

ta: |z

1

+ z

2

| ≤ |z

1

| + |z

2

| dla dowolnych

liczb z

1

, z

2

∈ C .

Jej druga wersja to

|z

1

| − |z

2

|

≤ |z

1

− z

2

| . Tr´ojka

,

t, o kt´orym mo˙zna pomy´sle´c

(druga wersja) ma wierzcho lki z

1

, 0, z

2

. Nier´owno´s´c

|z

1

| − |z

2

|

≤ |z

1

− z

2

| jest

ostra chyba, ˙ze jeden z punkt´ow z

1

, z

2

le˙zy mie

,

dzy drugim z nich i punktem 0 . Nie

dowodzimy wszystkich tych stwierdze´

n bo ich latwe dowody pojawi ly sie

,

z pewno´scia

,

na zaje

,

ciach z algebry liniowej.

Przed podaniem naste

,

pnych przyk lad´ow i twierdze´

n zajmiemy sie

,

przez chwile

,

cia

,

gami i szeregami liczb zespolonych.

Twierdzenie 4.1 (granicy cia

,

gu liczb zespolonych)

Liczba zespolona z jest granica

,

cia

,

gu liczb zespolonych (z

n

) wtedy i tylko wtedy,

gdy dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje liczba naturalna n

ε

taka, ˙ze je´sli n > n

ε

, to

|z

n

− z| < ε .

Jak wida´c definicja granicy jest dok ladnie taka sama jak w przypadku liczb

rzeczywistych. Jasne jest, ˙ze lim

n→∞

z

n

= z wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

|z

n

− z| = 0 .

Nie mo˙zemy jednak m´owi´c o cia

,

gach monotonicznych, bo w zbiorze liczb zespolonych

nie da sie

,

zdefiniowa´c nier´owno´sci zgodnej z dodawaniem i mno˙zeniem. Twierdzenia,

definicje itp., kt´ore nie sa

,

zwia

,

zane z monotoniczno´scia

,

, mo˙zna przenie´s´c na og´o l bez

˙zadnych zmian na przypadek zespolony.

1

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

Stwierdzenie 4.2

Cia

,

g (z

n

) jest zbie˙zny do liczby z wtedy i tylko wtedy, gdy x = lim

n→∞

x

n

i jedno-

cze´snie y = lim

n→∞

y

n

.

Dow´

od. Zachodza

,

nier´owno´sci |z

n

− z| =

p

(x

n

− x)

2

+ (y

n

− y)

2

≥ |x

n

− x|

i |z

n

− z| =

p

(x

n

− x)

2

+ (y

n

− y)

2

≥ |y

n

− y| .* Wobec tego z twierdzenia o

trzech cia

,

gach wynika, ˙ze je´sli lim

n→∞

z

n

= z , to lim

n→∞

x

n

= x i lim

n→∞

y

n

= y , co

ko´

nczy dow´od stwierdzenia w jedna

,

strone

,

. Je´sli lim

n→∞

x

n

= x i lim

n→∞

y

n

= y , to

0 = lim

n→∞

p

(x

n

− x)

2

+ (y

n

− y)

2

= lim

n→∞

|z

n

− z| , wie

,

c lim

n→∞

z

n

= z .

Z nier´owno´sci |x

n

−x| ≤ |z

n

−z| , |y

n

−y| ≤ |z

n

−z| i |z

n

−z| ≤ |x

n

−x|+|y

n

−y|

wynika

Stwierdzenie 4.3

Cia

,

g (z

n

) spe lnia warunek Cauchy’ego wtedy i tylko wtedy, gdy oba cia

,

gi (x

n

) , (y

n

)

spe lniaja

,

warunek Cauchy’ego.

Wobec tego, podobnie jak w przypadku rzeczywistym, prawdziwe jest bardzo

wa˙zne

Stwierdzenie 4.4

Cia

,

g (z

n

) ma granice

,

(sko´

nczona

,

) wtedy i tylko wtedy, gdy spe lniony jest warunek

Cauchy’ego.

Z tego banalnie wygla

,

daja

,

cego stwierdzenia wynika, ˙ze twierdzenia o szeregach

bezwzgle

,

dnie zbie˙znych sa

,

prawdziwe r´ownie˙z w przypadku szereg´ow o wyrazach

zespolonych.

Przyk lad 4.1

Niech z oznacza dowolna

,

liczbe

,

zespolona

,

. Udowodnimy teraz

bezpo´srednio, ˙ze szereg

P

∞
n=0

z

n

n!

jest bezwzgle

,

dnie zbie˙zny. Zastosujemy kryterium

ilorazowe d’Alemberta do szeregu

P

∞
n=0

z

n

n!

w przypadku z 6= 0 , w przypadku

z = 0 nasz szereg ma wyrazy nieujemne: 1 + 0 + 0 + 0 + . . . , wie

,

c jest zbie˙zny

bezwzgle

,

dnie. Zachodzi wz´or

z

n+1

(n+1)!

.

z

n

n!

=

|z|

n+1

−−−−→

n→∞

0 < 1 , zatem szereg

P

∞
n=0

z

n

n!

jest zbie˙zny dla ka˙zdego z 6= 0 , co oznacza, ˙ze szereg

P

∞
n=0

z

n

n!

jest

zbie˙zny bezwzgle

,

dnie. Wyka˙zemy, ˙ze dla dowolnych liczb zespolonych z, w zachodzi

r´owno´s´c

P

∞
n=0

z

n

n!

·

P

∞
n=0

w

n

n!

=

P

∞
n=0

(z+w)

n

n!

. Zastosujemy oczywi´scie twierdzenie

Cauchy’ego o mno˙zeniu szereg´ow. Mamy

1 +

z

1!

+

z

2

2!

+

z

3

3!

+ . . .

·

1 +

w
1!

+

w

2

2!

+

w

3

3!

+ . . .

=

*

Odleg lo´s´

c mie,dzy rzutami na o´s nie przekracza odleg lo´sci mie,dzy rzutowanymi punktami.

2

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

= 1 +

z

1!

+

w
1!

+

z

2

2!

+

z

1!

·

w
1!

+

w

2

2!

+

z

3

3!

+

z

2

2!

·

w
1!

+

z

1!

·

w

2

2!

+

w

3

3!

+ · · · =

dwumian Newtona

=============1 +

z+w

1!

+

(z+w)

2

2!

+

(z+w)

3

3!

+ . . . .

Wypada stwierdzi´c, ˙ze w licznych podre

,

cznikach liczba e

x

jest definiowana jako

suma szeregu niesko´

nczonego

∞

X

n=0

x

n

n!

. Posta

,

pili´smy inaczej g l´ownie ze wzgle

,

du na to,

˙ze ta definicja, kt´ora

,

podali´smy wcze´sniej, e

x

= lim

n→∞

1 +

x
n

n

, mo˙ze by´c na tym po-

ziomie zaawansowania latwiej powia

,

zana z zastosowaniami i to w zrozumia ly spos´ob.

