Analiza 1, cze
,
´s´
c pierwsza – granica cia
,
gu
Ostatnia aktualizacja 22 listopada 2013, godz. 4:07
Be
,
dziemy rozwa˙za´c zbi´or wszystkich liczb rzeczywistych R , kt´ory opiszemy po-
daja
,
c pewne jego w lasno´sci, kt´orych prawdziwo´sci dyskutowa´c nie be
,
dziemy (pew-
niki). Poje
,
ciami pierwotnymi, kt´orych nie definiujemy sa
,
sam zbi´or R , dwa jego r´o˙zne
elementy 0 i 1 , dzia lania + i · oraz nier´owno´s´c < . Dzia lania to funkcje, kt´ore przy-
pisuja
,
parze liczb rzeczywistych x, y ich sume
,
x+y ∈ R i iloczyn x·y ∈ R oznaczamy
zwykle przez xy . Podamy teraz liste
,
pewnik´ow (aksjomat´ow).
D1 Dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi (a + b) + c = a + (b + c) — dodawanie jest
la
,
czne.
D2 Dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi a + b = b + a — dodawanie jest przemienne.
D3 Dla ka˙zdej liczby a ∈ R istnieje liczba x ∈ R taka, ˙ze a + x = 0 — istnienie
liczby przeciwnej.
D4 Dla ka˙zdej liczby a ∈ R a + 0 = a — charakteryzacja zera.
M1 Dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi (a · b) · c = a · (b · c) — mno˙zenie jest la
,
czne.
M2 Dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi a · b = b · a — mno˙zenie jest przemienne.
M3 Dla ka˙zdej liczby a ∈ R \ {0} istnieje liczba x ∈ R taka, ˙ze a · x = 1 — istnienie
liczby odwrotnej.
M4 Dla ka˙zdej liczby a ∈ R a · 1 = a — charakteryzacja jedynki.
MD Dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi (a + b) · c = a · c + b · c — mno˙zenie jest
rozdzielne wzgle
,
dem dodawania.
N1 Dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi dok ladnie jedna z trzech mo˙zliwo´sci a < b ,
a = b , b < a — prawo trichotomii.
N2 Dla dowolnych a, b, c ∈ R z tego, ˙ze a < b i b < c wynika, ˙ze a < c —
nier´owno´s´c jest przechodnia.
N3 Dla dowolnych a, b, c ∈ R z tego, ˙ze a < b wynika, ˙ze a + c < b + c — do
nier´owno´sci mo˙zna doda´c stronami liczbe
,
, to prawo wia
,
˙ze nier´owno´s´c z dodawa-
niem.
N4 Dla dowolnych a, b, c ∈ R z tego, ˙ze a < b i 0 < c wynika, ˙ze a · c < b · c —
nier´owno´sci mo˙zna pomno˙zy´c stronami przez liczbe
,
dodatnia
,
, to prawo wia
,
˙ze
nier´owno´s´c z mno˙zeniem.
AC Je´sli A ⊆ R jest zbiorem niepustym i ograniczonym z g´ory, tzn. ˙ze istnieje liczba
M ∈ R taka, ˙ze je´sli a ∈ A , to a ≤ M , to zbi´or A ma kres g´orny w R , tzn.
w´sr´od ogranicze´
n g´ornych M zbioru A istnieje liczba najmniejsza.
1
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
Oznaczenia
Kres g´orny zbioru A ⊆ R oznaczamy symbolem sup A , je´sli niepusty zbi´or A nie
jest ograniczony z g´ory, to piszemy sup A = +∞ lub sup A = ∞ .
Kres dolny zbioru A ⊆ R oznaczamy symbolem inf A , je´sli niepusty zbi´or A nie
jest ograniczony z do lu, to piszemy inf A = −∞ .
Sformu lowanie definicji kresu dolnego pozostawiam studentom w charakterze
latwego ´cwiczenia.
Przez −A oznacza´c be
,
de
,
zbi´or {x:
−x ∈ A} , tj. zbi´or symetryczny do A
wzgle
,
dem punktu 0 ∈ R . Jest jasne, ˙ze sup(−A) = − inf A dla ka˙zdego zbioru A ,
kt´ory jest niepusty i ograniczony z do lu (wtedy −A jest ograniczony z g´ory).
Stwierdzenie 1.1
Je´sli dla pewnych a, b ∈ R zachodzi r´owno´s´c a + b = a , to b = 0 .
Dow´
od. Z pewnika D3 wynika, ˙ze istnieje x ∈ R takie, ˙ze a + x = 0 . Mamy wie
,
c
0 = a + x = (a + b) + x = (b + a) + x = =b + (a + x) = b + 0 = b — korzystali´smy ko-
lejno z okre´slenia x , z przemienno´sci dodawania, la
,
czno´sci dodawania, okre´slenia x ,
w lasno´sci liczby 0 .
Z tego stwierdzenia wynika przede wszystkim, ˙ze istnieje dok ladnie jeden element
neutralny dodawania, mianowicie 0 .
Stwierdzenie 1.2
Je´sli dla pewnych y, z ∈ R zachodzi r´owno´s´c a + y = a + z , to y = z .
Dow´
od. Niech a + x = 0 . Wtedy y = y + 0 = y + (a + x) = (y + a) + x =
=(a + y) + x = (a + z) + x = (z + a) + x = z + (a + x) = z + 0 = z .
Definicja 1.3 (liczby przeciwnej)
−a oznacza jedyna
,
liczbe
,
taka
,
, ˙ze a + (−a) = 0 .
To, ˙ze liczba, o kt´orej jest mowa jest tylko jedna wynika od razu ze stwierdzenia 1.2.
Stwierdzenie 1.4
Dla dowolnych liczb a, b ∈ R istnieje dok ladnie jedna liczba x taka, ˙ze a + x = b .
Dow´
od. Niech x = (−a) + b . Mamy a + x = a + [(−a) + b] = [a + (−a)] + b =
0 + b = b + 0 = b . Wykazali´smy istnienie. Jednoznaczno´s´c wynika natychmiast ze
stwierdzenia 1.2.
Definicja 1.5 (r´
o˙znicy dwu liczb)
a − b := a + (−b) .
2
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
Stwierdzenie 1.6
Dla ka˙zdego a ∈ R zachodzi −(−a) = a ,
dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi r´owno´s´c −(a + b) = −a − b .
Dow´
od.
(−a)+[−(−a)] = 0 = a+(−a) = (−a)+a , zatem na mocy stwierdzenia 1.2
zastosowanego do −a zachodzi −(−a) = a .
Mamy (a + b) + [−(a + b)] = 0 = a + (−a) = [a + (−a)] + 0 = [a + (−a)] + [b + (−b)] =
={[a + (−a)] + b} + (−b) = {a + [(−a) + b]} + (−b) = {a + [b + (−a)]} + (−b) =
={[a + b] + (−a)} + (−b) = [a + b] + [(−a) + (−b)] = [a + b] + [−a − b] , zatem ze
stwierdzenia 1.2 wynika, ˙ze −(a + b) = −a − b .
Naste
,
pne stwierdzenia zostana
,
podane bez dowodu, bo ich dowody polegaja
,
na zasta
,
pieniu dodawania mno˙zeniem, co ka˙zdy czytelnik powinien m´oc zrobi´c bez
k lopotu, a w razie wysta
,
pienie jakich´s nieprzewidzianych trudno´sci zada´c pytania na
zaje
,
ciach lub konsultacjach.
Stwierdzenie 1.7
Je´sli dla pewnych a, b ∈ R , przy czym a 6= 0 , zachodzi r´owno´s´c a·b = a , to b = 1 .
Z tego stwierdzenia wynika przede wszystkim, ˙ze istnieje dok ladnie jeden element
neutralny mno˙zenia, mianowicie 1 .
Stwierdzenie 1.8 (prawo skracania)
Je´sli dla pewnych y, z ∈ R zachodzi r´owno´s´c a · y = a · z , przy czym a 6= 0 , to
zachodzi wz´or y = z .
Definicja 1.9 (odwrotno´sci liczby r´
o˙znej od 0 )
Je´sli a 6= 0 , to a
−1
oznacza jedyna
,
liczbe
,
taka
,
, ˙ze a · a
−1
= 1 .
To, ˙ze liczba, o kt´orej jest mowa jest tylko jedna wynika od razu ze stwierdzenia 1.8.
Stwierdzenie 1.10
Dla ka˙zdej liczby a ∈ R zachodzi r´owno´s´c a · 0 = 0 .
Dow´
od. Mamy a + a · 0 = a · 1 + a · 0 = a · (1 + 0) = a · 1 = a = a + 0 . Sta
,
d i ze
stwierdzenia 1.2 wynika, ˙ze a · 0 = 0 .
Stwierdzenie 1.11
Je´sli a 6= 0 , to a
−1
6= 0 .
Dow´
od. Je´sli a
−1
= 0 , to 0 = a · 0 = a · a
−1
= 1 , wbrew temu, ˙ze 0 6= 1 . Wobec
tego a
−1
6= 0 .
Stwierdzenie 1.12 (o rozwia
,
zalno´sci r´
owna´
n pierwszego stopnia)
Dla dowolnych liczb a, b ∈ R , a 6= 0 , istnieje dok ladnie jedna liczba x , dla kt´orej
3
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
prawdziwa jest r´owno´s´c a · x = b .
Definicja 1.13 (ilorazu dwu liczb)
a
b
:= a · b
−1
.
Stwierdzenie 1.14
Dla ka˙zdego a ∈ R \ {0} zachodzi (a
−1
)
−1
= a ,
dla dowolnych a, b ∈ R \ {0} zachodzi r´owno´s´c (a · b)
−1
= b
−1
· a
−1
.
Stwierdzenie 1.15
Je´sli a · b = 0 , to a = 0 lub b = 0 .
Dow´
od. Mamy a · 0 = 0 = a · b , wie
,
c je´sli a 6= 0 , to na mocy stwierdzenia 1.8
zachodzi 0 = b .
Stwierdzenie 1.16 (prawa znak´
ow)
Dla dowolnych a, b ∈ R zachodza
,
r´owno´sci (−a)b = a(−b) = −ab i (−a)(−b) = ab .
W szczeg´olno´sci (−1)a = −a .
Dow´
od.
a · b + (−a) · b = [a + (−a)] · b = 0 · b = b · 0 = 0 = a · b + [−(a · b)] .
Ze stwierdzenia 1.2 wynika, ˙ze (−a)b = −ab . Sta
,
d a(−b) = (−b)a = −ba = −ab
oraz (−a)(−b) = −a(−b) = −[(−b)a] = −[−ba] = −[−ab] = ab — ostatnia
,
r´owno´s´c
wywnioskowali´smy ze stwierdzenia 1.6.
Stwierdzenie 1.17 (o rozdzielno´sci mno˙zenia wzgle
,
dem odejmowania)
Dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi r´owno´s´c a(b − c) = ab − ac .
Dow´
od. Mamy a(b − c) = a · [b + (−c)] = a · b + a · (−c) = a · b + (−a · c) = ab − ac .
Stwierdzenie 1.18 (o dodawaniu nier´
owno´sci stronami)
Je´sli a < b i c < d , to a + c < b + d .
Dow´
od. Z tego, ˙ze a < b wynika, ˙ze a + c < b + c . Z tego, ˙ze c < d wynika, ˙ze
b + c = c + b < d + b . Z przechodnio´sci nier´owno´sci wynika, ˙ze a + c < b + d .
Stwierdzenie 1.19
Je´sli a < 0 , to 0 < −a .
Dow´
od. Je´sli a < 0 , to 0 = a + (−a) < 0 + (−a) = −a .
Stwierdzenie 1.20 (o mno˙zeniu nier´
owno´sci stronami)
Je´sli jednocze´snie a < b , c < d , 0 < b , 0 < c , to ac < bd .
Dow´
od. Z tego, ˙ze a < b i 0 < c wynika, ˙ze ac < bc . Z tego, ˙ze c < d i 0 < b
wynika, ˙ze bc = cb < db = bd . Teza wynika z przechodnio´sci nier´owno´sci.
4
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
Stwierdzenie 1.21
Je´sli 0 < a i 0 < b , to 0 < ab . Je´sli 0 < a i b < 0 , to ab < 0 . Je´sli a < 0
i b < 0 , to 0 < ab .
Dow´
od. Pierwsza cze
,
´s´c wynika bezpo´srednio z poprzedniego. Je´sli a < 0 < b , to
0 < −a , wie
,
c 0 < (−a)b = −ab , zatem ab < (−ab) + ab = 0 . Udowodnili´smy druga
,
cze
,
´s´c. Je´sli a < 0 i b < 0 , to 0 < −a i 0 < −b , zatem 0 < (−a)(−b) = ab .
Definicja 1.22 (cyfr)
2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1 , 4 = 3 + 1 , 5 = 4 + 1 , 6 = 5 + 1 , 7 = 8 + 1 , 8 = 7 + 1 ,
9 = 8 + 1 .
Definicja 1.23 (kwadratu liczby)
Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a definiujemy a
2
= a · a .
Stwierdzenie 1.24
Je´sli a 6= 0 , to 0 < a
2
.
Dow´
od. Albo 0 < a albo 0 < −a . Sta
,
d a
2
= a · a = (−a) · (−a) > 0 .
Stwierdzenie 1.25
1 > 0 .
Dow´
od.
1 = 1
2
.
Od tej pory be
,
dziemy r´ownie˙z pisa´c a > b oczywi´scie wtedy i tylko wtedy, gdy
b < a . R´ownie˙z a ≤ b wtedy i tylko wtedy, gdy a < b lub a = b . U˙zywany be
,
dzie
te˙z symbol a ≥ b .
Definicja 1.26 (warto´sci bezwzgle
,
dnej.)
|a| =
a je˙zeli a ≥ 0,
−a je˙zeli a < 0.
Stwierdzenie 1.27 (o podstawowych w lasno´sciach warto´sci bezwzgle
,
dnej)
Je´sli a, b ∈ R , to zachodza
,
r´owno´sci | − a| = |a| , |a| ≥ a , |ab| = |a| · |b| oraz
nier´owno´sci |a + b| ≤ |a| + |b| ,
|a| − |b|
≤ |a − b| .
Dwie ostatnie nier´owno´sci zwane sa
,
nier´owno´sciami tr´ojka
,
ta.
Dow´
od. Pierwsza r´owno´s´c jest zupe lnie oczywista. Je´sli a ≥ 0 , to |a| = a , je´sli
a < 0 , to |a| = −a > 0 > a , zatem zawsze |a| ≥ a . Sta
,
d wynika, ˙ze |a| + |b| ≥ a + b
oraz | − a| + | − b| ≥ −a + (−b) = −(a + b) , a poniewa˙z |a + b| , to wie
,
ksza z liczb
a + b , −(a + b) , wie
,
c |a| + |b| ≥ |a + b| . Z tej nier´owno´sci wynika, ˙ze
|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b| ,
zatem |a| − |b| ≤ |a − b| . Oczywi´scie |a − b| = |b − a| ≥ |b| − |a| = −(|a| − |b|) . Z dwu
5
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
nier´owno´sci |a − b| ≥ |a| − |b| i |a − b| ≥ −(|a| − |b|) wynika, ˙ze |a − b| ≥
|a| − |b|
.
