Analiza 1, cze

,

´s´

c pierwsza – granica cia

,

gu

Ostatnia aktualizacja 22 listopada 2013, godz. 4:07

Be

,

dziemy rozwa˙za´c zbi´or wszystkich liczb rzeczywistych R , kt´ory opiszemy po-

daja

,

c pewne jego w lasno´sci, kt´orych prawdziwo´sci dyskutowa´c nie be

,

dziemy (pew-

niki). Poje

,

ciami pierwotnymi, kt´orych nie definiujemy sa

,

sam zbi´or R , dwa jego r´o˙zne

elementy 0 i 1 , dzia lania + i · oraz nier´owno´s´c < . Dzia lania to funkcje, kt´ore przy-

pisuja

,

parze liczb rzeczywistych x, y ich sume

,

x+y ∈ R i iloczyn x·y ∈ R oznaczamy

zwykle przez xy . Podamy teraz liste

,

pewnik´ow (aksjomat´ow).

D1 Dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi (a + b) + c = a + (b + c) — dodawanie jest

la

,

czne.

D2 Dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi a + b = b + a — dodawanie jest przemienne.

D3 Dla ka˙zdej liczby a ∈ R istnieje liczba x ∈ R taka, ˙ze a + x = 0 — istnienie

liczby przeciwnej.

D4 Dla ka˙zdej liczby a ∈ R a + 0 = a — charakteryzacja zera.

M1 Dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi (a · b) · c = a · (b · c) — mno˙zenie jest la

,

czne.

M2 Dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi a · b = b · a — mno˙zenie jest przemienne.

M3 Dla ka˙zdej liczby a ∈ R \ {0} istnieje liczba x ∈ R taka, ˙ze a · x = 1 — istnienie

liczby odwrotnej.

M4 Dla ka˙zdej liczby a ∈ R a · 1 = a — charakteryzacja jedynki.

MD Dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi (a + b) · c = a · c + b · c — mno˙zenie jest

rozdzielne wzgle

,

dem dodawania.

N1 Dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi dok ladnie jedna z trzech mo˙zliwo´sci a < b ,

a = b , b < a — prawo trichotomii.

N2 Dla dowolnych a, b, c ∈ R z tego, ˙ze a < b i b < c wynika, ˙ze a < c —

nier´owno´s´c jest przechodnia.

N3 Dla dowolnych a, b, c ∈ R z tego, ˙ze a < b wynika, ˙ze a + c < b + c — do

nier´owno´sci mo˙zna doda´c stronami liczbe

,

, to prawo wia

,

˙ze nier´owno´s´c z dodawa-

niem.

N4 Dla dowolnych a, b, c ∈ R z tego, ˙ze a < b i 0 < c wynika, ˙ze a · c < b · c —

nier´owno´sci mo˙zna pomno˙zy´c stronami przez liczbe

,

dodatnia

,

, to prawo wia

,

˙ze

nier´owno´s´c z mno˙zeniem.

AC Je´sli A ⊆ R jest zbiorem niepustym i ograniczonym z g´ory, tzn. ˙ze istnieje liczba

M ∈ R taka, ˙ze je´sli a ∈ A , to a ≤ M , to zbi´or A ma kres g´orny w R , tzn.

w´sr´od ogranicze´

n g´ornych M zbioru A istnieje liczba najmniejsza.

1

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

Oznaczenia

Kres g´orny zbioru A ⊆ R oznaczamy symbolem sup A , je´sli niepusty zbi´or A nie

jest ograniczony z g´ory, to piszemy sup A = +∞ lub sup A = ∞ .

Kres dolny zbioru A ⊆ R oznaczamy symbolem inf A , je´sli niepusty zbi´or A nie

jest ograniczony z do lu, to piszemy inf A = −∞ .

Sformu lowanie definicji kresu dolnego pozostawiam studentom w charakterze

latwego ´cwiczenia.

Przez −A oznacza´c be

,

de

,

zbi´or {x:

−x ∈ A} , tj. zbi´or symetryczny do A

wzgle

,

dem punktu 0 ∈ R . Jest jasne, ˙ze sup(−A) = − inf A dla ka˙zdego zbioru A ,

kt´ory jest niepusty i ograniczony z do lu (wtedy −A jest ograniczony z g´ory).

Stwierdzenie 1.1

Je´sli dla pewnych a, b ∈ R zachodzi r´owno´s´c a + b = a , to b = 0 .

Dow´

od. Z pewnika D3 wynika, ˙ze istnieje x ∈ R takie, ˙ze a + x = 0 . Mamy wie

,

c

0 = a + x = (a + b) + x = (b + a) + x = =b + (a + x) = b + 0 = b — korzystali´smy ko-

lejno z okre´slenia x , z przemienno´sci dodawania, la

,

czno´sci dodawania, okre´slenia x ,

w lasno´sci liczby 0 .

Z tego stwierdzenia wynika przede wszystkim, ˙ze istnieje dok ladnie jeden element

neutralny dodawania, mianowicie 0 .

Stwierdzenie 1.2

Je´sli dla pewnych y, z ∈ R zachodzi r´owno´s´c a + y = a + z , to y = z .

Dow´

od. Niech a + x = 0 . Wtedy y = y + 0 = y + (a + x) = (y + a) + x =

=(a + y) + x = (a + z) + x = (z + a) + x = z + (a + x) = z + 0 = z .

Definicja 1.3 (liczby przeciwnej)

−a oznacza jedyna

,

liczbe

,

taka

,

, ˙ze a + (−a) = 0 .

To, ˙ze liczba, o kt´orej jest mowa jest tylko jedna wynika od razu ze stwierdzenia 1.2.

Stwierdzenie 1.4

Dla dowolnych liczb a, b ∈ R istnieje dok ladnie jedna liczba x taka, ˙ze a + x = b .

Dow´

od. Niech x = (−a) + b . Mamy a + x = a + [(−a) + b] = [a + (−a)] + b =

0 + b = b + 0 = b . Wykazali´smy istnienie. Jednoznaczno´s´c wynika natychmiast ze

stwierdzenia 1.2.

Definicja 1.5 (r´

o˙znicy dwu liczb)

a − b := a + (−b) .

2

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

Stwierdzenie 1.6

Dla ka˙zdego a ∈ R zachodzi −(−a) = a ,

dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi r´owno´s´c −(a + b) = −a − b .

Dow´

od.

(−a)+[−(−a)] = 0 = a+(−a) = (−a)+a , zatem na mocy stwierdzenia 1.2

zastosowanego do −a zachodzi −(−a) = a .

Mamy (a + b) + [−(a + b)] = 0 = a + (−a) = [a + (−a)] + 0 = [a + (−a)] + [b + (−b)] =

={[a + (−a)] + b} + (−b) = {a + [(−a) + b]} + (−b) = {a + [b + (−a)]} + (−b) =

={[a + b] + (−a)} + (−b) = [a + b] + [(−a) + (−b)] = [a + b] + [−a − b] , zatem ze

stwierdzenia 1.2 wynika, ˙ze −(a + b) = −a − b .

Naste

,

pne stwierdzenia zostana

,

podane bez dowodu, bo ich dowody polegaja

,

na zasta

,

pieniu dodawania mno˙zeniem, co ka˙zdy czytelnik powinien m´oc zrobi´c bez

k lopotu, a w razie wysta

,

pienie jakich´s nieprzewidzianych trudno´sci zada´c pytania na

zaje

,

ciach lub konsultacjach.

Stwierdzenie 1.7

Je´sli dla pewnych a, b ∈ R , przy czym a 6= 0 , zachodzi r´owno´s´c a·b = a , to b = 1 .

Z tego stwierdzenia wynika przede wszystkim, ˙ze istnieje dok ladnie jeden element

neutralny mno˙zenia, mianowicie 1 .

Stwierdzenie 1.8 (prawo skracania)

Je´sli dla pewnych y, z ∈ R zachodzi r´owno´s´c a · y = a · z , przy czym a 6= 0 , to

zachodzi wz´or y = z .

Definicja 1.9 (odwrotno´sci liczby r´

o˙znej od 0 )

Je´sli a 6= 0 , to a

−1

oznacza jedyna

,

liczbe

,

taka

,

, ˙ze a · a

−1

= 1 .

To, ˙ze liczba, o kt´orej jest mowa jest tylko jedna wynika od razu ze stwierdzenia 1.8.

Stwierdzenie 1.10

Dla ka˙zdej liczby a ∈ R zachodzi r´owno´s´c a · 0 = 0 .

Dow´

od. Mamy a + a · 0 = a · 1 + a · 0 = a · (1 + 0) = a · 1 = a = a + 0 . Sta

,

d i ze

stwierdzenia 1.2 wynika, ˙ze a · 0 = 0 .

Stwierdzenie 1.11

Je´sli a 6= 0 , to a

−1

6= 0 .

Dow´

od. Je´sli a

−1

= 0 , to 0 = a · 0 = a · a

−1

= 1 , wbrew temu, ˙ze 0 6= 1 . Wobec

tego a

−1

6= 0 .

Stwierdzenie 1.12 (o rozwia

,

zalno´sci r´

owna´

n pierwszego stopnia)

Dla dowolnych liczb a, b ∈ R , a 6= 0 , istnieje dok ladnie jedna liczba x , dla kt´orej

3

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

prawdziwa jest r´owno´s´c a · x = b .

Definicja 1.13 (ilorazu dwu liczb)

a

b

:= a · b

−1

.

Stwierdzenie 1.14

Dla ka˙zdego a ∈ R \ {0} zachodzi (a

−1

)

−1

= a ,

dla dowolnych a, b ∈ R \ {0} zachodzi r´owno´s´c (a · b)

−1

= b

−1

· a

−1

.

Stwierdzenie 1.15

Je´sli a · b = 0 , to a = 0 lub b = 0 .

Dow´

od. Mamy a · 0 = 0 = a · b , wie

,

c je´sli a 6= 0 , to na mocy stwierdzenia 1.8

zachodzi 0 = b .

Stwierdzenie 1.16 (prawa znak´

ow)

Dla dowolnych a, b ∈ R zachodza

,

r´owno´sci (−a)b = a(−b) = −ab i (−a)(−b) = ab .

W szczeg´olno´sci (−1)a = −a .

Dow´

od.

a · b + (−a) · b = [a + (−a)] · b = 0 · b = b · 0 = 0 = a · b + [−(a · b)] .

Ze stwierdzenia 1.2 wynika, ˙ze (−a)b = −ab . Sta

,

d a(−b) = (−b)a = −ba = −ab

oraz (−a)(−b) = −a(−b) = −[(−b)a] = −[−ba] = −[−ab] = ab — ostatnia

,

r´owno´s´c

wywnioskowali´smy ze stwierdzenia 1.6.

Stwierdzenie 1.17 (o rozdzielno´sci mno˙zenia wzgle

,

dem odejmowania)

Dla dowolnych a, b, c ∈ R zachodzi r´owno´s´c a(b − c) = ab − ac .

Dow´

od. Mamy a(b − c) = a · [b + (−c)] = a · b + a · (−c) = a · b + (−a · c) = ab − ac .

Stwierdzenie 1.18 (o dodawaniu nier´

owno´sci stronami)

Je´sli a < b i c < d , to a + c < b + d .

Dow´

od. Z tego, ˙ze a < b wynika, ˙ze a + c < b + c . Z tego, ˙ze c < d wynika, ˙ze

b + c = c + b < d + b . Z przechodnio´sci nier´owno´sci wynika, ˙ze a + c < b + d .

Stwierdzenie 1.19

Je´sli a < 0 , to 0 < −a .

Dow´

od. Je´sli a < 0 , to 0 = a + (−a) < 0 + (−a) = −a .

Stwierdzenie 1.20 (o mno˙zeniu nier´

owno´sci stronami)

Je´sli jednocze´snie a < b , c < d , 0 < b , 0 < c , to ac < bd .

Dow´

od. Z tego, ˙ze a < b i 0 < c wynika, ˙ze ac < bc . Z tego, ˙ze c < d i 0 < b

wynika, ˙ze bc = cb < db = bd . Teza wynika z przechodnio´sci nier´owno´sci.

4

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

Stwierdzenie 1.21

Je´sli 0 < a i 0 < b , to 0 < ab . Je´sli 0 < a i b < 0 , to ab < 0 . Je´sli a < 0

i b < 0 , to 0 < ab .

Dow´

od. Pierwsza cze

,

´s´c wynika bezpo´srednio z poprzedniego. Je´sli a < 0 < b , to

0 < −a , wie

,

c 0 < (−a)b = −ab , zatem ab < (−ab) + ab = 0 . Udowodnili´smy druga

,

cze

,

´s´c. Je´sli a < 0 i b < 0 , to 0 < −a i 0 < −b , zatem 0 < (−a)(−b) = ab .

Definicja 1.22 (cyfr)

2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1 , 4 = 3 + 1 , 5 = 4 + 1 , 6 = 5 + 1 , 7 = 8 + 1 , 8 = 7 + 1 ,

9 = 8 + 1 .

Definicja 1.23 (kwadratu liczby)

Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a definiujemy a

2

= a · a .

Stwierdzenie 1.24

Je´sli a 6= 0 , to 0 < a

2

.

Dow´

od. Albo 0 < a albo 0 < −a . Sta

,

d a

2

= a · a = (−a) · (−a) > 0 .

Stwierdzenie 1.25

1 > 0 .

Dow´

od.

1 = 1

2

.

Od tej pory be

,

dziemy r´ownie˙z pisa´c a > b oczywi´scie wtedy i tylko wtedy, gdy

b < a . R´ownie˙z a ≤ b wtedy i tylko wtedy, gdy a < b lub a = b . U˙zywany be

,

dzie

te˙z symbol a ≥ b .

Definicja 1.26 (warto´sci bezwzgle

,

dnej.)

|a| =

a je˙zeli a ≥ 0,

−a je˙zeli a < 0.

Stwierdzenie 1.27 (o podstawowych w lasno´sciach warto´sci bezwzgle

,

dnej)

Je´sli a, b ∈ R , to zachodza

,

r´owno´sci | − a| = |a| , |a| ≥ a , |ab| = |a| · |b| oraz

nier´owno´sci |a + b| ≤ |a| + |b| ,

|a| − |b|

≤ |a − b| .

Dwie ostatnie nier´owno´sci zwane sa

,

nier´owno´sciami tr´ojka

,

ta.

Dow´

od. Pierwsza r´owno´s´c jest zupe lnie oczywista. Je´sli a ≥ 0 , to |a| = a , je´sli

a < 0 , to |a| = −a > 0 > a , zatem zawsze |a| ≥ a . Sta

,

d wynika, ˙ze |a| + |b| ≥ a + b

oraz | − a| + | − b| ≥ −a + (−b) = −(a + b) , a poniewa˙z |a + b| , to wie

,

ksza z liczb

a + b , −(a + b) , wie

,

c |a| + |b| ≥ |a + b| . Z tej nier´owno´sci wynika, ˙ze

|a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b| ,

zatem |a| − |b| ≤ |a − b| . Oczywi´scie |a − b| = |b − a| ≥ |b| − |a| = −(|a| − |b|) . Z dwu

5

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

nier´owno´sci |a − b| ≥ |a| − |b| i |a − b| ≥ −(|a| − |b|) wynika, ˙ze |a − b| ≥

|a| − |b|

.