Nadmieni´c wypada, ˙ze po ostatnim przyk ladzie niewiele ju˙z zosta lo do zrobienia, by

otrzyma´c wszystkie w lasno´sci funkcji wyk ladniczej na drodze tu opisanej. Dobrym

i jednocze´snie prostym ´cwiczeniem by loby wykazanie nier´owno´sci

∞

X

n=0

x

n

n!

≥ 1 + x dla

ujemnych liczb rzeczywistych x za pomoca

,

operacji na szeregach.

Teraz zajmiemy sie

,

funkcja

,

wyk ladnicza o podstawie e i zespolonym wyk ladniku.

Lemat 4.5 (zespolony o granicach n -tych pote

,

g cia

,

g´

ow „szybko

zbie˙znych” do 1)

Je´sli lim

n→∞

n · z

n

= 0 , to lim

n→∞

(1 + z

n

)

n

= 1 .

Dow´

od. Wyka˙zemy, ˙ze zachodzi nier´owno´s´c |(1 + z)

n

− 1| ≤ (1 + |z|)

n

− 1 korzy-

staja

,

c z dwumianu Newtona i nier´owno´sci tr´ojka

,

ta. Zachodza

,

wzory:

|(1 + z)

n

− 1| =

1 +

n

1

z +

n

2

z

2

+ · · · +

n

n−1

z

n−1

+ z

n

− 1

≤

≤

n

1

|z| +

n

2

|z|

2

+ · · · +

n

n−1

|z|

n−1

+ |z|

n

= (1 + |z|)

n

− 1 .

Poniewa˙z za lo˙zyli´smy, ˙ze lim

n→∞

n · z

n

= 0 , wie

,

c lim

n→∞

n · |z

n

| = 0 i wobec tego, ˙ze

zachodzi nier´owno´s´c |(1 + z

n

)

n

− 1| ≤ (1 + |z

n

|)

n

− 1 , a to ostatnie wyra˙zenie ma

granice

,

0 przy n −→ ∞ , na mocy rzeczywistego lematu o pote

,

gach cia

,

g´ow szybko

zbie˙znych do 1 , wie

,

c lemat zespolony wynika natychmiast z twierdzenia o trzech

cia

,

gach.

Teraz czeka nas dow´od istnienia granicy lim

n→∞

(1 +

z

n

)

n

. Musi on sie

,

r´o˙zni´c od

dowodu w przypadku rzeczywistym, bo o ˙zadnej monotoniczno´sci tym razem m´owi´c

nie mo˙zemy, bo to poje

,

cie nie stosuje sie

,

do liczb nierzeczywistych. Zamiast niego wy-

korzystamy twierdzenie Cauchy’ego, wg. kt´orego cia

,

g liczbowy spe lniaja

,

cy warunek

Cauchy’ego ma granice

,

sko´

nczona

,

.

Lemat 4.6 (o zbie˙zno´sci cia

,

gu lim

n→∞

(1 +

z

n

)

n

)

Cia

,

g (1 +

z

n

)

n

spe lnia warunek Cauchy’ego, wie

,

c jest zbie˙zny.

Dow´

od. Zauwa˙zmy najpierw, ˙ze je´sli n > m ≥ k ≥ 0 , to

m

k

1

m

k

<

n

k

1

n

k

.Wynika

3

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

to natychmiast z tego, ˙ze

m

k

1

m

k

=

m(m−1)...(m−k+1)

m

k

k!

= 1 −

1

m

· 1 −

2

m

· . . . · 1 −

k−1

m

·

1

k!

,

wobec tego zaste

,

puja

,

c w tym wzorze m przez n > m zwie

,

kszamy mianowniki za-

chowuja

,

c liczniki bez zmian, co oczywi´scie powoduje wzrost mno˙zonych u lamk´ow.

Mamy zatem

1 +

z

n

n

− 1 +

z

m

m

=

1 +

n

1

z

n

+

n

2

z

n

2

+ · · · +

n

n−1

z

n

n−1

+

z

n

n

−

−

1 +

m

1

z

m

+

m

2

z

m

2

+ · · · +

m

m−1

z

m

m−1

+

z

m

m

≤

≤ [1 − 1]+

n

1

1

n

−

m

1

1

m

|z|+

n

2

1

n

2

−

m

2

1

m

2

|z|

2

+· · ·+

n

m

1

n

m

−

m
m

1

m

m

|z|

m

+

+

n

m+1

1

n

m+1

|z|

m+1

+ · · · +

n

n−1

1

n

n−1

|z|

n−1

+ |z|

n

=

1 +

|z|

n

n

−

1 +

|z|

m

m

.

Poniewa˙z cia

,

g

(1 +

|z|

n

)

n

jest zbie˙zny (liczba |z| jest rzeczywista!), wie

,

c spe lnia

on warunek Cauchy’ego, wobec tego r´ownie˙z cia

,

g (1 +

z

n

)

n

spe lnia warunek Cau-

chy’ego – wykazali´smy bowiem, ˙ze odleg lo´sci mie

,

dzy wyrazami tego ostatniego nie

przekraczaja

,

odleg lo´sci odpowiednich wyraz´ow cia

,

gu

(1 +

|z|

n

)

n

. Lemat zosta l do-

wiedziony.

Definicja 4.7 (zespolonej funkcji wyk ladniczej o podstawie e )

e

z

:= exp(z) := lim

n→∞

1 +

z

n

n

.

Twierdzenie 4.8 (o podstawowych w lasno´sciach funkcji zespolonej exp)

c1. Dla dowolnych liczb zespolonych z, w zachodzi r´owno´s´c

exp(z + w) = exp(z) · exp(w) .

c2. Dla dowolnego cia

,

gu (z

n

) liczb zespolonych r´o˙znych od 0 zbie˙znego do 0 za-

chodzi r´owno´s´c

lim

n→∞

exp(z

n

) − 1

z

n

= 1 .

Dow´

od. W lasno´s´c c1 wynika z lematu zespolonego o granicach n –tych pote

,

g

cia

,

g´ow szybko zbie˙znych do 1 w dok ladnie taki sam spos´ob jak w przypadku rze-

czywistym. Dla dowodu w lasno´sci c2 skorzystamy z w lasno´sci rzeczywistej funkcji

exp i wykazanej w dowodzie lematu o zbie˙zno´sci cia

,

gu

1 +

z

n

n

nier´owno´sci w

przypadku n > m = 1 zak ladaja

,

c, ˙ze |z| < 1 :

1 +

z

n

n

− (1 + z)

≤

1 +

|z|

n

n

− (1 + |z|) ≤ exp(|z|) − (1 + |z|) ≤

≤

1

1−|z|

− (1 + |z|) =

|z|

2

1 − |z|

4

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

Mamy wie

,

c

1 +

z

n

n

−(1 + z)

≤

|z|

2

1−|z|

. Sta

,

d przechodza

,

c do granicy przy n → +∞

otrzymujemy w przypadku 0 < |z| < 1 nier´owno´s´c | exp(z)−(1+z)| ≤

|z|

2

1−|z|

, z kt´orej

w lasno´s´c c2 wynika od razu:

exp(z)−1

z

− 1

=

exp(z)−(1+z)

z

≤

|z|

1−|z|

.