Uwaga 1.28
Je´sli A ⊆ R , to a = sup A wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ a dla ka˙zdego x ∈ A i dla
ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje x ∈ A takie, ˙ze a − ε < x ≤ a .
Dow´od tego stwierdzenia jest ca lkiem oczywisty, wie
,
c go nie pisze
,
. Sformu lowanie
analogicznego twierdzenia dla kresu dolnego r´ownie˙z pozostawiam studentom.
Definicja 1.29 (zbioru liczb naturalnych)
N (k) jest najmniejszym zbiorem spe lniaja
,
cym dwa warunki:
1
◦
k ∈ N (k) ;
2
◦
je´sli n ∈ N (k) , to r´ownie˙z n + 1 ∈ N (k) .
Zbi´or N (0) =: N nazywa´c be
,
dziemy zbiorem liczb naturalnych, a jego elementy
liczbami naturalnymi.
Stwierdzenie 1.30
Je´sli n ∈ N (k) , to n ≥ k .
Dow´
od. Niech A = {n ∈ N (k):
n ≥ k} . Oczywi´scie k ∈ A . Je´sli n ∈ A , to
n ≥ k , wie
,
c n + 1 > n ≥ k i oczywi´scie n + 1 ∈ N (k) , zatem r´ownie˙z n + 1 ∈ A .
Wynika sta
,
d, ˙ze A ⊇ N (k) , a z definicji od razu wynika, ˙ze A ⊆ N (k) . Wobec tego
A = N (k) , a sta
,
d wynika natychmiast, ˙ze je´sli n ∈ N (k) , to n ≥ k .
Stwierdzenie 1.31
Je´sli n ∈ N (k) i n > k , to n − 1 ∈ N (k) .
Dow´
od. Niech A = {k} ∪ {n > k:
n − 1 ∈ N (k)} , czyli A sk lada sie
,
z liczby
k i tych liczb n nale˙za
,
cych do N (k) , dla kt´orych spe lniona jest teza. Je´sli n ∈ A ,
to n + 1 ∈ N (k) , a poniewa˙z n = (n + 1) − 1 ∈ A ⊆ N (k) , wie
,
c n + 1 ∈ A . Sta
,
d
A ⊇ N (k) a poniewa˙z A ⊆ N (k) , wie
,
c A = N (k) .
Stwierdzenie 1.32
Je´sli n ∈ N (k) i m > n oraz m ∈ N (k) , to m ≥ n + 1 .
Dow´
od. Niech A = {n ∈ N (k):
je´sli m ∈ N (k) i m > n, to m ≥ n + 1} .
Je´sli m > k i m ∈ N (k) , to m − 1 ∈ N (k) (stwierdzenie 1.31), zatem m − 1 ≥ k ,
a sta
,
d m = m − 1 + 1 ≥ k + 1 , zatem k ∈ A . Za l´o˙zmy, ˙ze n ∈ A i m > n + 1 .
Wtedy m − 1 > n , zatem m − 1 ≥ n + 1 , wie
,
c m = (m − 1) + 1 ≥ (n + 1) + 1 , zatem
n + 1 ∈ N (k) .
Wniosek 1.33
Je´sli n < x < n + 1 i n ∈ N (k) , to x 6= N (k) .
6
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
Stwierdzenie 1.34 Zasada minimum
Je´sli A ⊆ N (k) i A 6= ∅ , to inf A ∈ A , s lowami: ka˙zdy niepusty podzbi´or zbioru
N (k) ma element najmniejszy, w szczeg´olno´sci w ka˙zdym zbiorze z lo˙zonym z liczb
naturalnych jest liczba najmniejsza.
Dow´
od. Je´sli k ∈ A , to k = inf A , bo k = inf N (k) . Za l´o˙zmy wie
,
c, ˙ze k /
∈ A
oraz ˙ze w niepustym zbiorze A nie ma liczby najmniejszej. Niech B be
,
dzie zbiorem
tych liczb n ∈ N (k) , dla kt´orych zachodzi nier´owno´s´c n < a dla ka˙zdego a ∈ A .
Oczywi´scie k ∈ B . Je´sli n ∈ B , to n < a dla ka˙zdego a ∈ A . Sta
,
d wynika, ˙ze
dla ka˙zdego a ∈ A zachodzi nier´owno´s´c n + 1 ≤ a . Je´sli n + 1 ∈ A , to n + 1
jest najmniejsza
,
liczba
,
w zbiorze A . Je´sli n + 1 6= a dla ˙zadnej liczby a ∈ A , to
n + 1 ∈ B . Je´sli wie
,
c w zbiorze A nie ma liczby najmniejszej, to zbi´or B zawiera
N (k) , ale oznacza, ˙ze zbi´or A jest pusty, wbrew za lo˙zeniu.
Stwierdzenie 1.35 Zasada maksimum
Je´sli A ⊆ N (k) , A 6= ∅ i sup A ∈ R , to sup A ∈ A , s lowami: ka˙zdy niepusty,
ograniczony z g´ory podzbi´or zbioru N (k) ma element najwie
,
kszy, w szczeg´olno´sci
w ka˙zdym z lo˙zonym z liczb naturalnych zbiorze, kt´ory jest ograniczony z g´ory jest
liczba najwie
,
ksza.
Dow´
od. Za l´o˙zmy, ˙ze teza nie jest prawdziwa. Niech A ⊆ N (k) be
,
dzie zbiorem
ograniczonym z g´ory, kt´orego kres g´orny znajduje sie
,
poza A . Niech n > −1 + sup A
i n ∈ A — taka liczba n istnieje, bo −1 + sup A < sup A . Wynika sta
,
d nier´owno´s´c
n + 1 > sup A , zatem n + 1 jest ograniczeniem g´ornym zbioru A . Poniewa˙z mie
,
dzy
n i n + 1 nie ma liczb ze zbioru A ⊆ N (k) , wie
,
c je´sli m ∈ A , to m < n + 1 , zatem
m ≤ n , a to oznacza, ˙ze n jest ograniczeniem g´ornym zbioru A , a poniewa˙z n ∈ A ,
wie
,
c n = sup A , wbrew temu, ˙ze sup A /
∈ A .
Wniosek 1.36 (Zasada Archimedesa)
Zbi´or sup N (k) = +∞ , w szczeg´olno´sci dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x istnieje
liczba naturalna n > x .
Stwierdzenie 1.37
Je´sli m, n ∈ N (k) i m > n , to m − n ∈ N .
Dow´
od. Niech n ∈ N (k) . Niech A oznacza zbi´or z lo˙zony z tych liczb ν ∈ N (k) ,
dla kt´orych ν ≤ n oraz tych liczb m ∈ N (k) , dla kt´orych m − n ∈ N . Oczywi´s-
cie k ∈ A . Je´sli m ∈ A i m < n , to m + 1 ≤ n , zatem m + 1 ∈ A . Je´sli m ∈ A
i m ≥ n , to m + 1 − n = (m − n) + 1 ∈ N , bowiem m − n ∈ N . Z tego wynika, ˙ze
m + 1 ∈ A . Sta
,
d wynika, ˙ze A ⊇ N (k) , a to ko´
nczy dow´od.
7
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
Stwierdzenie 1.38 (o sumie i iloczynie liczb naturalnych)
Suma i iloczyn liczb naturalnych sa
,
liczbami naturalnymi.
Dow´
od. Niech n ∈ N . Niech A = {m ∈ N:
m + n ∈ N} .
0 ∈ A , bowiem
0 + n = n ∈ N . Je´sli m ∈ A , to m + n ∈ N , zatem (m + 1) + n = (m + n) + 1 ∈ N ,
czyli m + 1 ∈ A . Wobec tego A ⊇ N , a to oznacza, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej
m suma n + m te˙z jest liczba
,
naturalna
,
. Niech B = {m ∈ N:
mn ∈ N} . Poniewa˙z
0 · n = 0 ∈ N , wie
,
c 0 ∈ B . Je´sli m ∈ B , to (m + 1) · n = mn + n ∈ N , bowiem
mn ∈ N i n ∈ N , wie
,
c r´ownie˙z ich suma jest liczba
,
naturalna
,
, co ju˙z wiemy. Wobec
tego B ⊇ N , a to oznacza, ˙ze iloczyn liczb naturalnych jest liczba
,
naturalna
,
.
Definicja 1.39 (zbioru liczb ca lkowitych)
Zbiorem liczb ca lkowitych nazywamy najmniejszy zbi´or Z taki, ˙ze Z ⊇ N i je´sli
a, b ∈ Z , to r´ownie˙z a − b ∈ Z .
Stwierdzenie 1.40 (charakteryzuja
,
ce liczby ca lkowite)
Z = N ∪ {a ∈ R:
−a ∈ N} , czyli liczba jest ca lkowita wtedy i tylko wtedy, gdy jest
naturalna lub gdy przeciwna do niej jest naturalna.
Dow´
od. Niech A = N ∪ {a ∈ R:
−a ∈ N} . Oczywi´scie zbi´or A zawiera wszystkie
liczby naturalne i wszystkie liczby przeciwne do liczb naturalnych. Niech a, b ∈ A .
Wyka˙zemy, ˙ze a − b ∈ A . Mamy do rozpatrzenia cztery przypadki: a, b ∈ N ,
−a, b ∈ N , a, −b ∈ N oraz −a, −b ∈ N . Zaczniemy od pierwszego z nich. Je´sli
a ≥ b , to a − b ∈ N — wynika to ze stwierdzenia 26. Je´sli a < b , to ze stwier-
dzenia 26 wnioskujemy, ˙ze b − a ∈ N , wie
,
c a − b = −(b − a) ∈ A . Teraz drugi
przypadek: −a, b ∈ N . Ze stwierdzenia 26 wnioskujemy, ˙ze −a + b ∈ N , zatem
a − b = −(a − b) ∈ A . Trzeci przypadek: a − b = a + (−b) , wie
,
c a − b ∈ N ⊆ A .
Czwarty przypadek a + b = −[(−a) + (−b)] , liczba (−a) + (−b) jest naturalna jako
suma liczb naturalnych, wie
,
c przeciwna do niej znajduje sie
,
w zbiorze A . Wynika
sta
,
d, ˙ze A = Z .
Stwierdzenie 1.41 (o sumie i iloczynie liczb ca lkowitych)
Suma i iloczyn liczb ca lkowitych sa
,
liczbami ca lkowitymi.
Dow´
od. Niech a, b ∈ Z . Wtedy −b ∈ Z i wobec tego a + b = a − (−b) ∈ Z ,
stwierdzenie 28. ab = −[a(−b)] = −[(−a)b] = (−a)(−b) a poniewa˙z iloczyn liczb
naturalnych jest liczba
,
naturalna
,
i liczba przeciwna do naturalnej jest ca lkowita,
wie
,
c ab ∈ Z .
Stwierdzenie 1.42 (zasady maksimum i minimum dla liczb ca lkowitych)
W ka˙zdym niepustym, ograniczonym z g´ory zbiorze z lo˙zonym liczb ca lkowitych ist-
8
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
nieje liczba najwie
,
ksza. W ka˙zdym niepustym, ograniczonym z do lu zbiorze z lo˙zonym
z liczb ca lkowitych istnieje liczba najmniejsza.
Dow´
od. Niech A ⊇ Z be
,
dzie niepustym zbiorem i niech M be
,
dzie jego ogranicze-
niem g´ornym. Je´sli w zbiorze A znajduja
,
sie
,
jakie´s liczby naturalne, to przyjmujemy
B = A ∩ N . W zbiorze B jest liczba najwie
,
ksza, zasada maksimum. Jest ona wie
,
ksza
od wszystkich liczb ujemnych, wie
,
c jest najwie
,
ksza
,
liczba
,
w zbiorze A . Za l´o˙zmy te-
raz, ˙ze w zbiorze A nie ma liczb naturalnych. Niech C = {x:
−x ∈ A} . Oczywi´scie
C ⊆ N i C 6= ∅ . Niech c = inf C . Oczywi´scie c ∈ C , zasada minimum. Sta
,
d wynika,
˙ze −c ∈ A . Nier´owno´s´c x ≤ −c jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci −x ≥ c , wie
,
c jest
spe lniona dla ka˙zdej liczby x ∈ A . Wykazali´smy, ˙ze zasada maksimum jest spe lniona
w zbiorze liczb ca lkowitych.
Je´sli A ⊇ Z be
,
dzie niepustym, ograniczonym z do lu zbiorem z lo˙zonym z liczb
ca lkowitych, to zbi´or C = {x:
−x ∈ A} jest ograniczony z g´ory, wie
,
c ma element
najwie
,
kszy, np. c , wie
,
c −c jest elementem najmniejszym zbioru A .
Definicja 1.43 (zbioru liczb wymiernych)
Zbiorem liczb wymiernych Q nazywamy najmniejszy zbi´or taki, ˙ze Q ⊇ Z i je´sli
a, b ∈ Q oraz b 6= 0 , to
a
b
∈ Q .
Stwierdzenie 1.44 (
o dzia laniach arytmetycznych w zbiorze liczb wymiernych)
Suma, r´o˙znica, iloczyn i iloraz liczb wymiernych sa
,
liczbami wymiernymi (iloraz, gdy
dzielimy przez liczbe
,
6= 0 ).
Zbi´or Q sk lada sie
,
z liczb postaci
a
b
, gdzie b 6= 0 i a, b ∈ Z .
Dow´
od. Dla dowodu wystarczy wykaza´c, ˙ze w zbiorze liczb postaci
a
b
, a, b ∈ Z ,
b 6= 0 wykonalne sa
,
dzia lania arytmetyczne. Mamy
a
b
· [
c
d
]
−1
= ab
−1
[cd
−1
]
−1
= ab
−1
dc
−1
= (ad)(cb)
−1
=
ad
bc
,
co oznacza, ˙ze w zbiorze Q sa
,
jedynie liczby postaci
a
b
. Mamy
a
b
+
c
d
= ab
−1
+ cd
−1
= add
−1
(b)
−1
+ cbb
−1
d
−1
= [ad + bc]b
−1
d
−1
= [ad + bc](bd)
−1
.
Analogicznie odejmowanie, kt´ore zreszta
,
mo˙zna sprowadzi´c do dodawania. Mno˙zenie
mo˙zna sprowadzi´c do dzielenia, a dzielenie liczb wymiernych daje w wyniku liczbe
,
wymierna
,
, co wynika wprost z definicji zbioru Q .
Definicja 1.45 (pote
,
gi o wyk ladniku naturalnym)
a
0
= 1 dla ka˙zdego a 6= 0 , a
1
= a , a
n+1
= a
n
· a dla ka˙zdej liczby ca lkowitej
n ≥ 1 .