Uwaga 1.28

Je´sli A ⊆ R , to a = sup A wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ a dla ka˙zdego x ∈ A i dla

ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje x ∈ A takie, ˙ze a − ε < x ≤ a .

Dow´od tego stwierdzenia jest ca lkiem oczywisty, wie

,

c go nie pisze

,

. Sformu lowanie

analogicznego twierdzenia dla kresu dolnego r´ownie˙z pozostawiam studentom.

Definicja 1.29 (zbioru liczb naturalnych)

N (k) jest najmniejszym zbiorem spe lniaja

,

cym dwa warunki:

1

◦

k ∈ N (k) ;

2

◦

je´sli n ∈ N (k) , to r´ownie˙z n + 1 ∈ N (k) .

Zbi´or N (0) =: N nazywa´c be

,

dziemy zbiorem liczb naturalnych, a jego elementy

liczbami naturalnymi.

Stwierdzenie 1.30

Je´sli n ∈ N (k) , to n ≥ k .

Dow´

od. Niech A = {n ∈ N (k):

n ≥ k} . Oczywi´scie k ∈ A . Je´sli n ∈ A , to

n ≥ k , wie

,

c n + 1 > n ≥ k i oczywi´scie n + 1 ∈ N (k) , zatem r´ownie˙z n + 1 ∈ A .

Wynika sta

,

d, ˙ze A ⊇ N (k) , a z definicji od razu wynika, ˙ze A ⊆ N (k) . Wobec tego

A = N (k) , a sta

,

d wynika natychmiast, ˙ze je´sli n ∈ N (k) , to n ≥ k .

Stwierdzenie 1.31

Je´sli n ∈ N (k) i n > k , to n − 1 ∈ N (k) .

Dow´

od. Niech A = {k} ∪ {n > k:

n − 1 ∈ N (k)} , czyli A sk lada sie

,

z liczby

k i tych liczb n nale˙za

,

cych do N (k) , dla kt´orych spe lniona jest teza. Je´sli n ∈ A ,

to n + 1 ∈ N (k) , a poniewa˙z n = (n + 1) − 1 ∈ A ⊆ N (k) , wie

,

c n + 1 ∈ A . Sta

,

d

A ⊇ N (k) a poniewa˙z A ⊆ N (k) , wie

,

c A = N (k) .

Stwierdzenie 1.32

Je´sli n ∈ N (k) i m > n oraz m ∈ N (k) , to m ≥ n + 1 .

Dow´

od. Niech A = {n ∈ N (k):

je´sli m ∈ N (k) i m > n, to m ≥ n + 1} .

Je´sli m > k i m ∈ N (k) , to m − 1 ∈ N (k) (stwierdzenie 1.31), zatem m − 1 ≥ k ,

a sta

,

d m = m − 1 + 1 ≥ k + 1 , zatem k ∈ A . Za l´o˙zmy, ˙ze n ∈ A i m > n + 1 .

Wtedy m − 1 > n , zatem m − 1 ≥ n + 1 , wie

,

c m = (m − 1) + 1 ≥ (n + 1) + 1 , zatem

n + 1 ∈ N (k) .

Wniosek 1.33

Je´sli n < x < n + 1 i n ∈ N (k) , to x 6= N (k) .

6

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

Stwierdzenie 1.34 Zasada minimum

Je´sli A ⊆ N (k) i A 6= ∅ , to inf A ∈ A , s lowami: ka˙zdy niepusty podzbi´or zbioru

N (k) ma element najmniejszy, w szczeg´olno´sci w ka˙zdym zbiorze z lo˙zonym z liczb

naturalnych jest liczba najmniejsza.

Dow´

od. Je´sli k ∈ A , to k = inf A , bo k = inf N (k) . Za l´o˙zmy wie

,

c, ˙ze k /

∈ A

oraz ˙ze w niepustym zbiorze A nie ma liczby najmniejszej. Niech B be

,

dzie zbiorem

tych liczb n ∈ N (k) , dla kt´orych zachodzi nier´owno´s´c n < a dla ka˙zdego a ∈ A .

Oczywi´scie k ∈ B . Je´sli n ∈ B , to n < a dla ka˙zdego a ∈ A . Sta

,

d wynika, ˙ze

dla ka˙zdego a ∈ A zachodzi nier´owno´s´c n + 1 ≤ a . Je´sli n + 1 ∈ A , to n + 1

jest najmniejsza

,

liczba

,

w zbiorze A . Je´sli n + 1 6= a dla ˙zadnej liczby a ∈ A , to

n + 1 ∈ B . Je´sli wie

,

c w zbiorze A nie ma liczby najmniejszej, to zbi´or B zawiera

N (k) , ale oznacza, ˙ze zbi´or A jest pusty, wbrew za lo˙zeniu.

Stwierdzenie 1.35 Zasada maksimum

Je´sli A ⊆ N (k) , A 6= ∅ i sup A ∈ R , to sup A ∈ A , s lowami: ka˙zdy niepusty,

ograniczony z g´ory podzbi´or zbioru N (k) ma element najwie

,

kszy, w szczeg´olno´sci

w ka˙zdym z lo˙zonym z liczb naturalnych zbiorze, kt´ory jest ograniczony z g´ory jest

liczba najwie

,

ksza.

Dow´

od. Za l´o˙zmy, ˙ze teza nie jest prawdziwa. Niech A ⊆ N (k) be

,

dzie zbiorem

ograniczonym z g´ory, kt´orego kres g´orny znajduje sie

,

poza A . Niech n > −1 + sup A

i n ∈ A — taka liczba n istnieje, bo −1 + sup A < sup A . Wynika sta

,

d nier´owno´s´c

n + 1 > sup A , zatem n + 1 jest ograniczeniem g´ornym zbioru A . Poniewa˙z mie

,

dzy

n i n + 1 nie ma liczb ze zbioru A ⊆ N (k) , wie

,

c je´sli m ∈ A , to m < n + 1 , zatem

m ≤ n , a to oznacza, ˙ze n jest ograniczeniem g´ornym zbioru A , a poniewa˙z n ∈ A ,

wie

,

c n = sup A , wbrew temu, ˙ze sup A /

∈ A .

Wniosek 1.36 (Zasada Archimedesa)

Zbi´or sup N (k) = +∞ , w szczeg´olno´sci dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x istnieje

liczba naturalna n > x .

Stwierdzenie 1.37

Je´sli m, n ∈ N (k) i m > n , to m − n ∈ N .

Dow´

od. Niech n ∈ N (k) . Niech A oznacza zbi´or z lo˙zony z tych liczb ν ∈ N (k) ,

dla kt´orych ν ≤ n oraz tych liczb m ∈ N (k) , dla kt´orych m − n ∈ N . Oczywi´s-

cie k ∈ A . Je´sli m ∈ A i m < n , to m + 1 ≤ n , zatem m + 1 ∈ A . Je´sli m ∈ A

i m ≥ n , to m + 1 − n = (m − n) + 1 ∈ N , bowiem m − n ∈ N . Z tego wynika, ˙ze

m + 1 ∈ A . Sta

,

d wynika, ˙ze A ⊇ N (k) , a to ko´

nczy dow´od.

7

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

Stwierdzenie 1.38 (o sumie i iloczynie liczb naturalnych)

Suma i iloczyn liczb naturalnych sa

,

liczbami naturalnymi.

Dow´

od. Niech n ∈ N . Niech A = {m ∈ N:

m + n ∈ N} .

0 ∈ A , bowiem

0 + n = n ∈ N . Je´sli m ∈ A , to m + n ∈ N , zatem (m + 1) + n = (m + n) + 1 ∈ N ,

czyli m + 1 ∈ A . Wobec tego A ⊇ N , a to oznacza, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej

m suma n + m te˙z jest liczba

,

naturalna

,

. Niech B = {m ∈ N:

mn ∈ N} . Poniewa˙z

0 · n = 0 ∈ N , wie

,

c 0 ∈ B . Je´sli m ∈ B , to (m + 1) · n = mn + n ∈ N , bowiem

mn ∈ N i n ∈ N , wie

,

c r´ownie˙z ich suma jest liczba

,

naturalna

,

, co ju˙z wiemy. Wobec

tego B ⊇ N , a to oznacza, ˙ze iloczyn liczb naturalnych jest liczba

,

naturalna

,

.

Definicja 1.39 (zbioru liczb ca lkowitych)

Zbiorem liczb ca lkowitych nazywamy najmniejszy zbi´or Z taki, ˙ze Z ⊇ N i je´sli

a, b ∈ Z , to r´ownie˙z a − b ∈ Z .

Stwierdzenie 1.40 (charakteryzuja

,

ce liczby ca lkowite)

Z = N ∪ {a ∈ R:

−a ∈ N} , czyli liczba jest ca lkowita wtedy i tylko wtedy, gdy jest

naturalna lub gdy przeciwna do niej jest naturalna.

Dow´

od. Niech A = N ∪ {a ∈ R:

−a ∈ N} . Oczywi´scie zbi´or A zawiera wszystkie

liczby naturalne i wszystkie liczby przeciwne do liczb naturalnych. Niech a, b ∈ A .

Wyka˙zemy, ˙ze a − b ∈ A . Mamy do rozpatrzenia cztery przypadki: a, b ∈ N ,

−a, b ∈ N , a, −b ∈ N oraz −a, −b ∈ N . Zaczniemy od pierwszego z nich. Je´sli

a ≥ b , to a − b ∈ N — wynika to ze stwierdzenia 26. Je´sli a < b , to ze stwier-

dzenia 26 wnioskujemy, ˙ze b − a ∈ N , wie

,

c a − b = −(b − a) ∈ A . Teraz drugi

przypadek: −a, b ∈ N . Ze stwierdzenia 26 wnioskujemy, ˙ze −a + b ∈ N , zatem

a − b = −(a − b) ∈ A . Trzeci przypadek: a − b = a + (−b) , wie

,

c a − b ∈ N ⊆ A .

Czwarty przypadek a + b = −[(−a) + (−b)] , liczba (−a) + (−b) jest naturalna jako

suma liczb naturalnych, wie

,

c przeciwna do niej znajduje sie

,

w zbiorze A . Wynika

sta

,

d, ˙ze A = Z .

Stwierdzenie 1.41 (o sumie i iloczynie liczb ca lkowitych)

Suma i iloczyn liczb ca lkowitych sa

,

liczbami ca lkowitymi.

Dow´

od. Niech a, b ∈ Z . Wtedy −b ∈ Z i wobec tego a + b = a − (−b) ∈ Z ,

stwierdzenie 28. ab = −[a(−b)] = −[(−a)b] = (−a)(−b) a poniewa˙z iloczyn liczb

naturalnych jest liczba

,

naturalna

,

i liczba przeciwna do naturalnej jest ca lkowita,

wie

,

c ab ∈ Z .

Stwierdzenie 1.42 (zasady maksimum i minimum dla liczb ca lkowitych)

W ka˙zdym niepustym, ograniczonym z g´ory zbiorze z lo˙zonym liczb ca lkowitych ist-

8

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

nieje liczba najwie

,

ksza. W ka˙zdym niepustym, ograniczonym z do lu zbiorze z lo˙zonym

z liczb ca lkowitych istnieje liczba najmniejsza.

Dow´

od. Niech A ⊇ Z be

,

dzie niepustym zbiorem i niech M be

,

dzie jego ogranicze-

niem g´ornym. Je´sli w zbiorze A znajduja

,

sie

,

jakie´s liczby naturalne, to przyjmujemy

B = A ∩ N . W zbiorze B jest liczba najwie

,

ksza, zasada maksimum. Jest ona wie

,

ksza

od wszystkich liczb ujemnych, wie

,

c jest najwie

,

ksza

,

liczba

,

w zbiorze A . Za l´o˙zmy te-

raz, ˙ze w zbiorze A nie ma liczb naturalnych. Niech C = {x:

−x ∈ A} . Oczywi´scie

C ⊆ N i C 6= ∅ . Niech c = inf C . Oczywi´scie c ∈ C , zasada minimum. Sta

,

d wynika,

˙ze −c ∈ A . Nier´owno´s´c x ≤ −c jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci −x ≥ c , wie

,

c jest

spe lniona dla ka˙zdej liczby x ∈ A . Wykazali´smy, ˙ze zasada maksimum jest spe lniona

w zbiorze liczb ca lkowitych.

Je´sli A ⊇ Z be

,

dzie niepustym, ograniczonym z do lu zbiorem z lo˙zonym z liczb

ca lkowitych, to zbi´or C = {x:

−x ∈ A} jest ograniczony z g´ory, wie

,

c ma element

najwie

,

kszy, np. c , wie

,

c −c jest elementem najmniejszym zbioru A .

Definicja 1.43 (zbioru liczb wymiernych)

Zbiorem liczb wymiernych Q nazywamy najmniejszy zbi´or taki, ˙ze Q ⊇ Z i je´sli

a, b ∈ Q oraz b 6= 0 , to

a

b

∈ Q .

Stwierdzenie 1.44 (

o dzia laniach arytmetycznych w zbiorze liczb wymiernych)

Suma, r´o˙znica, iloczyn i iloraz liczb wymiernych sa

,

liczbami wymiernymi (iloraz, gdy

dzielimy przez liczbe

,

6= 0 ).

Zbi´or Q sk lada sie

,

z liczb postaci

a

b

, gdzie b 6= 0 i a, b ∈ Z .

Dow´

od. Dla dowodu wystarczy wykaza´c, ˙ze w zbiorze liczb postaci

a

b

, a, b ∈ Z ,

b 6= 0 wykonalne sa

,

dzia lania arytmetyczne. Mamy

a

b

· [

c

d

]

−1

= ab

−1

[cd

−1

]

−1

= ab

−1

dc

−1

= (ad)(cb)

−1

=

ad

bc

,

co oznacza, ˙ze w zbiorze Q sa

,

jedynie liczby postaci

a

b

. Mamy

a

b

+

c

d

= ab

−1

+ cd

−1

= add

−1

(b)

−1

+ cbb

−1

d

−1

= [ad + bc]b

−1

d

−1

= [ad + bc](bd)

−1

.

Analogicznie odejmowanie, kt´ore zreszta

,

mo˙zna sprowadzi´c do dodawania. Mno˙zenie

mo˙zna sprowadzi´c do dzielenia, a dzielenie liczb wymiernych daje w wyniku liczbe

,

wymierna

,

, co wynika wprost z definicji zbioru Q .

Definicja 1.45 (pote

,

gi o wyk ladniku naturalnym)

a

0

= 1 dla ka˙zdego a 6= 0 , a

1

= a , a

n+1

= a

n

· a dla ka˙zdej liczby ca lkowitej

n ≥ 1 .