Wniosek 4.9 (o cia

,

g lo´sci funkcji exp)

Je´sli lim

n→∞

z

n

= z , to lim

n→∞

exp(z

n

) = exp(z) .

Dow´

od.

lim

n→∞

exp(z

n

) = exp(z) + exp(z) · lim

n→∞

(z

n

− z) · lim

n→∞

exp(z

n

−z)−1

z

n

−z

=

= exp(z) + exp(z) · 0 · 1 = exp(z).

Twierdzenie 4.10 (o jednoznaczno´sci funkcji zespolonej exp )

Je´sli funkcja f : C −→ C spe lnia warunki

c1 dla dowolnych liczb zespolonych z, w zachodzi r´owno´s´c f (z + w) = f (z)f (w) ,

c2 dla dowolnego cia

,

gu (z

n

) liczb zespolonych r´o˙znych od 0 zbie˙znego do 0 za-

chodzi r´owno´s´c lim

n→∞

f (z

n

)−1

z

n

= 1 ,

to dla ka˙zdej liczby zespolonej z zachodzi r´owno´s´c f (z) = exp(z) = lim

n→∞

1 +

z

n

n

.

Dow´

od. Mamy lim

n→∞

(1+

z

n

)

n

6= 0 . Dla dostatecznie du˙zych n mamy (1+

z

n

)

n

6= 0 .

Mamy te˙z f z

=

f

z

n

n

. Wobec tego

f (z)

lim

n→∞

(1 +

z

n

)

n

= lim

n→∞

1 +

f (

z

n

) − 1 −

z

n

1 +

z

n

n

= 1 ,

bo lim

n→∞

n · (f (

z

n

) − 1 −

z

n

) = lim

n→∞

z

f (

z

n

)−1

z

n

− z

= z · 1 − z = 0 , wie

,

c mo˙zemy

skorzysta´c z lematu o pote

,

gach cia

,

g´ow zespolonych szybko zbie˙znych do 1 , biora

,

c

pod uwage

,

te˙z to, ˙ze lim

n→∞

1 +

z

n

= 1 .

Uog´olnimy nieco twierdzenie o jednoznaczno´sci funkcji wyk ladniczej.

Twierdzenie 4.11 (o jednoznaczno´sci zespolonej funkcji wyk ladniczej)

Je´sli funkcja f : C −→ C spe lnia warunki

c1 dla dowolnych liczb zespolonych z, w zachodzi r´owno´s´c f (z + w) = f (z)f (w) ,

c2 dla dowolnego cia

,

gu (z

n

) liczb zespolonych r´o˙znych od 0 zbie˙znego do 0 za-

chodzi r´owno´s´c

lim

n→∞

f (z

n

)−1

z

n

= A ,

to dla ka˙zdej liczby zespolonej z zachodzi r´owno´s´c f (z) = exp(Az) = e

Az

.

Dow´

od. Mo˙zemy powt´orzy´c dow´od poprzedniej wersji twierdzenia, jednak posta

,

pi-

my nieco inaczej. Zdefiniujemy pomocnicza

,

funkcje

,

g(z) = f (

z

A

) , je´sli A 6= 0 . Mamy

g(z + w) = f (

z+w

A

) = f (

z

A

+

w
A

) = f (

z

A

) · f (

w
A

) = g(z) · g(w) .

5

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

Je´sli lim

n→∞

z

n

= 0 i z

n

6= 0 dla n ∈ N , to

lim

n→∞

g(z

n

)−1

z

n

=

1

A

· lim

n→∞

f (z

n

/A)−1

z

n

/A

=

1

A

· A = 1 .

Wobec tego dla ka˙zdej liczby zespolonej z zachodzi r´owno´s´c e

z

= g(z) . Sta

,

d wynika

od razu, ˙ze f (z) = f

Az

A

= g(Az) = e

Az

.

Pozosta l przypadek A = 0 . Niech z ∈ C \ {0} . Mamy lim

n→∞

z

n

= 0 i z

n

6= 0 dla

n ∈ N , wie

,

c lim

n→∞

f (

z

n

)−1

z

n

= A = 0 Z lematu zespolonego o granicach pote

,

g cia

,

g´ow

szybko zbie˙znych do 1 wynika, ˙ze f (z) =

f

z

n

n

=

1 +

f (

z

n

)−1

z

n

z

n

n

−−−−→

n→∞

1 , a to

oznacza, ˙ze dla ka˙zdej liczby zespolonej z zachodzi r´owno´s´c f (z) = 1 = e

0·z

.

Twierdzenie 4.12 (kilka naste

,

pnych w lasno´sci funkcji zespolonej exp)

c3. exp(z) = exp(z) dla ka˙zdej liczby zespolonej z .

c4. Je´sli y ∈ IR , to exp(iy) = exp (−iy) .

c5. Je´sli y ∈ IR , to | exp(iy)| = 1 .

c6. | exp(z)| = exp(Rez) ≤ exp(|z|) dla ka˙zdej liczby zespolonej z .

c7. Je´sli y ∈ IR , to | exp(iy) − 1| ≤ |y|

Dow´

od. Mamy

exp(z) = lim

n→∞

1 +

z

n

n

= lim

n→∞

1 +

z

n

n

= lim

n→∞

1 +

z

n

n

= exp(z) .

Wykazali´smy c3. Z tej w lasno´sci c4 wynika przez podstawienie, a naste

,

pna w lasno´s´c

wynika sta

,

d, ˙ze

| exp(iy)|

2

= exp(iy) · exp(iy) = exp(iy) · exp(−iy) = exp(iy + (−iy)) = exp(0) = 1 .

Je´sli x, y ∈ R i z = e

x+iy

, to |z| =

e

x+iy

=

e

x

·

e

iy

= e

x

; oznacza to, ˙ze warto´s´c

bezwzgle

,

dna pote

,

gi o wyk ladniku zespolonym i podstawie e zale˙zy jedynie od cze

,

´sci

rzeczywistej wyk ladnika, cze

,

´s´c urojona wyk ladnika ma wp lyw jedynie na argument

pote

,

gi. W lasno´s´c c6. zosta la udowodniona.