Symbolu 0
0
nie definiujemy, p´o´zniej stanie sie
,
jasne dlaczego, aczkolwiek nale˙zy
stwierdzi´c, ˙ze w wielu sytuacjach przyjmuje sie
,
, ˙ze 0
0
= 1 , g l´ownie dla uproszczenia
9
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
zapisu.
Twierdzenie 1.46 (nier´
owno´s´
c Bernoulli’ego)
Dla ka˙zdej liczby naturalnej n ≥ 1 i ka˙zdej liczby rzeczywistej a > −1 zachodzi
nier´owno´s´c (1 + a)
n
≥ 1 + na .
Dow´
od. Dla n = 1 zachodzi r´owno´s´c. Za l´o˙zmy, ˙ze (1 + a)
n
≥ 1 + na dla pewnej
liczby naturalnej n ≥ 1 . Poniewa˙z 1 + a > 0 , wie
,
c
(1 + a)
n+1
= (1 + a)
n
· (1 + a) ≥ (1 + na) · (1 + a) = 1 + (n + 1)a + na
2
≥ 1 + (n + 1)a .
Wynika sta
,
d, ˙ze nier´owno´s´c zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ 1 .
Twierdzenie 1.47 (o istnieniu pierwiastk´
ow z liczb rzeczywistych)
Je´sli a ≥ 0 i k ∈ N , k ≥ 1 , to istnieje dok ladnie jedna liczba rzeczywista b ≥ 0
taka, ˙ze a = b
k
. Je´sli k ≥ 1 jest liczba
,
ca lkowita
,
nieparzysta
,
, tzn. nie istnieje liczba
ca lkowita κ taka, ˙ze k = 2κ , a jest dowolna
,
liczba
,
rzeczywista
,
, to istnieje dok ladnie
jedna liczba rzeczywista b taka, ˙ze b
k
= a .
Dow´
od. Udowodnimy pierwsza
,
cze
,
´s´c tezy. Je´sli a = 0 , to oczywi´scie b = 0 . Niech
a > 0 i A = {x ∈ R:
x
k
≤ a} . A 6= ∅ , bowiem
a
1+a
∈ A , gdy˙z 0 <
a
1+a
< 1 ,
zatem
a
1+a
k
≤
a
1+a
< a . Je´sli x ∈ A , to x < 1 + a , bo je´sli x ≥ 1 + a , to
x
k
≥ (1 + a)
k
≥ 1 + ka ≥ 1 + a > a . Niech b = sup A . Poniewa˙z
a
1+a
∈ A , wie
,
c
b ≥
a
1+a
> 0 . Udowodnimy, ˙ze b
k
= a . Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Musi wie
,
c by´c albo
b
k
< a albo b
k
> a . Za l´o˙zmy, ˙ze 0 < kε < b . Z nier´owno´sci Bernoulli’ego wynika, ˙ze
(b + ε)
k
= b
k
1 +
ε
b
k
= b
k
·
1
1 −
ε
b
1 +
ε
b
k
≤
≤ b
k
1
1 − k
ε
b
1+
ε
b
= b
k
1 +
ε
b
1 − (k − 1)
ε
b
< b
k
1 +
ε
b
1 − k
ε
b
.
Nier´owno´s´c b
k 1+
ε
b
1−k
ε
b
< a jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci b
k+1
+ εb
k
< ab − kεa , czyli
nier´owno´sci ε < b
a−b
k
ka+b
k
. Wystarczy wie
,
c przyja
,
´c, ˙ze ε jest np. mniejsza
,
z dwu
liczb
b
2k
i
b(a−b
k
)
2(ka+b
k
)
, by mie´c pewno´s´c, ˙ze (b + ε)
k
< a , co przeczy temu, ˙ze b
jest ograniczeniem g´ornym zbioru tych liczb nieujemnych, kt´orych k -te pote
,
gi nie
przekraczaja
,
a . Wykluczona zosta la nier´owno´s´c b
k
< a . Za l´o˙zmy, ˙ze b
k
> a . Niech
0 < ε < b . Mamy (b − ε)
k
= b
k
1 −
ε
b
k
≥ b
k
(1 − k
ε
b
) . Wynika sta
,
d, ˙ze je´sli
b
k
(1 − k
ε
b
) > a , czyli gdy ε <
b
k
−a
kb
k−1
, to (b − ε)
k
> a , co przeczy temu, ˙ze b
jest najmniejszym ograniczeniem g´ornym zbioru A , mniejszym jest bowiem b − ε .
Wobec tego nie mo˙ze mie´c miejsca nier´owno´s´c a < b
k
. Wykluczone zosta ly obie
nier´owno´sci, wie
,
c musi zachodzi´c r´owno´s´c b
k
= a Jest tylko jedna taka liczba b
10
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
bowiem z nier´owno´sci 0 ≤ b
1
< b
2
wynika, ˙ze b
k
1
< b
k
2
.
Dow´od w przypadku a < 0 i nieparzystego k pozostawiamy studentom w charakterze
latwego ´cwiczenia. Mo˙zna go sprowadzi´c do ju˙z udowodnionej cze
,
´sci tezy korzystaja
,
ce
z tego, ˙ze je´sli k jest nieparzyste, to (−y)
k
= −y
k
i z tego, ˙ze je´sli y
1
< y
2
, to
y
k
1
< y
k
2
.
Definicja 1.48 (cze
,
´sci ca lkowitej)
Cze
,
´scia
,
ca lkowita
,
bxc liczby x ∈ R nazywamy najwie
,
ksza
,
liczbe
,
ca lkowita
,
, kt´ora
nie jest wie
,
ksza ni˙z x .
Z zasady maksimum zastosowanej do zbioru liczb ca lkowitych wynika, ˙ze defini-
cja ta ma sens. Jasne jest, ˙ze np. b−3c = −3 ,
4
3
= 1 ,
−
4
3
= −2 .
Twierdzenie 1.49 (o istnieniu liczb niewymiernych)
Zbi´or R \ Q jest niepusty, np.
√
3 6∈ Q .
Dow´
od. Poniewa˙z (
√
3)
2
= 3 i 0 <
√
3 , wie
,
c 1 <
√
3 < 2 , bowiem z nier´owno´sci
0 < x ≤ 1 wynika, ˙ze x
2
≤ 1 , co wyklucza nier´owno´s´c
√
3 ≤ 1 , a z nier´owno´sci
2 ≤ x wynika, ˙ze 4 ≤ x
2
, co wyklucza nier´owno´s´c 2 ≤
√
3 . Za l´o˙zmy, ˙ze
√
3 ∈ Q ,
czyli ˙ze
√
3 =
p
q
, gdzie p, q ∈ Z . Poniewa˙z 0 <
p
q
=
−p
−q
, wie
,
c mo˙zna za lo˙zy´c,
˙ze p, q ∈ N . Istnieja
,
wie
,
c takie liczby naturalne q > 0 , ˙ze q ·
√
3 ∈ N . Niech n
0
oznacza najmniejsza
,
z nich (zasada minimum). Niech n
1
= n
0
(
√
3 − 1) . Poniewa˙z
0 <
√
3 − 1 < 1 , wie
,
c n
1
< n
0
. Poniewa˙z n
0
, n
0
√
3 ∈ N i n
0
< n
0
√
3 , wie
,
c
n
1
= n
0
√
3 − n
0
∈ N . Mamy te˙z n
1
√
3 = 3n
0
− n
0
√
3 ∈ N , bo obie liczby 3n
0
i n
0
√
3 sa
,
naturalne oraz n
0
√
3 < 3n
0
. Uzyskany wynik jest sprzeczny z definicja
,
n
0
jako najmniejszej liczby dodatniej, dla kt´orej n
0
√
3 ∈ N . Dow´od zosta l zako´
nczo-
ny.
Prawdziwe jest twierdzenie nieco og´olniejsze: Je´sli a ∈ N , to zachodzi jedna z
dwu mo˙zliwo´sci
√
n ∈ N ,
√
a /
∈ Q . Podany przed chwila
,
dow´od Dedekinda niewy-
mierno´sci liczby
√
3 nale˙zy nieco zmieni´c: liczbe
,
n
0
nale˙zy mno˙zy´c przez
√
a − b
√
ac
zamiast przez
√
3 − 1 .
Zadanie. Udowodni´c metoda
,
Dedekinda, ˙ze je´sli k, a ∈ N i k > 1 , to albo, to
√
a ∈ N albo
√
a /
∈ Q .
Twierdzenie 1.50 (o ge
,
sto´sci zbioru Q w zbiorze R )
Dla dowolnych liczb a, b ∈ R z tego, ˙ze a < b wynika, ˙ze istnieje taka liczba wymier-
na w , ˙ze a < w < b .
Dow´
od. Niech n ∈ N be
,
dzie taka
,
liczba
,
naturalna
,
, ˙ze
1
n
< b − a . Definiujemy
A = {m ∈ Z:
m
n
≤ a} . Zbi´or A jest niepusty, bo istnieje liczba naturalna −m taka,
11
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
˙ze −m > −na (zasada Archimedesa). Zbi´or A jest ograniczony z g´ory, bo nier´owno´s´c
m
n
≤ a jest r´ownowa˙zna nie r´owno´sci m ≤ na , czyli na jest ograniczeniem g´ornym
zbioru A . Niech k = sup A . Z zasady maksimum wynika, ˙ze wynika, ˙ze k ∈ A ,
zatem
k
n
≤ a . Sta
,
d wynika, ˙ze
k+1
n
=
k
n
+
1
n
< a + (b − a) = b . Poniewa˙z k + 1 /
∈ A ,
wie
,
c a <
k+1
n
. Mamy wie
,
c a <
k+1
n
< b . Przyjmujemy wie
,
c w =
k+1
n
.
Twierdzenie 1.51 (o ge
,
sto´sci zbioru R \ Q w zbiorze R )
Dla dowolnych liczb a, b ∈ R z tego, ˙ze a < b wynika, ˙ze istnieje liczba niewymierna
x taka, ˙ze a < x < b .
Dow´
od. Nie be
,
dziemy przytacza´c ca lego dowodu. Mo˙zna powt´orzy´c dow´od twier-
dzenia poprzedniego korzystaja
,
c z tego, ˙ze je´sli p, q ∈ Z i p 6= 0 6= q , to liczba
p
q
√
3
jest niewymierna. R´o˙znica polega na tym, ˙ze tym razem liczbe
,
n ∈ N wybieramy tak,
by
√
3
n
<
b−a
2
i rozpatrujemy liczby postaci
m
√
3
n
. Wykazujemy, ˙ze dla co najmniej
dwu z nich spe lniona jest nier´owno´s´c a <
m
√
3
n
< b , co gwarantuje, ˙ze jedna z nich
jest r´o˙zna od 0 , wie
,
c jest niewymierna.
Podamy teraz jedna
,
z najwa˙zniejszych definicji w matematyce.
Definicja 1.52 (granicy cia
,
gu)
Liczba g ∈ R jest granica
,
cia
,
gu (a
n
) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby
ε > 0 istnieje taka liczba naturalna n
ε
, ˙ze je´sli n > n
ε
, to |a
n
− g| < ε .
Przyk lad 1.1
lim
n→∞
1
n
= 0 — wynika to z zasady Archimedesa.
Definicja 1.53 (cia
,
gu niemaleja
,
cego i rosna
,
cego)
Cia
,
g (a
n
) jest niemaleja
,
cy (´sci´sle rosna
,
cy) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby
naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c a
n
≤ a
n+1
( a
n
< a
n+1
).
W taki sam spos´ob definiujemy cia
,
gi nierosna
,
ce i ´sci´sle maleja
,
ce. Cia
,
g nazywamy
monotonicznym (´sci´sle monotonicznym) wtedy i tylko wtedy, gdy jest niemaleja
,
cy
(´sci´sle rosna
,
cy) lub nierosna
,
cy (´sci´sle maleja
,
cy).
Definicja 1.54 (cia
,
gu ograniczonego)
M´owimy, ˙ze cia
,
g (a
n
) jest ograniczony z g´ory (z do lu) wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje taka liczba rzeczywista M , ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi nie-
r´owno´s´c a
n
≤ M
( a
n
≥ M ).
Cia
,
gi ograniczone z g´ory i z do lu nazywamy ograniczonymi.
Twierdzenie 1.55 (o istnieniu granicy cia
,
gu monotonicznego)
Cia
,
g niemaleja
,
cy i ograniczony z g´ory ma granice
,
.
Dow´
od. Niech (a
n
) be
,
dzie cia
,
giem niemaleja
,
cym i ograniczonym z g´ory przez
12
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
liczbe
,
M . Definiujemy kandydatke
,
na granice
,
g = sup{a
n
:
n ∈ N (k)} . Je˙zeli
ε > 0 , to liczba g − ε nie jest ograniczeniem g´ornym zbioru {a
n
:
n ∈ N (k)} , wie
,
c
istnieje liczba n
ε
taka, ˙ze a
n
ε
> a−ε . Wobec tego dla n ≥ n
ε
mamy a ≥ a
n
> g−ε ,
a to oznacza, ˙ze lim
n→∞
a
n
= g .
Przyk lad 1.2
Je´sli |q| < 1 , to lim
n→∞
q
n
= 0 . R´owno´s´c jest oczywista dla q = 0 , bo
wtedy niezale˙znie od ε mo˙zna przyja
,
´c, ˙ze n
ε
= k . Je´sli 0 < |q| < 1 , to przyjmuja
,
c
1
|q|
= 1+r otrzymujemy 0 < |q|
n
< ε wtedy i tylko wtedy, gdy (1+r)
n
=
1
|q|
n
>
1
ε
,
a na to, by ta ostatnia nier´owno´s´c zachodzi la wystarcza, ˙ze n >
1
ε
−1
r
, bowiem z nie-
r´owno´sci Bernoulli’ego wynika, ˙ze (1 + r)
n
≥ 1 + nr .
Twierdzenie 1.56 (o arytmetycznych w lasno´sciach granicy)
A1. Je´sli istnieja
,
granice lim
n→∞
a
n
, lim
n→∞
b
n
, to istnieje granica lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) i za-
chodzi wz´or:
lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = lim
n→∞
a
n
+ lim
n→∞
b
n
.
A2. Je´sli istnieja
,
granice lim
n→∞
a
n
, lim
n→∞
b
n
, to istnieje granica lim
n→∞
(a
n
− b
n
) i za-
chodzi wz´or:
lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = lim
n→∞
a
n
− lim
n→∞
b
n
.
A3. Je´sli istnieja
,
granice lim
n→∞
a
n
, lim
n→∞
b
n
, to istnieje granica lim
n→∞
(a
n
· b
n
) i za-
chodzi wz´or:
lim
n→∞
(a
n
· b
n
) = lim
n→∞
a
n
· lim
n→∞
b
n
.
A4. Je´sli istnieja
,
granice lim
n→∞
a
n
, lim
n→∞
b
n
6= 0 , to istnieje granica lim
n→∞
a
n
b
n
i zacho-
dzi wz´or:
lim
n→∞
a
n
b
n
=
lim
n→∞
a
n
lim
n→∞
b
n
. ×
Zanim udowodnimy to twierdzenie, sformu lujemy naste
,
pne.