Symbolu 0

0

nie definiujemy, p´o´zniej stanie sie

,

jasne dlaczego, aczkolwiek nale˙zy

stwierdzi´c, ˙ze w wielu sytuacjach przyjmuje sie

,

, ˙ze 0

0

= 1 , g l´ownie dla uproszczenia

9

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

zapisu.

Twierdzenie 1.46 (nier´

owno´s´

c Bernoulli’ego)

Dla ka˙zdej liczby naturalnej n ≥ 1 i ka˙zdej liczby rzeczywistej a > −1 zachodzi

nier´owno´s´c (1 + a)

n

≥ 1 + na .

Dow´

od. Dla n = 1 zachodzi r´owno´s´c. Za l´o˙zmy, ˙ze (1 + a)

n

≥ 1 + na dla pewnej

liczby naturalnej n ≥ 1 . Poniewa˙z 1 + a > 0 , wie

,

c

(1 + a)

n+1

= (1 + a)

n

· (1 + a) ≥ (1 + na) · (1 + a) = 1 + (n + 1)a + na

2

≥ 1 + (n + 1)a .

Wynika sta

,

d, ˙ze nier´owno´s´c zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych n ≥ 1 .

Twierdzenie 1.47 (o istnieniu pierwiastk´

ow z liczb rzeczywistych)

Je´sli a ≥ 0 i k ∈ N , k ≥ 1 , to istnieje dok ladnie jedna liczba rzeczywista b ≥ 0

taka, ˙ze a = b

k

. Je´sli k ≥ 1 jest liczba

,

ca lkowita

,

nieparzysta

,

, tzn. nie istnieje liczba

ca lkowita κ taka, ˙ze k = 2κ , a jest dowolna

,

liczba

,

rzeczywista

,

, to istnieje dok ladnie

jedna liczba rzeczywista b taka, ˙ze b

k

= a .

Dow´

od. Udowodnimy pierwsza

,

cze

,

´s´c tezy. Je´sli a = 0 , to oczywi´scie b = 0 . Niech

a > 0 i A = {x ∈ R:

x

k

≤ a} . A 6= ∅ , bowiem

a

1+a

∈ A , gdy˙z 0 <

a

1+a

< 1 ,

zatem

a

1+a

k

≤

a

1+a

< a . Je´sli x ∈ A , to x < 1 + a , bo je´sli x ≥ 1 + a , to

x

k

≥ (1 + a)

k

≥ 1 + ka ≥ 1 + a > a . Niech b = sup A . Poniewa˙z

a

1+a

∈ A , wie

,

c

b ≥

a

1+a

> 0 . Udowodnimy, ˙ze b

k

= a . Za l´o˙zmy, ˙ze tak nie jest. Musi wie

,

c by´c albo

b

k

< a albo b

k

> a . Za l´o˙zmy, ˙ze 0 < kε < b . Z nier´owno´sci Bernoulli’ego wynika, ˙ze

(b + ε)

k

= b

k

1 +

ε
b

k

= b

k

·

1

1 −

ε
b

1 +

ε
b

k

≤

≤ b

k

1

1 − k

ε

b

1+

ε

b

= b

k

1 +

ε
b

1 − (k − 1)

ε
b

< b

k

1 +

ε
b

1 − k

ε
b

.

Nier´owno´s´c b

k 1+

ε

b

1−k

ε

b

< a jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci b

k+1

+ εb

k

< ab − kεa , czyli

nier´owno´sci ε < b

a−b

k

ka+b

k

. Wystarczy wie

,

c przyja

,

´c, ˙ze ε jest np. mniejsza

,

z dwu

liczb

b

2k

i

b(a−b

k

)

2(ka+b

k

)

, by mie´c pewno´s´c, ˙ze (b + ε)

k

< a , co przeczy temu, ˙ze b

jest ograniczeniem g´ornym zbioru tych liczb nieujemnych, kt´orych k -te pote

,

gi nie

przekraczaja

,

a . Wykluczona zosta la nier´owno´s´c b

k

< a . Za l´o˙zmy, ˙ze b

k

> a . Niech

0 < ε < b . Mamy (b − ε)

k

= b

k

1 −

ε
b

k

≥ b

k

(1 − k

ε
b

) . Wynika sta

,

d, ˙ze je´sli

b

k

(1 − k

ε
b

) > a , czyli gdy ε <

b

k

−a

kb

k−1

, to (b − ε)

k

> a , co przeczy temu, ˙ze b

jest najmniejszym ograniczeniem g´ornym zbioru A , mniejszym jest bowiem b − ε .

Wobec tego nie mo˙ze mie´c miejsca nier´owno´s´c a < b

k

. Wykluczone zosta ly obie

nier´owno´sci, wie

,

c musi zachodzi´c r´owno´s´c b

k

= a Jest tylko jedna taka liczba b

10

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

bowiem z nier´owno´sci 0 ≤ b

1

< b

2

wynika, ˙ze b

k

1

< b

k

2

.

Dow´od w przypadku a < 0 i nieparzystego k pozostawiamy studentom w charakterze

latwego ´cwiczenia. Mo˙zna go sprowadzi´c do ju˙z udowodnionej cze

,

´sci tezy korzystaja

,

ce

z tego, ˙ze je´sli k jest nieparzyste, to (−y)

k

= −y

k

i z tego, ˙ze je´sli y

1

< y

2

, to

y

k

1

< y

k

2

.

Definicja 1.48 (cze

,

´sci ca lkowitej)

Cze

,

´scia

,

ca lkowita

,

bxc liczby x ∈ R nazywamy najwie

,

ksza

,

liczbe

,

ca lkowita

,

, kt´ora

nie jest wie

,

ksza ni˙z x .

Z zasady maksimum zastosowanej do zbioru liczb ca lkowitych wynika, ˙ze defini-

cja ta ma sens. Jasne jest, ˙ze np. b−3c = −3 ,

4
3

= 1 ,

−

4
3

= −2 .

Twierdzenie 1.49 (o istnieniu liczb niewymiernych)

Zbi´or R \ Q jest niepusty, np.

√

3 6∈ Q .

Dow´

od. Poniewa˙z (

√

3)

2

= 3 i 0 <

√

3 , wie

,

c 1 <

√

3 < 2 , bowiem z nier´owno´sci

0 < x ≤ 1 wynika, ˙ze x

2

≤ 1 , co wyklucza nier´owno´s´c

√

3 ≤ 1 , a z nier´owno´sci

2 ≤ x wynika, ˙ze 4 ≤ x

2

, co wyklucza nier´owno´s´c 2 ≤

√

3 . Za l´o˙zmy, ˙ze

√

3 ∈ Q ,

czyli ˙ze

√

3 =

p
q

, gdzie p, q ∈ Z . Poniewa˙z 0 <

p
q

=

−p
−q

, wie

,

c mo˙zna za lo˙zy´c,

˙ze p, q ∈ N . Istnieja

,

wie

,

c takie liczby naturalne q > 0 , ˙ze q ·

√

3 ∈ N . Niech n

0

oznacza najmniejsza

,

z nich (zasada minimum). Niech n

1

= n

0

(

√

3 − 1) . Poniewa˙z

0 <

√

3 − 1 < 1 , wie

,

c n

1

< n

0

. Poniewa˙z n

0

, n

0

√

3 ∈ N i n

0

< n

0

√

3 , wie

,

c

n

1

= n

0

√

3 − n

0

∈ N . Mamy te˙z n

1

√

3 = 3n

0

− n

0

√

3 ∈ N , bo obie liczby 3n

0

i n

0

√

3 sa

,

naturalne oraz n

0

√

3 < 3n

0

. Uzyskany wynik jest sprzeczny z definicja

,

n

0

jako najmniejszej liczby dodatniej, dla kt´orej n

0

√

3 ∈ N . Dow´od zosta l zako´

nczo-

ny.

Prawdziwe jest twierdzenie nieco og´olniejsze: Je´sli a ∈ N , to zachodzi jedna z

dwu mo˙zliwo´sci

√

n ∈ N ,

√

a /

∈ Q . Podany przed chwila

,

dow´od Dedekinda niewy-

mierno´sci liczby

√

3 nale˙zy nieco zmieni´c: liczbe

,

n

0

nale˙zy mno˙zy´c przez

√

a − b

√

ac

zamiast przez

√

3 − 1 .

Zadanie. Udowodni´c metoda

,

Dedekinda, ˙ze je´sli k, a ∈ N i k > 1 , to albo, to

√

a ∈ N albo

√

a /

∈ Q .

Twierdzenie 1.50 (o ge

,

sto´sci zbioru Q w zbiorze R )

Dla dowolnych liczb a, b ∈ R z tego, ˙ze a < b wynika, ˙ze istnieje taka liczba wymier-

na w , ˙ze a < w < b .

Dow´

od. Niech n ∈ N be

,

dzie taka

,

liczba

,

naturalna

,

, ˙ze

1

n

< b − a . Definiujemy

A = {m ∈ Z:

m

n

≤ a} . Zbi´or A jest niepusty, bo istnieje liczba naturalna −m taka,

11

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

˙ze −m > −na (zasada Archimedesa). Zbi´or A jest ograniczony z g´ory, bo nier´owno´s´c

m

n

≤ a jest r´ownowa˙zna nie r´owno´sci m ≤ na , czyli na jest ograniczeniem g´ornym

zbioru A . Niech k = sup A . Z zasady maksimum wynika, ˙ze wynika, ˙ze k ∈ A ,

zatem

k

n

≤ a . Sta

,

d wynika, ˙ze

k+1

n

=

k

n

+

1

n

< a + (b − a) = b . Poniewa˙z k + 1 /

∈ A ,

wie

,

c a <

k+1

n

. Mamy wie

,

c a <

k+1

n

< b . Przyjmujemy wie

,

c w =

k+1

n

.

Twierdzenie 1.51 (o ge

,

sto´sci zbioru R \ Q w zbiorze R )

Dla dowolnych liczb a, b ∈ R z tego, ˙ze a < b wynika, ˙ze istnieje liczba niewymierna

x taka, ˙ze a < x < b .

Dow´

od. Nie be

,

dziemy przytacza´c ca lego dowodu. Mo˙zna powt´orzy´c dow´od twier-

dzenia poprzedniego korzystaja

,

c z tego, ˙ze je´sli p, q ∈ Z i p 6= 0 6= q , to liczba

p
q

√

3

jest niewymierna. R´o˙znica polega na tym, ˙ze tym razem liczbe

,

n ∈ N wybieramy tak,

by

√

3

n

<

b−a

2

i rozpatrujemy liczby postaci

m

√

3

n

. Wykazujemy, ˙ze dla co najmniej

dwu z nich spe lniona jest nier´owno´s´c a <

m

√

3

n

< b , co gwarantuje, ˙ze jedna z nich

jest r´o˙zna od 0 , wie

,

c jest niewymierna.

Podamy teraz jedna

,

z najwa˙zniejszych definicji w matematyce.

Definicja 1.52 (granicy cia

,

gu)

Liczba g ∈ R jest granica

,

cia

,

gu (a

n

) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby

ε > 0 istnieje taka liczba naturalna n

ε

, ˙ze je´sli n > n

ε

, to |a

n

− g| < ε .

Przyk lad 1.1

lim

n→∞

1

n

= 0 — wynika to z zasady Archimedesa.

Definicja 1.53 (cia

,

gu niemaleja

,

cego i rosna

,

cego)

Cia

,

g (a

n

) jest niemaleja

,

cy (´sci´sle rosna

,

cy) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka˙zdej liczby

naturalnej n zachodzi nier´owno´s´c a

n

≤ a

n+1

( a

n

< a

n+1

).

W taki sam spos´ob definiujemy cia

,

gi nierosna

,

ce i ´sci´sle maleja

,

ce. Cia

,

g nazywamy

monotonicznym (´sci´sle monotonicznym) wtedy i tylko wtedy, gdy jest niemaleja

,

cy

(´sci´sle rosna

,

cy) lub nierosna

,

cy (´sci´sle maleja

,

cy).

Definicja 1.54 (cia

,

gu ograniczonego)

M´owimy, ˙ze cia

,

g (a

n

) jest ograniczony z g´ory (z do lu) wtedy i tylko wtedy, gdy

istnieje taka liczba rzeczywista M , ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n zachodzi nie-

r´owno´s´c a

n

≤ M

( a

n

≥ M ).

Cia

,

gi ograniczone z g´ory i z do lu nazywamy ograniczonymi.

Twierdzenie 1.55 (o istnieniu granicy cia

,

gu monotonicznego)

Cia

,

g niemaleja

,

cy i ograniczony z g´ory ma granice

,

.

Dow´

od. Niech (a

n

) be

,

dzie cia

,

giem niemaleja

,

cym i ograniczonym z g´ory przez

12

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

liczbe

,

M . Definiujemy kandydatke

,

na granice

,

g = sup{a

n

:

n ∈ N (k)} . Je˙zeli

ε > 0 , to liczba g − ε nie jest ograniczeniem g´ornym zbioru {a

n

:

n ∈ N (k)} , wie

,

c

istnieje liczba n

ε

taka, ˙ze a

n

ε

> a−ε . Wobec tego dla n ≥ n

ε

mamy a ≥ a

n

> g−ε ,

a to oznacza, ˙ze lim

n→∞

a

n

= g .

Przyk lad 1.2

Je´sli |q| < 1 , to lim

n→∞

q

n

= 0 . R´owno´s´c jest oczywista dla q = 0 , bo

wtedy niezale˙znie od ε mo˙zna przyja

,

´c, ˙ze n

ε

= k . Je´sli 0 < |q| < 1 , to przyjmuja

,

c

1

|q|

= 1+r otrzymujemy 0 < |q|

n

< ε wtedy i tylko wtedy, gdy (1+r)

n

=

1

|q|

n

>

1
ε

,

a na to, by ta ostatnia nier´owno´s´c zachodzi la wystarcza, ˙ze n >

1

ε

−1

r

, bowiem z nie-

r´owno´sci Bernoulli’ego wynika, ˙ze (1 + r)

n

≥ 1 + nr .

Twierdzenie 1.56 (o arytmetycznych w lasno´sciach granicy)

A1. Je´sli istnieja

,

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

, to istnieje granica lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) i za-

chodzi wz´or:

lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = lim

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

b

n

.

A2. Je´sli istnieja

,

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

, to istnieje granica lim

n→∞

(a

n

− b

n

) i za-

chodzi wz´or:

lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n→∞

a

n

− lim

n→∞

b

n

.

A3. Je´sli istnieja

,

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

, to istnieje granica lim

n→∞

(a

n

· b

n

) i za-

chodzi wz´or:

lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = lim

n→∞

a

n

· lim

n→∞

b

n

.

A4. Je´sli istnieja

,

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

6= 0 , to istnieje granica lim

n→∞

a

n

b

n

i zacho-

dzi wz´or:

lim

n→∞

a

n

b

n

=

lim

n→∞

a

n

lim

n→∞

b

n

. ×

Zanim udowodnimy to twierdzenie, sformu lujemy naste

,

pne.