Wyka˙zemy c7. Mamy

| exp(ix) − 1| = | exp(i

x
n

)

n

− 1| =

=

exp(i

x
n

) − 1

·

exp

(n−1)

n

ix

+ exp

(n−2)

n

ix

+ · · · + exp

1

n

ix

+ 1

≤

≤

exp(i

x
n

) − 1

·

exp

(n−1)

n

ix

+

exp

(n−2)

n

ix

+ · · · +

exp

1

n

ix

+ 1

=

= n

exp(i

x
n

) − 1

=

ix

exp(i

x
n

) − 1

i

x
n

−−−−→

n→∞

|x|

W ostatnim przej´sciu granicznym skorzystali´smy oczywi´scie z w lasno´sci c2. W ten

spos´ob zako´

nczyli´smy dow´od.

Definicja 4.13 (funkcji sinus i kosinus)

Dla ka˙zdej liczby zespolonej z definiujemy

6

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

sin z =

1

2i

(exp(iz) − exp(−iz)) ,

cos z =

1
2

(exp(iz) + exp(−iz)) .

Twierdzenie 4.14 (wz´

or Eulera)

e

iz

= exp(iz) = cos z + i sin z dla ka˙zdego z ∈ C .

Wz´or ten jest natychmiastowa

,

konsekwencja

,

definicji sinusa i kosinusa.

Twierdzenie 4.15 (podstawowe w lasno´sci funkcji trygonometrycznych)

t0. cos y ∈ R oraz sin y ∈ R dla ka˙zedego y ∈ R .

t1. cos

2

z + sin

2

z = 1 dla ka˙zdej liczby zespolonej z .

t2. cos(z + w) = cos z cos w − sin z sin w dla dowolnych z, w ∈ C .

t3. sin(z + w) = sin z cos w + cos z sin w dla dowolnych z, w ∈ C .

t4.

lim

n→∞

sin z

n

z

n

= 1 dla ka˙zdego cia

,

gu (z

n

) liczb zespolonych r´o˙znych od 0 , zbie˙z-

nego do 0 .

Dow´

od. Poniewa˙z exp(iy) = exp(−iy) (w lasno´s´c c4), wie

,

c je´sli y jest liczba

,

rze-

czywista

,

, to cos y =

1
2

(exp(iy) + exp(−iy)) =

1
2

exp(iy) + exp(iy)

= Re(exp(iy))

oraz sin y =

1

2i

(exp(iy) − exp(−iy)) =

1

2i

exp(iy) − exp(iy)

= Im(exp(iy)) te˙z sa

,

liczbami rzeczywistymi. W lasno´s´c t0 jest udowodniona.

cos

2

z + sin

2

z =

1
2

(exp(iz) + exp(−iz))

2

+

1

2i

(exp(iz) − exp(−iz))

2

=

=

1
4

exp(2iz)+exp(−2iz)+2 exp(iz−iz)

−

1
4

exp(2iz)+exp(−2iz)−2 exp(iz−iz)

=

=

1
4

· 2 −

1
4

· (−2) = 1 . W lasno´s´c t1 jest udowodniona.

cos z cos w − sin z sin w =

1
2

(exp(iz) + exp(−iz)) ·

1
2

(exp(iw) + exp(−iw)) −

−

1

2i

(exp(iz) − exp(−iz)) ·

1

2i

(exp(iw) − exp(−iw)) =

=

1
4

exp(i(z + w)) + exp(i(z − w)) + exp(i(−z + w)) + exp(i(−z − w))

+

+

1
4

exp(i(z + w)) − exp(i(z − w)) − exp(i(−z + w)) + exp(i(−z − w))

=

=

1
2

exp(i(z + w)) + exp(i(−z − w))

= cos(z + w) . Udowodnili´smy w lasno´s´c t2.

sin z cos w + cos z sin w =

1

2i

(exp(iz) − exp(−iz)) ·

1
2

(exp(iw) + exp(−iw)) +

+

1
2

(exp(iz) + exp(−iz)) ·

1

2i

(exp(iw) − exp(−iw)) =

=

1

4i

exp(i(z + w)) + exp(i(z − w)) − exp(i(−z + w)) − exp(i(−z − w))

+

+

1

4i

exp(i(z + w)) − exp(i(z − w)) + exp(i(−z + w)) − exp(i(−z − w))

=

=

1

2i

exp(i(z + w)) − exp(i(−z − w))

= sin(z + w) . Udowodnili´smy w lasno´s´c t3.

Dowiedziemy prawdziwo´s´c w lasno´sci t4:

lim

n→∞

sin z

n

z

n

=

= lim

n→∞

exp(iz

n

)−exp(−iz

n

)

2iz

n

= lim

n→∞

1
2

exp(iz

n

)−1

iz

n

+

1
2

lim

n→∞

exp(−iz

n

)−1

−iz

n

=

1
2

+

1
2

= 1 .

Mo˙zna wykaza´c, ˙ze w lasno´sci t1 – t4 definiuja

,

pare

,

funkcji z lo˙zona

,

z kosinusa i si-

nusa. Zache

,

camy do samodzielnego udowodnienia tego stwierdzenia zar´owno w przy-

padku rzeczywistych jak i zespolonym.

7

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

Twierdzenie 4.16 ( kilka naste

,

pnych w lasno´sci sinusa i kosinusa)

t5. cos(−z) = cos z , sin(−z) = − sin z dla ka˙zdej liczby zespolonej z .

t6. sin z ± sin w = 2 sin

z±w

2

cos

z∓w

2

, cos z + cos w = 2 cos

z+w

2

cos

z−w

2

,

cos z − cos w = −2 sin

z+w

2

sin

z−w

2

dla dowolnych z, w ∈ C .

t7. | sin x − sin y| ≤ |x − y| , | cos x − cos y| ≤ |x − y| dla dowolnych x, y ∈ R .

t8. Je´sli 0 < y ≤ 2 , to sin y > 0 . Je´sli 0 ≤ y ≤ 1 , to cos y > 0 i sin y < 1 i

0 < cos y < 1 .

t9. Istnieje liczba dodatnia

π

2

taka, ˙ze cos

π

2

= 0 i je´sli 0 < x <

π

2

, to sin x > 0

oraz cos x > 0 .

t10. sin

π

2

= 1 , na przedziale (0, π) funkcja sinus jest dodatnia, funkcja kosinus jest

na przedziale [0, π] maleja

,

ca, cos π = −1 , sin π = 0 , na przedziale [0,

π

2

] funkcja

sinus jest rosna

,

ca, na przedziale [

π

2

,

3π

2

] funkcja sinus maleje, sin

3π

2

= −1 ,

cos

3π

2

= 0 , na przedziale [

3π

2

, 2π] funkcja sinus ro´snie, sin 2π = 0 , cos 2π = 1 ,

na przedziale [π, 2π] funkcja kosinus ro´snie,

t11. Dla ka˙zdej liczby zespolonej z zachodza

,

r´owno´sci cos (z + 2π) = cos z oraz

sin(z + 2π) = sin z .

t12. Dla ka˙zdej pary liczb rzeczywistych x, y takiej, ˙ze x

2

+y

2

= 1 , istnieje dok ladnie

jedna liczba rzeczywista t ∈ [0, 2π) , taka ˙ze x = cos t i jednocze´snie y = sin t .

t13. sin t < t dla t ∈ (0, ∞) .

t14. t < tg t dla t ∈ 0,

π

2

.