Twierdzenie 1.57 (o szacowaniu)
N1. Je´sli C < lim
n→∞
a
n
, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c C < a
n
.
N2. Je´sli C > lim
n→∞
a
n
, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c C > a
n
.
N3. Je´sli lim
n→∞
b
n
< lim
n→∞
a
n
, to dla dostatecznie du˙zych liczb n ∈ N zachodzi
nier´owno´s´c b
n
< a
n
.
N4. Je´sli b
n
≤ a
n
dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n , to zachodzi nier´ow-
no´s´c lim
n→∞
b
n
≤ lim
n→∞
a
n
.
Dow´
od. Zaczniemy od N1. Przypomnijmy, ˙ze liczba C jest mniejsza od granicy
cia
,
gu (a
n
) . Mamy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c C <
a
n
. Przyjmijmy ε = lim
n→∞
a
n
− C . Z definicji od razu wynika, ˙ze dla dostatecznie
du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c |a
n
− lim
n→∞
a
n
| < ε , wie
,
c a
n
> lim
n→∞
a
n
− ε = C .
W taki sam spos´ob udowodni´c mo˙zna N2 — trzeba jedynie zmieni´c kierunki niekt´o-
rych nier´owno´sci.
13
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
Za l´o˙zmy, ˙ze lim
n→∞
b
n
< lim
n→∞
a
n
. Istnieje liczba C taka, ˙ze lim
n→∞
b
n
< C < lim
n→∞
a
n
.
Na mocy ju˙z udowodnionej cze
,
´sci twierdzenia dla dostatecznie du˙zych n zachodza
,
nier´owno´sci b
n
< C oraz C < a
n
. Z nich wynika od razu, ˙ze dla dostatecznie du˙zych
liczb naturalnych n mamy b
n
< a
n
, co ko´
nczy dow´od cze
,
´sci N3.
Za l´o˙zmy, ˙ze od pewnego momentu zachodzi nier´owno´s´c b
n
≤ a
n
, chcemy natomiast
wykaza´c, ˙ze lim
n→∞
b
n
≤ lim
n→∞
a
n
. Je´sli tak nie jest, to lim
n→∞
b
n
> lim
n→∞
a
n
. Sta
,
d jednak
wynika, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c b
n
> a
n
sprzeczna z za lo˙zeniem. Dow´od twierdzenia o szacowaniu zosta l zako´
nczony.
Wniosek 1.58 (z twierdzenia o szacowaniu — jednoznaczno´s´
c granicy)
N5 Cia
,
g ma co najwy˙zej jedna
,
granice
,
.
Dow´
od. Gdyby mia l dwie np. g
1
< g
2
, to wybra´c mogliby´smy liczbe
,
C le˙za
,
ca
,
mie
,
dzy g
1
i g
2
: g
1
< C < g
2
. Wtedy dla dostatecznie du˙zych n by loby jednocze´snie
a
n
< C (zob. N2) oraz a
n
> C (zob. N1), co oczywi´scie nie jest mo˙zliwe.
Wniosek 1.59 ( o ograniczono´sci cia
,
gu o granicy sko´
nczonej)
N6. Je´sli cia
,
g (a
n
) ma granice
,
, to istnieja
,
takie liczby rzeczywiste C, D , ˙ze dla
wszystkich n ∈ N zachodzi nier´owno´s´c C < a
n
< D , czyli cia
,
g (a
n
) jest
ograniczony z do lu liczba
,
C za´s z g´ory liczba
,
D .
Dow´
od. Niech g = lim
n→∞
a
n
. Z definicji granicy cia
,
gu wynika z kolei istnienie takiej
liczby naturalnej n
1
, ˙ze je´sli n > n
1
jest liczba
,
naturalna
,
, to |a
n
− g| < 1 , wie
,
c
a
n
< g + 1 . Niech D = 1 + max(a
0
, a
1
, . . . , a
n
1
, g + 1) . Jasne jest, ˙ze wskazana
liczba D spe lnia ˙za
,
dany warunek. Istnienie liczby C mo˙zemy wykaza´c stosuja
,
c ju˙z
udowodniona
,
cze
,
´s´c twierdzenia do cia
,
gu (−a
n
) .
Uwaga 1.60
Ten dow´od jest bardzo prosty. Prosze
,
jednak zwr´oci´c uwage
,
na to, ˙ze spo´sr´od sko´
n-
czenie wielu liczb mo˙zna zawsze wybra´c najwie
,
ksza
,
a spo´sr´od niesko´
nczenie wielu
niekoniecznie, np. w´sr´od liczb 0,
1
2
,
2
3
,
3
4
, . . . najwie
,
kszej nie ma!
Twierdzenie 1.61 (o trzech cia
,
gach)
N7. Je´sli a
n
≤ b
n
≤ c
n
dla dostatecznie du˙zych n i cia
,
gi (a
n
) oraz (c
n
) maja
,
r´owne granice, to cia
,
g (b
n
) te˙z ma granice
,
i zachodzi wz´or
lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
= lim
n→∞
c
n
.
Dow´
od. Wiemy, ˙ze a
n
≤ b
n
≤ c
n
dla dostatecznie du˙zych n oraz ˙ze cia
,
gi (a
n
)
i (c
n
) maja
,
wsp´olna
,
granice
,
g . Mamy dowie´s´c, ˙ze ta wsp´olna granice jest r´ownie˙z
14
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
granica
,
cia
,
gu (b
n
) . Niech ε > 0 be
,
dzie dowolna
,
liczba
,
. Istnieje taka liczba natural-
na n
ε
, ˙ze je´sli n > n
ε
, to |a
n
− g| < ε oraz |c
n
− g| < ε . Wynika sta
,
d, ˙ze
g − ε < a
n
≤ b
n
≤ c
n
< g + ε ,
zatem |b
n
− g| < ε . Udowodnili´smy, ˙ze g = lim
n→∞
b
n
. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Uwaga 1.62 (o zbie˙zno´sci cia
,
gu przeciwnego)
Zauwa˙zmy, ˙ze cia
,
g (c
n
) ma granice
,
wtedy i tylko wtedy, gdy cia
,
g (−c
n
) ma granice
,
oraz ˙ze zachodzi wtedy r´owno´s´c lim
n→∞
(−c
n
) = − lim
n→∞
c
n
.
Ta bardzo prosta uwaga wielokrotnie pozwoli nam na zmniejszenie liczby przy-
padk´ow rozwa˙zanych w dowodach.
Teraz zajmiemy sie
,
twierdzeniem o arytmetycznych w lasno´sciach granicy cia
,
gu.
Udowodnimy, ˙ze suma granic dw´och cia
,
g´ow jest granica
,
sumy tych cia
,
g´ow. Za l´o˙zmy,
˙ze g
a
= lim
n→∞
a
n
i g
b
= lim
n→∞
b
n
. Niech ε be
,
dzie dodatnia
,
liczba
,
rzeczywista
,
i niech
n
0
ε
be
,
dzie taka
,
liczba
,
naturalna
,
, ˙ze dla n > n
0
ε
zachodzi nier´owno´s´c |a
n
− g
a
| <
ε
2
.
Niech n
00
ε
be
,
dzie taka
,
liczba
,
naturalna
,
, ˙ze nier´owno´s´c |b
n
− g
b
| <
ε
2
zachodzi dla
n > n
00
ε
i niech n
ε
oznacza wie
,
ksza
,
z liczb n
0
ε
, n
00
ε
. Wtedy dla n > n
ε
zachodza
,
obydwie nier´owno´sci, zatem
|a
n
+ b
n
− (g
a
+ g
b
)| ≤ |a
n
− g
a
| + |b
n
− g
b
| <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Oznacza to, ˙ze lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = g
a
+ g
b
. Dow´od twierdzenia o granicy sumy cia
,
g´ow
zosta l zako´
nczony.
Z uwagi o zbie˙zno´sci cia
,
gu przeciwnego i twierdzenia o granicy sumy (A1) wynika od
razu twierdzenie o granicy r´o˙znicy (A2).
Zajmiemy sie
,
teraz iloczynem. Z twierdzenia o szacowaniu wynika, ˙ze ka˙zdy z tych
cia
,
g´ow jest ograniczony, wie
,
c istnieje liczba K
0
> 0 taka, ˙ze |a
n
| ≤ K
0
i istnieje te˙z
liczba K
00
taka, ˙ze |b
n
| < K
00
dla ka˙zdej liczby naturalnej n . Przyjmuja
,
c, ˙ze K to
wie
,
ksza z liczb K
0
, K
00
znajdujemy liczbe
,
, kt´orej nie przekracza warto´s´c bezwzgle
,
dna
˙zadnego wyrazu kt´oregokolwiek z dw´och rozpatrywanych cia
,
g´ow: |a
n
|, |b
n
| ≤ K .
Niech g
a
= lim
n→∞
a
n
, g
b
= lim
n→∞
b
n
. Z twierdzenia o szacowaniu wnioskujemy, ˙ze
r´ownie˙z |g
a
|, |g
b
| ≤ K . Niech ε oznacza dowolna
,
liczbe
,
dodatnia
,
. Istnieje wtedy taka
liczba naturalna n
ε
, ˙ze je´sli n > n
ε
, to |a
n
−g
a
| <
ε
2K
i jednocze´snie |b
n
−g
b
| <
ε
2K
.
Wtedy
|a
n
b
n
− g
a
g
b
| = |(a
n
− g
a
)b
n
+ g
a
(b
n
− g
b
)| ≤
≤ |a
n
− g
a
| · |b
n
| + |g
a
| · |b
n
− g
b
| <
ε
2K
· K + K ·
ε
2K
= ε.
Udowodnili´smy wie
,
c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n odleg lo´s´c liczby a
n
b
n
od liczby
15
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
g
a
g
b
jest mniejsza ni˙z ε , co oznacza, ˙ze g
a
g
b
= lim
n→∞
a
n
· b
n
.
Pozosta la ostatnia cze
,
´s´c — twierdzenie o granicy ilorazu. Niech g
a
= lim
n→∞
a
n
i niech
0 6= g
b
= lim
n→∞
b
n
. Wyka˙zemy, ˙ze lim
n→∞
a
n
b
n
=
g
a
g
b
. Niech ε be
,
dzie dowolna
,
liczba
,
dodatnia
,
. Z poczynionych za lo˙ze´
n wynika, ˙ze istnieje taka liczba naturalna n
ε
, ˙ze
je´sli n > n
ε
, to |b
n
| >
|g
b
|
2
, |a
n
− g
a
| <
ε·|g
b
|
4
, |b
n
− g
b
| <
ε·|g
b
|
2
4(|g
a
|+1)
.* Dla n > n
ε
mamy wie
,
c
a
n
b
n
−
g
a
g
b
=
|a
n
g
b
− g
a
b
n
|
|g
b
b
n
|
≤
|a
n
g
b
− g
a
g
b
| + |g
a
g
b
− g
a
b
n
|
|g
b
|
2
/2
=
=
2
|g
b
|
|a
n
− g
a
| +
2|g
a
|
|g
b
|
2
|g
b
− b
n
| < ε.
Twierdzenie zosta lo udowodnione.
Lemat 1.63 (o granicach n -tych pote
,
g cia
,
g´
ow „szybko zbie˙znych” do 1)
Je´sli lim
n→∞
n · a
n
= 0 , to lim
n→∞
(1 + a
n
)
n
= 1 .
Dow´
od. Poniewa˙z lim
n→∞
n · a
n
= 0 , wie
,
c istnieje n
0
takie, ˙ze je´sli n > n
0
, to
|n · a
n
| <
1
2
. Wtedy |a
n
| =
1
n
· (|n · a
n
|) <
1
n
·
1
2
≤
1
2
. Wobec tego dla ka˙zdej liczby
naturalnej n > n
0
zachodza
,
nier´owno´sci: n · a
n
> −
1
2
> −1 ,
a
n
1+a
n
> −1 oraz
n·a
n
1+a
n
< 1 , co usprawiedliwia dwukrotne stosowanie nier´owno´sci Bernoulli’ego w wier-
szu poni˙zej
1 + n · a
n
≤ (1 + a
n
)
n
=
1
1 −
a
n
1+a
n
n
≤
1
1 −
na
n
1+a
n
Czytelnik zwr´oci uwage
,
na to, ˙ze dzie
,
ki wyborowi n
0
stosowanie nier´owno´sci Ber-
noulli’ego prowadzi do wyra˙ze´
n dodatnich, wie
,
c przej´scie do ich odwrotno´sci jest
usprawiedliwione – stosowali´smy nier´owno´s´c Bernoulli’ego do mianownika! Teza le-
matu wynika z twierdzenia o trzech cia
,
gach: lim
n→∞
(1 + n · a
n
) = 1 = lim
n→∞
1
1 −
na
n
1+a
n
.
Lemat zosta l udowodniony.
Cia
,
g (1 +
x
n
)
n
Wypiszmy przybli˙zenia dziesie
,
ciu pierwszych wyraz´ow cia
,
gu
w przypadku x = 1 :
oraz w przypadku x = −4 :
1 +
1
1
1
= 2
1 +
−4
1
1
= −3
1 +
1
2
2
=
9
4
= 2, 25
1 +
−4
2
2
= 1
1 +
1
3
3
=
64
27
≈ 2, 37
1 +
−4
3
3
=
−1
27
≈ −0, 37
1 +
1
4
4
=
625
256
≈ 2, 44
1 +
−4
4
4
= 0
*
Nie za lo˙zyli´smy, ˙ze g
a
6=0 , wie,c w mianowniku umie´scili´smy |g
a
|+1 .
16
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
1 +
1
5
5
=
7776
3125
≈ 2, 49
1 +
−4
5
5
=
1
3125
≈ 0, 00032
1 +
1
6
6
=
117649
46656
≈ 2, 52
1 +
−4
6
6
=
1
729
≈ 0, 0014
1 +
1
7
7
=
2097152
823543
≈ 2, 55
1 +
−4
7
7
=
2187
823543
≈ 0, 0027
1 +
1
8
8
=
43046721
16777216
≈ 2, 56
1 +
−4
8
8
=
1
256
≈ 0, 0039
1 +
1
9
9
=
1000000000
387420489
≈ 2, 58
1 +
−4
9
9
=
1953125
387420489
≈ 0, 0050
1 +
1
10
10
=
25937424601
10000000000
≈ 2, 59
1 +
−4
10
10
=
59049
9765625
≈ 0, 0060
Latwo mo˙zna przekona´c sie
,
, ˙ze cia
,
g o wyrazie a
n
= (1 +
x
n
)
n
nie jest ani geo-
metryczny , ani arytmetyczny z wyja
,
tkiem jednego przypadku: x = 0 .