Twierdzenie 1.57 (o szacowaniu)

N1. Je´sli C < lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c C < a

n

.

N2. Je´sli C > lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c C > a

n

.

N3. Je´sli lim

n→∞

b

n

< lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych liczb n ∈ N zachodzi

nier´owno´s´c b

n

< a

n

.

N4. Je´sli b

n

≤ a

n

dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n , to zachodzi nier´ow-

no´s´c lim

n→∞

b

n

≤ lim

n→∞

a

n

.

Dow´

od. Zaczniemy od N1. Przypomnijmy, ˙ze liczba C jest mniejsza od granicy

cia

,

gu (a

n

) . Mamy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c C <

a

n

. Przyjmijmy ε = lim

n→∞

a

n

− C . Z definicji od razu wynika, ˙ze dla dostatecznie

du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c |a

n

− lim

n→∞

a

n

| < ε , wie

,

c a

n

> lim

n→∞

a

n

− ε = C .

W taki sam spos´ob udowodni´c mo˙zna N2 — trzeba jedynie zmieni´c kierunki niekt´o-

rych nier´owno´sci.

13

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

Za l´o˙zmy, ˙ze lim

n→∞

b

n

< lim

n→∞

a

n

. Istnieje liczba C taka, ˙ze lim

n→∞

b

n

< C < lim

n→∞

a

n

.

Na mocy ju˙z udowodnionej cze

,

´sci twierdzenia dla dostatecznie du˙zych n zachodza

,

nier´owno´sci b

n

< C oraz C < a

n

. Z nich wynika od razu, ˙ze dla dostatecznie du˙zych

liczb naturalnych n mamy b

n

< a

n

, co ko´

nczy dow´od cze

,

´sci N3.

Za l´o˙zmy, ˙ze od pewnego momentu zachodzi nier´owno´s´c b

n

≤ a

n

, chcemy natomiast

wykaza´c, ˙ze lim

n→∞

b

n

≤ lim

n→∞

a

n

. Je´sli tak nie jest, to lim

n→∞

b

n

> lim

n→∞

a

n

. Sta

,

d jednak

wynika, ˙ze dla dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c b

n

> a

n

sprzeczna z za lo˙zeniem. Dow´od twierdzenia o szacowaniu zosta l zako´

nczony.

Wniosek 1.58 (z twierdzenia o szacowaniu — jednoznaczno´s´

c granicy)

N5 Cia

,

g ma co najwy˙zej jedna

,

granice

,

.

Dow´

od. Gdyby mia l dwie np. g

1

< g

2

, to wybra´c mogliby´smy liczbe

,

C le˙za

,

ca

,

mie

,

dzy g

1

i g

2

: g

1

< C < g

2

. Wtedy dla dostatecznie du˙zych n by loby jednocze´snie

a

n

< C (zob. N2) oraz a

n

> C (zob. N1), co oczywi´scie nie jest mo˙zliwe.

Wniosek 1.59 ( o ograniczono´sci cia

,

gu o granicy sko´

nczonej)

N6. Je´sli cia

,

g (a

n

) ma granice

,

, to istnieja

,

takie liczby rzeczywiste C, D , ˙ze dla

wszystkich n ∈ N zachodzi nier´owno´s´c C < a

n

< D , czyli cia

,

g (a

n

) jest

ograniczony z do lu liczba

,

C za´s z g´ory liczba

,

D .

Dow´

od. Niech g = lim

n→∞

a

n

. Z definicji granicy cia

,

gu wynika z kolei istnienie takiej

liczby naturalnej n

1

, ˙ze je´sli n > n

1

jest liczba

,

naturalna

,

, to |a

n

− g| < 1 , wie

,

c

a

n

< g + 1 . Niech D = 1 + max(a

0

, a

1

, . . . , a

n

1

, g + 1) . Jasne jest, ˙ze wskazana

liczba D spe lnia ˙za

,

dany warunek. Istnienie liczby C mo˙zemy wykaza´c stosuja

,

c ju˙z

udowodniona

,

cze

,

´s´c twierdzenia do cia

,

gu (−a

n

) .

Uwaga 1.60

Ten dow´od jest bardzo prosty. Prosze

,

jednak zwr´oci´c uwage

,

na to, ˙ze spo´sr´od sko´

n-

czenie wielu liczb mo˙zna zawsze wybra´c najwie

,

ksza

,

a spo´sr´od niesko´

nczenie wielu

niekoniecznie, np. w´sr´od liczb 0,

1
2

,

2
3

,

3
4

, . . . najwie

,

kszej nie ma!

Twierdzenie 1.61 (o trzech cia

,

gach)

N7. Je´sli a

n

≤ b

n

≤ c

n

dla dostatecznie du˙zych n i cia

,

gi (a

n

) oraz (c

n

) maja

,

r´owne granice, to cia

,

g (b

n

) te˙z ma granice

,

i zachodzi wz´or

lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

b

n

= lim

n→∞

c

n

.

Dow´

od. Wiemy, ˙ze a

n

≤ b

n

≤ c

n

dla dostatecznie du˙zych n oraz ˙ze cia

,

gi (a

n

)

i (c

n

) maja

,

wsp´olna

,

granice

,

g . Mamy dowie´s´c, ˙ze ta wsp´olna granice jest r´ownie˙z

14

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

granica

,

cia

,

gu (b

n

) . Niech ε > 0 be

,

dzie dowolna

,

liczba

,

. Istnieje taka liczba natural-

na n

ε

, ˙ze je´sli n > n

ε

, to |a

n

− g| < ε oraz |c

n

− g| < ε . Wynika sta

,

d, ˙ze

g − ε < a

n

≤ b

n

≤ c

n

< g + ε ,

zatem |b

n

− g| < ε . Udowodnili´smy, ˙ze g = lim

n→∞

b

n

. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Uwaga 1.62 (o zbie˙zno´sci cia

,

gu przeciwnego)

Zauwa˙zmy, ˙ze cia

,

g (c

n

) ma granice

,

wtedy i tylko wtedy, gdy cia

,

g (−c

n

) ma granice

,

oraz ˙ze zachodzi wtedy r´owno´s´c lim

n→∞

(−c

n

) = − lim

n→∞

c

n

.

Ta bardzo prosta uwaga wielokrotnie pozwoli nam na zmniejszenie liczby przy-

padk´ow rozwa˙zanych w dowodach.

Teraz zajmiemy sie

,

twierdzeniem o arytmetycznych w lasno´sciach granicy cia

,

gu.

Udowodnimy, ˙ze suma granic dw´och cia

,

g´ow jest granica

,

sumy tych cia

,

g´ow. Za l´o˙zmy,

˙ze g

a

= lim

n→∞

a

n

i g

b

= lim

n→∞

b

n

. Niech ε be

,

dzie dodatnia

,

liczba

,

rzeczywista

,

i niech

n

0

ε

be

,

dzie taka

,

liczba

,

naturalna

,

, ˙ze dla n > n

0

ε

zachodzi nier´owno´s´c |a

n

− g

a

| <

ε
2

.

Niech n

00

ε

be

,

dzie taka

,

liczba

,

naturalna

,

, ˙ze nier´owno´s´c |b

n

− g

b

| <

ε
2

zachodzi dla

n > n

00

ε

i niech n

ε

oznacza wie

,

ksza

,

z liczb n

0

ε

, n

00

ε

. Wtedy dla n > n

ε

zachodza

,

obydwie nier´owno´sci, zatem

|a

n

+ b

n

− (g

a

+ g

b

)| ≤ |a

n

− g

a

| + |b

n

− g

b

| <

ε
2

+

ε
2

= ε.

Oznacza to, ˙ze lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = g

a

+ g

b

. Dow´od twierdzenia o granicy sumy cia

,

g´ow

zosta l zako´

nczony.

Z uwagi o zbie˙zno´sci cia

,

gu przeciwnego i twierdzenia o granicy sumy (A1) wynika od

razu twierdzenie o granicy r´o˙znicy (A2).

Zajmiemy sie

,

teraz iloczynem. Z twierdzenia o szacowaniu wynika, ˙ze ka˙zdy z tych

cia

,

g´ow jest ograniczony, wie

,

c istnieje liczba K

0

> 0 taka, ˙ze |a

n

| ≤ K

0

i istnieje te˙z

liczba K

00

taka, ˙ze |b

n

| < K

00

dla ka˙zdej liczby naturalnej n . Przyjmuja

,

c, ˙ze K to

wie

,

ksza z liczb K

0

, K

00

znajdujemy liczbe

,

, kt´orej nie przekracza warto´s´c bezwzgle

,

dna

˙zadnego wyrazu kt´oregokolwiek z dw´och rozpatrywanych cia

,

g´ow: |a

n

|, |b

n

| ≤ K .

Niech g

a

= lim

n→∞

a

n

, g

b

= lim

n→∞

b

n

. Z twierdzenia o szacowaniu wnioskujemy, ˙ze

r´ownie˙z |g

a

|, |g

b

| ≤ K . Niech ε oznacza dowolna

,

liczbe

,

dodatnia

,

. Istnieje wtedy taka

liczba naturalna n

ε

, ˙ze je´sli n > n

ε

, to |a

n

−g

a

| <

ε

2K

i jednocze´snie |b

n

−g

b

| <

ε

2K

.

Wtedy

|a

n

b

n

− g

a

g

b

| = |(a

n

− g

a

)b

n

+ g

a

(b

n

− g

b

)| ≤

≤ |a

n

− g

a

| · |b

n

| + |g

a

| · |b

n

− g

b

| <

ε

2K

· K + K ·

ε

2K

= ε.

Udowodnili´smy wie

,

c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n odleg lo´s´c liczby a

n

b

n

od liczby

15

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

g

a

g

b

jest mniejsza ni˙z ε , co oznacza, ˙ze g

a

g

b

= lim

n→∞

a

n

· b

n

.

Pozosta la ostatnia cze

,

´s´c — twierdzenie o granicy ilorazu. Niech g

a

= lim

n→∞

a

n

i niech

0 6= g

b

= lim

n→∞

b

n

. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

a

n

b

n

=

g

a

g

b

. Niech ε be

,

dzie dowolna

,

liczba

,

dodatnia

,

. Z poczynionych za lo˙ze´

n wynika, ˙ze istnieje taka liczba naturalna n

ε

, ˙ze

je´sli n > n

ε

, to |b

n

| >

|g

b

|

2

, |a

n

− g

a

| <

ε·|g

b

|

4

, |b

n

− g

b

| <

ε·|g

b

|

2

4(|g

a

|+1)

.* Dla n > n

ε

mamy wie

,

c

a

n

b

n

−

g

a

g

b

=

|a

n

g

b

− g

a

b

n

|

|g

b

b

n

|

≤

|a

n

g

b

− g

a

g

b

| + |g

a

g

b

− g

a

b

n

|

|g

b

|

2

/2

=

=

2

|g

b

|

|a

n

− g

a

| +

2|g

a

|

|g

b

|

2

|g

b

− b

n

| < ε.

Twierdzenie zosta lo udowodnione.

Lemat 1.63 (o granicach n -tych pote

,

g cia

,

g´

ow „szybko zbie˙znych” do 1)

Je´sli lim

n→∞

n · a

n

= 0 , to lim

n→∞

(1 + a

n

)

n

= 1 .

Dow´

od. Poniewa˙z lim

n→∞

n · a

n

= 0 , wie

,

c istnieje n

0

takie, ˙ze je´sli n > n

0

, to

|n · a

n

| <

1
2

. Wtedy |a

n

| =

1

n

· (|n · a

n

|) <

1

n

·

1
2

≤

1
2

. Wobec tego dla ka˙zdej liczby

naturalnej n > n

0

zachodza

,

nier´owno´sci: n · a

n

> −

1
2

> −1 ,

a

n

1+a

n

> −1 oraz

n·a

n

1+a

n

< 1 , co usprawiedliwia dwukrotne stosowanie nier´owno´sci Bernoulli’ego w wier-

szu poni˙zej

1 + n · a

n

≤ (1 + a

n

)

n

=

1

1 −

a

n

1+a

n

n

≤

1

1 −

na

n

1+a

n

Czytelnik zwr´oci uwage

,

na to, ˙ze dzie

,

ki wyborowi n

0

stosowanie nier´owno´sci Ber-

noulli’ego prowadzi do wyra˙ze´

n dodatnich, wie

,

c przej´scie do ich odwrotno´sci jest

usprawiedliwione – stosowali´smy nier´owno´s´c Bernoulli’ego do mianownika! Teza le-

matu wynika z twierdzenia o trzech cia

,

gach: lim

n→∞

(1 + n · a

n

) = 1 = lim

n→∞

1

1 −

na

n

1+a

n

.

Lemat zosta l udowodniony.

Cia

,

g (1 +

x
n

)

n

Wypiszmy przybli˙zenia dziesie

,

ciu pierwszych wyraz´ow cia

,

gu

w przypadku x = 1 :

oraz w przypadku x = −4 :

1 +

1
1

1

= 2

1 +

−4

1

1

= −3

1 +

1
2

2

=

9
4

= 2, 25

1 +

−4

2

2

= 1

1 +

1
3

3

=

64
27

≈ 2, 37

1 +

−4

3

3

=

−1

27

≈ −0, 37

1 +

1
4

4

=

625
256

≈ 2, 44

1 +

−4

4

4

= 0

*

Nie za lo˙zyli´smy, ˙ze g

a

6=0 , wie,c w mianowniku umie´scili´smy |g

a

|+1 .

16

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

1 +

1
5

5

=

7776
3125

≈ 2, 49

1 +

−4

5

5

=

1

3125

≈ 0, 00032

1 +

1
6

6

=

117649

46656

≈ 2, 52

1 +

−4

6

6

=

1

729

≈ 0, 0014

1 +

1
7

7

=

2097152

823543

≈ 2, 55

1 +

−4

7

7

=

2187

823543

≈ 0, 0027

1 +

1
8

8

=

43046721
16777216

≈ 2, 56

1 +

−4

8

8

=

1

256

≈ 0, 0039

1 +

1
9

9

=

1000000000

387420489

≈ 2, 58

1 +

−4

9

9

=

1953125

387420489

≈ 0, 0050

1 +

1

10

10

=

25937424601
10000000000

≈ 2, 59

1 +

−4

10

10

=

59049

9765625

≈ 0, 0060

Latwo mo˙zna przekona´c sie

,

, ˙ze cia

,

g o wyrazie a

n

= (1 +

x
n

)

n

nie jest ani geo-

metryczny , ani arytmetyczny z wyja

,

tkiem jednego przypadku: x = 0 .

