Funkcje elementarne. Przekształcenia wykresów funkcji. Funkcja złożona i odwrotna.
Zad. 1. Wyznaczyć dziedzinę i zbiór wartości funkcji, narysować wykres funkcji:
−1 dla x < 0
x
dla
x ≥ 0
sgn x =
0
dla
x =
a) x =
f (x) = x −
0
y = 3 + 4 −
−
; ą)
2 ; b)
; c)
x ;
x
dla
x < 0
1 dla x > 0
−1
1
ć) p(x)
2
= x − 4 ; d)
2
f (x) = 2 − x ; e) f (x) =
; f) f (x) =
;
x
x
x 1
−
x
x + 2
1
x 2
y =
+
g) y =
; h) y =
; i) y = 1
+
− − e
; j)
2
;
2x −1
x −1
2
x−2
y = 4 + log x −
1 (
)
k) f (x) = 2
; l) y = ln(x + )
3 ; m)
1 ; n) f (x) = −log
;
2 (− x)
3
x
π
o) y = sin
; p) y
2
= cos x ; q) g(x) = 1+ ctg( x π
2
); r) f (x) =
(
arcsin x − 2);
3
s) f (x) = arctg(x + )
3 ; t) f (x) =1+
(
arccos x − )
1 ; u) y = −1+ th(x + 4) ; w) y = 2 + ch(x + ) 1 ;
x) y = 2
− + cth(x − )
3 ; y) f(x)=E(x) (E(x) oznacza funkcję entier x czyli część całkowitą liczby x); z) f(x)=x-E(x).
Zad. 2. Obliczyć:
a) 3arcsin(1)-2arccos(0)+ 4arctg(1)-arcctg(-1); b) ln(1)+ sin(0)+sh(1)-ch(-1);
3
1
cos 3arcsin
+ arccos −
c)
.
2
2
Zad. 3. Znaleźć dziedziny i zbiory wartości funkcji: 2x + 1
2
2
a) y = sin
x ; b) y = 1 − x ; c) y = x − x ; d) y = arccos
; e) y = log(5x − x − 6).
x
Zad. 4. Określić funkcje złożone f o g , g o f , f o f , g o g oraz ich dziedziny, jeżeli: a) f (x) = 1− x ,
2
g(x) = x ; b) f (x) = ln x , x
g(x) = e ;
c)
π π
f (x) = sin x x ∈ − ,
, g(x) = arcsin x ;
0 dla x ≤ 0
0
dla
x ≤ 0
d) f (x) =
g(x) =
,
.
x
dla
x > 0
− 2
x
dla
x > 0
Zad. 5. Znaleźć funkcję odwrotną do danej oraz określić jej dziedzinę: π
x
dla
x ≤ 0
2
1
2
c) f (x) = x −1 x ∈
,+∞
f (x) = sin x x ∈ ,
0
f (x) =
, c)
, d)
.
2
2
2x dla x > 0