Wyka˙zemy, ˙ze je´sli n > −x 6= 0 , to a
n+1
> a
n
, czyli ˙ze cia
,
g ten
jest rosna
,
cy od pewnego momentu. W przypadku x > 0 jest rosna
,
cy, gdy
x < 0 , to mo˙ze sie
,
zdarzy´c, ˙ze pocza
,
tkowe wyrazy zmieniaja
,
znak, wie
,
c o mono-
toniczno´sci nie mo˙ze by´c nawet mowy. Jednak od pewnego momentu wszystkie wy-
razy cia
,
gu sa
,
dodatnie i wtedy rosna
,
wraz z n . Wypada to wykaza´c. Z nier´owno´sci
n > −x wynika od razu nier´owno´s´c n + 1 > −x . Z pierwszej z nich wnioskujemy,
˙ze 1 +
x
n
> 0 , a z drugiej – ˙ze 1 +
x
n+1
> 0 . Nier´owno´s´c a
n
< a
n+1
r´ownowa˙zna
jest nier´owno´sci
1 +
x
n
n
<
1 +
x
n+1
n+1
, a ta — dzie
,
ki temu, ˙ze 1 +
x
n
> 0
— nier´owno´sci
1+
x
n+1
1+
x
n
n+1
>
1
(
1+
x
n
)
=
n
n+x
. Skorzystamy teraz z nier´owno´sci Ber-
noulli’ego, by udowodni´c, ˙ze ostatnia nier´owno´s´c ma miejsce dla n > −x . Mamy
1+
x
n+1
1+
x
n
n+1
=
1 −
x
(n+x)(n+1)
n+1
≥ 1 − (n + 1)
x
(n+x)(n+1)
= 1 −
x
n+x
=
n
n+x
. Dla
jasno´sci nale˙zy jeszcze zauwa˙zy´c, ˙ze liczba
−x
(n+x)(n+1)
, pe lnia
,
ca role
,
a w nier´owno´sci
Bernoulli’ego, jest wie
,
ksza od −1 . Jest to oczywiste w przypadku x ≤ 0 , bo jest ona
wtedy nieujemna, za´s dla x > 0 jej warto´s´c bezwzgle
,
dna, czyli
x
(n+x)(n+1)
jest mniej-
sza od
1
n+1
< 1 . Wykazali´smy wie
,
c, ˙ze od momentu, w kt´orym wyra˙zenie (1 +
x
n
)
staje sie
,
dodatnie, cia
,
g zaczyna rosna
,
´c (w przypadku x = 0 jest sta ly). Dodajmy
jeszcze, ˙ze je´sli x > 0 , to wyrazy cia
,
gu sa
,
dodatnie, je´sli za´s x < 0 , to sa
,
one
dodatnie dla n parzystego oraz dla n nieparzystego, o ile n > −x .
Je´sli x < 0 i n > −x , to 0 < 1 +
x
n
< 1 , zatem 1 +
x
n
n
< 1 . Cia
,
g jest
wie
,
c w przypadku x < 0 niemaleja
,
cy od pewnego miejsca i ograniczony z g´ory,
ma zatem granice
,
. Granica ta jest dodatnia, bo takie sa
,
wyrazy cia
,
gu od pewnego
miejsca i w dodatku rosna
,
one wraz z n . Je´sli x = 0 , to wszystkie wyrazy cia
,
gu sa
,
r´owne 1 , wie
,
c jego granica te˙z. Je´sli x > 0 , to 1 +
x
n
n
=
1 −
x
2
n
2
n
1 +
−xx
n
n
. Mianownik
ma dodatnia granice
,
— to ju˙z wykazali´smy. Mamy te˙z lim
n→∞
n ·
−x
2
n
2
= 0 , zatem
17
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
granica
,
licznika jest liczba 1 . Z twierdzenia o granicy ilorazu natychmiast wynika,
˙ze cia
,
g
1 +
x
n
n
ma granice
,
r´ownie˙z dla x > 0 .
Oznaczenie
exp(x) oznacza´c be
,
dzie w dalszym cia
,
gu granice
,
cia
,
gu (1 +
x
n
)
n
, tzn.
exp(x) = lim
n→∞
1 +
x
n
n
.
Wobec tego symbol exp oznacza funkcje
,
, kt´ora jest okre´slona na zbiorze wszystkich
liczb rzeczywistych, jej warto´scia
,
w punkcie x jest liczba dodatnia lim
n→∞
1 +
x
n
n
.
Twierdzenie 1.64 (R´
ownanie podstawowe)
Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi r´owno´s´c: exp(x + y) = exp(x) ·
exp(y) .
Dow´
od. Skorzystamy z okre´slenia liczby exp(x) i tego, ˙ze jest to liczba dodatnia, co
udowodnili´smy wcze´sniej. R´owno´s´c, kt´ora
,
mamy udowodni´c, jest r´ownowa˙zna temu,
˙ze
exp(x)·exp(y)
exp(x+y)
= 1 . Mamy
exp(x) · exp(y)
exp(x + y)
= lim
n→∞
(1 +
x
n
)(1 +
y
n
)
1 +
x+y
n
!
n
= lim
n→∞
1 +
xy
n
2
1 +
x+y
n
!
n
= 1
Ostatnia r´owno´s´c wynika z lematu o cia
,
gach szybko zbie˙znych do 1 i z tego, ˙ze
lim
n→∞
n ·
xy
n2
1+
x+y
n
= 0 .
Stwierdzenie 1.65
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi wz´or exp(−x) =
1
exp(x)
.
Mamy exp(0) = exp(0+0) = exp(0)·exp(0) , a poniewa˙z exp(0) jest liczba
,
dodatnia
,
,
wie
,
c exp(0) = 1 .* Wobec tego 1 = exp(0) = exp(−x + x) = exp(−x) · exp(x) , zatem
zachodzi wz´or exp(−x) =
1
exp(x)
.
Definicja 1.66 (pote
,
gi o wyk ladniku wymiernym)
Je´sli a > 0 , p ∈ Z , q ∈ N \ {0} , to a
p/q
=
q
√
a
p
.
Dla a < 0 sa
,
k lopoty z definicja i z w lasno´sciami funkcji wyk ladniczej, wie
,
c w wielu
szko lach nauczyciele po prostu zak ladaja
,
, ˙ze podstawa pote
,
gi musi by´c dodatnia. To
samo za lo˙zenie przyjmuja
,
r´ownie˙z autorzy wielu znanych program´ow komputerowych
i dzie la ich autorstwa nie lubia
,
wyra˙ze´
n typu (−8)
1/3
. Zapewne po drodze, w obli-
czeniach, programy takie u˙zywaja
,
logarytm´ow. Autor tego tekstu jednak dopuszcza
*
inny dow´
od:
exp(0)=limn→∞
(
1+
0
n
)
n
=limn→∞1=1 .
18
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
ujemna
,
podstawe
,
w naste
,
puja
,
cej sytuacji p ∈ Z , q ∈ N , nie istnieje takie x ∈ Z , ˙ze
q = 2x , czyli q jest nieparzyste i nie istnieja
,
takie k, l, m ∈ Z , ˙ze m > 1 , p = km i
jednocze´snie q = lm , czyli p, q sa
,
wzgle
,
dnie pierwsze.
Je´sli a > 0 i
p
q
=
r
s
, p, r ∈ Z , q, s ∈ N\{0} , to
q
√
a
p
=
s
√
a
r
, bowiem ta r´owno´s´c
r´ownowa˙zna jest temu, ˙ze
q
√
a
p
qs
=
s
√
a
r
qs
, czyli a
ps
= a
qr
(twierdzenie o ist-
nieniu pierwiastka), a to wynika z tego, ˙ze ps = qr . Sta
,
d wynika, ˙ze definicja pote
,
gi
o wyk ladniku wymiernym jest zale˙zna od wyk ladnika a nie od jego przedstawienia
w postaci ilorazu licz ca lkowitych.
Powy˙zsze uwagi nie dotycza
,
pote
,
gowania, gdy podstawa jest ujemna:
(−1)
1/3
=
3
p
(−1)
1
= −1 , ale (−1)
2/6
=
6
p
(−1)
2
= 1 ,
wie
,
c nawet definicja w przypadku ujemnej podstawy nie jest ca lkiem w porza
,
dku.
Tym nie mniej cze
,
sto jest wygodnie stosowa´c zapis a
p/q
dla ujemnego a , ale wtedy
trzeba zdawa´c sobie sprawe
,
z ogranicze´
n w twierdzeniach dotycza
,
cych pote
,
g, czyli
mie´c ´swiadomo´s´c, ˙ze moga
,
pojawi´c sie
,
jakie´s dziwne k lopoty.
Stwierdzenie 1.67
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x , dowolnej liczby ca lkowitej p i dowolnej dodatniej
liczby ca lkowitej q zachodzi wz´or:
exp(
p
q
x) = (exp(x))
p/q
.
Dow´
od. Je´sli m jest liczba
,
naturalna
,
, y – rzeczywista
,
to
exp(my) = exp(y + y + . . . + y) = exp(y) · exp(y) · . . . · exp(y) = (exp(y))
m
.
Sta
,
d wynika, ˙ze exp(
x
q
) =
q
p
exp(x) = (exp(x))
1/q
— stosujemy poprzedni wz´or
przyjmuja
,
c y =
x
m
i m = q . Dla p > 0 zachodzi wie
,
c r´owno´s´c
exp(
p
q
x) =
exp(
x
q
)
p
= (exp(x))
1/q
p
= (exp(x))
p/q
.
Teraz za l´o˙zmy, ˙ze p < 0 . Mamy wobec tego
exp(
p
q
x) =
1
exp(
−p
q
x)
=
1
(exp(x))
−p/q
= (exp(x))
p/q
.
Udowodnili´smy wie
,
c wz´or, kt´ory chcieli´smy wykaza´c.
Definicja 1.68 (liczby e )
Liczba
,
e nazywamy granice
,
lim
n→∞
1 +
1
n
n
, czyli e = exp(1) .
Liczba
,
ta
,
zajmowa l sie
,
intensywnie jako pierwszy L.Euler, matematyk szwaj-
carski zatrudniany przez Petersburska
,
Akademie
,
Nauki (1727-1744,1766-1783) i Ber-
li´
nska
,
Akademie
,
Nauki (1744-1766). Liczba ta ma du˙ze znaczenie w matematyce.
Z punktu widzenia tego wyk ladu jest to najwa˙zniejsza podstawa pote
,
g i logarytm´ow.
Z tego, co wykazali´smy do tej pory, wynika, ˙ze exp(w) = e
w
dla ka˙zdej liczby wy-
miernej w — we wzorze ze stwierdzenia 1.67 przyjmujemy x = 1 oraz
p
q
= w .
Wiemy te˙z, ˙ze e = exp(1) ≥ 1 + 1 = 2 .
19
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
Stwierdzenie 1.69
Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x < 1 , zachodzi nier´owno´s´c podw´ojna
1 + x ≤ exp(x) ≤
1
1−x
.
Dow´
od. Je´sli n > −x , to
x
n
> −1 . Z nier´owno´sci Bernoulii’ego wynika, ˙ze
1 +
x
n
n
≥ 1 + n
x
n
= 1 + x .
Sta
,
d wynika, ˙ze exp(x) = lim
n→∞
1 +
x
n
n
≥ lim
n→∞
(1 + n
x
n
) = 1 + x . Wobec tego
lewa nier´owno´s´c zachodzi i to dla wszystkich x ∈ R . Zajmiemy sie
,
prawa
,
. Mamy
exp(−x) ≥ 1 − x , co wynika z nier´owno´sci exp(x) ≥ 1 + x po zasta
,
pieniu liczby x
liczba
,
(−x) . Sta
,
d exp(x) =
1
exp(−x)
≤
1
1−x
.
Stwierdzenie 1.70 (cia
,
g lo´s´
c funkcji exp )
Je´sli lim
n→∞
x
n
= x , to r´ownie˙z lim
n→∞
exp(x
n
) = lim
n→∞
exp(x) .
Dow´
od. Dok ladnie ta w lasno´s´c funkcji wyk ladniczej jest nazywana jej cia
,
g lo´scia
,
.
W lasno´sciami funkcji cia
,
g lych i r´o˙znymi okre´sleniami cia
,
g lo´sci zajmiemy sie
,
p´o´zniej.
Teraz udowodnimy, ˙ze funkcja exp jest cia
,
g la. Za l´o˙zmy, ˙ze |h| <
1
2
. Wtedy
h ≤ exp(h) − 1 ≤
1
1−h
− 1 =
h
1−h
.
Sta
,
d wynika, ˙ze je´sli |h| <
1
2
, to | exp(h) − 1| ≤ 2|h| . Je´sli lim
n→∞
x
n
= x , to dla
dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c |x
n
− x| <
1
2
, zatem
0 ≤ | exp(x
n
) − exp(x)| = | exp(x) (exp(x
n
− x) − 1) | ≤ exp(x) · 2 · |x
n
− x| .
Dowodzona teza wynika wie
,
c z twierdzenia o trzech cia
,
gach.
Stwierdzenie 1.71 (charakteryzuja
,
ce funkcje
,
wyk ladnicza
,
)
Za l´o˙zmy, ˙ze na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych okre´slona jest funkcja f , taka
˙ze
(i) je´sli lim
n→∞
x
n
= x , to lim
n→∞
f (x
n
) = f (x) , tzn. funkcja f jest cia
,
g la;
(ii) dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi r´owno´s´c f (x + y) = f (x)f (y) ;
(iii) f (1) = e = exp(1) .
Wtedy dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x zachodzi r´owno´s´c f (x) = exp(x) .
Twierdzenie w istocie rzeczy m´owi, ˙ze w lasno´sci (i) oraz (ii) sa
,
podstawowymi
w lasno´sciami funkcji wyk ladniczej. W lasno´s´c (iii) ustala podstawe
,
pote
,
gi, gdyby
w tym twierdzeniu opu´sci´c za lo˙zenie (iii), to teza brzmia laby f (x) = (f (1))
x
. Udo-
wodnimy to twierdzenie.
Dow´
od. Mamy f (x) = f (
x
2
+
x
2
) = f (
x
2
) · f (
x
2
) = f (
x
2
)
2
≥ 0 . Je´sli dla pewnej
liczby rzeczywistej x
1
zachodzi r´owno´s´c f (x
1
) = 0 , to f (x) = f (x
1
)f (x − x
1
) = 0
dla ka˙zdej liczby x . Wobec tego albo funkcja f jest dodatnia w ka˙zdym punkcie,
albo jest r´owna 0 w ka˙zdym punkcie. W naszym przypadku f (1) 6= 0 , zatem na-
20
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
sza funkcja przyjmuje jedynie warto´sci dodatnie. Rozumuja
,
c tak jak w przypadku
funkcji exp , zob. dow´od stwierdzenia 1.67, stwierdzamy bez trudu, ˙ze dla dowol-
nej liczby rzeczywistej x , dowolnej liczby ca lkowitej p i dowolnej ca lkowitej liczby
dodatniej q zachodzi r´owno´s´c f (
p
q
x) = (f (x))
p/q
. W szczeg´olno´sci ma to miejsce
dla x = 1 , a to oznacza, ˙ze f (
p
q
) = (f (1))
p/q
= e
p/q
= exp(
p
q
) . Wykazali´smy zatem,
˙ze funkcja f pokrywa sie
,
z funkcja
,
exp na zbiorze wszystkich liczb wymiernych.