Wyka˙zemy, ˙ze je´sli n > −x 6= 0 , to a

n+1

> a

n

, czyli ˙ze cia

,

g ten

jest rosna

,

cy od pewnego momentu. W przypadku x > 0 jest rosna

,

cy, gdy

x < 0 , to mo˙ze sie

,

zdarzy´c, ˙ze pocza

,

tkowe wyrazy zmieniaja

,

znak, wie

,

c o mono-

toniczno´sci nie mo˙ze by´c nawet mowy. Jednak od pewnego momentu wszystkie wy-

razy cia

,

gu sa

,

dodatnie i wtedy rosna

,

wraz z n . Wypada to wykaza´c. Z nier´owno´sci

n > −x wynika od razu nier´owno´s´c n + 1 > −x . Z pierwszej z nich wnioskujemy,

˙ze 1 +

x
n

> 0 , a z drugiej – ˙ze 1 +

x

n+1

> 0 . Nier´owno´s´c a

n

< a

n+1

r´ownowa˙zna

jest nier´owno´sci

1 +

x
n

n

<

1 +

x

n+1

n+1

, a ta — dzie

,

ki temu, ˙ze 1 +

x
n

> 0

— nier´owno´sci

1+

x

n+1

1+

x

n

n+1

>

1

(

1+

x

n

)

=

n

n+x

. Skorzystamy teraz z nier´owno´sci Ber-

noulli’ego, by udowodni´c, ˙ze ostatnia nier´owno´s´c ma miejsce dla n > −x . Mamy

1+

x

n+1

1+

x

n

n+1

=

1 −

x

(n+x)(n+1)

n+1

≥ 1 − (n + 1)

x

(n+x)(n+1)

= 1 −

x

n+x

=

n

n+x

. Dla

jasno´sci nale˙zy jeszcze zauwa˙zy´c, ˙ze liczba

−x

(n+x)(n+1)

, pe lnia

,

ca role

,

a w nier´owno´sci

Bernoulli’ego, jest wie

,

ksza od −1 . Jest to oczywiste w przypadku x ≤ 0 , bo jest ona

wtedy nieujemna, za´s dla x > 0 jej warto´s´c bezwzgle

,

dna, czyli

x

(n+x)(n+1)

jest mniej-

sza od

1

n+1

< 1 . Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze od momentu, w kt´orym wyra˙zenie (1 +

x
n

)

staje sie

,

dodatnie, cia

,

g zaczyna rosna

,

´c (w przypadku x = 0 jest sta ly). Dodajmy

jeszcze, ˙ze je´sli x > 0 , to wyrazy cia

,

gu sa

,

dodatnie, je´sli za´s x < 0 , to sa

,

one

dodatnie dla n parzystego oraz dla n nieparzystego, o ile n > −x .

Je´sli x < 0 i n > −x , to 0 < 1 +

x
n

< 1 , zatem 1 +

x
n

n

< 1 . Cia

,

g jest

wie

,

c w przypadku x < 0 niemaleja

,

cy od pewnego miejsca i ograniczony z g´ory,

ma zatem granice

,

. Granica ta jest dodatnia, bo takie sa

,

wyrazy cia

,

gu od pewnego

miejsca i w dodatku rosna

,

one wraz z n . Je´sli x = 0 , to wszystkie wyrazy cia

,

gu sa

,

r´owne 1 , wie

,

c jego granica te˙z. Je´sli x > 0 , to 1 +

x
n

n

=

1 −

x

2

n

2

n

1 +

−xx

n

n

. Mianownik

ma dodatnia granice

,

— to ju˙z wykazali´smy. Mamy te˙z lim

n→∞

n ·

−x

2

n

2

= 0 , zatem

17

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

granica

,

licznika jest liczba 1 . Z twierdzenia o granicy ilorazu natychmiast wynika,

˙ze cia

,

g

1 +

x
n

n

ma granice

,

r´ownie˙z dla x > 0 .

Oznaczenie

exp(x) oznacza´c be

,

dzie w dalszym cia

,

gu granice

,

cia

,

gu (1 +

x
n

)

n

, tzn.

exp(x) = lim

n→∞

1 +

x
n

n

.

Wobec tego symbol exp oznacza funkcje

,

, kt´ora jest okre´slona na zbiorze wszystkich

liczb rzeczywistych, jej warto´scia

,

w punkcie x jest liczba dodatnia lim

n→∞

1 +

x
n

n

.

Twierdzenie 1.64 (R´

ownanie podstawowe)

Dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzi r´owno´s´c: exp(x + y) = exp(x) ·

exp(y) .

Dow´

od. Skorzystamy z okre´slenia liczby exp(x) i tego, ˙ze jest to liczba dodatnia, co

udowodnili´smy wcze´sniej. R´owno´s´c, kt´ora

,

mamy udowodni´c, jest r´ownowa˙zna temu,

˙ze

exp(x)·exp(y)

exp(x+y)

= 1 . Mamy

exp(x) · exp(y)

exp(x + y)

= lim

n→∞

(1 +

x
n

)(1 +

y

n

)

1 +

x+y

n

!

n

= lim

n→∞

1 +

xy
n

2

1 +

x+y

n

!

n

= 1

Ostatnia r´owno´s´c wynika z lematu o cia

,

gach szybko zbie˙znych do 1 i z tego, ˙ze

lim

n→∞

n ·

xy

n2

1+

x+y

n

= 0 .

Stwierdzenie 1.65

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi wz´or exp(−x) =

1

exp(x)

.

Mamy exp(0) = exp(0+0) = exp(0)·exp(0) , a poniewa˙z exp(0) jest liczba

,

dodatnia

,

,

wie

,

c exp(0) = 1 .* Wobec tego 1 = exp(0) = exp(−x + x) = exp(−x) · exp(x) , zatem

zachodzi wz´or exp(−x) =

1

exp(x)

.

Definicja 1.66 (pote

,

gi o wyk ladniku wymiernym)

Je´sli a > 0 , p ∈ Z , q ∈ N \ {0} , to a

p/q

=

q

√

a

p

.

Dla a < 0 sa

,

k lopoty z definicja i z w lasno´sciami funkcji wyk ladniczej, wie

,

c w wielu

szko lach nauczyciele po prostu zak ladaja

,

, ˙ze podstawa pote

,

gi musi by´c dodatnia. To

samo za lo˙zenie przyjmuja

,

r´ownie˙z autorzy wielu znanych program´ow komputerowych

i dzie la ich autorstwa nie lubia

,

wyra˙ze´

n typu (−8)

1/3

. Zapewne po drodze, w obli-

czeniach, programy takie u˙zywaja

,

logarytm´ow. Autor tego tekstu jednak dopuszcza

*

inny dow´

od:

exp(0)=limn→∞

(

1+

0

n

)

n

=limn→∞1=1 .

18

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

ujemna

,

podstawe

,

w naste

,

puja

,

cej sytuacji p ∈ Z , q ∈ N , nie istnieje takie x ∈ Z , ˙ze

q = 2x , czyli q jest nieparzyste i nie istnieja

,

takie k, l, m ∈ Z , ˙ze m > 1 , p = km i

jednocze´snie q = lm , czyli p, q sa

,

wzgle

,

dnie pierwsze.

Je´sli a > 0 i

p
q

=

r
s

, p, r ∈ Z , q, s ∈ N\{0} , to

q

√

a

p

=

s

√

a

r

, bowiem ta r´owno´s´c

r´ownowa˙zna jest temu, ˙ze

q

√

a

p

qs

=

s

√

a

r

qs

, czyli a

ps

= a

qr

(twierdzenie o ist-

nieniu pierwiastka), a to wynika z tego, ˙ze ps = qr . Sta

,

d wynika, ˙ze definicja pote

,

gi

o wyk ladniku wymiernym jest zale˙zna od wyk ladnika a nie od jego przedstawienia

w postaci ilorazu licz ca lkowitych.

Powy˙zsze uwagi nie dotycza

,

pote

,

gowania, gdy podstawa jest ujemna:

(−1)

1/3

=

3

p

(−1)

1

= −1 , ale (−1)

2/6

=

6

p

(−1)

2

= 1 ,

wie

,

c nawet definicja w przypadku ujemnej podstawy nie jest ca lkiem w porza

,

dku.

Tym nie mniej cze

,

sto jest wygodnie stosowa´c zapis a

p/q

dla ujemnego a , ale wtedy

trzeba zdawa´c sobie sprawe

,

z ogranicze´

n w twierdzeniach dotycza

,

cych pote

,

g, czyli

mie´c ´swiadomo´s´c, ˙ze moga

,

pojawi´c sie

,

jakie´s dziwne k lopoty.

Stwierdzenie 1.67

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x , dowolnej liczby ca lkowitej p i dowolnej dodatniej

liczby ca lkowitej q zachodzi wz´or:

exp(

p
q

x) = (exp(x))

p/q

.

Dow´

od. Je´sli m jest liczba

,

naturalna

,

, y – rzeczywista

,

to

exp(my) = exp(y + y + . . . + y) = exp(y) · exp(y) · . . . · exp(y) = (exp(y))

m

.

Sta

,

d wynika, ˙ze exp(

x

q

) =

q

p

exp(x) = (exp(x))

1/q

— stosujemy poprzedni wz´or

przyjmuja

,

c y =

x

m

i m = q . Dla p > 0 zachodzi wie

,

c r´owno´s´c

exp(

p
q

x) =

exp(

x

q

)

p

= (exp(x))

1/q

p

= (exp(x))

p/q

.

Teraz za l´o˙zmy, ˙ze p < 0 . Mamy wobec tego

exp(

p
q

x) =

1

exp(

−p

q

x)

=

1

(exp(x))

−p/q

= (exp(x))

p/q

.

Udowodnili´smy wie

,

c wz´or, kt´ory chcieli´smy wykaza´c.

Definicja 1.68 (liczby e )

Liczba

,

e nazywamy granice

,

lim

n→∞

1 +

1

n

n

, czyli e = exp(1) .

Liczba

,

ta

,

zajmowa l sie

,

intensywnie jako pierwszy L.Euler, matematyk szwaj-

carski zatrudniany przez Petersburska

,

Akademie

,

Nauki (1727-1744,1766-1783) i Ber-

li´

nska

,

Akademie

,

Nauki (1744-1766). Liczba ta ma du˙ze znaczenie w matematyce.

Z punktu widzenia tego wyk ladu jest to najwa˙zniejsza podstawa pote

,

g i logarytm´ow.

Z tego, co wykazali´smy do tej pory, wynika, ˙ze exp(w) = e

w

dla ka˙zdej liczby wy-

miernej w — we wzorze ze stwierdzenia 1.67 przyjmujemy x = 1 oraz

p
q

= w .

Wiemy te˙z, ˙ze e = exp(1) ≥ 1 + 1 = 2 .

19

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

Stwierdzenie 1.69

Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x < 1 , zachodzi nier´owno´s´c podw´ojna

1 + x ≤ exp(x) ≤

1

1−x

.

Dow´

od. Je´sli n > −x , to

x
n

> −1 . Z nier´owno´sci Bernoulii’ego wynika, ˙ze

1 +

x
n

n

≥ 1 + n

x
n

= 1 + x .

Sta

,

d wynika, ˙ze exp(x) = lim

n→∞

1 +

x
n

n

≥ lim

n→∞

(1 + n

x
n

) = 1 + x . Wobec tego

lewa nier´owno´s´c zachodzi i to dla wszystkich x ∈ R . Zajmiemy sie

,

prawa

,

. Mamy

exp(−x) ≥ 1 − x , co wynika z nier´owno´sci exp(x) ≥ 1 + x po zasta

,

pieniu liczby x

liczba

,

(−x) . Sta

,

d exp(x) =

1

exp(−x)

≤

1

1−x

.

Stwierdzenie 1.70 (cia

,

g lo´s´

c funkcji exp )

Je´sli lim

n→∞

x

n

= x , to r´ownie˙z lim

n→∞

exp(x

n

) = lim

n→∞

exp(x) .

Dow´

od. Dok ladnie ta w lasno´s´c funkcji wyk ladniczej jest nazywana jej cia

,

g lo´scia

,

.

W lasno´sciami funkcji cia

,

g lych i r´o˙znymi okre´sleniami cia

,

g lo´sci zajmiemy sie

,

p´o´zniej.

Teraz udowodnimy, ˙ze funkcja exp jest cia

,

g la. Za l´o˙zmy, ˙ze |h| <

1
2

. Wtedy

h ≤ exp(h) − 1 ≤

1

1−h

− 1 =

h

1−h

.

Sta

,

d wynika, ˙ze je´sli |h| <

1
2

, to | exp(h) − 1| ≤ 2|h| . Je´sli lim

n→∞

x

n

= x , to dla

dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c |x

n

− x| <

1
2

, zatem

0 ≤ | exp(x

n

) − exp(x)| = | exp(x) (exp(x

n

− x) − 1) | ≤ exp(x) · 2 · |x

n

− x| .

Dowodzona teza wynika wie

,

c z twierdzenia o trzech cia

,

gach.

Stwierdzenie 1.71 (charakteryzuja

,

ce funkcje

,

wyk ladnicza

,

)

Za l´o˙zmy, ˙ze na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych okre´slona jest funkcja f , taka

˙ze

(i) je´sli lim

n→∞

x

n

= x , to lim

n→∞

f (x

n

) = f (x) , tzn. funkcja f jest cia

,

g la;

(ii) dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi r´owno´s´c f (x + y) = f (x)f (y) ;

(iii) f (1) = e = exp(1) .

Wtedy dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x zachodzi r´owno´s´c f (x) = exp(x) .

Twierdzenie w istocie rzeczy m´owi, ˙ze w lasno´sci (i) oraz (ii) sa

,

podstawowymi

w lasno´sciami funkcji wyk ladniczej. W lasno´s´c (iii) ustala podstawe

,

pote

,

gi, gdyby

w tym twierdzeniu opu´sci´c za lo˙zenie (iii), to teza brzmia laby f (x) = (f (1))

x

. Udo-

wodnimy to twierdzenie.

Dow´

od. Mamy f (x) = f (

x

2

+

x

2

) = f (

x

2

) · f (

x

2

) = f (

x

2

)

2

≥ 0 . Je´sli dla pewnej

liczby rzeczywistej x

1

zachodzi r´owno´s´c f (x

1

) = 0 , to f (x) = f (x

1

)f (x − x

1

) = 0

dla ka˙zdej liczby x . Wobec tego albo funkcja f jest dodatnia w ka˙zdym punkcie,

albo jest r´owna 0 w ka˙zdym punkcie. W naszym przypadku f (1) 6= 0 , zatem na-

20

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

sza funkcja przyjmuje jedynie warto´sci dodatnie. Rozumuja

,

c tak jak w przypadku

funkcji exp , zob. dow´od stwierdzenia 1.67, stwierdzamy bez trudu, ˙ze dla dowol-

nej liczby rzeczywistej x , dowolnej liczby ca lkowitej p i dowolnej ca lkowitej liczby

dodatniej q zachodzi r´owno´s´c f (

p
q

x) = (f (x))

p/q

. W szczeg´olno´sci ma to miejsce

dla x = 1 , a to oznacza, ˙ze f (

p
q

) = (f (1))

p/q

= e

p/q

= exp(

p
q

) . Wykazali´smy zatem,

˙ze funkcja f pokrywa sie

,

z funkcja

,

exp na zbiorze wszystkich liczb wymiernych.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x , istnieje cia

,

g liczb wymiernych (w

n

) , kt´orego

granica

,

jest x . Wobec tego, dzie

,

ki cia

,

g lo´sci funkcji f i funkcji exp mo˙zemy napisa´c:

f (x) = lim

n→∞

f (w

n

) = lim

n→∞

exp(w

n

) = exp(x) .