Dow´

od. W lasno´s´c t5 to natychmiastowa konsekwencja definicji sinusa i kosi-

nusa, w lasno´s´c t6 mo˙zna wywnioskowa´c z definicji — obliczenia sa

,

bardzo proste

lub z w lasno´sci t2 i t3 dok ladnie tak, jak to czynia

,

autorzy podre

,

cznik´ow szkolnych,

a mo˙zna te˙z pos lu˙zy´c sie

,

wzorem Eulera.

W lasno´s´c t7 wywnioskujemy z nier´owno´sci wykazanej wcze´sniej: | exp(ix) − 1| ≤ |x|

dla x ∈ IR (c7). Wobec tego | sin x − sin y| ≤ | exp(ix) − exp(iy)| = | exp(iy)| ·

· | exp(ix − iy) − 1| = | exp(i(x − y)) − 1| ≤ |x − y| .

Dow´od drugiej nier´owno´sci jest analogiczny.

Dla ka˙zdego y ∈ R mamy 1 − cos y = | cos y − 1| = | cos y − cos 0| ≤ |y − 0| = |y| ,

zatem 1 − |y| ≤ cos y , wie

,

c je´sli |y| < 1 , to 0 < cos y . Mamy te˙z cos 1 ≥ 0 .

Istnieje taka liczba δ > 0 , ˙ze je´sli 0 < y < δ , to |1 −

sin y

y

| <

1
2

— gdyby nie

istnia la, to dla ka˙zdej liczby n ∈ N istnia loby takie y

n

∈ (0,

1

n

) , ˙ze |1 −

sin y

n

y

n

| ≥

1
2

,

wbrew temu, ˙ze lim

n→∞

sin y

n

y

n

= 1 , gdy˙z lim

n→∞

y

n

= 0 . Wobec tego, je´sli 0 < y < δ , to

1
2

<

sin y

y

<

3
2

, zatem sin y >

y
2

> 0 . Z tego, ˙ze 0 < sin y wynika, ˙ze cos y < 1 , wie

,

c

je´sli 0 < y < δ , to 0 < cos y < 1 . Z wzoru t3 wynika, ˙ze

8

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

sin y = 2 sin

y
2

cos

y
2

= 4 sin

y
4

cos

y
4

cos

y
2

= 8 sin

y
8

cos

y
8

cos

y
4

cos

y
2

= . . . =

= 2

n

sin

y

2

n

cos

y

2

n

cos

y

2

n−1

· . . . · cos

y
4

· cos

y
2

(♠)

Z tego wzoru wynika, ˙ze je´sli 0 < y ≤ 2 , to sin y ≥ 0 , bo dla dostatecznie du˙zej

liczby naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c 0 <

y

2

n

< δ , wie

,

c sin

y

2

n

> 0 i oczywi´scie

y

2

j

< 1 , wie

,

c cos

y

2

j

≥ 0 dla j = 1, 2, . . . , n .

W rzeczywisto´sci cos

y

2

j

> 0 dla j = 1, 2, . . . , n , gdy y < 2 lub gdy n > 1 .

Wyka˙zemy, ˙ze r´ownie˙z cos 1 > 0 , czyli ˙ze sin 1 < 1 .*

Z w lasno´sci t7 wynika, ˙ze sin y = | sin y − sin 0| ≤ |y| = y . Sta

,

d otrzymujemy

sin 1 = 2 sin

1
2

cos

1
2

≤ cos

1
2

< 1 , co ko´

nczy dow´od w lasno´sci t8.

Z w lasno´sci t7 i z nier´owno´sci (♠) wynika, ˙ze je´sli 0 < y ≤ 2 , to sin y < y ,

a poniewa˙z dla ka˙zdego rzeczywistego y mamy te˙z sin y ≤ 1 , wie

,

c sin y < y dla

ka˙zdego y > 0 . Udowodnili´smy w lasno´s´c t13.

Przypominamy, ˙ze tg z =

sin z

cos z

, ctg z =

cos z

sin z

, sec z =

1

cos z

i csc z =

1

sin z

dla

ka˙zdej liczby z ∈ C , dla kt´orej mianownik jest r´o˙zny od 0 . Dwie ostatnie funkcje,

tzn. sekans i kosekans, w Polsce sa

,

u˙zywane rzadko, ale sa

,

kraje, w kt´orych ich

popularno´s´c jest wie

,

ksza.

Je´sli 0 < α ≤

1

√

2

, to 0 < sin α < α ≤

1

√

2

, wie

,

c cos

2

α = 1 − sin

2

α > 1 −

1
2

=

1
2

,

zatem cos α > sin α > 0 , czyli tg α < 1 . Wobec tego z nier´owno´sci 0 < t <

√

2

wynika nier´owno´s´c 0 <

t

2

<

√

2

2

=

1

√

2

, a z niej nier´owno´s´c tg t =

2 tg

t

2

1−tg

2 t

2

> 2 tg

t

2

.

Sta

,

d (indukcja) oraz z r´owno´sci lim

n→∞

cos(t · 2

−n

) = 1 i lim

n→∞

sin(t·2

−n

)

t·2

−n

= 1 wynika

tg t > 2 tg

t

2

> 2

2

tg

t

2

2

> . . . > 2

n

tg

t

2

n

= t ·

sin(t·2

−n

)

t·2

−n

· cos(t · 2

−n

) −−−−→

n→∞

t · 1 · 1 = t ,

wie

,

c w lasno´s´c t14 jest prawie udowodniona, prawie bo tylko dla t ∈ (0,

√

2) .

W szczeg´olno´sci tg 1 > 1 , wie

,

c sin 1 > cos 1 , zatem cos 2 = cos

2

1 − sin

2

1 < 0 .

Teraz mo˙zemy zdefiniowa´c

π

2

= inf{t > 0:

cos t ≤ 0} . Z tego, co do tej pory

wykazali´smy, wynika, ˙ze 1 ≤

π

2

≤ 2 — zbi´or, kt´orego kres rozpatrujemy zawiera

liczbe

,

2 i z tego wynika prawa nier´owno´s´c, lewa nier´owno´s´c wynika z w lasno´sci t8 .