Dla dowolnej liczby rzeczywistej x , istnieje cia
,
g liczb wymiernych (w
n
) , kt´orego
granica
,
jest x . Wobec tego, dzie
,
ki cia
,
g lo´sci funkcji f i funkcji exp mo˙zemy napisa´c:
f (x) = lim
n→∞
f (w
n
) = lim
n→∞
exp(w
n
) = exp(x) .
Autor nie ma poje
,
cia, jak obecnie w szko lach definiowana jest pote
,
ga o wy-
k ladniku niewymiernym, zreszta
,
to mo˙ze zale˙ze´c od nauczyciela, podre
,
cznika, plam
na S lo´
ncu i innych czynnik´ow. Podejrzewa, ˙ze wie
,
kszo´s´c maturzyst´ow nie potrafi
powt´orzy´c ˙zadnej definicji. W istocie rzeczy wszystkie definicje w jawnej lub niejawnej
formie musza
,
odwo lywa´c sie
,
do cia
,
g lo´sci i okre´slenia warto´sci funkcji w przypadku
argument´ow wymiernych. Jedna z mo˙zliwo´sci ominie
,
cia tej d lugiej drogi to przyje
,
cie,
˙ze e
x
= lim
n→∞
1 +
x
n
n
. Wtedy od razu mamy do dyspozycji r´o˙zne twierdzenia o
granicach, a z nich wynikaja
,
latwo w lasno´sci funkcji wyk ladniczej.
Stwierdzenie 1.72
Funkcja exp jest ´sci´sle rosna
,
ca.
Dow´
od. Niech x < y . Wtedy
exp(y) = exp(y − x) · exp(x) > (1 + y − x) · exp(x) > exp(x) .
Twierdzenie 1.73 (o zbiorze warto´sci funkcji wyk ladniczej exp .)
Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej y > 0 istnieje liczba x , taka ˙ze y = e
x
= exp(x) .
Dow´
od. Poniewa˙z e
n
≥ 1 + n , wie
,
c dla ka˙zdej liczby rzeczywistej y istnieje liczba
naturalna n taka, ˙ze e
n
> y . Poniewa˙z e
−n
≤
1
1−(−n)
=
1
1+n
, wie
,
c dla ka˙zdej liczby
dodatniej y istnieje liczba naturalna n taka, ˙ze y ≥
1
n+1
. Sta
,
d wynika, ˙ze istnieje
liczba naturalna n , taka ˙ze e
−n
< y < e
n
. Zbi´or A = {h ∈ R:
e
h
< y} jest
niepusty, bo e
−n
< y i ograniczony z g´ory przez n .
Niech x = sup A . Udowodnimy, ˙ze y = e
x
. Sa
,
trzy mo˙zliwo´sci e
x
< y , e
x
> y
i e
x
= y . Za l´o˙zmy, ˙ze e
x
< y . Niech δ > 0 oznacza taka
,
liczbe
,
, ˙ze e
δ
<
y
e
x
.
Liczba δ istnieje, bo e
δ
≤
1
1−δ
dla δ < 1 , wie
,
c wystarcza, by
1
1−δ
<
y
e
x
, czyli, by
δ < 1 −
e
x
y
, np. δ =
1
2
· 1 −
e
x
y
. Wobec tego e
x+δ
= e
x
· e
δ
< y , zatem x + δ ∈ A
wbrew temu, ˙ze x jest ograniczeniem g´ornym zbioru A . Za l´o˙zmy dla odmiany, ˙ze
e
x
> y . Wyka˙zemy, ˙ze istnieje liczba δ > 0 taka, ˙ze e
x−δ
> y . Nier´owno´s´c ta
21
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
jest r´ownowa˙zna temu, ˙ze e
δ
<
e
x
y
. Je´sli δ < 1 , to e
δ
≤
1
1−δ
, wie
,
c wystarczy, by
1
1−δ
<
e
x
y
czyli, by δ < 1 −
y
e
x
, np. δ =
1
2
(1 −
y
e
x
) . Wynika sta
,
d jednak, ˙ze je´sli
h ≥ x − δ , to e
h
> y , zatem x − δ < x jest ograniczeniem g´ornym zbioru a wbrew
temu, ˙ze x jest najmniejszym ograniczeniem g´ornym zbioru A .
Uwaga 1.74
Funkcja wyk ladnicza o podstawie e jest ´sci´sle rosna
,
ca, tzn. je˙zeli x
1
< x
2
, to r´ownie˙z
e
x
1
< e
x
2
, zatem dla ka˙zdej liczby y > 0 istnieje dok ladnie jedna taka liczba
rzeczywista x , ˙ze y = e
x
.
Definicja 1.75 (logarytmu naturalnego)
ln y = x wtedy i tylko wtedy, gdy y = e
x
.
Stwierdzenie 1.76 (oszacowania logarytmu)
Je´sli x > −1 , to
x
1+x
≤ ln(1 + x) ≤ x .
Dow´
od. Je´sli 0 < 1 + x , to z nier´owno´sci 1 + x ≤ e
x
wynika prawa nier´owno´s´c
ln(1+x) ≤ ln e
x
= x . Je´sli 0 < 1+x , to
x
1+x
< 1 , zatem e
x/(1+x)
≤
1
1−
x
1+x
= 1+x ,
zatem
x
1+x
= ln e
x/(1+x)
≤ ln(1 + x) .
´
Cwiczenie
Wykaza´c, ˙ze je´sli (a
n
) jest takim cia
,
giem, ˙ze lim
n→∞
(1 + a
n
)
n
= 1 i |a
n
| < 1 dla
ka˙zdego n , to lim
n→∞
(na
n
) = 0 .
Stwierdzenie 1.77 (o pochodnej funkcji wyk ladniczej)
Je´sli cia
,
g h
n
6= 0 dla ka˙zdego n i lim
n→∞
h
n
= 0 , to lim
n→∞
exp(x+h
n
)−exp(x)
h
n
= exp(x) .
Dow´
od. Wystarczy wykaza´c, ˙ze lim
n→∞
exp(h
n
)−1
h
n
= 1 , gdy˙z
exp(x+h
n
)−exp(x)
h
n
= exp(x) ·
exp(h
n
)−1
h
n
.
Za l´o˙zmy, ˙ze 0 6= h <
1
2
. Sta
,
d 0 <
1
1−h
< 2 . Mamy
exp(h)−1
h
− 1 =
exp(h)−1−h
h
. Ze
znanej ju˙z nier´owno´sci
1
1−h
≥ exp(h) ≥ 1 + h wynika natychmiast, ˙ze
0 ≤ exp(h) − 1 − h ≤
1
1−h
− 1 − h =
h
2
1−h
=
|h|
1−h
· |h| .
Po podzieleniu tej nier´owno´sci stronami przez |h| otrzymujemy
0 ≤
exp(h) − 1
h
− 1
=
exp(h) − 1 − h
h
≤
1
1 − h
· |h| < 2|h|.
Z tej nier´owno´sci i z twierdzenia o trzech cia
,
gach dowodzona teza wynika natych-
miast.
Pote
,
gi, jak ju˙z pisali´smy, mo˙zna r´o˙znie definiowa´c. Mo˙zna zdefiniowa´c, co uczy-
nili´smy pote
,
ge
,
o wyk ladniku wymiernym, a naste
,
pnie napisa´c, ˙ze je´sli a > 0 , to dla
22
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi r´owno´s´c a
x
= lim
n→∞
a
w
n
, gdzie (w
n
) ozna-
cza dowolny cia
,
g liczb wymiernych zbie˙zny do liczby x . Wymaga to sprawdzenia po-
prawno´sci definicji tzn. sprawdzenia, ˙ze nie zale˙zy ona od wyboru cia
,
gu (w
n
) . Mo˙zna
posta
,
pi´c nieco inaczej: je´sli a ≥ 1 , to zdefiniowa´c a
x
= sup{a
w
:
w < x i w ∈ Q} ,
co wymaga sprawdzenia potem, ˙ze a
u+v
= a
u
· a
v
i naste
,
pnych r´owno´sci. Zaosz-
cze
,
dzimy troche
,
czasu przyjmuja
,
c poni˙zsza
,
definicje
,
.
Definicja 1.78 (pote
,
gi)
Je´sli a > 0 , to przyjmujemy, ˙ze a
x
= exp(x ln a) = e
x ln a
.
Twierdzenie 1.79 (o podstawowych w lasno´sciach pote
,
g)
1. a
u+v
= a
u
· a
v
dla dowolnego a > 0 i dla dowolnych u, v ∈ R ;
2. a
−u
=
1
a
u
dla dowolnego a > 0 i dla dowolnego u ∈ R ;
3.
a
u
v
= a
uv
dla dowolnego a > 0 i dla dowolnych u, v ∈ R ;
4. (ab)
u
= a
u
· b
u
dla dowolnych a, b > 0 i dla dowolnego u ∈ R ;
5.
a
b
u
=
a
u
b
u
dla dowolnych a, b > 0 i dla dowolnego u ∈ R ;
6. a
u
< a
v
dla dowolnego a > 1 oraz u < v ;
7. a
u
< a
v
dla dowolnego a ∈ (0, 1) oraz u > v ;
8. a
u
< b
u
dla dowolnych a < b oraz u > 0 ;
9. a
u
> b
u
dla dowolnych a < b oraz u < 0 ;
10. a
u
= lim
n→∞
a
u
n
dla dowolnego a > 0 i dowolnego cia
,
gu (u
n
) , kt´orego
granica
,
jest liczba u .
´
Cwiczenie. Wykaza´c w lasno´sci 1 – 10. Mo˙zna korzysta´c z udowodnionych w lasno´sci
funkcji exp i ln .
Definicja 1.80 (podcia
,
gu)
Je´sli (n
k
) jest ´sci´sle rosna
,
cym cia
,
giem liczb naturalnych, to cia
,
g (a
n
k
) nazywany
jest podcia
,
giem cia
,
gu (a
n
) .
Na przyk lad cia
,
g a
2
, a
4
, a
6
, . . . , czyli cia
,
g (a
2k
) jest podcia
,
giem cia
,
gu (a
n
)
— w tym wypadku n
k
= 2k . Cia
,
g a
2
, a
3
, a
5
, a
7
, a
11
, . . . jest podcia
,
giem cia
,
gu
(a
n
) — w tym przypadku n
k
jest k –ta
,
liczba
,
pierwsza
,
. Przyk lady mo˙zna mno˙zy´c,
ale zapewne starczy powiedzie´c, ˙ze chodzi o wybranie niesko´
nczenie wielu wyraz´ow
wyj´sciowego cia
,
gu bez zmiany kolejno´sci w jakiej wyste
,
powa ly.
Jest jasne, ˙ze je´sli g jest granica
,
cia
,
gu, to jest r´ownie˙z granica
,
ka˙zdego jego
podcia
,
gu, wynika to od razu z definicji granicy i definicji podcia
,
gu. Latwe w dowodzie
jest te˙z twierdzenie pozwalaja
,
ce na zbadanie sko´
nczenie wielu podcia
,
g´ow danego
cia
,
gu, w la´sciwie wybranych, i wnioskowanie istnienia granicy z istnienia wsp´olnej
23
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
granicy wybranych podcia
,
g´ow.
Twierdzenie 1.81 (o scalaniu) *
Za l´o˙zmy, ˙ze z cia
,
gu (a
n
) mo˙zna wybra´c dwa podcia
,
gi (a
k
n
) i (a
l
n
) zbie˙zne do tej
samej granicy g , przy czym ka˙zdy wyraz cia
,
gu (a
n
) jest wyrazem co najmniej jed-
nego z tych podcia
,
g´ow, tzn. dla ka˙zdego n istnieje takie m , ˙ze n = k
m
lub n = l
m
.
Wtedy wsp´olna granica obu tych podcia
,
g´ow jest granica
,
cia
,
gu (a
n
) :
lim
n→∞
a
n
= g .
Dow´
od. Ten dow´od jest bardzo prosty. Niech ε > 0 . Istnieja
,
liczby n
0
ε
i n
00
ε
, takie
˙ze dla n > n
0
ε
zachodzi nier´owno´s´c |a
kn
− g| < ε , dla n > n
00
ε
zachodzi nier´owno´s´c
|a
ln
− g| < ε . Poniewa˙z k
n
≥ n i l
n
≥ n , wie
,
c istnieje takie n
ε
, ˙ze je´sli n > n
ε
i m
jest tak dobrane, ˙ze a
n
= a
km
lub a
n
= a
lm
, to m > n
0
ε
oraz m > n
00
ε
i wobec tego
|a
n
− g| < ε . To oznacza, ˙ze g = lim
n→∞
a
n
.
Sformu lujemy teraz bardzo wa˙zne twierdzenie, kt´ore be
,
dzie wielokrotnie stoso-
wane w dowodach.
Twierdzenie 1.82 (Bolzano – Weierstrassa)
Z ka˙zdego cia
,
gu ograniczonego mo˙zna wybra´c podcia
,
g, kt´ory ma granice
,
sko´
nczona
,
.
Dow´
od. Niech c, d be
,
da
,
takimi liczbami rzeczywistymi, ˙ze nier´owno´s´c c ≤ a
n
≤ d
zachodzi dla ka˙zdego n ; c jest ograniczeniem dolnym cia
,
gu (a
n
) , a d — g´ornym.
Je´sli cia
,
g (a
n
) zawiera podcia
,
g sta ly, to ten w la´snie podcia
,
g jest zbie˙zny. Dalej
zak ladamy, ˙ze (a
n
) nie zawiera podcia
,
gu sta lego, wie
,
c ˙ze ka˙zda liczba mo˙ze wy-
sta
,
pi´c jako wyraz cia
,
gu jedynie sko´
nczenie wiele razy. Zreszta
,
to za lo˙zenie nie jest
istotne dla rozumowania przeprowadzanego poni˙zej, jednak pozwala unikna
,
´c pyta´
n
o szczeg´o lowa
,
interpretacje
,
u˙zywanych sformu lowa´
n. Niech n
1
= 1 , c
1
= c , d
1
= d .
Jedna z po l´owek przedzia lu [c, d] (lub obie) zawiera niesko´
nczenie wiele wyraz´ow
cia
,
gu a
n
, niech [c
2
, d
2
] be
,
dzie ta
,
w la´snie po l´owka
,
(je´sli np. w przedziale
c,
c+d
2
jest
niesko´
nczenie wiele wyraz´ow cia
,
gu (a
n
) , to przyjmujemy c
2
= c
1
= c i d
2
=
c+d
2
,
je´sli w przedziale
c,
c+d
2
jest sko´
nczenie wiele wyraz´ow cia
,
gu (a
n
) , to w przedziale
c+d
2
, d
musi by´c ich niesko´
nczenie wiele, w tym przypadku przyjmujemy c
2
=
c+d
2
oraz d
2
= d
1
= d ) i niech n
2
> n
1
be
,
dzie takim numerem, ˙ze a
n
2
∈ [c
2
, d
2
] .