Autor nie ma poje

,

cia, jak obecnie w szko lach definiowana jest pote

,

ga o wy-

k ladniku niewymiernym, zreszta

,

to mo˙ze zale˙ze´c od nauczyciela, podre

,

cznika, plam

na S lo´

ncu i innych czynnik´ow. Podejrzewa, ˙ze wie

,

kszo´s´c maturzyst´ow nie potrafi

powt´orzy´c ˙zadnej definicji. W istocie rzeczy wszystkie definicje w jawnej lub niejawnej

formie musza

,

odwo lywa´c sie

,

do cia

,

g lo´sci i okre´slenia warto´sci funkcji w przypadku

argument´ow wymiernych. Jedna z mo˙zliwo´sci ominie

,

cia tej d lugiej drogi to przyje

,

cie,

˙ze e

x

= lim

n→∞

1 +

x
n

n

. Wtedy od razu mamy do dyspozycji r´o˙zne twierdzenia o

granicach, a z nich wynikaja

,

latwo w lasno´sci funkcji wyk ladniczej.

Stwierdzenie 1.72

Funkcja exp jest ´sci´sle rosna

,

ca.

Dow´

od. Niech x < y . Wtedy

exp(y) = exp(y − x) · exp(x) > (1 + y − x) · exp(x) > exp(x) .

Twierdzenie 1.73 (o zbiorze warto´sci funkcji wyk ladniczej exp .)

Dla ka˙zdej liczby rzeczywistej y > 0 istnieje liczba x , taka ˙ze y = e

x

= exp(x) .

Dow´

od. Poniewa˙z e

n

≥ 1 + n , wie

,

c dla ka˙zdej liczby rzeczywistej y istnieje liczba

naturalna n taka, ˙ze e

n

> y . Poniewa˙z e

−n

≤

1

1−(−n)

=

1

1+n

, wie

,

c dla ka˙zdej liczby

dodatniej y istnieje liczba naturalna n taka, ˙ze y ≥

1

n+1

. Sta

,

d wynika, ˙ze istnieje

liczba naturalna n , taka ˙ze e

−n

< y < e

n

. Zbi´or A = {h ∈ R:

e

h

< y} jest

niepusty, bo e

−n

< y i ograniczony z g´ory przez n .

Niech x = sup A . Udowodnimy, ˙ze y = e

x

. Sa

,

trzy mo˙zliwo´sci e

x

< y , e

x

> y

i e

x

= y . Za l´o˙zmy, ˙ze e

x

< y . Niech δ > 0 oznacza taka

,

liczbe

,

, ˙ze e

δ

<

y

e

x

.

Liczba δ istnieje, bo e

δ

≤

1

1−δ

dla δ < 1 , wie

,

c wystarcza, by

1

1−δ

<

y

e

x

, czyli, by

δ < 1 −

e

x

y

, np. δ =

1
2

· 1 −

e

x

y

. Wobec tego e

x+δ

= e

x

· e

δ

< y , zatem x + δ ∈ A

wbrew temu, ˙ze x jest ograniczeniem g´ornym zbioru A . Za l´o˙zmy dla odmiany, ˙ze

e

x

> y . Wyka˙zemy, ˙ze istnieje liczba δ > 0 taka, ˙ze e

x−δ

> y . Nier´owno´s´c ta

21

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

jest r´ownowa˙zna temu, ˙ze e

δ

<

e

x

y

. Je´sli δ < 1 , to e

δ

≤

1

1−δ

, wie

,

c wystarczy, by

1

1−δ

<

e

x

y

czyli, by δ < 1 −

y

e

x

, np. δ =

1
2

(1 −

y

e

x

) . Wynika sta

,

d jednak, ˙ze je´sli

h ≥ x − δ , to e

h

> y , zatem x − δ < x jest ograniczeniem g´ornym zbioru a wbrew

temu, ˙ze x jest najmniejszym ograniczeniem g´ornym zbioru A .

Uwaga 1.74

Funkcja wyk ladnicza o podstawie e jest ´sci´sle rosna

,

ca, tzn. je˙zeli x

1

< x

2

, to r´ownie˙z

e

x

1

< e

x

2

, zatem dla ka˙zdej liczby y > 0 istnieje dok ladnie jedna taka liczba

rzeczywista x , ˙ze y = e

x

.

Definicja 1.75 (logarytmu naturalnego)

ln y = x wtedy i tylko wtedy, gdy y = e

x

.

Stwierdzenie 1.76 (oszacowania logarytmu)

Je´sli x > −1 , to

x

1+x

≤ ln(1 + x) ≤ x .

Dow´

od. Je´sli 0 < 1 + x , to z nier´owno´sci 1 + x ≤ e

x

wynika prawa nier´owno´s´c

ln(1+x) ≤ ln e

x

= x . Je´sli 0 < 1+x , to

x

1+x

< 1 , zatem e

x/(1+x)

≤

1

1−

x

1+x

= 1+x ,

zatem

x

1+x

= ln e

x/(1+x)

≤ ln(1 + x) .

´

Cwiczenie

Wykaza´c, ˙ze je´sli (a

n

) jest takim cia

,

giem, ˙ze lim

n→∞

(1 + a

n

)

n

= 1 i |a

n

| < 1 dla

ka˙zdego n , to lim

n→∞

(na

n

) = 0 .

Stwierdzenie 1.77 (o pochodnej funkcji wyk ladniczej)

Je´sli cia

,

g h

n

6= 0 dla ka˙zdego n i lim

n→∞

h

n

= 0 , to lim

n→∞

exp(x+h

n

)−exp(x)

h

n

= exp(x) .

Dow´

od. Wystarczy wykaza´c, ˙ze lim

n→∞

exp(h

n

)−1

h

n

= 1 , gdy˙z

exp(x+h

n

)−exp(x)

h

n

= exp(x) ·

exp(h

n

)−1

h

n

.

Za l´o˙zmy, ˙ze 0 6= h <

1
2

. Sta

,

d 0 <

1

1−h

< 2 . Mamy

exp(h)−1

h

− 1 =

exp(h)−1−h

h

. Ze

znanej ju˙z nier´owno´sci

1

1−h

≥ exp(h) ≥ 1 + h wynika natychmiast, ˙ze

0 ≤ exp(h) − 1 − h ≤

1

1−h

− 1 − h =

h

2

1−h

=

|h|

1−h

· |h| .

Po podzieleniu tej nier´owno´sci stronami przez |h| otrzymujemy

0 ≤

exp(h) − 1

h

− 1

=

exp(h) − 1 − h

h

≤

1

1 − h

· |h| < 2|h|.

Z tej nier´owno´sci i z twierdzenia o trzech cia

,

gach dowodzona teza wynika natych-

miast.

Pote

,

gi, jak ju˙z pisali´smy, mo˙zna r´o˙znie definiowa´c. Mo˙zna zdefiniowa´c, co uczy-

nili´smy pote

,

ge

,

o wyk ladniku wymiernym, a naste

,

pnie napisa´c, ˙ze je´sli a > 0 , to dla

22

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

dowolnej liczby rzeczywistej x zachodzi r´owno´s´c a

x

= lim

n→∞

a

w

n

, gdzie (w

n

) ozna-

cza dowolny cia

,

g liczb wymiernych zbie˙zny do liczby x . Wymaga to sprawdzenia po-

prawno´sci definicji tzn. sprawdzenia, ˙ze nie zale˙zy ona od wyboru cia

,

gu (w

n

) . Mo˙zna

posta

,

pi´c nieco inaczej: je´sli a ≥ 1 , to zdefiniowa´c a

x

= sup{a

w

:

w < x i w ∈ Q} ,

co wymaga sprawdzenia potem, ˙ze a

u+v

= a

u

· a

v

i naste

,

pnych r´owno´sci. Zaosz-

cze

,

dzimy troche

,

czasu przyjmuja

,

c poni˙zsza

,

definicje

,

.

Definicja 1.78 (pote

,

gi)

Je´sli a > 0 , to przyjmujemy, ˙ze a

x

= exp(x ln a) = e

x ln a

.

Twierdzenie 1.79 (o podstawowych w lasno´sciach pote

,

g)

1. a

u+v

= a

u

· a

v

dla dowolnego a > 0 i dla dowolnych u, v ∈ R ;

2. a

−u

=

1

a

u

dla dowolnego a > 0 i dla dowolnego u ∈ R ;

3.

a

u

v

= a

uv

dla dowolnego a > 0 i dla dowolnych u, v ∈ R ;

4. (ab)

u

= a

u

· b

u

dla dowolnych a, b > 0 i dla dowolnego u ∈ R ;

5.

a

b

u

=

a

u

b

u

dla dowolnych a, b > 0 i dla dowolnego u ∈ R ;

6. a

u

< a

v

dla dowolnego a > 1 oraz u < v ;

7. a

u

< a

v

dla dowolnego a ∈ (0, 1) oraz u > v ;

8. a

u

< b

u

dla dowolnych a < b oraz u > 0 ;

9. a

u

> b

u

dla dowolnych a < b oraz u < 0 ;

10. a

u

= lim

n→∞

a

u

n

dla dowolnego a > 0 i dowolnego cia

,

gu (u

n

) , kt´orego

granica

,

jest liczba u .

´

Cwiczenie. Wykaza´c w lasno´sci 1 – 10. Mo˙zna korzysta´c z udowodnionych w lasno´sci

funkcji exp i ln .

Definicja 1.80 (podcia

,

gu)

Je´sli (n

k

) jest ´sci´sle rosna

,

cym cia

,

giem liczb naturalnych, to cia

,

g (a

n

k

) nazywany

jest podcia

,

giem cia

,

gu (a

n

) .

Na przyk lad cia

,

g a

2

, a

4

, a

6

, . . . , czyli cia

,

g (a

2k

) jest podcia

,

giem cia

,

gu (a

n

)

— w tym wypadku n

k

= 2k . Cia

,

g a

2

, a

3

, a

5

, a

7

, a

11

, . . . jest podcia

,

giem cia

,

gu

(a

n

) — w tym przypadku n

k

jest k –ta

,

liczba

,

pierwsza

,

. Przyk lady mo˙zna mno˙zy´c,

ale zapewne starczy powiedzie´c, ˙ze chodzi o wybranie niesko´

nczenie wielu wyraz´ow

wyj´sciowego cia

,

gu bez zmiany kolejno´sci w jakiej wyste

,

powa ly.

Jest jasne, ˙ze je´sli g jest granica

,

cia

,

gu, to jest r´ownie˙z granica

,

ka˙zdego jego

podcia

,

gu, wynika to od razu z definicji granicy i definicji podcia

,

gu. Latwe w dowodzie

jest te˙z twierdzenie pozwalaja

,

ce na zbadanie sko´

nczenie wielu podcia

,

g´ow danego

cia

,

gu, w la´sciwie wybranych, i wnioskowanie istnienia granicy z istnienia wsp´olnej

23

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

granicy wybranych podcia

,

g´ow.

Twierdzenie 1.81 (o scalaniu) *

Za l´o˙zmy, ˙ze z cia

,

gu (a

n

) mo˙zna wybra´c dwa podcia

,

gi (a

k

n

) i (a

l

n

) zbie˙zne do tej

samej granicy g , przy czym ka˙zdy wyraz cia

,

gu (a

n

) jest wyrazem co najmniej jed-

nego z tych podcia

,

g´ow, tzn. dla ka˙zdego n istnieje takie m , ˙ze n = k

m

lub n = l

m

.

Wtedy wsp´olna granica obu tych podcia

,

g´ow jest granica

,

cia

,

gu (a

n

) :

lim

n→∞

a

n

= g .

Dow´

od. Ten dow´od jest bardzo prosty. Niech ε > 0 . Istnieja

,

liczby n

0

ε

i n

00

ε

, takie

˙ze dla n > n

0

ε

zachodzi nier´owno´s´c |a

kn

− g| < ε , dla n > n

00

ε

zachodzi nier´owno´s´c

|a

ln

− g| < ε . Poniewa˙z k

n

≥ n i l

n

≥ n , wie

,

c istnieje takie n

ε

, ˙ze je´sli n > n

ε

i m

jest tak dobrane, ˙ze a

n

= a

km

lub a

n

= a

lm

, to m > n

0

ε

oraz m > n

00

ε

i wobec tego

|a

n

− g| < ε . To oznacza, ˙ze g = lim

n→∞

a

n

.

Sformu lujemy teraz bardzo wa˙zne twierdzenie, kt´ore be

,

dzie wielokrotnie stoso-

wane w dowodach.

Twierdzenie 1.82 (Bolzano – Weierstrassa)

Z ka˙zdego cia

,

gu ograniczonego mo˙zna wybra´c podcia

,

g, kt´ory ma granice

,

sko´

nczona

,

.

Dow´

od. Niech c, d be

,

da

,

takimi liczbami rzeczywistymi, ˙ze nier´owno´s´c c ≤ a

n

≤ d

zachodzi dla ka˙zdego n ; c jest ograniczeniem dolnym cia

,

gu (a

n

) , a d — g´ornym.

Je´sli cia

,

g (a

n

) zawiera podcia

,

g sta ly, to ten w la´snie podcia

,

g jest zbie˙zny. Dalej

zak ladamy, ˙ze (a

n

) nie zawiera podcia

,

gu sta lego, wie

,

c ˙ze ka˙zda liczba mo˙ze wy-

sta

,

pi´c jako wyraz cia

,

gu jedynie sko´

nczenie wiele razy. Zreszta

,

to za lo˙zenie nie jest

istotne dla rozumowania przeprowadzanego poni˙zej, jednak pozwala unikna

,

´c pyta´

n

o szczeg´o lowa

,

interpretacje

,

u˙zywanych sformu lowa´

n. Niech n

1

= 1 , c

1

= c , d

1

= d .

Jedna z po l´owek przedzia lu [c, d] (lub obie) zawiera niesko´

nczenie wiele wyraz´ow

cia

,

gu a

n

, niech [c

2

, d

2

] be

,

dzie ta

,

w la´snie po l´owka

,

(je´sli np. w przedziale

c,

c+d

2

jest

niesko´

nczenie wiele wyraz´ow cia

,

gu (a

n

) , to przyjmujemy c

2

= c

1

= c i d

2

=

c+d

2

,

je´sli w przedziale

c,

c+d

2

jest sko´

nczenie wiele wyraz´ow cia

,

gu (a

n

) , to w przedziale

c+d

2

, d

musi by´c ich niesko´

nczenie wiele, w tym przypadku przyjmujemy c

2

=

c+d

2

oraz d

2

= d

1

= d ) i niech n

2

> n

1

be

,

dzie takim numerem, ˙ze a

n

2

∈ [c

2

, d

2

] .