Udowodnimy, ˙ze cos

π

2

= 0 . Za l´o˙zmy, ˙ze cos

π

2

6= 0 . Z nier´owno´sci |t −

π

2

| < | cos

π

2

|

wynika, ˙ze | cos t − cos

π

2

| ≤ |t −

π

2

| < | cos

π

2

| . Sta

,

d wynika, ˙ze liczby cos t i cos

π

2

maja

,

ten sam znak. Je´sli cos

π

2

< 0 , to inf{t > 0:

cos t ≤ 0} ≤

π

2

− | cos

π

2

| , wbrew

definicji liczby

π

2

. Je´sli cos

π

2

> 0 , to inf{t > 0:

cos t ≤ 0} ≥

π

2

+ | cos

π

2

| , co

przeczy definicji liczby

π

2

. Wobec tego cos

π

2

= 0 .

π

2

6= 2 , bo cos

π

2

= 0 > cos 2 .

π

2

6= 1 , bo cos

π

2

= 0 < cos 1 . Wobec tego 2 >

π

2

> 1 . Jasne jest, ˙ze je´sli 0 < t <

π

2

,

to cos t > 0 i sin t > 0 . W lasno´s´c t9. zosta la

,

wykazana.

*

Wiemy ju˙z, ˙ze cos 1≥0 oraz cos

2

1+sin

2

1=1 , teraz chodzi o ostra, nier´owno´s´c.

9

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

Zajmiemy sie

,

w lasno´scia

,

t10. Poniewa˙z 1 = cos

2 π

2

+ sin

2 π

2

= sin

2 π

2

oraz

sin

π

2

> 0 , wie

,

c sin

π

2

= 1 . Je´sli 0 < x < π , to 0 <

x

2

<

π

2

, zatem — na mocy po-

przednio wykazanych w lasno´sci sinusa i kosinusa — mamy sin x = 2 sin

x

2

cos

x

2

> 0 .

Wynika sta

,

d, ˙ze je´sli 0 ≤ t < s ≤ π , to cos t − cos s = 2 sin

s−t

2

sin

s+t

2

> 0 .

Oznacza to, ˙ze funkcja kosinus maleje (´sci´sle) na przedziale [0, π] . Mamy r´ownie˙z

cos π = cos

2 π

2

− sin

2 π

2

= −1 i sin π = 2 sin

π

2

cos

π

2

= 0 . Wobec tego z nier´owno´sci

π

2

< x < π wynika, ˙ze 0 = cos

π

2

> cos x > cos π = −1 , wie

,

c kosinus przyjmuje

ujemne warto´sci na przedziale (

π

2

, π] . Je´sli wie

,

c 0 ≤ x < y ≤

π

2

, to sin y − sin x =

=2 sin

y−x

2

cos

x+y

2

> 0 , a zatem funkcja sinus jest rosna

,

ca na przedziale [0,

π

2

] .

Podobnie, je´sli

π

2

≤ x < y ≤ π , to 0 <

y−x

2

<

π

2

i

π

2

<

x+y

2

< π , zatem

sin y − sin x = 2 sin

y−x

2

cos

x+y

2

< 0 , zatem na przedziale [

π

2

, π] funkcja sinus maleje.

Zachowanie sie

,

obu funkcji kosinus i sinus na przedziale [π, 2π] badamy stosuja

,

c

wzory cos(x + π) = cos x cos π − sin x sin π = − cos x oraz sin(x + π) = sin x cos π +

+ cos x sin π = − sin x . To ko´

nczy sprawdzenie prawdziwo´sci w lasno´sci dziesia

,

tej.

Mamy cos

2 π

4

+ sin

2 π

4

= 1 i cos

2 π

4

− sin

2 π

4

= cos

π

2

= 0 . Dodaja

,

c te r´owno´sci

stronami otrzymujemy 2 cos

2 π

4

= 1 , a poniewa˙z cos

π

4

> 0 , wie

,

c cos

π

4

=

√

2

2

.

Sta

,

d sin

π

4

=

p

1 − cos

2 π

4

=

√

2

2

. Pozwala to stwierdzi´c, ˙ze rozumowanie, kt´ore

doprowadzi lo nas do stwierdzenia, ˙ze tg t > t , gdy 0 < t <

√

2 mo˙zna powt´orzy´c

przy zak ladaja

,

c, ˙ze 0 < t <

π

2

, bo istotne tam by lo jedynie to, ˙ze tg

t

2

< 1 , a tak

jest dla wszystkich t ∈ (0,

π

2

) .

W lasno´s´c jedenasta wynika natychmiast z wzor´ow cos(x + π) = − cos x oraz

sin(x + π) = − sin x , kt´ore ju˙z uzyskali´smy.

Udowodnimy teraz w lasno´s´c dwunasta

,

. Niech x

2

+ y

2

= 1 , x, y ∈ R . Oczywi´scie

zachodzi nier´owno´s´c −1 ≤ x ≤ 1 . Niech t = inf{α ∈ [0, π]:

cos α ≥ x} . Wyka˙zemy,

˙ze x = cos t . Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Je˙zeli |t − α| < |x − cos t| , to z w lasno´sci t7.

wynika, ˙ze | cos t − cos α| ≤ |t − α| < |x − cos t| . Wynika sta

,

d, ˙ze liczby cos α

i cos t le˙za

,

po tej samej stronie punktu x . To jednak przeczy definicji liczby t .

Wobec tego x = cos t . Istnieje tylko jedna liczba t spe lniaja

,

ca ten warunek, bo je´sli

0 ≤ t

1

< t

2

≤ π , to cos t

1

> cos t

2

— w lasno´s´c t10.

Je´sli y ≥ 0 , to y =

√

1 − x

2

=

√

1 − cos

2

t =

√

sin

2

t = sin t , bo na przedziale

[0, π] funkcja sinus przyjmuje jedynie nieujemne warto´sci. Je´sli y < 0 , to definiujemy

τ = 2π − t ∈ (π, 2π] . Bez trudu przekonujemy sie

,

, ˙ze x = cos τ i y = sin τ .

Poniewa˙z cos(t + 2π) = cos t i jednocze´snie sin(t + 2π) = sin t , wie

,

c zmiana

argumentu t o 2π daje naste

,

pny argument τ , dla kt´orego spe lnione sa

,

r´owno´sci

x = cos τ i y = sin τ . Mo˙zemy wie

,

c znale´z´c liczbe

,

t w przedziale [0, 2π) . Je´sli y > 0 ,

10

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

to 0 < t < π , je´sli y < 0 , to π < t < 2π . Jedyno´s´c t w tym przedziale wynika

z tego, ˙ze na przedziale [0, π] funkcja kosinus jest ´sci´sle maleja

,

ca, a na przedziale

[π, 2π) — ´sci´sle rosna

,

ca. W ten spos´ob udowodnili´smy w lasno´s´c dwunasta

,

.