Powtarzamy przeprowadzone rozumowanie w odniesieniu do przedzia lu [c
2
, d
2
] i wy-
raz´ow cia
,
gu naste
,
puja
,
cych po a
n
2
. W wyniku tego otrzymujemy liczbe
,
naturalna
,
n
3
> n
2
oraz przedzia l [c
3
, d
3
] ⊆ [c
2
, d
2
] zawieraja
,
cy niesko´
nczenie wiele naste
,
nych
wyraz´ow cia
,
gu (a
n
) , w tym a
n
3
. Dla j = 1, 2, 3 mamy wobec tego c
j
≤ a
n
j
≤ d
j
i
d
j
−c
j
=
d−c
2
j
oraz c
1
≤ c
2
≤ c
3
i d
1
≥ d
2
≥ d
3
. Kontynuuja
,
c to poste
,
powanie otrzy-
*
Ta nazwa to pomys l autora, kt´
ory ma nadzieje,, ˙ze nie jest to ca lkiem g lupi termin.
24
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
mujemy niemaleja
,
cy cia
,
g (c
j
) oraz nierosna
,
cy cia
,
g (d
j
) , przy czym d
j
− c
j
=
d−c
2
j
.
Cia
,
gi te maja
,
granice, bo sa
,
monotoniczne. Granice te sa
,
r´owne, bo
lim
n→∞
(d
j
− c
j
) = lim
n→∞
1
2
j
· (d − c) = 0 .
Poniewa˙z c
j
≤ a
n
j
≤ d
j
dla ka˙zdej liczby naturalnej j , wie
,
c — na mocy twierdzenia
o trzech cia
,
gach — cia
,
g (a
n
j
) te˙z ma te
,
sama
,
granice
,
. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Twierdzenie 1.83 (z twierdzenia Bolzano – Weierstrassa)
Cia
,
g ograniczony ma granice
,
wtedy i tylko wtedy, gdy granice wszystkich tych jego
podcia
,
g´ow, kt´ore maja
,
granice, sa
,
r´owne.
Dow´
od. Udowodnimy teraz, ˙ze z cia
,
gu (a
n
) , kt´ory nie ma granicy mo˙zna wybra´c
dwa podcia
,
gi maja
,
ce r´o˙zne granice. Mo˙zna ze´
n wybra´c podcia
,
g zbie˙zny do granicy
g . Poniewa˙z g nie jest granica
,
cia
,
gu (a
n
) , wie
,
c istnieje takie ε > 0 , ˙ze poza prze-
dzia lem (g − ε, g + ε) znajduje sie
,
niesko´
nczenie wiele wyraz´ow cia
,
gu. Wybieramy
z tych w la´snie wyraz´ow podcia
,
g zbie˙zny. Ma on oczywi´scie granice
,
˜
g 6= g , dok ladniej
|˜
g − g| ≥ ε . Dow´od zosta l zako´
nczony.
Naste
,
pne twierdzenie, w zasadzie ju˙z cze
,
´sciowo udowodnione, wykaza l A.Cauchy,
jeden z tw´orc´ow analizy matematycznej.
Twierdzenie 1.84
Cia
,
g (a
n
) ma granice
,
sko´
nczona
,
wtedy i tylko wtedy, gdy spe lniony jest naste
,
puja
,
cy
warunek Cauchy’ego:
∀
ε>0
∃
n
ε
∀
k,l>n
ε
|a
k
− a
l
| < ε
(wC)
Dow´
od. Je˙zeli cia
,
g ma granice
,
sko´
nczona
,
g i ε > 0 , to dla dostatecznie du˙zych
liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c |a
n
− g| <
ε
2
. Je´sli wie
,
c liczby naturalne k
i l sa
,
dostatecznie du˙ze, to
|a
k
− a
l
| = |a
k
− g + g − a
l
| ≤ |a
k
− g| + |g − a
l
| <
ε
2
+
ε
2
= ε .
Wykazali´smy wie
,
c, ˙ze z istnienia granicy sko´
nczonej wynika warunek Cauchy’ego.
Za l´o˙zmy teraz, ˙ze cia
,
g spe lnia warunek Cauchy’ego. Istnieje wtedy takie n
1
, ˙ze dla
k, l > n
1
mamy |a
k
− a
l
| < 1 . Niech l = n
1
+ 1 . Wtedy |a
k
| − |a
l
| ≤ |a
k
− a
l
| < 1 ,
zatem |a
k
| ≤ 1 + |a
l
| dla wszystkich dostatecznie du˙zych k . Znaczy to, ˙ze cia
,
g
(a
n
) jest ograniczony. Wybierzmy z cia
,
gu (a
n
) podcia
,
g zbie˙zny (a
n
m
) . Niech g
oznacza jego granice
,
. Wyka˙zemy, ˙ze g jest granica
,
ca lego cia
,
gu. Je´sli ε > 0 , to dla
dostatecznie du˙zych k, l, m zachodza
,
nier´owno´sci |a
k
− a
l
| <
ε
2
i |a
n
m
− g| <
ε
2
.
Poniewa˙z m, l sa
,
wybierane dowolnie, byle by ly dostatecznie du˙ze, i n
m
≥ m , wie
,
c
mo˙zna wybra´c je tak, by l = n
m
. Wtedy dla dostatecznie du˙zego k mamy
|a
k
− g| ≤ |a
k
− a
l
| + |a
n
m
− g| <
ε
2
+
ε
2
= ε ,
25
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
co oznacza, ˙ze g = lim
n→∞
a
n
. Dow´od zosta l zako´
nczony.
Twierdzenie to, podobnie jak twierdzenie o istnieniu granicy cia
,
gu monotonicz-
nego, pozwala czasem stwierdzi´c istnienie granicy bez ustalania jej warto´sci, co jest
bardzo wa˙zne w licznych przypadkach. Pozwala ono te˙z wykazywa´c nieistnienie gra-
nic — w istocie rzeczy wykazuja
,
c, ˙ze cia
,
g geometryczny o ilorazie q ≤ −1 nie ma
granicy, wykazywali´smy, ˙ze nie spe lnia on warunku Cauchy’ego, role
,
ε pe lni la tam
liczba 2 .
Opr´ocz granic sko´
nczonych warto rozpatrywa´c w licznych przypadkach granice
niesko´
nczone. Wprowadzimy dwa dodatkowe symbole ±∞ . Zbi´or z lo˙zony ze wszyst-
kich liczb rzeczywistych i obu niesko´
nczono´sci oznacza´c be
,
dziemy przez [−∞, +∞]
lub przez R
Definicja 1.85 (granicy niesko´
nczonej)
a. +∞ (czytaj: plus niesko´
nczono´s´c) jest granica
,
cia
,
gu (a
n
) wtedy i tylko wtedy,
gdy dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje taka liczba ca lkowita n
M
, ˙ze je´sli
n > n
M
, to a
n
> M.
b. −∞ (czytaj: minus niesko´
nczono´s´c) jest granica
,
cia
,
gu (a
n
) wtedy i tylko wtedy,
gdy dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje taka liczba ca lkowita n
M
, ˙ze je´sli
n > n
M
, to a
n
< M.
Z zasady Archimedesa wynika od razu, ˙ze lim
n→∞
n = +∞ .
Stwierdzenie 1.86 (o granicach cia
,
g´
ow geometrycznych)
Je´sli q > 1 , to lim
n→∞
q
n
= ∞ , bowiem q
n
= [1 + (q − 1)]
n
≥ 1 + n(q − 1) > M dla
n >
M −1
q−1
.
Je´sli |q| < 1 , to lim
n→∞
q
n
= 0 . Dla q = 0 do dowodu nic nie ma. Je´sli 0 <
|q| < 1 , to nier´owno´s´c |q|
n
< ε jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci
1
ε
<
1
|q|
n
. Ta ostatnia
nier´owno´s´c wynika z nier´owno´sci
1
ε
< 1 + n
1
|q|
− 1
, bo z nier´owno´sci Bernoulli’ego
wynika, ˙ze
1
|q|
n
≥ 1 + n
1
|q|
− 1
. Wobec tego dla n >
1
ε
−1
1
|q|
−1
zachodzi nier´owno´s´c
|q|
n
< ε .
Dla q = 1 cia
,
g q
n
jest sta ly, wie
,
c zbie˙zny.
Za l´o˙zmy, ˙ze q ≤ −1 . Wtedy q
2n
≥ 1 i q
2n+1
≤ −1 , mo˙zna zastosowa´c latwa
,
indukcje
,
. Wynika sta
,
d, ˙ze r´o˙znica dw´och kolejnych wyraz´ow ma warto´s´c bezwzgle
,
dna
,
nie mniejsza
,
ni˙z 2 , co oznacza, ˙ze cia
,
g nie spe lnia warunku Cauchy’ego m.in. dla
ε = 2 , wie
,
c nie ma granicy sko´
nczonej. ∞ nie jest granica
,
tego cia
,
gu, bo q
2n+1
≤ −1 ,
wie
,
c nie jest prawda
,
jakoby dla dostatecznie du˙zych n by la spe lniona nier´owno´s´c
q
n
> 0 . R´ownie˙z −∞ nie jest granica
,
tego cia
,
gu, bo nie jest prawda
,
, ˙ze q
n
≤ −1
26
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
dla dostatecznie du˙zych n , bowiem q
2m
≥ 1 .
Wprowadzili´smy wcze´sniej symbole +∞ oraz ∞ . Nie sa
,
to liczby rzeczywiste,
lecz nowe obiekty. Teraz zdefiniujemy dzia lania z ich u˙zyciem.
Definicja 1.87 (dzia la´
n z u˙zyciem symboli niesko´
nczonych)
−(+∞) = −∞ , +(+∞) = +∞ , −(−∞) = +∞ , +(−∞) = −∞ .
+∞ ± a = ±a + (+∞) = +∞ dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a
−∞ ± a = ±a + (−∞) = −∞ dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a.
+∞+(+∞) = +∞ , −∞+(−∞) = −∞ , +∞−(−∞) = +∞ , −∞−(+∞) = −∞ .
+∞ · a = +∞ i −∞ · a = −∞ dla ka˙zdego a > 0 .
(+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞ .
+∞ · a = −∞ i −∞ · a = +∞ dla ka˙zdego a < 0 .
a
±∞
= 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej a.
±∞
a
= ±∞ ·
1
a
dla dowolnej liczby a 6= 0 .
a
+∞
= +∞ , a
−∞
= 0 dla dowolnej liczby a > 1 .
a
+∞
= 0 i a
−∞
= +∞ dla dowolnej liczby 0 < a < 1 .
−∞ < a < +∞ dla dowolnej liczby rzeczywistej a .
−∞ < +∞ .
ln(+∞) = +∞ , ln 0 = −∞ .
Nie definiujemy symboli, kt´orych na te li´scie nie ma, np.
±∞
±∞
, 0 · (±∞) , 1
±∞
i innych. Przyczyny, dla kt´orych nie wprowadza sie
,
szerszej definicji stana
,
sie
,
jasne
niebawem — oka˙ze sie
,
, ˙ze nie ma sesnsownej drogi wprowadzenia definicji tych sym-
boli nieoznaczonych. Definicje te sa
,
wprowadzane po to, by mo˙zna by lo sformu lowa´c
twierdzenia o obliczaniu granic, kt´ore czytelnik znajdzie w naste
,
pnym punkcie. Defi-
nicja logarytm´ow symboli niesko´
nczonych nie jest powszechnie przyje
,
ta, jest wygodna
dop´oki nie zajmujemy sie
,
liczbami zespolonymi, w przypadku liczb zespolonych mo˙ze
utrudnia´c ˙zycie studentom.
Obliczanie granic, zbie˙zno´s´
c cia
,
g´
ow — podstawowe twierdzenia
Sformu lujemy teraz kilka twierdze´
n uwzgle
,
dniaja
,
c koncepcje
,
granicy niesko´
nczo-
nej, kt´ore u latwiaja
,
obliczanie granic, ich szacowanie lub stwierdzanie ich istnienia.
Dowody pozostawiamy studentom w charakterze prostego ´cwiczenia, kt´orego zrobie-
nie mo˙ze pom´oc sprawdzi´c, czy poje
,
cie granicy zosta lo zrozumiane.
Twierdzenie 1.88 (o arytmetycznych w lasno´sciach granicy)
A1. Je´sli istnieja
,
granice lim
n→∞
a
n
, lim
n→∞
b
n
i okre´slona jest ich suma, to istnieje
granica lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) i zachodzi wz´or: lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = lim
n→∞
a
n
+ lim
n→∞
b
n
.
27
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
A2. Je´sli istnieja
,
granice lim
n→∞
a
n
, lim
n→∞
b
n
i okre´slona jest ich r´o˙znica, to istnieje
granica lim
n→∞
(a
n
− b
n
) i zachodzi wz´or: lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = lim
n→∞
a
n
− lim
n→∞
b
n
.
A3. Je´sli istnieja
,
granice lim
n→∞
a
n
, lim
n→∞
b
n
i okre´slony jest ich iloczyn, to istnieje
granica lim
n→∞
(a
n
· b
n
) i zachodzi wz´or: lim
n→∞
(a
n
· b
n
) = lim
n→∞
a
n
· lim
n→∞
b
n
.
A4. Je´sli istnieja
,
granice lim
n→∞
a
n
, lim
n→∞
b
n
i okre´slony jest ich iloraz, to istnieje
granica lim
n→∞
a
n
b
n
i zachodzi wz´or lim
n→∞
a
n
b
n
=
lim
n→∞
a
n
lim
n→∞
b
n
.
Twierdzenie 1.89 (o nier´
owno´sciach)
N1. Je´sli C < lim
n→∞
a
n
, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c C < a
n
.
N2. Je´sli C > lim
n→∞
a
n
, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c C > a
n
.
N3. Je´sli lim
n→∞
b
n
< lim
n→∞
a
n
, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c
b
n
< a
n
.
N4. Je´sli b
n
≤ a
n
dla dostatecznie du˙zych n , to zachodzi nier´owno´s´c lim
n→∞
b
n
≤
lim
n→∞
a
n
.
N5. Je´sli b
n
≤ a
n
dla dostatecznie du˙zych n i lim
n→∞
b
n
= ∞ , to lim
n→∞
a
n
= ∞ .
N6. Je´sli b
n
≤ a
n
dla dostatecznie du˙zych n i lim
n→∞
a
n
= −∞ , to lim
n→∞
b
n
= −∞ .