Powtarzamy przeprowadzone rozumowanie w odniesieniu do przedzia lu [c

2

, d

2

] i wy-

raz´ow cia

,

gu naste

,

puja

,

cych po a

n

2

. W wyniku tego otrzymujemy liczbe

,

naturalna

,

n

3

> n

2

oraz przedzia l [c

3

, d

3

] ⊆ [c

2

, d

2

] zawieraja

,

cy niesko´

nczenie wiele naste

,

nych

wyraz´ow cia

,

gu (a

n

) , w tym a

n

3

. Dla j = 1, 2, 3 mamy wobec tego c

j

≤ a

n

j

≤ d

j

i

d

j

−c

j

=

d−c

2

j

oraz c

1

≤ c

2

≤ c

3

i d

1

≥ d

2

≥ d

3

. Kontynuuja

,

c to poste

,

powanie otrzy-

*

Ta nazwa to pomys l autora, kt´

ory ma nadzieje,, ˙ze nie jest to ca lkiem g lupi termin.

24

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

mujemy niemaleja

,

cy cia

,

g (c

j

) oraz nierosna

,

cy cia

,

g (d

j

) , przy czym d

j

− c

j

=

d−c

2

j

.

Cia

,

gi te maja

,

granice, bo sa

,

monotoniczne. Granice te sa

,

r´owne, bo

lim

n→∞

(d

j

− c

j

) = lim

n→∞

1

2

j

· (d − c) = 0 .

Poniewa˙z c

j

≤ a

n

j

≤ d

j

dla ka˙zdej liczby naturalnej j , wie

,

c — na mocy twierdzenia

o trzech cia

,

gach — cia

,

g (a

n

j

) te˙z ma te

,

sama

,

granice

,

. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Twierdzenie 1.83 (z twierdzenia Bolzano – Weierstrassa)

Cia

,

g ograniczony ma granice

,

wtedy i tylko wtedy, gdy granice wszystkich tych jego

podcia

,

g´ow, kt´ore maja

,

granice, sa

,

r´owne.

Dow´

od. Udowodnimy teraz, ˙ze z cia

,

gu (a

n

) , kt´ory nie ma granicy mo˙zna wybra´c

dwa podcia

,

gi maja

,

ce r´o˙zne granice. Mo˙zna ze´

n wybra´c podcia

,

g zbie˙zny do granicy

g . Poniewa˙z g nie jest granica

,

cia

,

gu (a

n

) , wie

,

c istnieje takie ε > 0 , ˙ze poza prze-

dzia lem (g − ε, g + ε) znajduje sie

,

niesko´

nczenie wiele wyraz´ow cia

,

gu. Wybieramy

z tych w la´snie wyraz´ow podcia

,

g zbie˙zny. Ma on oczywi´scie granice

,

˜

g 6= g , dok ladniej

|˜

g − g| ≥ ε . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Naste

,

pne twierdzenie, w zasadzie ju˙z cze

,

´sciowo udowodnione, wykaza l A.Cauchy,

jeden z tw´orc´ow analizy matematycznej.

Twierdzenie 1.84

Cia

,

g (a

n

) ma granice

,

sko´

nczona

,

wtedy i tylko wtedy, gdy spe lniony jest naste

,

puja

,

cy

warunek Cauchy’ego:

∀

ε>0

∃

n

ε

∀

k,l>n

ε

|a

k

− a

l

| < ε

(wC)

Dow´

od. Je˙zeli cia

,

g ma granice

,

sko´

nczona

,

g i ε > 0 , to dla dostatecznie du˙zych

liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c |a

n

− g| <

ε
2

. Je´sli wie

,

c liczby naturalne k

i l sa

,

dostatecznie du˙ze, to

|a

k

− a

l

| = |a

k

− g + g − a

l

| ≤ |a

k

− g| + |g − a

l

| <

ε
2

+

ε
2

= ε .

Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze z istnienia granicy sko´

nczonej wynika warunek Cauchy’ego.

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze cia

,

g spe lnia warunek Cauchy’ego. Istnieje wtedy takie n

1

, ˙ze dla

k, l > n

1

mamy |a

k

− a

l

| < 1 . Niech l = n

1

+ 1 . Wtedy |a

k

| − |a

l

| ≤ |a

k

− a

l

| < 1 ,

zatem |a

k

| ≤ 1 + |a

l

| dla wszystkich dostatecznie du˙zych k . Znaczy to, ˙ze cia

,

g

(a

n

) jest ograniczony. Wybierzmy z cia

,

gu (a

n

) podcia

,

g zbie˙zny (a

n

m

) . Niech g

oznacza jego granice

,

. Wyka˙zemy, ˙ze g jest granica

,

ca lego cia

,

gu. Je´sli ε > 0 , to dla

dostatecznie du˙zych k, l, m zachodza

,

nier´owno´sci |a

k

− a

l

| <

ε
2

i |a

n

m

− g| <

ε
2

.

Poniewa˙z m, l sa

,

wybierane dowolnie, byle by ly dostatecznie du˙ze, i n

m

≥ m , wie

,

c

mo˙zna wybra´c je tak, by l = n

m

. Wtedy dla dostatecznie du˙zego k mamy

|a

k

− g| ≤ |a

k

− a

l

| + |a

n

m

− g| <

ε
2

+

ε
2

= ε ,

25

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

co oznacza, ˙ze g = lim

n→∞

a

n

. Dow´od zosta l zako´

nczony.

Twierdzenie to, podobnie jak twierdzenie o istnieniu granicy cia

,

gu monotonicz-

nego, pozwala czasem stwierdzi´c istnienie granicy bez ustalania jej warto´sci, co jest

bardzo wa˙zne w licznych przypadkach. Pozwala ono te˙z wykazywa´c nieistnienie gra-

nic — w istocie rzeczy wykazuja

,

c, ˙ze cia

,

g geometryczny o ilorazie q ≤ −1 nie ma

granicy, wykazywali´smy, ˙ze nie spe lnia on warunku Cauchy’ego, role

,

ε pe lni la tam

liczba 2 .

Opr´ocz granic sko´

nczonych warto rozpatrywa´c w licznych przypadkach granice

niesko´

nczone. Wprowadzimy dwa dodatkowe symbole ±∞ . Zbi´or z lo˙zony ze wszyst-

kich liczb rzeczywistych i obu niesko´

nczono´sci oznacza´c be

,

dziemy przez [−∞, +∞]

lub przez R

Definicja 1.85 (granicy niesko´

nczonej)

a. +∞ (czytaj: plus niesko´

nczono´s´c) jest granica

,

cia

,

gu (a

n

) wtedy i tylko wtedy,

gdy dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje taka liczba ca lkowita n

M

, ˙ze je´sli

n > n

M

, to a

n

> M.

b. −∞ (czytaj: minus niesko´

nczono´s´c) jest granica

,

cia

,

gu (a

n

) wtedy i tylko wtedy,

gdy dla ka˙zdej liczby rzeczywistej M istnieje taka liczba ca lkowita n

M

, ˙ze je´sli

n > n

M

, to a

n

< M.

Z zasady Archimedesa wynika od razu, ˙ze lim

n→∞

n = +∞ .

Stwierdzenie 1.86 (o granicach cia

,

g´

ow geometrycznych)

Je´sli q > 1 , to lim

n→∞

q

n

= ∞ , bowiem q

n

= [1 + (q − 1)]

n

≥ 1 + n(q − 1) > M dla

n >

M −1

q−1

.

Je´sli |q| < 1 , to lim

n→∞

q

n

= 0 . Dla q = 0 do dowodu nic nie ma. Je´sli 0 <

|q| < 1 , to nier´owno´s´c |q|

n

< ε jest r´ownowa˙zna nier´owno´sci

1
ε

<

1

|q|

n

. Ta ostatnia

nier´owno´s´c wynika z nier´owno´sci

1
ε

< 1 + n

1

|q|

− 1

, bo z nier´owno´sci Bernoulli’ego

wynika, ˙ze

1

|q|

n

≥ 1 + n

1

|q|

− 1

. Wobec tego dla n >

1

ε

−1

1

|q|

−1

zachodzi nier´owno´s´c

|q|

n

< ε .

Dla q = 1 cia

,

g q

n

jest sta ly, wie

,

c zbie˙zny.

Za l´o˙zmy, ˙ze q ≤ −1 . Wtedy q

2n

≥ 1 i q

2n+1

≤ −1 , mo˙zna zastosowa´c latwa

,

indukcje

,

. Wynika sta

,

d, ˙ze r´o˙znica dw´och kolejnych wyraz´ow ma warto´s´c bezwzgle

,

dna

,

nie mniejsza

,

ni˙z 2 , co oznacza, ˙ze cia

,

g nie spe lnia warunku Cauchy’ego m.in. dla

ε = 2 , wie

,

c nie ma granicy sko´

nczonej. ∞ nie jest granica

,

tego cia

,

gu, bo q

2n+1

≤ −1 ,

wie

,

c nie jest prawda

,

jakoby dla dostatecznie du˙zych n by la spe lniona nier´owno´s´c

q

n

> 0 . R´ownie˙z −∞ nie jest granica

,

tego cia

,

gu, bo nie jest prawda

,

, ˙ze q

n

≤ −1

26

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

dla dostatecznie du˙zych n , bowiem q

2m

≥ 1 .

Wprowadzili´smy wcze´sniej symbole +∞ oraz ∞ . Nie sa

,

to liczby rzeczywiste,

lecz nowe obiekty. Teraz zdefiniujemy dzia lania z ich u˙zyciem.

Definicja 1.87 (dzia la´

n z u˙zyciem symboli niesko´

nczonych)

−(+∞) = −∞ , +(+∞) = +∞ , −(−∞) = +∞ , +(−∞) = −∞ .

+∞ ± a = ±a + (+∞) = +∞ dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a

−∞ ± a = ±a + (−∞) = −∞ dla ka˙zdej liczby rzeczywistej a.

+∞+(+∞) = +∞ , −∞+(−∞) = −∞ , +∞−(−∞) = +∞ , −∞−(+∞) = −∞ .

+∞ · a = +∞ i −∞ · a = −∞ dla ka˙zdego a > 0 .

(+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞ .

+∞ · a = −∞ i −∞ · a = +∞ dla ka˙zdego a < 0 .

a

±∞

= 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej a.

±∞

a

= ±∞ ·

1
a

dla dowolnej liczby a 6= 0 .

a

+∞

= +∞ , a

−∞

= 0 dla dowolnej liczby a > 1 .

a

+∞

= 0 i a

−∞

= +∞ dla dowolnej liczby 0 < a < 1 .

−∞ < a < +∞ dla dowolnej liczby rzeczywistej a .

−∞ < +∞ .

ln(+∞) = +∞ , ln 0 = −∞ .

Nie definiujemy symboli, kt´orych na te li´scie nie ma, np.

±∞
±∞

, 0 · (±∞) , 1

±∞

i innych. Przyczyny, dla kt´orych nie wprowadza sie

,

szerszej definicji stana

,

sie

,

jasne

niebawem — oka˙ze sie

,

, ˙ze nie ma sesnsownej drogi wprowadzenia definicji tych sym-

boli nieoznaczonych. Definicje te sa

,

wprowadzane po to, by mo˙zna by lo sformu lowa´c

twierdzenia o obliczaniu granic, kt´ore czytelnik znajdzie w naste

,

pnym punkcie. Defi-

nicja logarytm´ow symboli niesko´

nczonych nie jest powszechnie przyje

,

ta, jest wygodna

dop´oki nie zajmujemy sie

,

liczbami zespolonymi, w przypadku liczb zespolonych mo˙ze

utrudnia´c ˙zycie studentom.

Obliczanie granic, zbie˙zno´s´

c cia

,

g´

ow — podstawowe twierdzenia

Sformu lujemy teraz kilka twierdze´

n uwzgle

,

dniaja

,

c koncepcje

,

granicy niesko´

nczo-

nej, kt´ore u latwiaja

,

obliczanie granic, ich szacowanie lub stwierdzanie ich istnienia.

Dowody pozostawiamy studentom w charakterze prostego ´cwiczenia, kt´orego zrobie-

nie mo˙ze pom´oc sprawdzi´c, czy poje

,

cie granicy zosta lo zrozumiane.

Twierdzenie 1.88 (o arytmetycznych w lasno´sciach granicy)

A1. Je´sli istnieja

,

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slona jest ich suma, to istnieje

granica lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) i zachodzi wz´or: lim

n→∞

(a

n

+ b

n

) = lim

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

b

n

.

27

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

A2. Je´sli istnieja

,

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slona jest ich r´o˙znica, to istnieje

granica lim

n→∞

(a

n

− b

n

) i zachodzi wz´or: lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n→∞

a

n

− lim

n→∞

b

n

.

A3. Je´sli istnieja

,

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slony jest ich iloczyn, to istnieje

granica lim

n→∞

(a

n

· b

n

) i zachodzi wz´or: lim

n→∞

(a

n

· b

n

) = lim

n→∞

a

n

· lim

n→∞

b

n

.

A4. Je´sli istnieja

,

granice lim

n→∞

a

n

, lim

n→∞

b

n

i okre´slony jest ich iloraz, to istnieje

granica lim

n→∞

a

n

b

n

i zachodzi wz´or lim

n→∞

a

n

b

n

=

lim

n→∞

a

n

lim

n→∞

b

n

.

Twierdzenie 1.89 (o nier´

owno´sciach)

N1. Je´sli C < lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c C < a

n

.

N2. Je´sli C > lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c C > a

n

.

N3. Je´sli lim

n→∞

b

n

< lim

n→∞

a

n

, to dla dostatecznie du˙zych n zachodzi nier´owno´s´c

b

n

< a

n

.

N4. Je´sli b

n

≤ a

n

dla dostatecznie du˙zych n , to zachodzi nier´owno´s´c lim

n→∞

b

n

≤

lim

n→∞

a

n

.

N5. Je´sli b

n

≤ a

n

dla dostatecznie du˙zych n i lim

n→∞

b

n

= ∞ , to lim

n→∞

a

n

= ∞ .

N6. Je´sli b

n

≤ a

n

dla dostatecznie du˙zych n i lim

n→∞

a

n

= −∞ , to lim

n→∞

b

n

= −∞ .