Mamy teraz exp(πi) = cos π + i sin π = −1 , zatem

e

πi

+ 1 = 0 .

Otrzymali´smy zatem wz´or, w kt´orym wyste

,

puja

,

pie

,

´c najwa˙zniejszych liczb w mate-

matyce.

Wyka˙zemy jeszcze jedno twierdzenie. Chodzi o to, by przekona´c sie

,

, ˙ze je´sli

t > 0 , to liczba ta mo˙ze by´c uwa˙zana za d lugo´s´c luku okre

,

gu jednostkowego, kt´ory to

luk zaczyna sie

,

w punkcie 1 = e

i·0

i ko´

nczy sie

,

w punkcie e

it

. Te

,

d lugo´s´c luku wypada

najpierw zdefiniowa´c. Rozsa

,

dnie jest przyja

,

´c, ˙ze jest ona r´owna kresowi g´ornemu

d lugo´sci lamanych wpisanych w ten luk.

Twierdzenie 4.17 (o d lugo´sci luku okre

,

gu)

Niech t > 0 . Wtedy

t = sup{

e

it

n

− e

it

n−1

+

e

it

n−1

− e

it

n−2

+ · · · +

e

it

2

− e

it

1

+

e

it

1

− e

it

0

: 0 = t

0

<

< t

1

< t

2

< . . . < t

n−2

< t

n−1

< t

n

= t, n ∈ N} .

Dow´

od. Dla dowolnego j ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} mamy

e

it

j+1

− e

it

j

=

e

it

j

e

i(t

j+1

−t

j

)

− 1

=

e

i(t

j+1

−t

j

)

− 1

≤ (t

j+1

− t

j

) .

Sta

,

d od razu wynika, ˙ze

e

it

n

− e

it

n−1

+

e

it

n−1

− e

it

n−2

+ · · · +

e

it

2

− e

it

1

+

e

it

1

− e

it

0

≤

≤ (t

n

− t

n−1

) + (t

n−1

− t

n−2

) + · · · + (t

2

− t

1

) + (t

1

− t

0

) = t

n

− t

0

= t − 0 = t .

Wykazali´smy, ˙ze d lugo´s´c lamanej wpisanej w luk nie przekracza liczby t .

Zauwa˙zmy teraz, ˙ze je´sli dodamy do liczb t

0

< t

1

< t

2

< . . . < t

n−2

< t

n−1

< t

n

punkt τ ∈ (t

j

, t

j+1

) , to d lugo´s´c lamanej nie zmniejszy sie

,

, bo

e

it

j+1

− e

it

j

≤

e

it

j+1

− e

iτ

+

e

iτ

− e

it

j

.

Chca

,

c wykaza´c, ˙ze istnieja

,

lamane wpisane w luk, kt´orych d lugo´s´c jest tylko troche

,

mniejsza od t wystarczy zajmowa´c sie

,

jedynie lamanymi odpowiadaja

,

cymi jedynie

„drobnym” podzia lom odcinka [0, t] , tj. takim, ˙ze najwie

,

ksza z liczb t

j+1

− t

j

jest

„ma la”.

Niech ε ∈ (0, 1) . Wtedy (1 − ε)t < t . Wyka˙zemy, ˙ze istnieje taka liczba δ > 0 ,

˙ze je´sli 0 < τ < δ , to

e

iτ

− 1

≥ (1 − ε)τ . Gdyby nie by lo to prawda

,

, to dla ka˙zdej

liczby naturalnej m > 0 istnia laby taka liczba τ

m

∈ (0,

1

m

) , ˙ze

e

iτ

m

−1

< (1−ε)τ

m

.

Zachodzi laby wie

,

c nier´owno´s´c

e

iτ

m

− 1

iτ

m

< 1 − ε ,

11

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

co jednak nie jest mo˙zliwe ze wzgle

,

du na to, ˙ze lim

n→∞

iτ

m

= 0 i wobec tego by loby

1 =

lim

n→∞

e

iτ

m

− 1

iτ

m

= lim

n→∞

e

iτ

m

− 1

iτ

m

≤ 1 − ε .

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze 0 = t

0

< t

1

< t

2

< . . . < t

n−2

< t

n−1

< t

n

= t i ˙ze dla

ka˙zdej liczby j ∈ {0, 1, 2, . . . , t

n−2

, t

n−1

} zachodzi nier´owno´s´c t

j+1

− t

j

< δ . Wtedy

e

it

n

− e

it

n−1

+

e

it

n−1

− e

it

n−2

+· · ·+

e

it

2

− e

it

1

+

e

it

1

− e

it

0

≥ (1−ε)(t

n

− t

n−1

) +

+ (1 − ε)(t

n−1

− t

n−2

) + · · · + (1 − ε)(t

2

− t

1

) + (1 − ε)(t

1

− t

0

) = (1 − ε)t .

Wobec dowolno´sci ε ∈ (0, 1) z udowodnionego stwierdzenia teza wynika natych-

miast.

Uwaga 4.18 Udowodnili´smy nieco wie

,

cej ni˙z obiecali´smy pisza

,

c teze

,

ostatniego

twierdzenia. Wykazali´smy nie tylko to, ˙ze liczba t jest kresem g´ornym lamanych

wpisanych w luk, ale te˙z, ˙ze ka˙zda lamana wpisana w ten luk odpowiadaja

,

ca dosta-

tecznie drobnemu podzia lowi odcinka [0, t] przybli˙za d lugo´s´c luku. Gdyby´smy nie

chcieli uzyska´c a˙z tyle, mogliby´smy w ostatniej cze

,

´sci dowodu rozwa˙za´c lamana

,

od-

powiadaja

,

ca

,

podzia lowi odcinka [0, t] na n r´ownych cze

,

´sci i skorzysta´c z tego, ˙ze

lim

n→∞

n ·

e

it/n

− 1

= t , co ju˙z wcze´sniej wykorzystywali´smy.

Lemat 4.19 (o lipschitzowsko´sci funkcji wyk ladniczej)

Je´sli t

1

< t

2

≤ w , to 0 < exp(t

2

) − exp(t

1

) ≤ exp(t

2

)(t

2

− t

1

) ≤ exp(w)(t

2

− t

1

) .

Dow´

od.

exp(t

2

) = exp(t

1

) exp(t

2

− t

1

) ≥ exp(t

1

)(1 + t

2

− t

1

) > exp(t

1

) — lewa

nier´owno´s´c jest udowodniona. Dalej exp(t

2

) − exp(t

1

) = exp(t

2

) 1 − exp(t

1

− t

2

)

≤

exp(t

2

) 1 − (1 + t

1

− t

2

)

= exp(t

2

)(t

2

− t

1

) ≤ exp(w)(t

2

− t

1

) . Wykazali´smy praw-

dziwo´s´c prawej nier´owno´sci.