Definicje dzia la´
n z u˙zyciem symboli niesko´
nczonych zosta ly w taki spos´ob sfor-
mu lowane, by te twierdzenia by ly prawdziwe. Je´sli chcieliby´smy zdefiniowa´c np.
r´o˙znice
,
∞ − ∞ , to by lyby k lopoty natury zasadniczej. Je´sli np. a
n
= n i b
n
= n ,
to lim
n→∞
a
n
= ∞ i b
n
= ∞ , wie
,
c powinno by´c ∞ − ∞ = lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = 0 . Je´sli
a
n
= n + 13 , b
n
= n , to powinno by´c ∞ − ∞ = lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = 13 i jest jasne, ˙ze
zamiast 13 mo˙zna wstawi´c dowolna
,
liczbe
,
rzeczywista
,
. Je´sli a
n
= 2n i b
n
= n , to
otrzymujemy ∞ − ∞ = lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = lim
n→∞
n = +∞ . Je´sli a
n
= n i b
n
= 2n ,
to otrzymujemy ∞ − ∞ = lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = lim
n→∞
(−n) = −∞ . Je´sli wreszcie
a
n
= n + (−1)
n
≥ n − 1 i b
n
= n , to ∞ − ∞ = lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = lim
n→∞
(−1)
n
, a wie
,
c
tym razem r´o˙znica dw´och cia
,
g´ow, kt´orych granica
,
jest ∞ , granicy w og´ole nie ma.
Studenci zastanowia
,
sie
,
nad podobnymi przyk ladami w przypadku pozosta lych sym-
boli nieoznaczonych, np.
∞
∞
, 0 · ∞ , 1
∞
itd.
To w zasadzie wyczerpuje liste
,
twierdze´
n niezbe
,
dnych dla dalszego wyk ladu, ale
ze wzgle
,
du na to, ˙ze wielu student´ow zda
,
˙zy lo ju˙z pozna´c tzw. regu le
,
de l’Hospitala
podamy jeszcze jedno twierdzenie stanowia
,
ce jej odpowiednik dla przypadku cia
,
g´ow.
Twierdzenie to jest bardzo przydatne w wielu sytuacjach zwia
,
zanych z symbolami
nieoznaczonymi typu
0
0
oraz
±∞
±∞
.
28
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
Twierdzenie 1.90 (Stolza)
Za l´o˙zmy, ˙ze wszystkie wyrazy cia
,
gu (b
n
) sa
,
r´o˙zne od 0 i ˙ze jest on ´sci´sle monoto-
niczny oraz ˙ze istnieje granica g = lim
n→∞
a
n+1
−a
n
b
n+1
−b
n
. Je´sli spe lniony jest jeden z wa-
runk´ow:
(i) cia
,
g (b
n
) ma granice
,
niesko´
nczona
,
,
(ii) cia
,
gi (a
n
) i (b
n
) sa
,
zbie˙zne do 0 ,
to cia
,
g
a
n
b
n
ma granice
,
i zachodzi r´owno´s´c:
lim
n→∞
a
n
b
n
= lim
n→∞
a
n+1
− a
n
b
n+1
− b
n
= g .
Dow´
od. Bez straty og´olno´sci rozwa˙za´
n mo˙zna przyja
,
´c, ˙ze cia
,
g (b
n
) jest ´sci´sle ro-
sna
,
cy — w razie potrzeby zaste
,
pujemy go cia
,
giem (−b
n
) . Niech m, M be
,
da
,
takimi
liczbami rzeczywistymi, ˙ze m < g < M ; je´sli g = +∞ , to rozwa˙zamy jedynie m ,
poniewa˙z zak ladamy, ˙ze cia
,
g (b
n
) jest ´sci´sle rosna
,
cy, wie
,
c wykluczony jest przypadek
g = −∞ .
Niech m
0
, M
0
be
,
da
,
liczbami rzeczywistymi, takimi ˙ze m < m
0
< g < M
0
< M .
Poniewa˙z granica
,
cia
,
gu
a
n+1
−a
n
b
n+1
−b
n
jest g , wie
,
c istnieje liczba naturalna n
0
, taka
˙ze dla n > n
0
zachodzi nier´owno´s´c: m
0
<
a
n+1
−a
n
b
n+1
−b
n
< M
0
a po jej pomno˙zeniu przez
liczbe
,
dodatnia
,
b
n+1
− b
n
otrzymujemy nier´owno´s´c:
m
0
(b
n+1
− b
n
) < a
n+1
− a
n
< M
0
(b
n+1
− b
n
)
(N
n,n+1
)
Dodaja
,
c stronami nier´owno´sci (N
n,n+1
) , (N
n+1,n+2
) , ..., (N
n+k−1,n+k
) otrzymu-
jemy
m
0
(b
n+k
− b
n
) < a
n+k
− a
n
< M
0
(b
n+k
− b
n
)
(N
n,n+k
)
Skorzystawszy z za lo˙zenia (ii) stwierdzamy, ˙ze wyrazy cia
,
gu (b
n
) , rosna
,
cego
i zbie˙znego do 0 , sa
,
ujemne, wie
,
c
−mb
n
< −m
0
b
n
= lim
k→∞
m
0
(b
n+k
− b
n
) ≤ −a
n
= lim
k→∞
(a
n+k
− a
n
) ≤
≤ lim
k→∞
M
0
(b
n+k
− b
n
) = −M
0
b
n
< −M b
n
a zatem, po podzieleniu stronami przez −b
n
> 0 , otrzymujemy m <
a
n
b
n
< M .
Liczby m, M by ly wybrane dowolnie, wie
,
c mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze zachodzi r´owno´s´c
g = lim
n→∞
a
n
b
n
, co ko´
nczy dow´od w przypadku (ii).
Skorzystawszy z za lo˙zenia (i) stwierdzamy, ˙ze od pewnego miejsca wyrazy cia
,
gu
rosna
,
cego (b
n
) , kt´orego granica jest niesko´
nczona, sa
,
dodatnie. Zwie
,
kszaja
,
c w razie
potrzeby n
0
mo˙zemy przyja
,
´c, ˙ze ma to miejsce dla n > n
0
i tylko takie numery
29
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
wyraz´ow cia
,
gu be
,
dziemy rozpatrywa´c dalej. Podzielimy nier´owno´s´c (N
n,n+k
) przez
b
n+k
. Otrzymujemy
m
0
1 −
b
n
b
n+k
<
a
n+k
b
n+k
−
a
n
b
n+k
< M
0
1 −
b
n
b
n+k
,
a sta
,
d
m
0
1 −
b
n
b
n+k
+
a
n
b
n+k
<
a
n+k
b
n+k
< M
0
1 −
b
n
b
n+k
+
a
n
b
n+k
.
Poniewa˙z
lim
k→∞
h
m
0
1 −
b
n
b
n+k
+
a
n
b
n+k
i
= m
0
> m , lim
k→∞
h
M
0
1 −
b
n
b
n+k
+
a
n
b
n+k
i
= M
0
< M,
wie
,
c istnieje k
n
takie, ˙ze je´sli k > k
n
, to zachodza
,
nier´owno´sci
m
0
1 −
b
n
b
n+k
+
a
n
b
n+k
> m oraz M
0
1 −
b
n
b
n+k
+
a
n
b
n+k
< M ,
a wobec tego m <
a
n+k
b
n+k
< M dla n > n
0
i k > k
n
, a sta
,
d ju˙z od razu wynika, ˙ze
lim
m→∞
a
m
b
m
= g , co ko´
nczy dow´od twierdzenia w przypadku (i).
Przyk lad 1.3
Niech a > 0 be
,
dzie liczba
,
rzeczywista
,
. Wyka˙zemy, ˙ze lim
n→∞
n
√
a = 1 .
Poka˙zemy dwie metody. Zaczniemy od sposobu z mniejsza
,
liczba
,
rachunk´ow, czyli
„bardziej teoretycznego”.
Za l´o˙zmy, ˙ze a > 1 . Cia
,
g (
n
√
a) jest w tym przypadku ´sci´sle maleja
,
cy, jego wyrazy
sa
,
wie
,
ksze ni˙z 1 , wie
,
c ma granice
,
g , sko´
nczona
,
, kt´ora nie mo˙ze by´c mniejsza ni˙z 1 .
Ka˙zdy podcia
,
g tego cia
,
gu jest zbie˙zny do g . Mie
,
dzy innymi g = lim
n→∞
2n
√
a . Skorzy-
stamy teraz z twierdzenia o iloczynie granic:
g
2
= g · g = lim
n→∞
2n
√
a · lim
n→∞
2n
√
a = lim
n→∞
(
2n
√
a)
2
= lim
n→∞
n
√
a = g ,
zatem g
2
= g . Sta
,
d wynika, ˙ze g = 0 < 1 lub g = 1 (ju˙z wiemy, ˙ze g nie jest
r´owne ±∞ ). Poniewa˙z pierwsza mo˙zliwo´s´c zosta la wcze´sniej wykluczona, wie
,
c zo-
staje druga, czyli g = 1 .
Dla a = 1 teza jest prawdziwa w oczywisty spos´ob. Za l´o˙zmy teraz, ˙ze 0 < a < 1 .
Mamy lim
n→∞
n
√
a = lim
n→∞
1
n
√
1/a
=
1
lim
n→∞
n
√
1/a
=
1
1
= 1 – skorzystali´smy z twierdzenia
o ilorazie granic oraz z ju˙z udowodnionej cze
,
´sci tezy.
Teraz udowodnimy, ˙ze lim
n→∞
n
√
a = 1 w przypadku a > 1 , za pomoca
,
szacowa´
n.
Niech ε be
,
dzie dowolna
,
liczba
,
rzeczywista
,
dodatnia
,
. Chcemy wykaza´c, ˙ze dla do-
statecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c |
n
√
a − 1| < ε , czyli ˙ze
1 − ε <
n
√
a < 1 + ε . Poniewa˙z a > 1 , wie
,
c nier´owno´s´c podw´ojna sprowadza sie
,
do nier´owno´sci
n
√
a < 1 + ε , czyli do nier´owno´sci a < (1 + ε)
n
. Ta z kolei wynika
z nier´owno´sci a < 1+nε , bo 1+nε < (1+ε)
n
– nier´owno´s´c Bernoulli’ego. Wystarczy
wie
,
c, by n
ε
>
a−1
ε
. To ko´
nczy dow´od.
30
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
Uwaga 1.91 nie rozwia
,
zywali´smy nier´owno´sci
n
√
a < 1+ε , bo wymaga loby to u˙zycia
logarytm´ow, n >
log a
log(1+ε)
. Wskazali´smy jedynie moment, od kt´orego nier´owno´s´c jest
prawdziwa, nie troszcza
,
c sie
,
o to, co sie
,
dzieje w przypadku wcze´sniejszych n . Mo-
gli´smy u˙zy´c logarytm i powo la´c sie
,
na w lasno´sci funkcji wyk ladniczej:
n
√
a = a
1/n
= e
(ln a)/n
−−−−→
n→∞
e
0
= 1 .
Przyk lad 1.4
Teraz wyka˙zemy, ˙ze granica
,
cia
,
gu (
n
√
n) jest liczba 1 . Zacznijmy
od wypisania kilku pierwszych wyraz´ow cia
,
gu:
1
√
1 = 1 ,
√
2 ,
3
√
3 ,
4
√
4 =
√
2 , . . . .
Bez trudu mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze
3
√
3 >
√
2 – mo˙zna np. podnie´s´c te
,
nier´owno´s´c obu-
stronnie do pote
,
gi 6 . Oznacza to, ˙ze
√
2 <
3
√
3 >
4
√
4 . Wynika sta
,
d, ˙ze cia
,
g ten
nie jest maleja
,
cy ani rosna
,
cy. Nie wyklucza to monotoniczno´sci od pewnego miej-
sca. Udowodnimy wie
,
c , ˙ze lim
n→∞
n
√
n = 1 korzystaja
,
c z definicji granicy cia
,
gu, inny
spos´ob poka˙zemy p´o´zniej.
Niech ε be
,
dzie dodatnia
,
liczba
,
dodatnia
,
. Poniewa˙z wszystkie wyrazy cia
,
gu sa
,
wie
,
ksze
lub r´owne od 1 , wie
,
c wystarczy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zacho-
dzi nier´owno´s´c
n
√
n < 1 + ε , czyli n < (1 + ε)
n
. Tym razem nier´owno´s´c Ber-
noulli’ ego jest niewystarczaja
,
ca, ale poniewa˙z ε > 0 , wie
,
c dla n ≥ 2 mamy
(1 + ε)
n
≥ 1 +
n
1
ε +
n
2
ε
2
>
n
2
ε
2
. Wystarczy wie
,
c, ˙zeby n <
n
2
ε
2
=
n(n−1)
2
ε
2
,
czyli
2
ε
2
+ 1 < n , co ko´
nczy dow´od.
Teraz poka˙zemy jak mo˙zna uzyska´c ten wynik bez szacowa´
n. Podnosimy stronami
nier´owno´s´c
n+1
√
n + 1 <
n
√
n do pote
,
gi n(n + 1) . Otrzymujemy (n + 1)
n
< n
n+1
.
Dziela
,
c stronami przez n
n
otrzymujemy n >
n+1
n
n
= 1 +
1
n
n
. Wcze´sniej wyka-
zali´smy, ˙ze cia
,
g
1 +
1
n
n
jest ograniczony. Wobec tego nier´owno´s´c n > 1 +
1
n
n
zachodzi dla wszystkich dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n — nie mamy po-
wodu ustala´c w tej chwili, od kt´orego momentu jest ona prawdziwa. Wobec tego cia
,
g
(
n
√
n) jest maleja
,
cy od pewnego momentu, jest te˙z ograniczony z do lu przez liczbe
,
1 ,
a co zatem idzie zbie˙zny. Oznaczmy jego granice
,
przez g . Ka˙zdy podcia
,
g tego cia
,
gu,
np.
2n
√
2n jest zbie˙zny do tej samej granicy g . Wobec tego
g
2
= g · g = lim
n→∞
2n
√
2n · lim
n→∞
2n
√
2n = lim
n→∞
2n
√
2n
2
= lim
n→∞
n
√
2 ·
n
√
n
=
= lim
n→∞
n
√
2 ·
n
√
n = 1 · g .
Otrzymali´smy r´owno´s´c g
2
= g a poniewa˙z 1 ≤ g < +∞ , wie
,
c g = 1 , co ko´
nczy
dow´od. Okaza lo sie
,
, ˙ze r´ownie˙z w tym przypadku mo˙zna omina
,
´c rachunki, wymaga lo
to tylko nieco wie
,
cej zachodu ni˙z poprzednio, bo cia
,
g nie jest monotoniczny, a tylko
maleja
,
cy od pewnego momentu.
Uwaga 1.92 Mo˙zna stosowa´c logarytm. Wtedy
n
√
n = e
(ln n)/n
, wie
,
c wystarczy loby
31
Kresy, granica cia
,
gu
Micha l Krych
wykaza´c, ˙ze lim
n→∞
ln n
n
= 0 . Mo˙zna to zrobi´c korzystaja
,
c z twierdzenia Stolza, a mo˙zna
te˙z tak: 0 ≤
ln n
n
=
2 ln
√
n
n
≤
2(
√
n−1)
n
= 2
2
√
n
−
1
n
. Teza wynika z twierdzenia o
trzech cia
,
gach.
32