Definicje dzia la´

n z u˙zyciem symboli niesko´

nczonych zosta ly w taki spos´ob sfor-

mu lowane, by te twierdzenia by ly prawdziwe. Je´sli chcieliby´smy zdefiniowa´c np.

r´o˙znice

,

∞ − ∞ , to by lyby k lopoty natury zasadniczej. Je´sli np. a

n

= n i b

n

= n ,

to lim

n→∞

a

n

= ∞ i b

n

= ∞ , wie

,

c powinno by´c ∞ − ∞ = lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = 0 . Je´sli

a

n

= n + 13 , b

n

= n , to powinno by´c ∞ − ∞ = lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = 13 i jest jasne, ˙ze

zamiast 13 mo˙zna wstawi´c dowolna

,

liczbe

,

rzeczywista

,

. Je´sli a

n

= 2n i b

n

= n , to

otrzymujemy ∞ − ∞ = lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n→∞

n = +∞ . Je´sli a

n

= n i b

n

= 2n ,

to otrzymujemy ∞ − ∞ = lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n→∞

(−n) = −∞ . Je´sli wreszcie

a

n

= n + (−1)

n

≥ n − 1 i b

n

= n , to ∞ − ∞ = lim

n→∞

(a

n

− b

n

) = lim

n→∞

(−1)

n

, a wie

,

c

tym razem r´o˙znica dw´och cia

,

g´ow, kt´orych granica

,

jest ∞ , granicy w og´ole nie ma.

Studenci zastanowia

,

sie

,

nad podobnymi przyk ladami w przypadku pozosta lych sym-

boli nieoznaczonych, np.

∞
∞

, 0 · ∞ , 1

∞

itd.

To w zasadzie wyczerpuje liste

,

twierdze´

n niezbe

,

dnych dla dalszego wyk ladu, ale

ze wzgle

,

du na to, ˙ze wielu student´ow zda

,

˙zy lo ju˙z pozna´c tzw. regu le

,

de l’Hospitala

podamy jeszcze jedno twierdzenie stanowia

,

ce jej odpowiednik dla przypadku cia

,

g´ow.

Twierdzenie to jest bardzo przydatne w wielu sytuacjach zwia

,

zanych z symbolami

nieoznaczonymi typu

0
0

oraz

±∞
±∞

.

28

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

Twierdzenie 1.90 (Stolza)

Za l´o˙zmy, ˙ze wszystkie wyrazy cia

,

gu (b

n

) sa

,

r´o˙zne od 0 i ˙ze jest on ´sci´sle monoto-

niczny oraz ˙ze istnieje granica g = lim

n→∞

a

n+1

−a

n

b

n+1

−b

n

. Je´sli spe lniony jest jeden z wa-

runk´ow:

(i) cia

,

g (b

n

) ma granice

,

niesko´

nczona

,

,

(ii) cia

,

gi (a

n

) i (b

n

) sa

,

zbie˙zne do 0 ,

to cia

,

g

a

n

b

n

ma granice

,

i zachodzi r´owno´s´c:

lim

n→∞

a

n

b

n

= lim

n→∞

a

n+1

− a

n

b

n+1

− b

n

= g .

Dow´

od. Bez straty og´olno´sci rozwa˙za´

n mo˙zna przyja

,

´c, ˙ze cia

,

g (b

n

) jest ´sci´sle ro-

sna

,

cy — w razie potrzeby zaste

,

pujemy go cia

,

giem (−b

n

) . Niech m, M be

,

da

,

takimi

liczbami rzeczywistymi, ˙ze m < g < M ; je´sli g = +∞ , to rozwa˙zamy jedynie m ,

poniewa˙z zak ladamy, ˙ze cia

,

g (b

n

) jest ´sci´sle rosna

,

cy, wie

,

c wykluczony jest przypadek

g = −∞ .

Niech m

0

, M

0

be

,

da

,

liczbami rzeczywistymi, takimi ˙ze m < m

0

< g < M

0

< M .

Poniewa˙z granica

,

cia

,

gu

a

n+1

−a

n

b

n+1

−b

n

jest g , wie

,

c istnieje liczba naturalna n

0

, taka

˙ze dla n > n

0

zachodzi nier´owno´s´c: m

0

<

a

n+1

−a

n

b

n+1

−b

n

< M

0

a po jej pomno˙zeniu przez

liczbe

,

dodatnia

,

b

n+1

− b

n

otrzymujemy nier´owno´s´c:

m

0

(b

n+1

− b

n

) < a

n+1

− a

n

< M

0

(b

n+1

− b

n

)

(N

n,n+1

)

Dodaja

,

c stronami nier´owno´sci (N

n,n+1

) , (N

n+1,n+2

) , ..., (N

n+k−1,n+k

) otrzymu-

jemy

m

0

(b

n+k

− b

n

) < a

n+k

− a

n

< M

0

(b

n+k

− b

n

)

(N

n,n+k

)

Skorzystawszy z za lo˙zenia (ii) stwierdzamy, ˙ze wyrazy cia

,

gu (b

n

) , rosna

,

cego

i zbie˙znego do 0 , sa

,

ujemne, wie

,

c

−mb

n

< −m

0

b

n

= lim

k→∞

m

0

(b

n+k

− b

n

) ≤ −a

n

= lim

k→∞

(a

n+k

− a

n

) ≤

≤ lim

k→∞

M

0

(b

n+k

− b

n

) = −M

0

b

n

< −M b

n

a zatem, po podzieleniu stronami przez −b

n

> 0 , otrzymujemy m <

a

n

b

n

< M .

Liczby m, M by ly wybrane dowolnie, wie

,

c mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze zachodzi r´owno´s´c

g = lim

n→∞

a

n

b

n

, co ko´

nczy dow´od w przypadku (ii).

Skorzystawszy z za lo˙zenia (i) stwierdzamy, ˙ze od pewnego miejsca wyrazy cia

,

gu

rosna

,

cego (b

n

) , kt´orego granica jest niesko´

nczona, sa

,

dodatnie. Zwie

,

kszaja

,

c w razie

potrzeby n

0

mo˙zemy przyja

,

´c, ˙ze ma to miejsce dla n > n

0

i tylko takie numery

29

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

wyraz´ow cia

,

gu be

,

dziemy rozpatrywa´c dalej. Podzielimy nier´owno´s´c (N

n,n+k

) przez

b

n+k

. Otrzymujemy

m

0

1 −

b

n

b

n+k

<

a

n+k

b

n+k

−

a

n

b

n+k

< M

0

1 −

b

n

b

n+k

,

a sta

,

d

m

0

1 −

b

n

b

n+k

+

a

n

b

n+k

<

a

n+k

b

n+k

< M

0

1 −

b

n

b

n+k

+

a

n

b

n+k

.

Poniewa˙z

lim

k→∞

h

m

0

1 −

b

n

b

n+k

+

a

n

b

n+k

i

= m

0

> m , lim

k→∞

h

M

0

1 −

b

n

b

n+k

+

a

n

b

n+k

i

= M

0

< M,

wie

,

c istnieje k

n

takie, ˙ze je´sli k > k

n

, to zachodza

,

nier´owno´sci

m

0

1 −

b

n

b

n+k

+

a

n

b

n+k

> m oraz M

0

1 −

b

n

b

n+k

+

a

n

b

n+k

< M ,

a wobec tego m <

a

n+k

b

n+k

< M dla n > n

0

i k > k

n

, a sta

,

d ju˙z od razu wynika, ˙ze

lim

m→∞

a

m

b

m

= g , co ko´

nczy dow´od twierdzenia w przypadku (i).

Przyk lad 1.3

Niech a > 0 be

,

dzie liczba

,

rzeczywista

,

. Wyka˙zemy, ˙ze lim

n→∞

n

√

a = 1 .

Poka˙zemy dwie metody. Zaczniemy od sposobu z mniejsza

,

liczba

,

rachunk´ow, czyli

„bardziej teoretycznego”.

Za l´o˙zmy, ˙ze a > 1 . Cia

,

g (

n

√

a) jest w tym przypadku ´sci´sle maleja

,

cy, jego wyrazy

sa

,

wie

,

ksze ni˙z 1 , wie

,

c ma granice

,

g , sko´

nczona

,

, kt´ora nie mo˙ze by´c mniejsza ni˙z 1 .

Ka˙zdy podcia

,

g tego cia

,

gu jest zbie˙zny do g . Mie

,

dzy innymi g = lim

n→∞

2n

√

a . Skorzy-

stamy teraz z twierdzenia o iloczynie granic:

g

2

= g · g = lim

n→∞

2n

√

a · lim

n→∞

2n

√

a = lim

n→∞

(

2n

√

a)

2

= lim

n→∞

n

√

a = g ,

zatem g

2

= g . Sta

,

d wynika, ˙ze g = 0 < 1 lub g = 1 (ju˙z wiemy, ˙ze g nie jest

r´owne ±∞ ). Poniewa˙z pierwsza mo˙zliwo´s´c zosta la wcze´sniej wykluczona, wie

,

c zo-

staje druga, czyli g = 1 .

Dla a = 1 teza jest prawdziwa w oczywisty spos´ob. Za l´o˙zmy teraz, ˙ze 0 < a < 1 .

Mamy lim

n→∞

n

√

a = lim

n→∞

1

n

√

1/a

=

1

lim

n→∞

n

√

1/a

=

1
1

= 1 – skorzystali´smy z twierdzenia

o ilorazie granic oraz z ju˙z udowodnionej cze

,

´sci tezy.

Teraz udowodnimy, ˙ze lim

n→∞

n

√

a = 1 w przypadku a > 1 , za pomoca

,

szacowa´

n.

Niech ε be

,

dzie dowolna

,

liczba

,

rzeczywista

,

dodatnia

,

. Chcemy wykaza´c, ˙ze dla do-

statecznie du˙zych liczb naturalnych n zachodzi nier´owno´s´c |

n

√

a − 1| < ε , czyli ˙ze

1 − ε <

n

√

a < 1 + ε . Poniewa˙z a > 1 , wie

,

c nier´owno´s´c podw´ojna sprowadza sie

,

do nier´owno´sci

n

√

a < 1 + ε , czyli do nier´owno´sci a < (1 + ε)

n

. Ta z kolei wynika

z nier´owno´sci a < 1+nε , bo 1+nε < (1+ε)

n

– nier´owno´s´c Bernoulli’ego. Wystarczy

wie

,

c, by n

ε

>

a−1

ε

. To ko´

nczy dow´od.

30

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

Uwaga 1.91 nie rozwia

,

zywali´smy nier´owno´sci

n

√

a < 1+ε , bo wymaga loby to u˙zycia

logarytm´ow, n >

log a

log(1+ε)

. Wskazali´smy jedynie moment, od kt´orego nier´owno´s´c jest

prawdziwa, nie troszcza

,

c sie

,

o to, co sie

,

dzieje w przypadku wcze´sniejszych n . Mo-

gli´smy u˙zy´c logarytm i powo la´c sie

,

na w lasno´sci funkcji wyk ladniczej:

n

√

a = a

1/n

= e

(ln a)/n

−−−−→

n→∞

e

0

= 1 .

Przyk lad 1.4

Teraz wyka˙zemy, ˙ze granica

,

cia

,

gu (

n

√

n) jest liczba 1 . Zacznijmy

od wypisania kilku pierwszych wyraz´ow cia

,

gu:

1

√

1 = 1 ,

√

2 ,

3

√

3 ,

4

√

4 =

√

2 , . . . .

Bez trudu mo˙zna stwierdzi´c, ˙ze

3

√

3 >

√

2 – mo˙zna np. podnie´s´c te

,

nier´owno´s´c obu-

stronnie do pote

,

gi 6 . Oznacza to, ˙ze

√

2 <

3

√

3 >

4

√

4 . Wynika sta

,

d, ˙ze cia

,

g ten

nie jest maleja

,

cy ani rosna

,

cy. Nie wyklucza to monotoniczno´sci od pewnego miej-

sca. Udowodnimy wie

,

c , ˙ze lim

n→∞

n

√

n = 1 korzystaja

,

c z definicji granicy cia

,

gu, inny

spos´ob poka˙zemy p´o´zniej.

Niech ε be

,

dzie dodatnia

,

liczba

,

dodatnia

,

. Poniewa˙z wszystkie wyrazy cia

,

gu sa

,

wie

,

ksze

lub r´owne od 1 , wie

,

c wystarczy wykaza´c, ˙ze dla dostatecznie du˙zych n zacho-

dzi nier´owno´s´c

n

√

n < 1 + ε , czyli n < (1 + ε)

n

. Tym razem nier´owno´s´c Ber-

noulli’ ego jest niewystarczaja

,

ca, ale poniewa˙z ε > 0 , wie

,

c dla n ≥ 2 mamy

(1 + ε)

n

≥ 1 +

n

1

ε +

n

2

ε

2

>

n

2

ε

2

. Wystarczy wie

,

c, ˙zeby n <

n

2

ε

2

=

n(n−1)

2

ε

2

,

czyli

2

ε

2

+ 1 < n , co ko´

nczy dow´od.

Teraz poka˙zemy jak mo˙zna uzyska´c ten wynik bez szacowa´

n. Podnosimy stronami

nier´owno´s´c

n+1

√

n + 1 <

n

√

n do pote

,

gi n(n + 1) . Otrzymujemy (n + 1)

n

< n

n+1

.

Dziela

,

c stronami przez n

n

otrzymujemy n >

n+1

n

n

= 1 +

1

n

n

. Wcze´sniej wyka-

zali´smy, ˙ze cia

,

g

1 +

1

n

n

jest ograniczony. Wobec tego nier´owno´s´c n > 1 +

1

n

n

zachodzi dla wszystkich dostatecznie du˙zych liczb naturalnych n — nie mamy po-

wodu ustala´c w tej chwili, od kt´orego momentu jest ona prawdziwa. Wobec tego cia

,

g

(

n

√

n) jest maleja

,

cy od pewnego momentu, jest te˙z ograniczony z do lu przez liczbe

,

1 ,

a co zatem idzie zbie˙zny. Oznaczmy jego granice

,

przez g . Ka˙zdy podcia

,

g tego cia

,

gu,

np.

2n

√

2n jest zbie˙zny do tej samej granicy g . Wobec tego

g

2

= g · g = lim

n→∞

2n

√

2n · lim

n→∞

2n

√

2n = lim

n→∞

2n

√

2n

2

= lim

n→∞

n

√

2 ·

n

√

n

=

= lim

n→∞

n

√

2 ·

n

√

n = 1 · g .

Otrzymali´smy r´owno´s´c g

2

= g a poniewa˙z 1 ≤ g < +∞ , wie

,

c g = 1 , co ko´

nczy

dow´od. Okaza lo sie

,

, ˙ze r´ownie˙z w tym przypadku mo˙zna omina

,

´c rachunki, wymaga lo

to tylko nieco wie

,

cej zachodu ni˙z poprzednio, bo cia

,

g nie jest monotoniczny, a tylko

maleja

,

cy od pewnego momentu.

Uwaga 1.92 Mo˙zna stosowa´c logarytm. Wtedy

n

√

n = e

(ln n)/n

, wie

,

c wystarczy loby

31

Kresy, granica cia

,

gu

Micha l Krych

wykaza´c, ˙ze lim

n→∞

ln n

n

= 0 . Mo˙zna to zrobi´c korzystaja

,

c z twierdzenia Stolza, a mo˙zna

te˙z tak: 0 ≤

ln n

n

=

2 ln

√

n

n

≤

2(

√

n−1)
n

= 2

2

√

n

−

1

n

. Teza wynika z twierdzenia o

trzech cia

,

gach.

32