Definicja 4.20 (warunku Lipschitza)

Funkcja f : A −→ R spe lnia warunek Lipschitza ze sta la

,

L ≥ 0 wtedy i tylko wtedy,

gdy dla dowolnych t

1

, t

2

∈ A ⊆ C zachodzi nier´owno´s´c |f (t

1

) − f (t

1

)| ≤ L|t

1

− t

2

| .

Uwaga 4.21 Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze funkcja exp spe lnia warunek Lipschitza na

p´o lprostej (−∞, w] ze sta la

,

exp(w) .

Twierdzenie 4.22 (o zbiorze warto´sci funkcji exp)

1. Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej w > 0 istnieje dok ladnie jedna taka liczba rze-

czywista x , ˙ze w = exp(x) .

2. Dla ka˙zdej liczby zespolonej w r´o˙znej od 0 istnieje taka liczba zespolona z , ˙ze

w = exp(z) .

3. Je´sli exp(z

1

) = exp(z

2

) , to istnieje taka liczba ca lkowita n , ˙ze z

2

− z

1

= 2nπi .

12

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

Dow´

od. Mamy exp(w) ≥ 1 + w > w oraz exp(

1

w

) ≥ 1 +

1

w

>

1

w

. Sta

,

d wynika,

˙ze exp(−

1

w

) < w < exp(w) . Zbi´or {t ∈ R:

exp(t) ≤ w} jest niepusty, bo zawiera

liczbe

,

−

1

w

. Jest ograniczony z g´ory liczba

,

w , bo je´sli t ≥ w , to e

t

≥ e

w

> w . Ma

wie

,

c sko´

nczony kres g´orny. Niech x = sup{t ∈ R:

exp(t) ≤ w} . Oczywi´scie x ≤ w .

Udowodnimy, ˙ze w = exp(x) . Za l´o˙zmy, ˙ze w 6= exp(x) . Wtedy je´sli t < w oraz

|t − x| < exp(−w)|w − exp(x)| , to | exp(t) − exp(x)| ≤ exp(w)|t − x| < |w − exp(x)| .

Z tej nier´owno´sci wynika, ˙ze liczby exp(t) i exp(x) le˙za

,

po tej samej stronie liczby w .

Je´sli wie

,

c exp(x) < w i x < t < x + exp(w)(t − x) , to exp(t) < w , wbrew temu, ˙ze

x jest ograniczeniem g´ornym zbioru {t ∈ R:

exp(t) ≤ w} . Je´sli za´s exp(x) > w i

x > t > x − exp(w)(t − x) , to exp(t) > w wbrew temu, ˙ze x jest najmniejszym

ograniczeniem g´ornym zbioru {t ∈ R:

exp(t) ≤ w} . Cze

,

´s´c pierwsza twierdzenia

jest udowodniona.

Je´sli w 6= 0 , to istnieje taka liczba y ∈ R , ˙ze

w

|w|

= exp(iy) — wynika to

z w lasno´sci t12 funkcji kosinus i sinus. Z poprzedniej cze

,

´sci dowodzonego twierdzenia

wynika istnienie takiej liczby x ∈ R , ˙ze |w| = exp(x) . Wobec tego w = |w| ·

w

|w|

=

= exp(x) · exp(iy) = exp(x + iy) , wie

,

c wystarczy przyja

,

´c z = x + yi . Zauwa˙zmy, ˙ze

| exp(z)| = exp(Re(z)) , zatem je´sli exp(z

1

) = exp(z

2

) , to Re(z

1

) = Re(z

2

) . Je´sli

y

1

, y

2

∈ R oraz exp(iy

1

) = exp(iy

2

) , to istnieje taka liczba n ∈ Z , ˙ze y

2

− y

1

= 2nπ

— wynika to z w lasno´sci t12. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Kilka zada´

n

4. 01 Udowodni´c, ˙ze e = lim

n→∞

(1 +

1

1!

+

1

2!

+

1

3!

+ · · · + +

1

n!

) .

4. 02 Udowodni´c, ˙ze e 6∈ Q .

4. 03 Udowodni´c, ˙ze cos 3α = 4 cos

3

α − 3 cos α i sin 3α = 3 sin α − 4 sin

3

α .

4. 04 Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n > 0 istnieje taki wielomian w

stopnia 2n + 1 , ˙ze r´owno´s´c sin(2n + 1)α = w(sin α) zachodzi dla ka˙zdej liczby

α ∈ R . Znale´z´c wsp´o lczynnik kieruja

,

cy tego wielomianu (ten przy 2n + 1 –ej

pote

,

dze zmiennej).

4. 05 Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby zespolonej z 6= 0 i ka˙zdej liczby naturalnej n

istnieje dok ladnie n parami r´o˙znych liczb z

1

, z

2

, . . . , z

n

takich, ˙ze z

n

j

= z dla

j = 1, 2, . . . , n .

4. 06 Za l´o˙zmy, ˙ze cos α =

1
3

. Wykaza´c, ˙ze

α
π

/

∈ Q .

4. 07 Znale´z´c pierwiastki (wszystkie cztery) wielomianu z

4

+ z

3

− z

2

+ z + 1 i wykaza´c,

˙ze ˙zaden z nich nie jest pierwiastkiem z jedno´sci (˙zadnego stopnia).

4. 08 Udowodni´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby zespolonej w istnieje taka liczba zespolona z ,

˙ze w = sin z .

13

Funkcja wyk ladnicza, kosinus i sinus

Micha l Krych

4. 09 Znale´z´c wz´or na sume

,

n

0

+

n

3

+

n

6

+ . . . — sumujemy dop´oki ma to sens.

4. 10 Udowodni´c, ˙ze je´sli a, b, c, d ∈ C oraz ad 6= bc i h(z) =

az+b
cz+d

dla z 6= −

d

c

, prze-

kszta lcenie H oznacza przeniesienie h na sfere

,

za pomoca

,

rzutu stereograficz-

nego, to H przekszta lca okre

,

gi na okre

,

gi. Oznacza to, ˙ze je´sli ϕ jest rzutem ste-

reograficznym „z bieguna p´o lnocnego” na p laszczyzne

,

, to H(p) = ϕ

−1

◦ h ◦ ϕ(p)

dla ka˙zdego p z wyja

,

tkiem bieguna p´o lnocnego (wtedy ϕ(p) nie jest w og´ole

okre´slone) oraz z wyja

,

tkiem punktu ϕ

−1

(−

d

c

) , definiujemy H ϕ

−1

(−

d

c

)

= P

N

,

gdzie P

N

oznacza biegun p´o lnocny, za´s H(P

N

) = P

N

, gdy c = 0 (i nie mo˙zna

m´owi´c o liczbie −

d

c

) oraz H(P

N

) = ϕ

−1

(

a

c

) , gdy c 6= 0 .

14